SISTEM DINAMIK KONTINU LINEAR - Kusumawinahyu Blog · Nilai Eigen dan Vektor Eigen Solusi Analitik...

Oleh:

1. Meirdania Fitri T

2. Siti Khairun Nisa

3. Grahani Ayu Deca F.

4. Fira Fitriah

5. Lisa Risfana Sari

SISTEM DINAMIK KONTINU LINEAR

Sistem Dinamik

D Sistem dinamik adalah sistem yang dapat diketahui kondisinya di masa yang akan datang jika diberikan kondisi pada masa sekarang atau pada masa yang lalu.

Sistem Dinamik

DISKRIT KONTINU

Persamaan Diferensial Biasa

Persamaan Beda

Sistem Dinamik Kontinu

SISTEM OTONOMUS

Sistem PDB dengan yang tidak bergantung secara eksplisit pada variabel bebas t .

SISTEM OTONOMUS

LINEAR

NON LINEAR

Solusi Analitik

Analisis Dinamik

Kurva Solusi

Medan Arah

Potret Fase

Analisis Dinamik pada Sistem Otonomus

Analisis dinamik berfungsi untuk mendapatkan informasi kualitatif mengenai solusi sistem tanpa harus menyelesaikan sistem terlebih dahulu.

Tahapan analisis dinamik

o Penentuan titik kesetimbangan/tetap

o Penentuan kestabilan titik kesetimbangan

Misalkan Titik disebut titik kesetimbangan/tetap apabila diperoleh nilai

Sistem Otonomus Linear 1 Dimensi

Solusi Analitik Masukkan masalah nilai awal

diperoleh

Solusi Analitik

t

x

t

x

Kurva Solusi

Sistem Otonomus 1D

Titik Tetap

Potret Fase

Sistem Otonomus 1D

suatu titik yang memenuhi

Maka pada SDK linear 1D titik yang memenuhi hanya pada

t

x

t

x

STABIL

TAK STABIL

Sistem Otonomus 1D

misalkan

t

Memanfaatkan nilai untuk mensketsa kurva solusi.

x

1

2

0

-1

-2

Analisa Medan Arah

Sistem Otonomus 1D

Memanfaatkan nilai untuk mensketsa kurva solusi.

misalkan

t

x

1

2

0

-1

-2

Analisa Medan Arah

Sistem Otonomus 1D

Memanfaatkan nilai untuk mensketsa potret fase.

STABIL

TAK STABIL

x

x

Sistem Otonomus Linear 2 Dimensi

Bentuk umum sistem autonomous linear 2 dimensi sebagai berikut:

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑝𝑥 + 𝑞𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 𝑟𝑥 + 𝑠𝑦,

𝐴 =𝑝 𝑞𝑟 𝑠 , det(𝐴) ≠ 0

𝑑𝑥

𝑑𝑡𝑑𝑦

𝑑𝑡

=𝑝 𝑞𝑟 𝑠

𝑥𝑦

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝐴𝑥

atau

1. Solusi Analitik

𝜆 1,2 =trace(𝐴) ± trace(𝐴) 2 − 4det(𝐴)

2

Akar Real Berbeda 𝜆1 ≠ 𝜆2

Akar Real Kembar 𝜆1 = 𝜆2

Akar Kompleks 𝜆 = α ± 𝑖𝛽

𝐴 − 𝜆𝐼 = 0

𝑝 𝑞𝑟 𝑠

− 𝜆1 00 1

= 0

𝑝 − 𝜆 𝑞𝑟 𝑠 − 𝜆

= 0

𝑝 − 𝜆 𝑠 − 𝜆 − 𝑞𝑟 = 0

𝜆2 − 𝑝 + 𝑠 𝜆 + 𝑝𝑠 − 𝑞𝑟 = 0

𝜆2 − trace(𝐴)𝜆 + det(𝐴) = 0

𝜆1 + 𝜆2 = trace(𝐴) 𝜆1𝜆2 = det(𝐴)

Oleh karena itu: 1. 𝜆1𝜆2 = det 𝐴 < 0

maka 𝜆1 dan 𝜆2 berbeda tanda

2. 𝜆1𝜆2 = det 𝐴 > 0 maka 𝜆1 dan 𝜆2bertanda sama

𝜆1 ⟶ 𝑣 1 𝜆2 ⟶ 𝑣 2

Solusi analitik untuk 𝜆1 ≠ 𝜆2: 𝑥(𝑡)𝑦(𝑡)

= 𝐶1𝑒𝜆1𝑡𝑣 1+𝐶2𝑒

𝜆2𝑡𝑣 2

2. Kurva Solusi

Kurva solusi dapat digambarkan dengan memperhatikan lim𝑡⟶∞

𝑥(𝑡)

dan lim𝑡⟶∞

𝑦 𝑡 .

3. Titik Tetap

Titik tetap 𝑥∗, 𝑦∗ adalah pasangan titik yang memenuhi 𝑑𝑥∗

𝑑𝑡= 0 dan

𝑑𝑦∗

𝑑𝑡= 0.

5. Medan Arah

4. Potret Fase

Medan arah disketsa dengan mencari nullcline, yaitu garis yang menyebabkan

Potret fase disketsa dengan memanfaatkan nilai eigen dan vektor eigen. Transformasi yang digunakan adalah sebagai berikut:

SISTEM OTONOMUS LINEAR 2 DIMENSI

DENGAN

AKAR PERSAMAAN KARAKTERISTIK

REAL BERBEDA

Contoh Potret fase:

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 2𝑥 + 𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 2𝑥 + 3𝑦

Jawab:

𝜆1 = 1 ⟶ 𝑣 1 =1

−1

𝜆2 = 4 ⟶ 𝑣 2 =12

Solusi analitik: 𝑥(𝑡)𝑦(𝑡)

= 𝐶1𝑒𝑡 1

−1+𝐶2𝑒

4𝑡 12

Titik tetap: 𝑥∗, 𝑦∗ = (0,0)

Kestabilan: (0,0) tak stabil

Medan arah:

Contoh

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑥 + 2𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 2𝑥 − 2𝑦

Jawab:

𝜆1 = −3 ⟶ 𝑣 1 =1

−2

𝜆2 = 2 ⟶ 𝑣 2 =21

Solusi analitik: 𝑥(𝑡)𝑦(𝑡)

= 𝐶1𝑒−3𝑡 1

−2+𝐶2𝑒

2𝑡 21

Titik tetap: 𝑥∗, 𝑦∗ = (0,0)

Kestabilan: (0,0) tak stabil pelana

Potret fase:

Medan arah:

SISTEM OTONOMUS LINEAR 2 DIMENSI

DENGAN

AKAR PERSAMAAN KARAKTERISTIK KOMPLEKS

Jika adalah solusi kompleks dari

Teorema 1

maka dan masing-masing

adalah solusi realnya.

Bukti:

dan diperoleh

Terbukti bahwa dan merupakan solusi.

Jika adalah solusi kompleks dari

Teorema 1

maka dan masing-masing

adalah solusi realnya.

Akibat 1

Solusi umum dari

adalah

Jika A memiliki nilai eigen kompleks dengan vektor eigen . Maka

Teorema 2

dan

adalah solusi real dari persamaan diferensial

Oleh karena itu, diperoleh solusi umum

Diketahui

Maka diperoleh solusi

Bukti:

Contoh 1

Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Solusi Analitik

Titik Tetap

Kestabilan stabil asimtotik (spiral masuk)

Potret Fase

Contoh 2

Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Solusi Analitik

Titik Tetap

Kestabilan tak stabil (spiral keluar)

Potret Fase

SISTEM OTONOMUS LINEAR 2 DIMENSI

DENGAN

AKAR PERSAMAAN KARAKTERISTIK

REAL KEMBAR

Penyelesaian dengan PDB:

3

3

dxx

dt

dyy

dt

• Contoh 1:

3

0

3

0

3

3

t

t

dxx x x e

dt

dyy y y e

dt

Nilai Eigen

Penyelesaian dengan Nilai Eigen dan Vektor Eigen

3 0

0 3

d xx

dt

1 0 3 0( )

0 1 0 3I A

det( ) 0I A

3 0

0 3

1 2

3 00

0 3

( 3)( 3) 0

3

diperoleh dua nilai eigen

yang sama yaitu 3

Vektor Eigen

Untuk , maka:

diperoleh:

3 Sehingga:

Jelas bahwa dan

merupakan vektor eigen.

3 3 0 0 0

0 3 3 0 0

1

2

v pv

v q

1 0

0 1p q

1

0

0

1

3 3

1 2

1 0( )

0 1

t tx t c e c e

Kurva Solusi

3

0

tx x e3

0

ty y e

t

x

t

y

Potret Fase

3

3

dxx

dt

dyy

dt

Kuadran I

Kuadran II

Kuadran III

Kuadran IV

Medan Arah

x

y

0, 0dx dy

dt dt

0, 0dx dy

dt dt

0, 0dx dy

dt dt

0, 0dx dy

dt dt

kanan

kanan bawah

bawah

atas

atas

kiri

kiri Kuadran IV

Contoh 2:

5

3

dxx y

dt

dyx y

dt

Agar menjadi solusi sistem PD

, haruslah memenuhi:

2 2( ) ( )tx t c e vt

d xAx

dt

( )v A I

Coba:

Andaikan solusi, maka:

Maka:

, jelas benar karena vektor eigen dan nilai eigen.

2 2( ) ( )tx t c e vt

2 ( )x t

22

( )( )

d x tAx t

dt

2 2 2( ) . ( )t t tc e vt c e v Ac e vt 2: tc e

( ) ( )vt v A vt

( ) ( ) 0t v Av I A v

v Av v

( )v A I

Kesimpulan

Solusi Analitik

Titik Kesetimbangan

Kestabilan titik kesetimbangan

1D

2D

1D

2D

1D Tidak Stabil

Stabil

Kestabilan titik kesetimbangan

Analisa medan arah Bidan fase terbagi menjadi beberapa daerah yang dipisahkan oleh nullklin

2D

TERIMA KASIH

Oleh:

1. Meirdania Fitri T (Slide 5-7)

2. Siti Khairun Nisa (Slide 18-24)

3. Grahani Ayu Deca F. (Slide 25-35)

4. Fira Fitriah (Slide 11-17)

5. Lisa Risfana Sari (Slide 1-4 dan 8-10)