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Séries TemporaisSéries Temporais(Sucessões Cronológicas)(Sucessões Cronológicas)
Uma introduçãoUma introdução
Parcialmente adaptado de notas de Alex Trindade
Department of Statistics
University of Florida
www.stat.ufl.edu/~trindade/sta6934
Fernando de Oliveira Durão(Documento Provisório)
Sumário (1/2)1. Introdução
1.1 Definição. Exemplos de séries temporais reais
1.2 Padrões de séries temporais estacionárias
1.3 Padrões de séries temporais não estacionárias
1.4 Objectivos e Limitações do capítulo
1.5 Pré-requisitos
1.6. Metodologia de análise de séries temporais;
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Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
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1.6. Metodologia de análise de séries temporais;
1.7. Processos Estocásticos (Funções Aleatórias) Estacionários;
1.8. As funções média, de autocovariância e de autocorrelação; Definições;
1.9. Estimadores e estimativas amostrais
2. Estimação e/ou remoção de Tendência e Sazonalidade.2.1. Estimação/remoção de tendência (Filtros lineares de médias móveis centradas;
Médias móveis pesadas exponencialmente (geometricamente); Exemplos;Regressão; Diferenciação (Operador atraso e operador diferença de ordem k;Exemplos)
2.2. Estimação/remoção de componente cíclica sazonal (Decomposição clássica; Exemplo; Diferenciação. Operador diferença sazonal. Exemplo);
2.3. Estimação/remoção das components de tendência e de sazonalidadeCombinação de métodos em 2.1 e 2.2
2.4. Teste da hipótese nula de série residual aleatória pura.Estatísticas teste
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Sumário (2/2)Sumário (2/2)
3. Introdução aos modelos lineares de processos estocásticos estacionários.3.1 Os modelos autoregressivos de ordem p (AR( p)). (3.1.1 Condições de estacionaridade e
causalidade; 3.1.2 A representação média móvel de ordem infinita (MA(∞)); 3.1.3 As funções de
autocovariância, autocorrelação e autocorrelação parcial.)
3.2 Os modelos médias móveis de ordem q (MA( q)). (3.2.1 Condições de invertibilidade;
3.2.2 A representação autoregressiva de ordem infinita (AR(∞)); 3.2.3 As funções de autocovariância,
autocorrelação e autocorrelação parcial.)
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Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
3
autocorrelação e autocorrelação parcial.)
3.3. Os modelos mistos ARMA( p, q)
3.4. Métodos de estimação de parâmetros. (3.4.1. Método dos momentos. Estimadores de Yule-Walker
(caso AR); 3.4.2. Método dos Mínimos Quadrados. Lineares (caso AR); Não Lineares (Casos MA e
ARMA); Métodos numéricos de optimização; Distribuições (por amostragem) assimptóticas dos
estimadores de Mínimos Quadrados; 3.4.3. Referência ao Método da Máxima Verosimilhança)
3.5. Avaliação da qualidade estatística do modelo e da qualidade do ajustamento
(análise da sucessão residual)
4. Breve introdução ao problema da previsãoPreditores lineares não enviesados e de variância (do erro de previsão a um passo adiante)
mínima.
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1. 1. IntroduIntroduçãoção
1.1 Definição: Série Temporal é um conjunto/colecção ordenado/a de valores de uma dada variável observados a intervalos regulares, representando-se por Xt , o valor observado da variável X no instante t (t=1,2,…,N)
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Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
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Exemplos de Séries/Sucessões
Examinar cronogramas (time plots) exibindo:� tendência no tempo;� componentes/movimentos/flutuações sazonal/cíclica/periódica;� variação da amplitude das oscilações (variância) ao longo do tempo;� outras características sistemáticas.
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Mortes por acidente nos E.U.A. (DEATHS.TSM)� Totais mensais: Janeiro de 1973 a Dezembro de 1978.� Forte padrão sazonal: alto em Julho, baixo em Fevereiro
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População dos E.U.A (USPOP.TSM)� Unidade de tempo: Intervalo de 10 anos (décadas) (1790 a 1990.)� Tendência exponencial.� Pouca ou nenhuma variabilidade errática/irregular/aleatória.
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Índice Dow-Jones (DJAO2.TSM)� 251 dias úteis consecutivos (1 ano), terminando em 26/08/1994.� Um passeio aleatório ?
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Nível do Lago Huron (LAKE.TSM)� Níveis anuais (pés): 1875-1972.
� Tendência (linear) decrescente.
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Uma IntroduçãoUma Introdução
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Passageiros de linha aérea (AIRPASS.TSM)� Totais mensais: Janeiro de 1949 a Dezembro de 1960;� Forte efeito sazonal: alto no Verão, baixo no Inverno. � Tendência linear (?) crescente.
� Variabilidade (variância das flutuações) crescente.
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Uma IntroduçãoUma Introdução
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Temperaturas Anuais Globais à Superfície da Terra� Médias anuais à superfície da Terra: 1856 a 2005.� Expressas como anomalias (desvios) da média do período de base/referência 1961-
1990, em graus Celsius. � Tendência complicada (Aquecimento global (mau agoiro)!).
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Uma IntroduçãoUma Introdução
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Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
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1.2 Padrões de séries estacionárias1.2 Padrões de séries estacionárias
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Uma IntroduçãoUma Introdução
Realização de processo estacionário{ } ( )0 1 2 00.50 0.24 , 1, 2,..., 2.60, 0, 2t t t t tX X X X w t X w N− −= + + + = = ∼
tX µ−
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{ } 10tXµ = =E
( ) ( ) { } ( )1 20.50 0.24 , 1, 2,..., 10, 0, 2t t t t t
X X X w t w Nµ µ µ µ− −= + − + − + = = ∼
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Uma IntroduçãoUma Introdução
Realização de processo estacionário{ } ( )1 20.50 0.24 , 1,2,..., 10, 0, 2t t t t tX w w w t w Nµ µ− −= + + + = = ∼
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Uma IntroduçãoUma Introdução
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1.3 Padrões de séries não estacionárias1.3 Padrões de séries não estacionárias
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Uma IntroduçãoUma Introdução
Realização de processos não estacionáriosCronogramas
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Uma IntroduçãoUma Introdução
Cronograma de sucessão com componente sazonal
Realização de processos não estacionários
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Uma IntroduçãoUma Introdução
Cronograma de sucessão não estacionária em variânciaRealização de processos não estacionários
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Uma IntroduçãoUma Introdução
Cronograma de sucessão tendência linear
Realização de processos não estacionários
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Uma IntroduçãoUma Introdução
Sucessão com tendência linear e componente sazonal na forma aditiva
Realização de processos não estacionários
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Uma IntroduçãoUma Introdução
Sucessão com tendência linear e componente sazonal na forma multiplicativa
Realização de processos não estacionários
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Uma IntroduçãoUma Introdução
Sucessão com tendência linear e variância crescente com tendênciaRealização de processos não estacionários
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Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
Sucessão com intervenção no momento igual a 48Realização de processos não estacionários
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Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
Sucessões de entrada e saída de umprocesso de separação
Pro
cess
o de
Sep
araç
ão
Identificação de Sistemas
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Pro
cess
o de
Sep
araç
ão
Exemplo: Detecção de sinal (SIGNAL.TSM)O ficheiro contem 200 observações do modelo “sinal mais ruído”
cos( /10) , { } ~ (0,1/ 4)t t tX t w w IID N= +
O foco aqui é a estimação do sinal, por alisamento (amortecimento) (smoothing) da série. Este alisamento
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Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
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(amortecimento) (smoothing) da série. Este alisamento pode ser obtido exprimindo a sequência/sucessão {Xt} como uma soma de ondas simusoidais de várias frequências, e eliminando as ondas componentes de alta frequência (alisamento espectral - spectral smoothing). Retendo apenas uma fracção de 3.5 % das baixas frequências, parece resultar bem neste exemplo.
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Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
cos( /10) , { } ~ (0,1/ 4)t t tX t w w IID N= +
Sinal + Ruído
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Uma IntroduçãoUma Introdução
( , 3.5 /100)t tY smoothfo X f= =
Sinal filtrado
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Uma IntroduçãoUma Introdução
t t tw X Y= −
Ruído estimado
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1.4 Objectivos (Razão de ser deste capítulo)
Os valores observados de uma variável a intervalos de tempo mais ou menos
regulares estão usualmente autocorrelacionados. Esta característica exige
técnicas/metodologias de modelação mais complicadas do que as que são
utilizadas na análise de observações independentes. Muito importante: a
presença de autocorrelação pode e deve ser explorada na previsão de valores
futuros.
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Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
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As principais motivações para o estudo de séries temporias
Descrição: Representação gráfica das observações no tempo proporciona uma visão geral da
variável em estudo. Mostra que tipo de variações ocorrem no tempo, se existe tendência ousazonalidade, valores anómalos, pontos de viragem, etc.
Explicação: Construção de modelo matemático que explique a variabilidade observada nos dados.
Previsão: Baseado no modelo, prever, com algum grau de confiança, os valores das observações
futuras.
Controlo: Se os valores futuros previstos se afastam de valores de referência (metas), modificar
factores que influenciam a variável observada e assim corrigir trajectória futura.
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Limitações (do capítulo)
As metodologias apresentadas neste capítulo são aplicáveis à
análise, no domínio do tempo, de séries temporais:
(i) de variáveis que são quantitativas (uma medição);
(ii) com observações feitas a intervalos regularmente espaçados
(não existem lacunas (missing values));
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Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
29
(não existem lacunas (missing values));
(iii) univariadas (séries de uma só variável).
1.5 Pré-requisitos
Disciplina de Probabilidades e EstatísticaEst
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1.6 Metodologia de Análise de Séries Temporais
Passo 1: Modelar quaisquer componentes determinísticas de
tendência e/ou de sazonalidade que possam estar presentes,
e removê-las dos dados.
Passo 2: Escolher, de entre uma família de modelos de
probabilidade, aquele (o) que melhor representa os
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Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
30
probabilidade, aquele (o) que melhor representa os
resíduos obtidos no Passo 1.
Passo 3: Estimar os parâmetros do modelo escolhido.
Passo 4: Avaliar qualidade do modelo e do ajustamento.
Passo 5: Modelo resultante:
� Constitui descrição compacta dos dados, e pode ser usado em
interpretação/descrição futuras em lugar dos dados
� Realizar inferências in-sample e.g. intervalos de confiança e
testes de hipóteses sobre os parâmetros do modelo (Passo 4);
� Realizar inferências out-of-sample i.e. previsão.
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Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
{ }
1O conjunto ordenado , dos valores observados da variável no
intervalo de tempo , constitui, ou pode ser visto como, uma
(parcial) de , ou função aleatória,
t tx X,
T N t
=
= ∆
realização processo estocástico
N
,
1,2,...tX
t =
1.7 Processos estocásticos estacionários
31
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Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
{ }
,
∞
= 0
Um processo estocástico , é uma família infinita de variáveis
aleatórias
t
t t
X
X
Va
riá
vel
ale
ató
ria
Xt, t
= 1
0
Va
riá
vel
ale
ató
ria
Xt(
x),
t =
80
1.7 Processos estocásticos estacionários
32
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Va
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vel
ale
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ria
X
Va
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vel
ale
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X
Outras realizações possíveis
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Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
É, no mínimo, necessário , a partir de ,
a estrutura de covariância/correlação entre pares de variáveis
aleatórias que constituem a família.
inferir uma realização1.7 Processos estocásticos estacionários
33
Est
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Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
Para que se possa inferir, a partir dos dados disponíveis, a estrutura de correlação
entre pares de variáveis aleatórias, é necessário admitir a estacionaridade até ordem 2
da função aleatória. A estaci é sinónimo de invariância da função
distribuição conjunta de pares de variáveis aleatórias por translação dos seus pontos de
apoio.
onaridade de ordem 2
Fu
nçõ
es d
ensi
dad
e d
e p
rob
ab
ilid
ad
e d
e p
are
s d
e vari
ávei
s
ale
ató
rias
com
dif
eren
tes
coef
icie
nte
s d
e co
rrel
açã
o
1.7 Processos estocásticos estacionários
34
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Fu
nçõ
es d
ensi
dad
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e d
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e vari
ávei
s
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com
dif
eren
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coef
icie
nte
s d
e co
rrel
açã
o
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Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
{ }tX µ=E
1.7 Processos estocásticos estacionários
Se for uma função aleatória estacionária de ordem 2 então:tX
35
Est
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tal
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tal
( )( ){ } ( ) ( ),t h tX X C t h t C hµ µ+ − − = + =E
Est
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Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
1.8. As funções média, de autocovariância e de autocorrelação; Definições;
Se é estacionário, a (ACVF)
do define-se como:tX
k
função de autocovariância
desfasamento
= = +( ) ( ,0) ( , ) C k C k C t k t
36
Est
atí
stic
a A
mb
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tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
( ) ( )ρ ρ≤ ≤
A ACF é uma verdadeira função de correlação; Mostra-se que,
para cada , -1 1. Notar que 0 =1. k k
e a sua (ACF) do desfasamento
como:
kfunção de autocorrelação
ρ += = ( ) ( ) / (0) ( , ).t k tk C k C Corr X X
Est
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tal
Est
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tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
( ) ( )
≥
≤
A ACVF goza das seguintes propriedades básicas:
1. (0) 0,
2. 0 , para todo o ,
C
C k C k
1.8. As funções média, de autocovariância e de autocorrelação; Definições;
37
Est
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tal
Est
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ien
tal
( ) ( )≤
=
2. 0 , para todo o ,
3. ( ) (- ), para todo o .
C k C k
C k C k k
φ 1
Define-se também a noção de
(PACF) de { } para o
desfasamento , , como sendo a correlação entre e
X , ajustada para as observações intervenientes ,..., .
t
kk
X
k X
X X
função de autocorrelação parcial
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
1.8. As funções média, de autocovariância e de autocorrelação; Definições;
38
k+1 2X , ajustada para as observações intervenientes ,..., .
DefikX X
φ00nir = 1.
As funções ACF e PACF desempenham papel chave na
identificação das ordens dos modelos ARMA.
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
{ }
{ }{ }
2 20
A sucessão { } é um processo (estocástico)
( ) se:
1. 0,
2. ,
3. 0, para k 0.t
t
t
k t k t
X
X
c X e
c X X
µ
σ
+
= =
= =
= = >
ruído branco
white noise
E
E
E
39
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
e escreve-se { }tX ∼ 2(0, ).
Os 's são não correlacionados.t
WN
X
σ
σ∼ 2
A sucessão { } é um processo ruído branco IID, se é
ruído branco, mas com os ' independentes.
Escreve-se
{ } (0, ).
Os ' são indepedentes.
t
t
t
t
X
X s
X IID
X s
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
Dados observados{ } 1 21
, ,...,N
t Ntx x x x
==
Média amostral
1.9 Estimadores/Estimativas das funções Média, Autocovariância (ACVF), autocorrelação (ACF) eAutocorrelação parcial (PACF)
40
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
=
= ∑1
1
N
tt
x xN
Função de autocovariância (ACVF) amostral
1
1ˆ ( )( ) 0 1
N k
k t k tt
c x x x x , k NN
−
+=
= − − ≤ ≤ −∑
Função de autocorrelação (ACF) amostral
0ˆ , 0 1ˆk kc c k Nρ = ≤ ≤ −
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
ρ
≥
∼
Se os dados são observações de ruído branco IID, então
(aprox.):
(0,1/ ),ˆ
para grande e para todo o 1. Isto significa que
k IID N N
N k
41
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
≥para grande e para todo o 1. Isto significa que
aproximadamente 95% dos valores amostrai
N k
φ
±
s da ACF
estarão contidos no intervalo com limites:
1.96
ˆConclusões similares valem para o estimador, , da
função PACF.kk
N
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
Realização de 200 observações de processoruído branco Gaussiano Xt ~ WN(0,1).
42
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
Função de Autocorrelação (ACF) estimada a partir deRealização de ruído branco Gaussiano Xt ~ WN(0,1).
43
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
Função Autocorrelação Parcial (PACF) estimada a partirde realização de ruído branco Gaussiano Xt ~ WN(0,1).
44
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
2. Estimação e Remoção de Tendência e SazonalidadeNa Decomposição Clássica de uma Série Temporal
Xt = mt + st + Yt
� mt : componente Tendência (determinística, varia lentamente com t);� st : componente Sazonal (determinística, de período d bem definido);
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
45
t
� Yt : componente Ruído/Resíduo (errática/aleatória, estacionária).
Objectivo: Numa das abordagens, dita de Box e Jenkins, extraircomponentes mt e st, e esperar que Yt seja estacionária, concentrando esforços na modelação de Yt.
NOTA: Poderão ser necessárias transformações preliminares se a variabilidade (variância) do Ruído/Resíduo ou a amplitude da flutuação sazonal pareça mudar com o tempo.
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
Exemplo: transformação logarítmica da série em AIRPASS.TSM
para estabilizar as flutuações/oscilações sazonais.
46
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
∑ ∑1 1q q
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
2.1 Estimação e Eliminação da Tendência
Modelo não sazonal com tendência:
(a) Amortecimento Média Móvel Centrada/Simétrica
Considere-se o filtro média móvel finita centrada:
, ( ) 0.t t t tX m Y Y= + =E
47
θ θ+ +=− =−
= = = − ≤ ≤+ +∑ ∑ ,
1 1,
2 1 2 1t t j t j
q q
j jj q j qW X X q j q
q q
( ) ( )1 1
02 1 2 1
q q
t t j t j tj q j qW m Y m
q q+ +=− =−
= + ≈ ++ +∑ ∑
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Se mt é aproximadamente linear em [t-q, t+q], obtem-se:
É um procedimento equivalente à aplicação de um filtro linear:
θ +=−
= ≈
∑ j
q
t t j tj q
Z x mFiltro Linear{ }tx
Escolhendo q demasiado pequeno (grande), resulta numa série que é demasiado errática (amortecida/alisada)
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
Se a tendência é um polinómio de grau ≥ 2, outras escolhas dos pesos {θj} pode também ser usadas que atenuarão efectivamente o ruído e deixará passar a tendência sem distorção.
48
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
( )− + +
−+
=− += +∑
1
1
10.5 0.5
2t t q t j t q
q
j qW X X X
q
Nota: Quando, como se verá mais à frente, se lida com período d = 2q (período par), em vez de d=2q+1 (período ímpar), o filtro média móvel é modficado como se segue:
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
Exemplo: alisamento da série em STRIKES.TSM comq = 2 e q = 4.
49
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
(b) Amortecimento exponencial simples (SES)
( ) , 11 2, , (0 1)ˆ ˆt t tm X m t Nα α α−= + − = … ≤ ≤1 1m̂ X=
Máximo (mínimo) amortecimento obtido com α=0 (α=1).
Alternativamente
( ) , 1 1 2, , (0 1)ˆ ˆ ˆt t t tm m X m t Nα α− −= + − = … ≤ ≤
50
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
( )1
0
, com 1 ,ˆt
j
t j t j j
j
m Xθ θ α α−
−=
= = −∑
Por substituição recursiva, obtem-se a expressão de um filtro linear
O amortecimento exponencial simples é uma média móvel infinita não centrada cujos pesos θj constituem uma progressão geométrica de razão r (r = 1-α, α < 1).
Diz-se, por isto, que é uma média móvel pesada exponencialmente.(Os pesos decaem exponencialmente)
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
( )
( )( )( )( )
1
0
1
0
, com 1 , 1
1 11
1 1
tj
j j
j
tt
j
j
S
S
θ θ α α α
α αα α
α
−
=
−
=
= = − <
− −= − =
− −
∑
∑
A soma dos pesos
51
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
( )
( )( )0 1 1
1 1lim lim 1
j
t
t tS
α
α α
α
=
→∞ →∞
− −
− −= =
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
Exemplo: alisamento da série em STRIKES.TSM com
α = 0.4 e α = 0.2.
52
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
(c) Amortecimento espectral
Amortece por eliminação de uma fracção, 1-f, das componentes de alta frequência na expansão em série de Fourier de {Xt}.
Máximo (mínimo) amortecimento obtido com f = 0 (f = 1).
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
53
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
Exemplo: alisamento da série em STRIKES.TSM com
f = 0.4 e f = 0.2.
54
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
(d) Regressão (Ajustamento) Polinomial
Pode modelar-se a componente tendência através de um polinómio de grau apropriado. Estimar os respectivos coeficientes pelo Método de Mínimos Quadrados(Regressão linear múltipla).
55
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
Exemplo: Ajustamento de polinómio cúbico a dadosem STRIKES.TSM
56
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
O ( ), , é definido por: Boperador atraso backshift operator
(e) Diferenciando k vezes para eliminar a tendência
Por aplicação recursiva da definição, a -ésima potência dok
-1t tBX X=
Definições
57
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
operador atraso é dada por
O , , é definido por: ∇operador diferença
( )( ) ( )1
( 1)
k k
t t t k t kB X B B X B X X−− − −= = =
( )
-1
1
t t t
t t
t
X X X
X BX
B X
∇ = −
= −
= −
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
são definidas por Diferenças de ordem k
(e) Diferenciando k vezes para eliminar a tendência
( )
onde podemos expandir, pelo Teorema Binomial, o operador
1- para valores inteiros de maiores que 1:k
B k
( )1kk
B∇ = −
Definições
58
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
( )1- para valores inteiros de maiores que 1:B k
Mais frequentemente, as diferenças de ordem são obtidas
por aplicação recursiva, isto é, , para = 2
k
p.ex. k
( ) ( )0 0
1 (1) ( 1)k k
k jk k j k j j
j j
j j
B C B C B−
= =
− = − = −∑ ∑
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
22
1
1 1 1 2
1 1 2 1 2
2 22 2
0 0
1 = 1 1 1
1 1
2
1 1 1
t t t t t
t t t t t t
t t t t t t t
j jj
j t j t j
j j
X B X B B X B X X
B X B X X X X X
X X X X X X X
C B X C X t k
−
− − − −
− − − − −
−= =
∇ = − − − = − −
= − − − = − − −
= − − + = − +
= − = − ≥ +∑ ∑
Pode-se mostrar que uma tendência polinomial de grau kde uma sucessão cronológica será reduzida a uma constante
diferenciando-a k vezes, i.e., aplicando o operador diferença
de ordem k à sucessão cronológica. .
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma IntroduçãoE
statí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Se a sucessão cronológica exibe tendência linear, i.e.,
(e) Diferenciando k vezes para eliminar a tendência
59
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
( )1 0 1 0 1 1
1 1 1
1
t t t t t
t t t
X X X a a t Y a a t Y
a Y Y a Y
− −
−
∇ = − = + + − − − −
= + − = + ∇
( )0 1 0 1 t t t t tX m Y a a t Y m a a t= + = + + = +
então
Se a sucessão cronológica exibe tendência linear, i.e.,
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma IntroduçãoE
statí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
2
1 2
2 2 2
2t t t tX X X X− −∇ = − +
( )2 2
0 1 2 0 1 2
t t t t tX m Y a a t a t Y m a a t a t= + = + + + = + +
então
Se a sucessão cronológica exibe tendência quadrática, i.e.,
(e) Diferenciando k vezes para eliminar a tendência
60
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )
2 2 2
1 2
0 0 0
2 2 2
1 2
0 0 0
22
0
0
2 1 2
2 1 2 2
2 1 2
2
j jj
j t j t j t
j j j
j jj
j j j t t t
j j j
j jj
j t
j
jj j k
j k
k
a t Y a t Y a t Y
a t a t a t Y Y Y
a t t t Y
a t C t
− −= = =
− −= = =
=
=
= + − − + + − +
= − − + − + − +
= − − + − + ∇
= −
∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
∑
∑ ( ) ( )2
2
0 0
2
2
1 1 2
2
jj k j kj k j k
k t
j k
t
C t Y
a Y
− − −
= =
− + − + ∇
= + ∇
∑ ∑
Exemplo: remover tendência de série em STRIKES.TSM por aplicação do operador diferença de ordem 1
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma IntroduçãoE
statí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
61
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
{ }, 0,
, e
0
t t t t
t d t
d
X s Y Y
s s
s
+
= + =
=
=∑
E
Modelo sazonal (forma aditiva) sem tendência
2.2 Estimação e Eliminação da Sazonalidade
62
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
1
0t
t
s=
=∑
(a) Decomposição clássica (Método 1)
Os efeitos sazonais, sk, k = 1,…,d, são estimados seguindo os passos resumidos a seguir:
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
Seja
extensão da série
período do ciclo
N
d
63
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
( ), 1
,
1
período do ciclo
/ , nº de ciclos na série ( múltiplo inteiro de )
, 1,2,..., , 1,2,...,
1, 1ˆ
c
k j ck d j
d
j k j
k
d
N N d N d
X X k d j N
m X jd
+ −
=
=
= = =
= =∑
( ),
1
, ,
,2,..., (média do ciclo )
1, 1,2,..., (Efeito médio da estação )ˆ
, 1,2,..., , 1,2,...,ˆ
c
c
N
k k j j
jc
k j k j j k c
N j
s X m k d kN
Y X m s k d j N
=
= − =
= − − = =
∑
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
Exemplo: DEATHS.TSM, período d = 12, sem tendência
64
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
sk
Yt
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
O define-se como se segue:d∇ Operador Diferença Sazonal
(b) Diferençiação sazonal de período d
Definição
=
d t t t d
d
t t
X X X
X B X
−∇ −
= −
65
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
( )
1
t t
d
t
X B X
B X
= −
= −
- -
Como
=(1- )
= 0, pois
diferenciando a (com) ( ) eliminar-se-á a
componente sazonal de período
d
d t t
t t d t t d
X B s
s s s s
d
∇
− = =
desfasamento lag
.d
Exemplo: diferença sazonal de periodo d = 12 da série em DEATHS.TSM
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
66
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
2.3 Estimação e Eliminação de Tendência e SazonalidadeA estimação e eliminação das componentes de tendência e
sazonalidade numa série podem ser realizadas, usando combinações das técnicas (métodos) descritas em 2.1 e 2.2.
Os procedimentos mais comuns são resumidos como se segue.
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
67
segue.
(a) Decomposição clássicaUsa, pela ordem, os métodos 2.1(a), 2.2(a), e 2.1(d).Exemplo: DEATHS.TSM, d=12 mais termo quadrático.
(b) DiferenciaçãoUsa, pela ordem, os métodos 2.2(b) e 2.1(e).Exemplo: DEATHS.TSM, aplicar operador (1-B)(1-B12)Xt.
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Exemplos: Repetir (a) e (b) para a série transformadalogarítmica da série original em AIRPASS.TSM ou AIRPASS.DAT (Aula prática de problemas)
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
68
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
2.4 Teste de aleatoriedade da sequência estimada de Ruído/Resíduo
Uma vez removidas as aparentes componentesdeterminísticas (tendência e sazonalidade), impõe-se avaliarse na série residual, Yt, (componente Ruído/Resíduo)resultante há evidência de dependência entre os termosdesta série. Se não há evidência, conclui-se que se trata de
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
69
desta série. Se não há evidência, conclui-se que se trata desucessão que é realização de sequência de variáveisaleatórias independentes e identicamente distribuídas ou devariáveis aleatórias não correlacionadas, terminando oexercício de modelação matemática da série temporal.Vários métodos podem ser usados para testar ahipótese nula:
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
0 : { } tH Y IID∼
(a) ACF amostral
Avaliar desigualdade para todo o desfasamento , 1,2,...,
maxk k K=
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
2.4 Teste de aleatoriedade da sequência estimada de
Ruído/Resíduo (Análise dos Resíduos)
70
0
| ˆ | 1.96 /
Rejectar se mais de 5% não satisfaz a desigualdade.
k n
H
ρ <
(Análise do correlograma)Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
0
(b) Testes Portmanteau
São baseados no facto, sob , de ˆ , ( 1,2,..., ) serem
variáveis aleatórias e aprox. distribuídas como (0,1), pelo
que estatística seguinte,
kH N k
IID N
ρ =
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
2.4 Teste de aleatoriedade da sequência estimada de
Ruído/Resíduo (Análise dos Resíduos)
71
que estatística seguinte,
( )
.2 2
1
2 2
ˆ . ( / 4, 15 30)
designa a distribuição de com graus de liberdade
Existem dois refinamentos deste teste, um por & ,
o outro
m aprox
j m
j
m
Q N m n m
m
Ljung Box
ρ χ
χ χ
=
= ≈ ≤ ≤∑ ∼
por & .McLeod Li
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
(c) Teste do número de máximos e mínimos locais(Turning Point Test - Teste dos Pontos de Viragem)
Este teste baseia-se na ideia de que se a série {Yt} é puramente aleatória, então sequências de três valores sucessivos são igualmente
2.4 Teste de aleatoriedade da sequência estimada de
Ruído/Resíduo (Análise dos Resíduos)
72
Se Yt-1< Yt e Yt > Yt+1 (Yt-1> Yt e Yt < Yt+1), então diz-se que a série tem um máximo local (mínimo local) no tempo t. Numa série de Nvariáveis aleatórias I.I.D., o número de máximos e mínimos locais (pontos de viragem) é uma variável aleatória aprox. N(mT, σT
2), onde mT = 2(n-2)/3, e σT
2=(16N - 29)/90.
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
aleatória, então sequências de três valores sucessivos são igualmenteprováveis de ocorrer em qualquer um dos seis padrões seguintes:
t-1 t t+1 t-1 t t+1
(d) Teste do Sinal da Diferença
Sob H0, o número, S, de pares de pontos onde yt > y t-1, é aprox. N(mS, σS
2), onde mS=(N-1)/2 e σS2=(N+1)/12. Um
grande valor positivo (negativo) de S-m implica a presença
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
2.4 Teste de aleatoriedade da sequência estimada de
Ruído/Resíduo (Análise dos Resíduos)
73
grande valor positivo (negativo) de S-mS implica a presença de uma tendência de crescimento (decrescimento).
(e) Teste do Rank
Sob H0, o número, P, de pares de pontos onde yt > ys, t > s, éaprox. N(mP,σP
2), com mP=N(N-1)/4 e σP2=N(N-1)(2N+5)/72.
Um grande valor positivo (negativo) de P-µP implica a presença de uma tendência de crescimento (decrescimento).
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Se se rejeitar H0 existe evidência de correlação na
sucessão {Yt}. A secção seguinte é dedicada à
apresentação de modelos lineares de processos
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
2.4 Teste de aleatoriedade da sequência estimada de
Ruído/Resíduo (Análise dos Resíduos)
74
estocásticos estacionários capazes de aproximar a
estrutura de autocorrelação presente na série
residual ou transformada Yt.
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Exemplos: Simular 100 valores de: WN(0,1); AR(1).
Exemplos: DEATHS.TSM, (1-B)(1-B12)Xt,
Os processos Mistos Autoregressivos e Médias Móveis, abreviado (ARMA), são uma classe importante de modelos lineares de séries temporais. Oferecem uma estrutura paramétrica flexível para aproximar o comportamento observado de processos estacionários, e prestam-se à formulação de uma teoria da previsão relativamente
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
3. Modelos lineares ARMA
75
formulação de uma teoria da previsão relativamente simples e elegante.
Sem perda de generalidade, assume-se que {Xt} tem média 0, pois se {Yt} tem média µ, então Xt = Yt −µ tem média 0.E
statí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Uma das vias mais intuitiva de modelizar o comportamento de uma série temporal é a regressão de Xt sobre os últimos p valores passados da própria série, Xt-1 , Xt-2 ,…, Xt-p .
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
3. Modelos lineares ARMA3.1 O modelo (processo) AR
76
O modelo resultante é dito ser Autoregressivo de ordem p
[AR(p)] :
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
2
1 -1 2 -2 -+ + , { } (0, ).t t t p t p t t w
X X X X w w WNφ φ φ σ= + +⋯ ∼
2
-
1
, { } (0, ).p
t j t j t t w
j
X X w w WNφ σ=
= +∑ ∼
Ou, mais compactamente
Factos principais
� O modelo (processo) é similar ao modelo de regressão linear múltipla, com a excepção de se estar a regredir sobre os valores passados, Xt-1,…,Xt-p da própria série.
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
3. Modelos lineares ARMA3.1 O modelo (processo) AR
77
valores passados, Xt-1,…,Xt-p da própria série.
� O modelo é uma equação às diferenças de ordem p linear e de coeficientes constantes.
� Recorrendo ao operador atraso, B, o modelo AR(p) pode ser escrito como:
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
2 2
1 2 + + , { } (0, )p
t t t p t t t wX BX B X B X w w WNφ φ φ σ= + +⋯ ∼
Ou, transpondo para o 1º membro da equação, os termosque contém a variável ‘independente’ Xt :
2 2
1 2 , { } (0, )p
t t t p t t t wX BX B X B X w w WNφ φ φ σ− − − − =⋯ ∼
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
3. Modelos lineares ARMA3.1 O modelo (processo) ARFactos principais (continuação)Factos principais
78
1 2 , { } (0, )t t t p t t t w
X BX B X B X w w WNφ φ φ σ− − − − =⋯ ∼
ou ainda como (pondo em evidência o factor comum):
( )2 2
1 21 , { } (0, )p
p t t t wB B B X w w WNφ φ φ σ− − − − =⋯ ∼
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
� Definindo o polinómio Autoregressivo AR(p) como:
2
1 2( ) 1 ,p
pz z z zφ φ φ φ= − − − −⋯
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
3. Modelos lineares ARMA3.1 O modelo (processo) ARFactos principais (continuação)
79
De modo a assegurar que o processo estocástico {Xt}, representado/aproximado pelas equações (às diferenças) do modelo AR(p), é estacionário e causal (isto é, o presente depende só do passado), todas as raízes do polinómio φ(z)devem, em valor absoluto, ser maiores que 1.
pode-se escrever o modelo AR(p), concisamente, como:
( ) 2, { } (0, )t t t wB X w w WNφ σ= ∼
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
� Se o polinómio Autoregressivo φ(z), de grau p, tem raízes,em valor absoluto ou módulo maiores que 1, então a solução estacionária, Xt, da equação às diferenças
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
3. Modelos lineares ARMA3.1 O modelo (processo) AR
Factos principais (continuação)
80
( ) 2, { } (0, ),t t t wB X w w WNφ σ= ∼
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
assume a forma
( )[ ]1
0 0
j
t t j t j t j
j j
X B w B w wφ ψ ψ∞ ∞
−
−= =
= = =∑ ∑onde
0
j
j
ψ∞
=
< ∞∑
� Para processos (modelos) AR estacionários e causais verificam-se as seguintes relações:
21. c c c cφ φ φ σ= + + + +⋯
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
3. Modelos lineares ARMA3.1 O modelo (processo) ARFactos principais (continuação)
81
( )
2
0 1 1 2 2
22
1 1 2 2
1 1 2 2
1.
2. 1
3. , 1
p p w
wX
p p
k k k p k p
c c c c
k
φ φ φ σ
σσ
φ ρ φ ρ φ ρ
ρ φ ρ φ ρ φ ρ− − −
= + + + +
=− − − −
= + + + ≥
⋯
⋯
⋯
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
� Para processos (modelos) AR estacionários e causais verificam-se as seguintes relações:
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
3. Modelos lineares ARMA3.1 O modelo (processo) AR
Factos principais (continuação)
21. + +c c c cφ φ φ σ= + +⋯
82
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
{ } { } { } { } { }
{ } { } { } { } { }2
2
1 -1 2 -2 -
2
1 1 2 2
2
1 1 2 2
0
+ + , { } (0, ).
X
t t t p t p t t w
t t t t t p t t p t t
t t t t t p t t p j t j t
j
X X X X w w WN
X X X X X X X X w
X X X X X X X w w
σ
φ φ φ σ
φ φ φ
φ φ φ ψ
− − −
∞
− − − −=
= + +
= + + + +
= + + + + ∑
⋯ ∼
⋯
⋯�����
E E E E E
E E E E E
2
0 1 1 2 21. + +p p wc c c cφ φ φ σ= + +⋯
� Para processos (modelos) AR estacionários e causais verificam-se as seguintes relações:
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
3. Modelos lineares ARMA3.1 O modelo (processo) AR
Factos principais (continuação)
( )
222 . wa
σσ =
83
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
( )2
0 1 1 2 22 . 1w p pb cσ φ ρ φ ρ φ ρ= − − − −⋯2
0 1 1 2 2
2
0 1 0 1 2 0 2 0
+ +
=
p p w
p p w
c c c c
c c c c
φ φ φ σ
φ ρ φ ρ φ ρ σ
= + +
− − − −
⋯
⋯
( )2
1 1 2 2
2 . 1
wX
p p
a σφ ρ φ ρ φ ρ
=− − − −⋯
2
0 1 1 2 2
2
0 1 0 1 2 0 2 0
2 2 2 2 2
1 1 2 2
+ +
+ +
+ +
p p w
p p w
X X X p X p w
c c c c
c c c c
φ φ φ σ
φ ρ φ ρ φ ρ σ
σ φ σ ρ φ σ ρ φ σ ρ σ
= + +
= + +
= + +
⋯
⋯
⋯
� Para processos (modelos) AR estacionários e causais verificam-se as seguintes relações:
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
3. Modelos lineares ARMA3.1 O modelo (processo) ARFactos principais (continuação)
1 1 2 23. , 1k k k p k p kρ φ ρ φ ρ φ ρ− − −= + + + ≥⋯
84
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
1 1 2 23. , 1k k k p k p kρ φ ρ φ ρ φ ρ− − −= + + + ≥⋯
{ } { } { } { } { }
{ } { } { }
2
1 -1 2 -2 -
-
- 1 1 2 2
- 1 1 2 2
+ + , { } (0, ).
Multiplicando, ambos os membros da eqaução, por
t t t p t p t t w
t k
t k t t k t t k t p t k t p t k t
t k t t k t t k t p t k t
X X X X w w WN
X
X X X X X X X X X w
X X X X X X X X
φ φ φ σ
φ φ φ
φ φ φ
− − − − − − −
− − − − − −
= + +
= + + + +
= + + +
⋯ ∼
⋯
⋯
E E E E E
E E E E { }
{ } { } { } { } { }
{ }
0
- 1 1 2 2
0
como 0, , vem
p j t k j t
j
t k t t k t t k t p t k t p j t k j t
j
t k j t
w w
X X X X X X X X w w
w w j
ψ
φ φ φ ψ
∞
− −=
∞
− − − − − − − −=
− −
+
= + + + +
= ∀
∑
∑⋯
E
E E E E E
E
( ) 1 1 ( ) 2 2 ( ) ( )
1 1 2 2 , 1
t t k t t k t t k p t p t k
k k k p k p
c c c c
c c c c k
φ φ φ
φ φ φ
− − − − − − − − − − −
− − −
= + + +
= + + + ≥
⋯
⋯
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
3. Modelos lineares ARMA3.1 O modelo (processo) AR
Factos principais (continuação)
85
1 21 2
0 0 0 0
1 1 2 2
, 1
, 1
k pk k kp
k k k p k p
cc c ck
c c c c
k
φ φ φ
ρ φ ρ φ ρ φ ρ
−− −
− − −
= + + + ≥
= + + + ≥
⋯
⋯
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
� Para um processo AR(p), os coeficientes de autocorrelação parcial φkk são iguais a 0 for k > p, i.e. a PACF anula-se para desfasamentos maiores que p. (Este facto será usado mais adiante quando se tenta identificar um modelo apropriado para
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
3. Modelos lineares ARMA3.1 O modelo (processo) ARFactos principais (continuação)
86
adiante quando se tenta identificar um modelo apropriado para os dados).
�A função de autocorrelação (ACF) de um processo AR(p) decai exponencialmente.
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
( )−= + ∼1
Realização do processo Autoregressivo
Simulação do modelo AR(1) : 0.9 , 0,1t t t tX X w w WN
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
3. Modelos lineares ARMA3.1 O modelo (processo) AR
87
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
3. Modelos lineares ARMA3.1 O modelo (processo) AR
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
( )−= + ∼1
Funções de Autocorrelação (ACF) e de Autocorrelação Parcial (PACF) do modelo
0.9 , 0,1t t t tX X w w WN
88
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
3. Modelos lineares ARMA3.1 O modelo (processo) AR
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
Funções de Autocorrelação (ACF) e de Autocorrelação Parcial (PACF) Estimadas
a partir de realização de 200 observações do processo AR(1)
89
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
( )−= − + ∼1
Realização de processo Autoregressivo
Simulação do modelo AR(1): 0.9 , 0,1t t t tX X w w WN
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
3. Modelos lineares ARMA3.1 O modelo (processo) AR
90
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
( )−= − + ∼1
Funções de Autocorrelação (ACF) e de Autocorrelação Parcial (PACF) do modelo
0.9 , 0,1t t t tX X w w WN
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
3. Modelos lineares ARMA3.1 O modelo (processo) AR
91
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Funções de Autocorrelação (ACF) e de Autocorrelação Parcial (PACF) Estimadas
a partir de realização de 200 observações do processo AR(1)
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
3. Modelos lineares ARMA3.1 O modelo (processo) AR
92
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
Analogamente ao processo AR, o processo Média Móvelde ordem q, abreviado MA(q), regride {Xt} sobre valoresatrasados do processo Ruído Branco (WhiteNoise), {wt}:
3.2 O modelo (processo) MA
2
1 -1 2 -2 -+ + + , { } (0, ).θ θ θ σ= + ⋯ ∼t t t t q t q t wX w w w w w WN
3. Modelos lineares ARMA
93
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
1 -1 2 -2 -+ + + , { } (0, ).θ θ θ σ= + ⋯ ∼t t t t q t q t wX w w w w w WN
Recorrendo ao operador atraso, B, o modelo MA(q) pode ser escrito como:
2 2
1 2+ + + , { } (0, ).q
t t t t q t t wX w Bw B w B w w WNθ θ θ σ= + ⋯ ∼
ou ainda como (pondo em evidência o factor comum):
( )2 2
1 21 + + + , { } (0, ).t q t t wX B B w w WNθ θ θ σ= + ⋯ ∼
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
3. Modelos lineares ARMA3.2 O modelo (processo) MAFactos principais (continuação)
� Definindo o polinómio Média Móvel MA(q) como:2
1 2( ) 1θ θ θ θ= + + + +⋯ q
qz z z z
pode escrever-se o modelo MA(q), concisamente, como:
94
� Por razões de identificabilidade dos parâmetros do modelo, e em analogia com o conceito de causalidade para os processos AR, é necessário impor uma condição adicional: que todas as raizes do polinómio θ(z) sejam, em valor absoluto ou módulo, maiores que 1. O processo resultante é dito ser invertível.
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
pode escrever-se o modelo MA(q), concisamente, como:( ) θ=t tX B w
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
Factos principais (continuação)
� Para um processo (modelo) Média Móvel (MA), são válidos os seguintes resultados:
{ } { } ( )1. 0 1q
X wθ θ= = =∑E E
3. Modelos lineares ARMA3.2 O modelo (processo) MA
95
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
{ } { } ( )
{ } { }
{ }
- 0
0
2 2 2 2 2
- - - -
0 0 0 0 0 0
2
0
1. 0 1
2.
0,
3. , 0,1,2,...,
4
t j t j
j
q q q q q q
t j t j k t k j k t j t k j w w j
j k j k j j
q kk t t k
w j j k
j
X w
X w w w w
k q
c X Xk q
θ θ
θ θ θ θ θ σ σ θ
σ θ θ
=
= = = = = =
−−
+=
= = =
= = = =
>
= = =
∑
∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑
∑
E E
E E E
E
00
0,
. , 0,1,2,...,
k q kk
j j k
j
k qc
k qcρ
θ θ−
+=
>
= = =
∑
Factos principais (continuação)
� Para um processo MA(q), ρk = 0, para k > q, i.e., a ACF anula-se para desfasamentos maiores que q. ((Este facto será usado mais adiante quando se tenta identificar um modelo apropriado
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
3. Modelos lineares ARMA3.2 O modelo (processo) MA
96
mais adiante quando se tenta identificar um modelo apropriado para os dados).
� A função de Autocorrelação Parcial (PACF) do processo MA(q) decai exponencialmente.
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
3. Modelos lineares ARMA3.2 O modelo (processo) MA
( )1
Realização de processo Média Móvel
Simulação do Modelo MA(1) : 0.9 , 0,1t t t tX w w w WN−= + ∼
97
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
3. Modelos lineares ARMA3.2 O modelo (processo) MA
( )−= + ∼1
Funções de Autocorrelação (ACF) e de Autocorrelação Parcial (PACF) do modelo
0.9 , 0,1t t t tX w w w WN
98
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
3. Modelos lineares ARMA3.2 O modelo (processo) MA
Funções de Autocorrelação (ACF) e de Autocorrelação Parcial (PACF) Estimadas
a partir de realização de 200 observações do processo MA(1)
99
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
3. Modelos lineares ARMA3.2 O modelo (processo) MA
( )−= − ∼1
Realização de processo Média Móvel
Simulação do Modelo MA(1) : 0.9 , 0,1t t t tX w w w WN
100
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
3. Modelos lineares ARMA3.2 O modelo (processo) MA
( )−= − ∼1
Funções de Autocorrelação (ACF) e de Autocorrelação Parcial (PACF) do modelo
0.9 , 0,1t t t tX w w w WN
101
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
3. Modelos lineares ARMA3.2 O modelo (processo) MA
Funções de Autocorrelação (ACF) e de Autocorrelação Parcial (PACF) Estimadas
a partir de realização de 200 observações do processo MA(1)
102
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
3. Modelos lineares ARMA3.3 O modelo (processo) ARMA
Embora um modelo AR(p) possa modelar/aproximarqualquer estrutura de correlação, nos casos em que a ordem p adequada é elevada, um modelo ARMA(p,q) deordem (p+q) relativamente baixa pode bastar para aproximar
103
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
ordem (p+q) relativamente baixa pode bastar para aproximara estrutura de correlação (Princípio da parcimónia).
Pode combinar-se os modelos dos processos AR(p) e MA(q),
formando-se um processo mais geral, abreviado processo
ARMA(p,q):2
1 -1 2 -2 - 1 -1 2 -2 - + + , { } (0, )t t t p t p t t t q t q t wX X X X w w w w w WNφ φ φ θ θ θ σ− − − − = + +⋯ ⋯ ∼
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
3. Modelos lineares ARMA3.3 processo ARMA
�Usando a notação polinomial compacta AR e MA,pode-se escrever o modelo ARMA(p,q) como se segue:
Factos principais
2( ) ( ) , { } (0, ),B X B w w WNφ θ σ= ∼
104
� Em ordem a conferir ao modelo ARMA as propriedades da causalidade e da invertibilidade, é necessário que todas as raízes dos polinómios φ(z) e θ(z) sejam, em valor absoluto ou módulo, maiores que 1.
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
2( ) ( ) , { } (0, ),t t t wB X B w w WNφ θ σ= ∼
∏onde, se assume, que os polinómios φ(z) e θ(z) não∏tem factores ou raízes comuns.
� os modelo AR e MA são casos especiais: um AR(p)=ARMA(p,0), e um MA(q)=ARMA(0,q).
Factos principais
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
3. Modelos lineares ARMA3.3 processo ARMA
105
� as funções de autocorrelação (ACF) e de autocorrelação parcial (PACF) decaem ambas exponencialmente.
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
3. Modelos lineares ARMA3.3 processo ARMA
( )-1 -1
Realização de processo ARMA-Simulação do modelo ARMA(1,1)
0.5 0.4 , 0,1t t t t tX X w w w WN− = + ∼
106
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
3. Modelos lineares ARMA3.3 processo ARMA
( )1 1
Funções de Autocorrelação (ACF) e de Autocorrelação Parcial (PACF) do modelo
0.5 0.4 , 0,1t t t t tX X w w w WN− −− = + ∼
107
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
3. Modelos lineares ARMA3.3 processo ARMA
( )1 1
Funções de Autocorrelação (ACF) e de Autocorrelação Parcial (PACF) estimadas
a partir da realização de 200 observações do processo 0.5 0.4 , 0,1t t t t tX X w w w WN− −− = + ∼
108
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
( )-1 -2 -1
Realização de processo ARMA-Simulação do modelo ARMA(2,1)
0.75 0.56 = 0.9 , 0,1t t t t t tX X X w w w WN− + + ∼
3. Modelos lineares ARMA3.3 processo ARMA
109
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
( )-1 -2 -1
Funções de Autocorrelação (ACF) e de Autocorrelação Parcial (PACF) do modelo
0.75 0.56 = 0.9 , 0,1t t t t t tX X X w w w WN− + + ∼
3. Modelos lineares ARMA3.3 processo ARMA
110
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
( )-1 -2 -1
Funções de Autocorrelação (ACF) e de Autocorrelação Parcial (PACF) estimadas
a partir da realização de 200 observações do processo
0.75 0.56 = 0.9 , 0,1t t t t t t
X X X w w w WN− + + ∼
3. Modelos lineares ARMA3.3 processo ARMA
111
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
3.4 Métodos de estimação de parâmetros
1. / .
Escolha de e .
Selecção das ordens identificação do modelo
p q
A formulação/construção de um modelo ARMA(p,q)apropriado para representar uma série temporal estacionáriaobservada, processa-se segundo etapas interrelacionadas:
112
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
2
1 1
Escolha de e .
2.
Estimação de: , , ,..., , ,..., .
3.
w p q
p q
Estimação de parâmetros.
Teste de qualidade estatística do modelo e de
quali
µ σ φ φ θ θ
dade do ajustamento.
Estimação de parâmetros nos modelos AR(p)
a) Método dos momentos
1 -1 2 -2 -Substituindo nas primeiras relações , 1,2,...,k k k p k pp k pρ φ ρ φ ρ φ ρ= + + + =⋯
1 1 0 2 1 3 2 1 1 2 1 3 2 1
2 1 1 2 0 3 1 2 1 1 2 3 1 2
p p p p
p p p p
ρ φ ρ φ ρ φ ρ φ ρ φ φ ρ φ ρ φ ρ
ρ φ ρ φ ρ φ ρ φ ρ φ ρ φ φ ρ φ ρ
− − − −
− − −
= + + + + = + + + +
= + + + + = + + + +
⋯ ⋯
⋯ ⋯
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
3.4 Métodos de estimação de parâmetros (p e q especificadas)
113
1 1 2
p p pρ φ ρ φ ρ− −= +
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
2 3 3 0 1 1 2 2 3 3 p p p p p pφ ρ φ ρ φ ρ φ ρ φ ρ φ− − − −+ + + = + + + +⋯ ⋯
1 2
ˆas autocorrelações teóricas pelas autocorrelações estimadas , obtem-se um sistema de
ˆ ˆ ˆ equações lineares (independentes) em ordem aos estimadores, , , , , de Yule-Walker
dos parâmetros,
k k
pp
p
ρ ρ
φ φ φ
φ
…
1 2, , , , do modelo:
pφ φ…
1 1 2 1 3 2 1
2 1 1 2 3 1 2
1 1 2 2 3 3
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ
p p
p p
p p p p p
ρ φ φ ρ φ ρ φ ρ
ρ φ ρ φ φ ρ φ ρ
ρ φ ρ φ ρ φ ρ φ
−
−
− − −
= + + + +
= + + + +
= + + + +
⋯
⋯
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
⋯
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
a) Método dos momentos
Em notação matricial vectorial
ˆˆ ˆ=R rφφφφ
Estimação de parâmetros nos modelos AR(p)
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
3.4 Métodos de estimação de parâmetros
114
11 2 1 1
1 1 2 2 2
2 1 3 33
1 2 3
ˆˆ ˆ ˆ ˆ1
ˆˆ ˆ ˆ ˆ 1
ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ1 ; e
ˆ ˆ ˆ ˆ1 ˆ
p
p
p
p p p pp
φρ ρ ρ ρ
ρ ρ ρ φ ρ
ρ ρ ρ ρφ
ρ ρ ρ ρφ
−
−
−
− − −
= = =
⋯
⋯
⋯
⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮⋮
⋯
R rφφφφ
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
( )2
0 1 1 2 2
O estimador da variância do ruído branco é dado por
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ 1w p pcσ φ ρ φ ρ φ ρ= − − − −⋯
Estimação de parâmetros nos modelos AR(p)
a) Método dos momentos
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
3.4 Métodos de estimação de parâmetros
( )
( ) 1 2 1
Pode demonstrar-se que a distribuição por amostragem
ˆdo estimador, , de Yule-Walker é ssimptótica/
ˆcom média e variância-covariância :w p
A Normal AN
V N σ− −=
φ φ φ φ
φ φ Γφ φ Γφ φ Γφ φ Γ
115
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
( ) w p
( )( )
{ } 2
, 1
ˆ ˆ~ , .
onde , matrix, , das autocovariâncias , e
são dadas assimptoticamente por
ˆ
N
p i j wi j
p
AN V
p p c σ− =×
≃
φ φ φφ φ φφ φ φφ φ φ
ΓΓΓΓ
Γ Γ Γ Γ R
2 2ˆ w wσ σ≃
Estimação de parâmetros nos modelos AR(p)
b) Método dos Mínimos Quadrados (Lineares)
-1 -2 -
O modelo ( ) é formalmente um modelo de regressão linear múltipla de
sobre , ,..., ,t t t t p
AR p
X X X X
1 -1 2 -2 - ,t t t p t p tX X X X wφ φ φ= + + + +⋯
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
3.4 Métodos de estimação de parâmetros
116
1 -1 2 -2 - ,t t t p t p tX X X X wφ φ φ= + + + +⋯
Estimadores dos parâmetros podem obter-se pelo Método dos Mínimos
Quadrados, i.e., por minimização da soma de quadrados condicional
Sc
( ) ( )
{ } { }
2
1 2 1 -1 2 -2 -
1
1 1
, , ,
com os valores observados das variáveis aleatórias
N
c p t t t p t p
t p
N N
t tt t
S x x x x
x X
φ φ φ φ φ φ= +
= =
= − − − −∑… ⋯
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Estimação de parâmetros nos modelos AR(p)
b) Método dos Mínimos Quadrados (Lineares)
Estimadores dos parâmetros podem obter-se pelo Método dos Mínimos
Quadrados, i.e., por minimização da soma de quadrados condicional Sc
( )2
2 -cS =φ φφ φφ φφ φA b
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
3.4 Métodos de estimação de parâmetros
117
( )( ) ( )
1 2 1 1 1
1 1 2 2 2
2 1 3 3 3
1 2 3 1
; ;
p p p p
p p p p
p p p p
N N N N p p NN p p p
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x
φ
φ
φ
φ
− − +
+ − +
+ + +
− − − − − × ×
= = =
⋯
⋯
⋯
⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮
⋯
φφφφA b
( )( )N p−
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Estimação de parâmetros nos modelos AR(p)
b) Método dos Mínimos Quadrados (Lineares)
Equivalente a minimizar a soma de quadrados condicional Sc dos erros
de previsão, w, a um passo adiante
( )2
2,
com
cS =φφφφ w
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
3.4 Métodos de estimação de parâmetros
118
( )( )( )1 2 3 1
com
, (função linear do vector dos parâmetros)
; T
p p p N N pw w w w+ + + × −
= ⋯
φ − φ φ − φ φ − φ φ − φ w = A b
w
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
c) Método da Máxima Verosimilhança (Maximum Likelihood)
A variância dos resíduos é estimada por
( )2
ˆ
ˆc MQ
w
S
N p pσ =
− −
φφφφ
Estimação de parâmetros nos modelos AR(p)
b) Método dos Mínimos Quadrados (Lineares)
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
3.4 Métodos de estimação de parâmetros
( )
( ) 1 2 1
ˆPode demonstrar-se que a distribuição por amostragem do estimador, ,
de Mínimos Quadrados é ssimptóticamente com
ˆmédia e variância-covariância w p
A Normal AN
V N σ− −=
φφφφ
φ φ Γφ φ Γφ φ Γφ φ Γ
119
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
( )( )
{ }
( )
2
, 1
1
2 2
ˆ ˆ ~ ,
onde ,matriz, , de autocovariâncias e
são dadas assimptoticamente por
,
ˆ
N
p q i j wi j
T
p
w w
AN V
p p c
N
σ
σ σ
+ − =
−
×
≃
≃
φ φ φφ φ φφ φ φφ φ φ
ΓΓΓΓ
Γ Γ Γ Γ A A
Estimação de parâmetros nos modelos AR(p)
b) Método dos Mínimos Quadrados (Lineares)
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
3.4 Métodos de estimação de parâmetros
( )
( )� ( )
( )�( )( )
1 2 2
1
ˆSubstituindo por e por , obtém-se a seguinte
ˆ ˆestimativa de
ˆ
T
p w wN
V V
σ σ−
−
ΓΓΓΓ
β ββ ββ ββ β
A A
120
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
( )�( )( )
( )
11 2 1
11 2
ˆ ˆ
ˆ
T
w
T
w
V N N
N N
σ
σ
−− −
−−
=
=
β β β β A A
A A
( )1
2ˆ T
wσ
−
= A A
Estimação de parâmetros nos modelos MA(q) e ARMA(p, q)
a) Método dos momentos
A aplicação do método dos momentos aos modelos MA e ARMA
conduz a sistemas de equações que são não lineares nos parâmetros a
estimar. As questões da existência e unicidade das soluções exigem
particular atenção.
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
3.4 Métodos de estimação de parâmetros
121
particular atenção.
Generalizando o procedimento desenvolvido para os modelos AR, as
p+q+1 equações a resolver em ordem a p+q+1 incógnitas φ1,φ2,...,φp,
θ1,θ2,...,θq e σ2 são
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
( )
2
1 1 2 2
1
ˆ ˆ ˆ ˆ , 0
onde os são os coeficientes da representação do modelo
, que podem ser calculados pela relação seguinte (com 0)
q
k k k p k p w j j k
j k
j k
q
c c c c k p q
MA
ARMA
φ φ φ σ θ ψ
ψ
θ
− − − −=
−
+
− − − − = ≤ ≤ +
∞
=
∑⋯
( )
( )
0
min ,
min , 11
1
,, 1,2,...
que mostra que os coeficientes são funções dos parâmetros a estimar
r p
r k r kr qk
r
ψ
ψ θ φ ψ
ψ
−+=
=
= + =
∑
Estimação de parâmetros nos modelos MA(q) e ARMA(p, q)
a) Método dos momentos (continuação)
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
3.4 Métodos de estimação de parâmetros
122
( )1 2 1 2 0 0
que mostra que os coeficientes são funções dos parâmetros a estimar
, ,..., , , ,..., 1, 1 .
A título ilustrativo, o sistema de e
j k
p q
ψ
φ φ φ θ θ θ φ θ
−
= =
( ) ( )( )
2 2 2 2 2
0 0 1 1
2 2
1 1
0 1 1
quações para o modelo (1) ( 1, 0)
são:
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ 1
ˆ ˆ
tendo presente que os coeficientes são 1 e ( 0, 2,3,...).
w w
w
r r
MA q p
c
c
r
σ θ θ σ θ
σ θ
ψ ψ ψ θ ψ
= =
= + = +
=
= = = =
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Estimação de parâmetros nos modelos MA(q) e ARMA(p, q)
b) Método dos Mínimos Quadrados (Não Lineares)
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
ˆNos modelos ( , ), os erros de previsão estimados, , a um passo adiante
são definidos como se segue:
1º Os valores observados , das variáveis aleatórias , são em função dos
valor
t
t t
ARMA p q w
x X previstos
-es passados ( 1,2,..., ) e dos valores estimados (nunca observados) dost jx j p=
3.4 Métodos de estimação de parâmetros
123
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
valor -
1 -1 2 -2 - 1 1 2 2
es passados ( 1,2,..., ) e dos valores estimados (nunca observados) dos
ˆ termos ruído (branco) ( 0,1,2,..., )
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ
2º
t j
t j
t t t p t p t t t q t q
x j p
w j q
x x x x w w w wφ φ φ θ θ θ
−
− − −
=
=
= + + + + + + + +
C
⋯ ⋯
1 2
1 1 ( 1)
aos primeiros valores observados , ,..., , e tomando
ˆ ˆ ˆ ˆ os valores estimados , ,..., ( ) iguais a 0, os erros de
ˆ previsão estimados a um passo à frente
p
p p p q q p
p x x x
w w w w− + − − − −
ondicionado
1
, 1, 2,..., são calculados
ˆ sequencialmente, começando com :
t
p
w t p p N
w
+
= + +
1 1 1 2 1 1
2 2 1 1 2 2 1 1
3 3 1 2 2 1 3 1 2 2 1
ˆ ˆ ˆˆ
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ
p p p p p
p p p p p p
p p p p p p p
w x x x x
w x x x x w
w x x x x w w
φ φ φ
φ φ φ θ
φ φ φ θ θ
+ + −
+ + + +
+ + + + + +
= − − − −
= − − − − −
= − − − − − −
⋯
⋯
⋯
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
Estimação de parâmetros nos modelos MA(q) e ARMA(p, q)
b) Método dos Mínimos Quadrados (Não Lineares)
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
3.4 Métodos de estimação de parâmetros
124
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
1 1 2 2 1 1 2 2 1 1
1 -1 2 -2 - 1 1 2 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ,
p q p q p q p q p q p q p q q p
t t t t p t p t t q t q
w x x x x w w w
w x x x x w w w
φ φ φ θ θ θ
φ φ φ θ θ θ
+ + + − + − + − + − − +
− − −
= − − − − − − − −
= − − − − − − − −
⋮ ⋮ ⋮
⋯ ⋯
⋯ ⋯
1,...,t p q N= + +
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
{ }( )2
ˆ ˆ,1
O método dos Mínimos Quadrados consiste em resolver o seguinte problema
de optimização não linear (Mínimos Quadrados Não Lineares):
ˆ ˆˆ min ,N
c t
t p
S w= +
= ∑φ θφ θφ θφ θ
φ θφ θφ θφ θ
c) Método da Máxima Verosimilhança (Maximum Likelihood)
1 1 1 2 1 1
Para perceber porque o problema é agora não linear nos parâmetros a estimar,
basta substituir
ˆ ˆ ˆˆ ,
na segunda equação
p p p p pw x x x xφ φ φ+ + −= − − − −⋯
Estimação de parâmetros nos modelos MA(q) e ARMA(p, q)
b) Método dos Mínimos Quadrados (Não Lineares)
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
3.4 Métodos de estimação de parâmetros
125
2 2 1 1 2 2 1 1
2 1
na segunda equação
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ
ˆ
p p p p p p
p
w x x x x w
x x
φ φ φ θ
φ
+ + + +
+
= − − − − −
= −
⋯
( )1 2 2 1 1 1 2 1 1
2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1
1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ =
para vermos surgir coeficientes das observações ,( 1,..., ), que são
funçõ
p p p p p p p
p p p p p p p p
p j
x x x x x x
x x x x x x x x
x j p
φ φ θ φ φ φ
φ φ φ θ θ φ θ φ θ φ
+ + −
+ + + −
+ −
− − − − − − − −
− − − − − + + +
=
⋯ ⋯
⋯
es não lineares (produtos) dos parâmeros a estimar.
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Estimação de parâmetros nos modelos MA(q) e ARMA(p, q)
b) Método dos Mínimos Quadrados (Não Lineares)
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
3.4 Métodos de estimação de parâmetros
( ) ( )
( )
Seja , , o vector dos parâmetros, de dimensão 1.
ˆPode demonstrar-se que a distribuição por amostragem do estimador, ,
de Mínimos Quadrados é ssimptóticamente com
p q
A Normal AN
ΤΤ Τ= + ×β φ θβ φ θβ φ θβ φ θ
ββββ
126
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
( )
{ }
de Mínimos Quadrados é ssimptóticamente com
ˆ = e variância-
A Normal AN
β β β β β β β β E ( ) ( )( ){ }( )( )
( ) ( )
1 2 1
2
ˆ ˆ ˆcovariância :
ˆ ˆ ~ ,
onde , matriz, , de autocovariâncias e covariâncias
cruzadas, e são assimptoticamente dadas por
T
w p q
p q
w
V N
AN V
p q p q
σ
σ
− −+
+
= =
+ × +
β β − β β − β Γβ β − β β − β Γβ β − β β − β Γβ β − β β − β Γ
β β ββ β ββ β ββ β β
ΓΓΓΓ
E
( )1
2 2ˆ
T
p q
w w
N
σ σ
−+ ≃
≃
Γ Γ Γ Γ J J
Estimação de parâmetros nos modelos MA(q) e ARMA(p, q)
b) Método dos Mínimos Quadrados (Não Lineares)
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
3.4 Métodos de estimação de parâmetros
( )
( ) ( )
1
2 2ˆ
onde , matriz - é a matriz Jacobiana dos resíduos
T
p q
w w
N
N p p q
σ σ
−
+
× +
≃
≃
Γ Γ Γ Γ J J
J
127
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
( ){ }1
ˆ , i.e., a matrizdas primeiras derivadasN
t t pw
= +ββββ
( )*
,
,
*
ˆ
parciais dos resíduos
em ordem aos parâmetros a estimar, com elemento genérico, ,
definido como
ˆ , 1,2,..., , 1,2,..., .
ˆcom a estimativa de Mínimos Qu
i j
ii j
j
J
wJ i N p j p q
β
∂= = − = +
∂ ββββ
ββββ
( )
adrados.
importante: Se a média do processo, , for também um parâmetro
a estimar, então o número de pârametros a estimar é igual a 1 .p q
µ
+ +
NOTA
Estimação de parâmetros nos modelos MA(q) e ARMA(p, q)
b) Método dos Mínimos Quadrados (Não Lineares)
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
3.4 Métodos de estimação de parâmetros
( )
( )� ( )
( )�( )( )
1 2 2
1
ˆSubstituindo por e por , obtém-se a seguinte
ˆ ˆestimativa de
ˆ
T
p q w wN
V V
σ σ−
+
−
ΓΓΓΓ
β ββ ββ ββ β
J J
128
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
( )�( )( )
( )
11 2 1
11 2
ˆ ˆ
ˆ
T
w
T
w
V N N
N N
σ
σ
−− −
−−
=
=
β β β β J J
J J
( )1
2ˆ T
wσ
−
= J J
Questão
“Como seleccionar um modelo estatístico apropriado/adequado para um dado conjunto de dados ?.
O melhor modelo estatístico, de entre os modelos adequados, é aquele que é um compromisso de dois requisitos antagónicos:
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
3.4 Métodos de estimação de parâmetros
Selecção das ordens/especificação do modelo (Escolha de p e q)
129
é um compromisso de dois requisitos antagónicos:
(1) Explicar a maior fracção possível da variabilidade dos dados. Este requisito tende a favorecer os modelos com maior número de parâmetros (modelos de maior complexidade);
(2) Ser um modelo simples, isto é, modelo com reduzido número de parâmetros, observando o princípio da parcimónia,
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Algumas soluções
Validação Cruzada
O conjunto dos dados é dividido em dois subconjuntos. O subconjunto dos dados
de treino ou calibração, utilizado na fase de estimação de parâmetros do modelo
e o subconjunto dos dados de teste utilizados na fase de previsão. Esta solução é
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
3.4 Métodos de estimação de parâmetros
Selecção das ordens/especificação do modelo (Escolha de p e q)
130
e o subconjunto dos dados de teste utilizados na fase de previsão. Esta solução é
aplicável quando em presença de séries com um grande número de observações.
Critérios de Informação
Usando ideias da teoria da informação, o estatístico matemático japonês Akaike
descobriu, nos princípios da década de 1970, uma forma de medir a distância de
um modelo candidato ao “verdadeiro” modelo. De acordo com esta solução, o
melhor, ou o mais adequado, modelo ARMA(p,q) é aquele que minimiza o
critério AIC (Akaike’s Information Criterion) ou variantes tais como AICc (AIC
corrigido), BIC (Bayesian Information Criterion).
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
3.4 Métodos de estimação de parâmetros
Selecção das ordens/especificação do modelo (Escolha de p e q)
( ) 12 2
Critério
ˆ2 1
ˆ ˆ ln , com
N
i
i p
wN p q
AIC σ σ = ++ + += + =
∑
Critérios de Informação
AIC
131
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
( )
( )( )
12 2
2
2 1ˆ ˆ ln , com
2
Critério
1ˆ ln
1 2
Critério
i p
w w
w
N p qAIC
N N p q
N p qAICc
N p q
σ σ
σ
= ++ + += + =
− −
+ + += +
− + + −
AICc
BIC
( )21 ln
ˆ ln w
p q NBIC
Nσ
+ += +
3.5 Avaliação da qualidade estatística do modelo e da
qualidade do ajustamento (Análise da série residual)
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
A avaliação da contempla os tópicos:
1. mediante a realização
de ensaios/testes da :
qualidade estatística do modelo
Significância estatística dos parâmetros estimados
hipótese da nulidade
0 : 0
: 0
iH
H
β
β
=
≠
132
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
1
0
: 0
Em termos aproximados e para um nível de significância, , de 5% (0.05),
aceitando
iH
H H
β
α
≠
rejeitar ( )
( )
( )
ˆ
ˆ
1
, 1 / 2
ˆ
,0.975
se o valor absoluto da ,
ˆ ˆ0,
onde, para 0.05, 1.96 para graus de liberdade grande.
e
ii
i
i i
df
df
t
t ts s
t df N
s
φ
φ
α
φ
β β
α
−
−= = ≥
= ≈ ≈
estatística teste
( ),ˆˆ é o desvio padrão estimado do estimador do parâmetro ,
caso em que se considera o parâmetro significativo e deve manter-se no modelo.
i i iv β= ββββ
3.5 Avaliação da qualidade estatística do modelo e da
qualidade do ajustamento (Análise da série residual)
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
A avaliação da (continuação)
2. mediante o cálculo das raízes
dos polinómios autoregressivo ( ) e de média móvel (AR MA
qualidade estatística do modelo
Causalidade e Invertibilidade do modelo estimado
). Estas condições
podem ser consideradas na fase de estimação de parâmetros mediante a introdução
133
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
podem ser consideradas na fase de estimação de parâmetros mediante a introdução
de restrições no correspondente problema de optimização
( ).
U
Optimização Constrangida
m aspecto importante relaciona-se com as raízes do polinómio , em
especial com as (iguais a 1). Uma raiz, , unitária significa
que o operador autoregressivo (1- ) é idênti
i
i
AR
z
z B
raízes unitárias
co a (1- ) , sugerindo
que a série deve ser diferenciada.
B = ∇
3.5 Avaliação da qualidade estatística do modelo e da
qualidade do ajustamento (Análise da série residual)
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
A avaliação da (continuação)
3. , isto é, se os polinómios e partilham
factores (raízes) comuns. Por exemplo, o modelo (2,1) aju
AR MA
ARMA
qualidade estatística do modelo
Redundância entre estimativas
( ) ( )
stado
134
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
( ) ( )
( )( ) ( )
2 1-1.3 0.4 1 0.5
após factorização do polinómio
1 0.5 1 0.8 1 0.5 ,
é equivalente ao modelo (1)
t t
t t
B B X B w
AR
B B X B w
AR
+ = −
− − = −
( ) 1 0.8 .t tB X w− =
3.5 Avaliação da qualidade estatística do modelo e da
qualidade do ajustamento (Análise da série residual)
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
A avaliação da (continuação)
4. via análise da matriz de correlação
entre os estimadores dos parâmetros (matriz facilmente obtida da
qualidade estatística do modelo
Estabilidade do modelo estimado
correspondente matriz de covariância). Regra geral, estimadores altamente
135
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
correspondente matriz de covariância). Regra geral, estimadores altamente
correlacionados sugerem a má qualidade dos mesmos, pelo que, na medida
do possível, se devem procurar modelos alternativos.
3.5 Avaliação da qualidade estatística do modelo e da
qualidade do ajustamento (Análise da série residual)
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
A avaliação da de um modelo ajustado faz-se
através da análise dos correspondentes resíduos ( ). Se o modelo
linear ajustado for adequado, e à medida que o númer
qualidade do ajustamento
análise residual
{ }
( )1
o de observações aumenta,
ˆa sucessão dos resíduos, , simbolicamenteN
t tw
=
136
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
1
1
ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ , 1,2,..., , com 1 e
ˆ
ˆ ˆ ˆ1 , aproxima-se do processo estocástico estacioná
t t t p
q
Bw X B B X t N B B B
B
B B B
φθ φ φ φ φ
θ
θ θ θ
−= = = = − − −
= − − −
⋯
⋯ rio
.
Se a sucessão/série residual tem análogo a uma sucessão ruído branco,
pode admitir-se que o modelo estimado descreve bem a sucessão em estudo.
Para os testes de aleatorieda
comportamento
ruído branco
de (ruído branco) rever o . ponto 2.4
4. Previsão
1 2
: Uma série cronológica que foi observada até ao momento
, ( , , , );
: Prever o valor, , da série num momento futuro
, com 1,2,..., ( -Horizonte de previsão).
N
N h
p p
t N X X X
X
t N h h H H
+
= …
= + =
Dados
Problema
ˆ
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
137
Designando
( )
( )
|
| 1 2
ˆpor o preditor de com base em observações
até ao instante , tem-se
ˆ , , ,
.e.,o preditor é uma função . dos valores observados da série.
A escolha
N h N N h
N h N N
X X
N
X f X X X
i f
+ +
+ = …
( ){ }|
2
|
da função de previsão assenta na
ˆentre e , pelo critério do ( )
ˆ
N h N h N
N h N h N
X X EQM
X X
+ +
+ +−
qualidade da aproximação
medida erro quadrático médio
E
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
4. Previsão (continuação)
( )
1 2
O problema da procura do melhor preditor resume-se à determinação
da função . que minimiza esse erro (quadrático médio).
A solução do problema é dada no Teorema seguinte:
Seja , , , ,N h N N N
f
X X X X+ − −
Teorema
( )um conjunto de variáveis aleatórias e . umaf…
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
138
( )( ){ }( )
2
1 2
função tal que
, , ,... (1)
existe. Então o mínimo de (1) entre todas as funções . é dado por,
N h N N NX f X X X
f
+ − −−E
( ) { }1 2 1 2
|
, , ,... | , , ,... , (2)
ˆisto é, o , , de , em termos do
, é a da variável aleatória
N N N N h N N N
N h N N h
N h
f X X X X X X X
X X
X
− − + − −
+ +
+
=
melhor preditor erro quadrático
médio esperança condicional
E
{ }| 1 2ˆ | , , ,... .N h N N h N N NX X X X X+ + − −=E
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
4. Previsão
1 2
A aplicação do Teorema pressupõe que se conhece a
de , , , , . Como na maioria
das situações esta distribuição não é conhecida, a do
prob
N h N N NX X X X+ − − …
distribuição de
probabilidade conjunta
simplificação
1 2
lema de previsão restringe-se a preditores que são funções lineares
de , , ,N N N
X X X− − …
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
139
| 0 1 2 1 3 2
0
ˆ
e procuram-se os valores dos coeficientes/ponderadores ,
N h N N N NX a a X a X a X
a a
+ − −= + + + +⋯
1 2, ,
que minimizam o erro quadrático médio ( ).
a
EQM
⋯
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
1X
X
3X
1NX −
NX
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
4. PrevisãoO problema (esquematização)
140
Tempo t
1 3 N2 ... ... N+mN-1
2X
|ˆ ?N h NX +
Passado Futuro
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
1X
2X
3X
1NX −
NX
ˆ ?X
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
4. PrevisãoO problema (esquematização)
141Tempo t
1 3 N2 ... ... N+hN-1
2
| ˆ ?N h NX +
Passado Futuro
h
N+h-2
N+h-1 N+h-3
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
1X
X
3X
1NX −
NX
ˆ
( )Na
( )1Na −
( )2Na −
( )2a
( )1a
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
4. Previsão
{ }1
Associação de ponderadores, , aos valores observados da sérieN
i ia
=
142
Tempo t
1 3 N2 ... ... N+hN-1
2X
|ˆ ?N h NX +
Passado Futuro
h
N+h-2
N+h-1 N+h-3
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
ˆN
= +∑
Previsor (preditor) linear
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
4. Previsão
143
| 0 1
1
ˆN
N h N i N i
i
X a a X+ + −=
= +∑
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
4. Previsão
{ } { }( )
( 2ª )
0
t t
t t
X Y
Y X
µ
µ
µ
= +
= ⇒ =
Processo Estocático Estacionário até ordem de Média conhecida
E E
{ } ( )( ){ }( )
,
(Função de autocovariância para desfasamento )
t k t t k tY Y X X
c t k t
c k
µ µ+ += − − =
= +
=
E E
144
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
(Função de autocovariância para desfasamento )kc k=
Previsor lin
| 0 1
1
| |
ˆ
ˆ
N
N h N i N i
i
N h N N h N h N
X a a X
w X X
+ + −=
+ + +
= +
= −
∑
ear
Erro de Previsão
{ }
{ } { }
| 0 1
1
0 1
1
ˆ 0 0
0
N
N h N h N N h i N i
i
N
N h i N i
i
X X X a a X
X a a X
+ + + + −=
+ + −=
− = ⇒ − − =
⇒ − − =
∑
∑
1- Condição de não enviesamento (Esperança do erro igual a 0)
E E
E E
0N
a aµ µ⇒ − − =∑
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
4. Previsão
145
0
1
0
1
0
1
i
i
N
i
i
a a
a a
µ µ
µ
=
=
⇒ − − =
⇒ = −
∑
∑
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
{ }
( ){ }
( )
2
01
22
2
0 | 0 1
1
2
1
1 1 1
:
ˆ
1
N
i i
N
N h N h N N h i N i
i
N N N
N h i i N i N h i
i i i
a
X X X a a X
X a a X X a
σ
σ
µ µ
=
+ + + + −=
+ + − += = =
= − ⇒ − − ⇒
− − − ⇒ − −
∑
∑ ∑
2 - Variância do erro de previsão como função dos ponderadores
E E
E E ( )2
1
2
N iX µ+ −
− ⇒
∑
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
4. Previsão
146
( ) ( ) ( ) ( )
( ){ } ( )( ){ }
( )( ){ }
2
2
1 1
1 1
2
1
1
1 1
1 1
0
1
2
2
2
N N
N h N h i N i i N i
i i
N
N h i N i N h
i
N N
i j N i N j
i j
N
i N h
i
X X a X a X
X a X X
a a X X
c a c
µ µ µ µ
µ µ µ
µ µ
+ + + − + −= =
+ + − +=
+ − + −= =
+ −=
− − − − + − ⇒
− − − − +
+ − − ⇒
−
∑ ∑
∑
∑∑
∑
E
E E
E
( 1 ) 1 ( 1 ) 0 1
1 1 1 1 1
2
0 0 1
1 1 1
2
2
N N N N N
N i i j N j N i i h i i j i j
i j i i j
N N N
i h i i j i j
i i j
a a c c a c a a c
c a c a a cσ
+ − + − − + − + − −= = = = =
+ − −= = =
+ ⇒ − + ⇒
= − +
∑∑ ∑ ∑∑
∑ ∑∑
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
| 0 1
1
( 2ª )
ˆ
N
N h N i N i
i
X a a X
µ
+ + −=
= +∑
Processo Estocático Estacionário até ordem de Média conhecida
Previsor linear
Erro de Previsão
| |ˆ N h N N h N h Nw X X+ + += −
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
4. Previsão (Resumo)
147
{ } { }
| |
| | 0
1
0
ˆ 0 1
N h N N h N h N
N
N h N N h N h N i
i
w X X
w X X a aµ
σ
+ + +
+ + +=
= −
= − = ⇒ = −
∑
1 - Condição de não enviesamento (Esperança do erro igual a )
2 - Variância do erro de previsão,
E E
{ }( ){ }
1
2
0
22
0 | 0 1
1 1 1
2
0
2.1 Notação 1
ˆ min. 2
2.2 Notação 2 (matricial - vectorial)
min.
Ni i
N N N
N h N h N i h i i j i ja
i i j
X X c a c a a c
c
σ
σ
=
+ + + − −= = =
−
= − = − +
−
=
∑ ∑∑
, mínima
Na
E
0 2− +T T
N N N N Na c a C a
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
2
0 0 1
1 1 1
2
0 0
2
2 ,
N N N
i h i i j i j
i i j
Variancia do erro de previsao
c a c a a c
Notação matricial vectorial
c
σ
σ
+ − −= = =
= − +
−
= − +
∑ ∑∑
T T
N N N N Na c a C a
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
4. Previsão
148
( ) ( )
0 0
1
2 1
1 2
11 1
2 ,
com
; ;
h
h
N h N
N h NN N
c
a c
a c
a c
a c
σ
+
− + −
+ −× ×
= − +
= =
⋮
N N N N N
N N
a c a C a
a c
( )
0 1 2 1
1 0 3 2
2 3 0 1
1 2 1 0
;
é uma matriz de Toeplitz, simétrica e definida positiva
N N
N N
N N
N N N N
c c c c
c c c c
c c c c
c c c c
− −
− −
− −
− − ×
=
⋯
⋯
⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮
⋯
⋯
N
N
C
C
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
( )
( )
2
0
2
0 0
Determinar vector de ponderadores que minimiza variância do erro de previsão
2
Condiçõ
c
σ
σ = − +
Minimização da variância do erro de previsão
*
N N
T T
N N N N N N
a a
a a c a C a
( )2 *
es necessárias e suficientes de optimalidade
σ∇ = ⇒ − = ⇒0 0*a C a c
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
4. Previsão
149
( )0
-1
(Resolução por algoritmo especializado de Durbin-Levinson)
σ∇ = ⇒ − = ⇒
⇒ =
0 0
Na N N N N
*
N N N
*
N N N
a C a c
C a = c
a C c
( )( )
( )
2 2 *
0
2
0
2 -1 -1 -1 -1 -1
0 0 0
0
(Resolução simbólica)
é definida positiva
é minimizador global de
Valor optimal da variância do erro
2 2
c c
c
σ
σ
σ
∇ =
= − + = − +
= −
Na N N
*
N N
* T T T T
N N N N N N N N N N N N N N N
a C
a a
a c C c c C C C c c C c c C c
c -1
0c= −T T *
N N N N NC c c a
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
( )
( )*
Previsor linear optimal não enviesado
est inear nbiased redictor - BLUP
ˆN
X a Xµ µ= + −∑
B L U P
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
4. Previsão
150
( )*
| 1
1
ˆN h N i N i
i
X a Xµ µ+ + −=
= + −∑
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Exemplo 1:
Simular 100 observações de Xt = 0.9 Xt-1+ Zt. (AR (1))Estimar parâmetros e prever valores até 5 passos à frente
Exemplo 2:
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Séries TemporaisSéries Temporais
Uma IntroduçãoUma Introdução
4. Previsão
151
Exemplo 2:
Simular 100 observações de Xt = Zt − 0.7 Zt-1. (MA(1)).Estimar parâmetros e prever valores até 5 passos à frente.
Exemplo 3:
Simular 100 observações de Xt − .5 Xt-1 = Zt + .4 Zt-(ARMA(1,1))
Estimar parâmetros e prever valores até 5 passos à frente.
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
Est
atí
stic
a A
mb
ien
tal
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