Sia data una distribuzione volumetrica di cariche elettriche ) le cariche siano in moto entro il...

Sia data una distribuzione volumetrica di cariche elettriche )le cariche siano in moto entro il volume in presenza di un campo elettrico ed uno magnetico ai valori dei quali contribuiscono anch’esse

la potenza indica quanto rapidamente viene svolto il lavoro nel tempo ed e’ esprimibile come

dL F dlP

dt dt

F v dl

Fdt

Vettore di Poynting

Sia data una zona dello spazio sede di campi e.m. e i conduttori siano immersi in dielettrico omogeneo, isotropo e lineare

la forza esercitata dai campi sulle cariche e’ F qE qv B

la forza per unita’ di volume sara’F q q

E v BV V V

E v B

la potenza per unita’ di volume

F v

V

( )E v B v

E v

E J

dunqueP

W E JV

PW

V

sara’

1 E B

P

2 21 1

2 2( )t

E J E B

P

ossia 2 21 1

2 2( )t

E B E J

P

il cosiddetto vettore di Poynting

integrando sul volume racchiuso dalla superfice entro cui sono presenti i campi e.m

2 21 1

2 2( ) d d dt

E B E J

P

ed applicando a d dS

P PP il teorema della divergenza

e’ possibile dimostrare che

introducendo il vettore

2 21 1

2 2( ) d d dS

tE B E J

Psi ottiene

2 21 1

2 2( ) d d dS

ddt

E B E J

P

anche nel caso l’energia non cambi nel tempo il teorema conserva il suo valore:

una diminuzione di energia elettromagnetica all’interno di un volume e’ dovuta in parte all’energia spesa per mantenere le cariche in moto , ossia le correnti,

ossia

ma 2 2. .

1 1

2 2( ) e md UE B

teorema di Poynting o dell’ energia

Jouled PE J

e

. .e mJoule

dUP dS

dt

P

ed in parte all’energia che esce dalla superficie sotto forma di radiazione e.m.

l’origine del lavoro necessario a mantenere le cariche in moto, ossia a generare le correnti, e’ determinata da un flusso di energia e.m.

EMI w c P

media temporale della intensità della radiazione:

media temporale della potenza irradiata (che quindi fluisce attraverso una superficie chiusa, per es. una superficie sferica):

potenza che fluisce attraverso una superficie aperta dS:

d

dd

dche fluiscein S

U

t

S=P

ddU

dt

S P

( )E B B E E B

dall’eguaglianza :

( )E B B E E B

si ricava

Dimostrazione

E

tB J

1 E

tJ B

dall’equazione di Ampere Maxwell

1 ( ( )) E

tB E E BE J E

1 Et

E J E B E

quindi

ossia

dalla legge della induzione di Faraday

B

tE

1 1) ( ( )B E

t tB E BE J E

quindi

inoltre1

2( )

EE E

t tE

21

2

Et

21

2( )Et

e analogamente1

) ( B

tB

21

2( )t

B

2 21 1

2 2

1( ) ( )( ) Et t

E B BE J

dunque

2 21 1

2 2

1( )( )t

E B E B

1 E B

P

2 21 1

2 2( )E B

2 21 1

2 2( )t

E J E B

P

ossia 2 21 1

2 2( )t

E B E J

P

e’ la densita’ volumetrica di energia elettromagnetica

e’ il cosiddetto vettore di Poynting

integrando sul volume racchiuso dalla superfice entro cui sono presenti i campi e.m

2 21 1

2 2( ) d d dt

E B E J

P

ed applicando a d dS

P PP il teorema della divergenza

dunque

2 21 1

2 2( ) d d dS

tE B E J

Psi ottiene

2 21 1

2 2( ) d d dS

ddt

E B E J

P

anche nel caso l’energia non cambi nel tempo il teorema conserva il suo valore:

una diminuzione di energia elettromagnetica all’interno di un volume e’ dovuta in parte all’energia spesa per mantenere le correnti

ossia

ma 2 2. .

1 1

2 2( ) e md UE B

teorema di Poynting o dell’ energia

Jouled PE J

e

. .e mJoule

dUP dS

dt

P

ed in parte all’energia che esce dalla superficie sotto forma di radiazione e.m.

l’origine del lavoro necessario a mantenere le cariche in moto, ossia a generare le correnti, e’ determinata da un flusso di energia e.m.

se c’è flusso di energia l’energia che fluisce attraverso dS in dt

dd d cos d d d

d d

UU S t S t I

S t

P P P

il modulo del vettore di Poynting è uguale all’intensità della radiazione

la condizione è necessaria, ma non sufficientesalvo che per superfici chiusela condizione è necessaria, ma non sufficientesalvo che per superfici chiuse

vai all’esercizio

potenza

dS

P

quindi il modulo del vettore di Poynting ha le dimensioni di una densita’ di potenza ossia potenza per unita’ di superficie e si misura in Watt/m2

Ma queste sono anche le dimensioni dell’ intensita’ dell’onda

attenzione: il flusso di P attraverso dS indica che, se c’è flusso di energia, allora d dSU t P

EMI w c P

media temporale della intensità della radiazione:

media temporale della potenza irradiata (che quindi fluisce attraverso una superficie chiusa, per es. una superficie sferica):

potenza che fluisce attraverso una superficie aperta dS:

d

dd

dche fluiscein S

U

t

S=P

ddU

dt

S P

esercizio sul condensatore in carica