SISTEMA DE COORDENADAS EN EL PLANO SUMA VECTORIAL POSICION VECTORIAL PRODUCTO ESCALAR PRODUCTO...

ANALISIS VECTORIALSISTEMA DE COORDENADAS EN EL PLANO

SUMA VECTORIAL

POSICION VECTORIAL

PRODUCTO ESCALAR

PRODUCTO VECTORIAL

DR. VICTOR HUGO CAIZA R.FISICA

RESTA VECTORIAL

VECTORES EN EL ESPACIO

x

y

SISTEMA DE COORDENADAS EN EL PLANO

RECTANGULARES POLARES GEOGRAFICAS

X

θ

r

N

S

EO

MENU PRINCIPAL

Ay)(Ax;A

)(A;A

Rumbo) (A;A

ϴ

VECTORDEFINICION FISICA.- vector es una magnitud vectorial que tiene modulo dirección y sentido y se representa con una letra mayúscula y en la parte superior una flechita.

DEFINICION GEOMETRICA.-

y

ϴ

x

DEFINICION MATEMATICA.-

)j Ay i (AxA

DESCOMPOSICION DE UN VECTOR EN EL PLANO

ϴ

CosA Ax

SenA Ay

222 AyAxA

Ax

Ay Tg

Ax

Ay

x

y

A

AxCos

A

AyCos

α

β

A

Componentes del vector

Modulo del vector

Angulo del vector

Cosenos Directores

A

FORMAS DE EXPRESAR UN VECTOR

EN FUNCIÓN DE SU MÓDULO Y ÁNGULO (POLARES)

EN FUNCIÓN DE SUS COORDENADAS RECTANGULARES

EN FUNCIÓN DE SUS VECTORES BASE

EN FUNCIÓN DE SUS COORDENADAS GEOGRAFICAS

EN FUNCIÓN DE SU MÓDULO Y UNITARIO

θ),(A A

Ay), (AxA

)j Ay i (AxA

Rumbo),(A A

AuA.A

EJERCICIO Nº 11)Expresar el vector . En:a) Coordenadas polares. b) Función de su vector base. c) Coordenadas geográficas. d) Función de su módulo y unitario.

)º01,122;43,9(

º99,575

8

43,9)8()5(

);()

1

22

cmA

tg

cmA

AAa

)85() jiAb

)º01,32;43,9() ONcmAc

jicm

cmjiu

A

Au

jicmAd

A

A

85,053,043,9

)85(

)85,053,0(43,9)

cm)8;5(A

DATOSAx=-5cmAy= 8cm

57,99º

Expresar el vector en: a) Coordenadas geográficas. b) Coordenadas Rectangulares. c) Función de su vector base. d) Función de su módulo y unitario.

EJERCICIO Nº 2

)º30;12(

);()

ENcmA

RumboAAa

cmA

cmSencmAy

cmCoscmAx

AyAxAb

)39,10;6(

39,10º60.12

6º60.12

);()

cmjiA

jAyiAxAc

)39,106(

)()

)º60;12( cmA

DATOSA=12cmθ=60º

60º

N

S

EO

jicm

cmjiu

A

Au

jicmAd

A

A

865,05,012

)39,106(

)865,05,0(12)

EJERCICIO Nº 3Expresar el vector En: a) Coordenadas polares. b) Coordenadas Rectangulares c)Función de su vector base. d) Función de su módulo y unitario.

)º295;10(

);()

mA

AAa

)06,9;23,4(

);()

A

AyAxAb

)º25;10( ESmB

EJERCICIO Nº 4Expresar el vector En: a) Coordenadas polares. b) Función de su vector base. c) Coordenadas geográficas. d) Función de su módulo y unitario.

)º87,216;5(

);()

cmC

CCa

cmjiCb )34()

)º13,53;5() OScmCc

º87,216

º13,53

.)3;4( cmC

N

S

O

jicm

cmjiu

C

Cu

jicmCd

A

C

6,08,05

)34(

)6,08,0(5)

SUMA VECTORIAL

MÉTODO DEL PARALELOGRAMOy

x

)(5cm;330ºB

E)N40º(4cm;A

MÉTODO DEL POLIGONOy

x

)cmj0,56i(6,90R

)cmj2,50i(4,33B

)cmj3,06i(2,57A

MÉTODO ANALITICOBAR

)64º(6,92cm;4,R

R

RA

A B

B

),33º(6,92cm;85R

EJEMPLO 1

METODO PARALELOGRAMO METODO POLIGONO

METODO ANALITICO

)(4cm;120ºD

4)cm (3;C

)cmj7,46 i (R

)cmj3,46 i(-2D

)cmj4 i3 (C

)82,37º 7,53cm; (R

C

D

R

EJEMPLO 2

METODO PARALELOGRAMO METODO POLIGONO

METODO ANALITICO

MENU PRINCIPAL

E) 50º N (6m;C

1)m- (-5;B

)120º (8m;A

)mj9,79 i4,4- (R

)mj3,86i(4,60C

)mj- i5- (B

)mj6,93 i4- (A

)m114,20º (10,73m;R

A

B

C

R

R

BA

AB

C

ACTIVIDAD EN CLASE

CBA:REALIZAR

2)cm- (6;C

O)N15º(5cm;B

)20º (4cm;A

METODO PARALELOGRAMO

METODO ANALITICO

)cmj4,19 i8,47 (R

)cmj2 - i6 (C

)cmj4,82 i1,29- (B

)cmj1,37 i3,76 (A

)26,32º (9,45cm;R

A

B

C

R

PROBLEMADeterminar la resultante de las tres fuerzas que actúan sobre el perno de la figura. Solución: ( N.

F2=72N

F1=45N

25º

30º

MENU PRINCIPAL

) 55º (72N;F

)25º (45N;F

2

1

) j 78 i(82,08 R

) j58,98i(41,30F

)j19,02 i(40,78F

2

1

) 43,54º (113,23N; R

35º

F2=80N

RESTA VECTORIAL

METODO PARALELOGRAMO

EJEMPLO

METODO POLIGONO

METODO ANALITICO

MENU PRINCIPAL

)Kmj2,06i(10,5D

)Kmj6,06i(3,5B

)Kmj4 i7 (A

)120º (7Km;B

4)Km 7; (A

)B(-AB-A

)349º (10,70Km;D

A

B

D

B- D

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

jkAyikAxAk

)jAyik(AxAk

x

A

Dado el vector y el vector Hallar: a) b)

)(18kgf;71ºA

)kgfj6i(-14B

B2A3

B5A2

)kgf j63,06 i10,42- (B2A3

)kgf j12 i28- ( )j6 i2(-14B2

)kgfj51,06i(17,58)j17,02i3(5,86A3

)kgfj4,02i(81,72B5A2

x

A

EJEMPLO 1

PRODUCTO ESCALAR

MENU PRINCIPAL

x

y

BBB

BB

μμAA

μA.Cosθ.AA.B

B.ACosθ

Ay.ByAx.BxB.AAB.CosθB.A

B.A de proyeccion c)La .By A por formado angulo b)El .B.A producto a)El

Calcular E);N20º(18Km;B (12;9)Km;A

: vectoressiguientes los Dado

EJEMPLO

2226.11KmB.A

(9)(16,91) 12)(6,16)B.A

1)Km(6,16;16,9B )(18km;70ºB

12;9)Km (Aa)

(

33,13ºθ

0.837415Km.18Km226.11km

Cosθ

A.BB.A

b)Cos θ

2

)kmj11,80i(4.30A

)18

j16,91i6,16(,13º15km.Cos33A

uA.Cosθ.Ac)

B

B

BB

A

B

PRODUCTO VECTORIAL

MENU PRINCIPAL

y

x

z

ϴ

CBA

AB

C

kAy.Bx)Ax.BykByBx

AyAxBA

(

k A.B.SenθBA

MENU PRINCIPAL

EJEMPLO

vectores. dos los por ocomprendid angulo c)El

vectores dos los por formada area b)El

;BAa)

:Hallar )Km; j24 i(-18BO); 32º S (40Km;A :vectores los Dado

x

y

2

)92,33)(18()24)(20,21(2418

92,3320,21

(

kmk1119,36-BA

kkBA

kAy.Bx)Ax.BykByBx

AyAxBAa)

2

2

1119,36km

Area

k1119,36-Area

BA amoParalelogr b)Area

km

68,88º

(0,9328)Senθ 1

3040

1119,36-Sen

A.B

BAc)Sen

A

B

68,88º

VECTOR POSICION

MENU PRINCIPAL

Para definir la posición A que ocupa una partícula en movimiento en un tiempo t, elegimos un sistema de referencia fijo Oxy, trazamos el vector , que une el origen del sistema de referencia con el punto A.

TRAYECTORIA

jrirr yxA

Ar

VECTOR POSICION RELATIVA

MENU PRINCIPAL

Para definir la posición A que ocupa.

TRAYECTORIA

jrirr

jrirr

yxB

yxA

22

11

Ar

Br

A(x1,y1)

B(x2,y2)

BAA/B rrr

A(4, -5)

B(-8, 3)

x

y

MENU PRINCIPAL

j3i8r

j5i4r

B

A

EJEMPLO 1

ji

812

A/B

B

A

BAA/B

r

j3i8r-

j5i4r

rrr

42,14

)8(12 22

A/B

A/B

r

r

Sea A(4, -5) y B(-8,3)Determinar:a)La posicion de A con respecto a Bb) La distancia entre A y B.

Ar

Br

A/Br

Una Persona camina 550 m. hacia el este de un centro médico y luego 250m. Al S 30° E. Determinar: a) La posición final de la persona, b) La distancia de la persona al centro médico c) La dirección de la posición final.

) (250m;300ºr

)0º (550m;r

2

1

)mj216,51i(675r

m) j216,51-i(125r

)mj0 i(550r

f

2

1

m87,708fb)r

E 72,22º c)S

N

S

EO1r

2r

fr

EJEMPLO 1

) ES30º(250m;r

E) (550m;r

2

1

N

S

EO

La Pieza dental Nº 21 esta a 35mm ; N27ºO. De la pieza nº 27 y la pieza dental Nº 14 esta a 26mm ; S48ºO. de la pieza dental Nº21. DeterminarLa posición vectorial de la pieza dental Nº 14 con respecto a la Nº 27

EJEMPLO 2

Nº 21 A(35mm ; N27ºO) de la nº 27 Nº 14 B(26mm ; S48ºO) de la nº21.Determinar la posición vectorial de la Nº 14 con respecto a la Nº 27

N

S

EO 27

21

14

jir

81,1320,352114

Un Turista sale del Hotel donde se hospeda, camina 100 m. hacia el este y 75m. N20ºE. Seguidamente sale el guía 50m. Al N 60ºO y 200m N 50° E. Determinar la distancia del Guía al Turista.

ACTIVIDAD EN CLASE

)48,7070,25( ji

) EN20º(75m;r

)j0i(100E) (100m;r

T2

T1N

S

E

O

T1r

T2r

G1r

G2r

) EN50º(200m;r

O)N60º (50m;r

G2

G1

G2G1G rrr

Sol. 84,57m

ji

48,7070,125

T

T2T1T

r

rrr

G2G1G rrr

GTT/G rrr

Dados los puntos A (1, 4); B (-5, 2) y C (-4, -3), determinar: a) Los vectores posición de cada punto, b) El perímetro del triángulo ABC, c) El área del triangulo. d)Los ángulos del triángulo ABC.

A

B

C

j2i5r

j4ir

B

A

Ar

Br

A/Br

ji

26

A/B

B

A

BAA/B

r

j2i5r-

j4ir

rrr

33,6

26 22

A/B

A/B

r

r

1.- Determinar la resultante de las dos fuerzas que actúan sobre el perno A

F1=55 N

F2=40 N

35º

30º ) 35º (40N;F

)65º (55N;F

2

1

Un avión recorre 2500km. hacia el Oeste de su base y luego 1500km. al N 30° O. Determinar: a) La posición final del avión, b) La distancia del avión a la base c) La dirección de la posición final.

O1r

2r

fr

O)N68,21º(3500km;r

)8,21º(3500km;15r

9,04)km(-3250;129r

f

f

f

base la de Oc)N68,21º

b)3500km