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192 SOLUCIONARIO
G
rupo
Edi
toria
l Bru
o, S
.L.
6 Inecuaciones y siste-mas de inecuaciones
1. Inecuaciones de 1er grado
Escribe todos los nmeros enteros que verifiquen a la vez: 5 < x 6
Solucin: 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
P I E N S A Y C A L C U L A
Cambia mentalmente de signo las siguientesinecuaciones:
a) 2x 7 b) 3x > 4
Multiplica o divide mentalmente las siguientesinecuaciones por el nmero que se indica:
a) x/2 < 5 Multiplica por 2b) 3x 6 Divide entre 3
Resuelve las siguientes inecuaciones y haz la inter-pretacin grfica:
a) 3x + 3 > 5x 3 b) x + 1
( @, 3) = {x , x < 3}
Interpretacin grfica:
Son los valores de x para los que:
f(x) = x 3 es negativa.
b) 3(x + 1) x 23x + 3 x 23x x 2 32x 5x 5/2[ 5/2, + @) = {x , x 5/2}
Solucin:
a) 3x 5x > 3 3
2x > 6
x < 3
x 23
3
Solucin:
a) x > 10
b) x 2
2
Solucin:
a) 2x 7b) 3x < 4
1
A P L I C A L A T E O R A
f(x) = x 3X
Y
0 1
3
0 1
5/2
TEMA 6. INECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES 193
G
rupo
Edi
toria
l Bru
o, S
.L.
Resuelve la siguiente inecuacin: |x 1| 3
Resuelve la siguiente inecuacin y haz la interpre-tacin grfica:
+
Resuelve el siguiente sistema:
x 4 0x + 1 > 0 }
Resuelve el siguiente sistema:
x + 3 02x 5 0 }
Resuelve la siguiente inecuacin: |x + 2| > 1
Solucin:
Es el exterior del entorno de centro 2 y radio 1, esdecir, dos intervalos. No contiene a los extremos:
( @, 3) ( 1, + @)
8
Solucin:
x 3, x 5/2[ 3, 5/2] = {x , 3 x 5/2}
7
Solucin:
x 4, x > 1( 1, 4] = {x , 1 < x 4}
6
Interpretacin grfica:
Son los valores de x para los que:
f(x) = x 2 es positiva o nula.
Solucin:
x 3 x 5 4x 3 + 4 6 20
m.c.m.(4, 6, 20) = 60
15(x 3) 10(x 5) + 3(4x 3)15x 45 10x 50 + 12x 915x 10x 12x 50 9 + 45 7x 14x 2[2, + @) = {x , x 2}
4x 320
x 56
x 34
5
Solucin:Es el entorno cerrado de centro 1 y radio 3, E(1, 3), esdecir, el intervalo cerrado:
[ 2, 4] = {x , 2 x 4}
4
Interpretacin grfica:
Son los valores de x para los que:
f(x) = x + 5/2 es positiva.
f(x) = x + 5/2
X
Y
+f(x) = x 2
X
Y
+
0 1
2 4
0 1
1 4
0 1
3 5/2
0 1
1 3
0 1
2
194 SOLUCIONARIO
G
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o, S
.L.
2. Inecuaciones polinmicas y racionales
Halla el intervalo donde es positiva la funcin representada en el margen.
Solucin:( 2, 2) = {x , 2 < x < 2}
P I E N S A Y C A L C U L A
Resuelve la siguiente inecuacin y haz su interpre-tacin grfica:
4 x2 0
Resuelve la siguiente inecuacin y haz su interpre-tacin grfica:
0
Resuelve la siguiente inecuacin y haz su interpre-tacin grfica:
x2 + 2x 3 > 0
Solucin:( @, 3) (1, + @)
Interpretacin grfica:
Es el intervalo donde la parbola:
y = x2 + 2x 3 es positiva.
11
x 5y = es negativa o nula.3 x
Solucin:( @, 3) [5, + @)
Interpretacin grfica:
Es el intervalo donde la hiprbola:
x 53 x
10
Solucin:[ 2, 2] = {x , 2 x 2}
Interpretacin grfica:
Es el intervalo donde la parbola:
y = 4 x2 es positiva o cero.
9
A P L I C A L A T E O R A
X
Y
B(2, 0)
y = 4 x2
A(2, 0)
+
0 1
2 2
0 1
2 2
f(x) = 4 x2
A(2, 0)B(2, 0)
X
Y
+
f(x) = 12x 3
y = 1
x = 3
X
Y
f(x) = x2 + 2x 3
A(1, 0)B(3, 0)
X
Y
+ +
0 1
53
0 1
3 1
TEMA 6. INECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES 195
G
rupo
Edi
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o, S
.L.
3. Inecuaciones lineales con dos variables
Resuelve la siguiente inecuacin:
2x + y 4Resuelve la siguiente inecuacin:
x > 3
Solucin:
14
Solucin:
13
A P L I C A L A T E O R A
Representa en unos ejes de coordenadas todos los puntos del plano en los que la abscisa, x, sea mayor o igualque la ordenada, y
Solucin:
P I E N S A Y C A L C U L A
Resuelve la siguiente inecuacin y haz su interpre-tacin grfica:
0
x + 3y = es negativa o nula.x 1
Solucin:[ 3, 1) = {x , 3 x < 1}
Interpretacin grfica:
Es el intervalo donde la hiprbola:
x + 3x 1
12
x = 1
y = 1X
Y
f(x) = + 14x 1
A(2, 0)
2x + y 4
B(0, 4)2x + y = 4
X
Y
y = x
x y
X
Y
x = 3
x > 3
X
Y
0 1
3 1
196 SOLUCIONARIO
G
rupo
Edi
toria
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o, S
.L.
Resuelve la siguiente inecuacin:
x + y 2
Resuelve la siguiente inecuacin:
x 2y < 4
Escribe la inecuacin correspondiente a la zonarellena de cada una de las siguientes figuras:
Solucin:
a) x 3b) x + y 4
17
Solucin:
16
Solucin:
15
X
Ya)
X
Yb)
A(2, 0)
x + y 2x + y = 2
B(0, 2) X
Y
A(4, 0)
x 2y = 4
x 2y < 4
B(0, 2)
X
Y
4. Sistemas de inecuaciones lineales con dos variables
Observando la representacin grfica de la parte derecha, escribe las coordenadasenteras de todos los puntos que verifiquen al mismo tiempo que x > 2, y > 2, x < 5,y < 5
Solucin:A(3, 3); B(3, 4); C(4, 3) y D(4, 4)
P I E N S A Y C A L C U L A
X
Yy = 5
y = 2
x = 2 x = 5
TEMA 6. INECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES 197
G
rupo
Edi
toria
l Bru
o, S
.L.
Resuelve mentalmente el siguiente sistema deinecuaciones:
x 0y 0 }
Resuelve mentalmente el siguiente sistema deinecuaciones:
y 3y 2 }
Resuelve mentalmente el siguiente sistema deinecuaciones:
x + y > 2
x + y < 5 }
Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones:
x + 4y < 163x 2y < 6 }
Escribe el sistema de inecuaciones correspondien-te a la zona coloreada de cada una de las siguien-tes figuras:
Solucin:a) x 0
y 0 }b) x 0
y 0x + y 5 }
22
Solucin:
21
Solucin:
20
Solucin:
19
Solucin:
18
A P L I C A L A T E O R A
y = 0
x = 0x 0y 0}
X
Y
3x 2y = 6
x + 4y = 16
x + 4y < 163x 2y < 6} X
Y
X
x + y = 2
x + y = 5
x + y > 2x + y < 5} X
Y
X
Ya)
X
Yb)
198 SOLUCIONARIO
G
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toria
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.L.
Ejercicios y problemas
1. Inecuaciones de 1er grado
Cambia mentalmente de signo las siguientesinecuaciones:
a) 3x 2 b) 2x > 5
Multiplica o divide mentalmente las siguientesinecuaciones por el nmero que se indica:
a) x/3 < 1 Multiplica por 3b) 2x 6 Divide entre 2
Resuelve las siguientes inecuaciones y haz la interpre-tacin grfica:
3x 3 2x 1
5x 4 < 3x 1
2x 3(x + 2) 2(x 1) 1
x 2(x 1) > 10 2(x + 3)
Solucin:
x 2x + 2 > 10 2x 6
x 2x + 2x > 10 6 2
x > 2
28
Solucin:
2x 3x 6 2x 2 12x 3x 2x 2 1 + 6 3x 3x 1[ 1, + @) = {x , x 1}
Interpretacin grfica:
Son los valores de x para los que:
f(x) = x + 1 es positiva o nula.
27
( @, 3/2) = {x , x < 3/2}
Interpretacin grfica:
Son los valores de x para los que:
f(x) = x 3/2 es negativa.
Solucin:
5x 3x < 1 + 4
2x < 3
x < 3/2
26
Solucin:3x 2x 1 + 3x 2[2, + @) = {x , x 2}
Interpretacin grfica:
Son los valores de x para los que:
f(x) = x 2 es positiva.
25
Solucin:
a) x > 3 b) x 3
24
Solucin:
a) 3x 2 b) 2x < 5
23
0 1
2
f(x) = x 2
X
Y
+
f(x) = x 3/2
X
Y
f(x) = x + 1
X
Y
+
0 1
3/2
0 1
1
+
x + >
+ < + 1
+ 56
x12
2x + 12
4x + 13
32
Solucin:2x x + 2 3x + < + 13 6 2
m.c.m.(3, 6, 2) = 6
4x + x + 2 < 9x + 6
4x + x 9x < 6 2
4x < 4
x > 1
Interpretacin grfica:
Son los valores de x para los que:
f(x) = x + 1 es positiva.
3x2
x + 26
2x3
31
x > 2
x < 2
Interpretacin grfica:
Son los valores de x para los que:
f(x) = x 2 es negativa.
Solucin
x + 2 4xx + > 6 3
m.c.m.(6, 3) = 6
4x3
x + 26
30
Solucin:m.c.m.(2, 3, 5) = 30
6 + 45x 20x45x 20x 6x 6/25
Interpretacin grfica:
Son los valores de x para los que:
f(x) = x + 6/25 es negativa o nula.
2x3
3x2
15
29
(2, + @) = {x , x > 2}
Interpretacin grfica:
Son los valores de x para los que:
f(x) = x 2 es positiva.
TEMA 6. INECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES 199
G
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.L.
f(x) = x 2
X
Y
+
f(x) = x 2
X
Y
f(x) = x + 1
X
Y
+
f(x) = x + 6/25
X
Y
0 1
2
0 1
6/25
0 1
2
0 1
1
200 SOLUCIONARIO
G
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Ejercicios y problemas
+
|x 1| < 4
|x + 3| 2
|x + 1| > 3
|x 2| 1
Resuelve los siguientes sistemas:
x + 4 > 0
2x 3 1 }Solucin:
x > 4, x 2( 4, 2] = {x , 4 < x 2}
38
Solucin:
Es lo que queda fuera del entorno de centro 2 yradio 1, es decir, los intervalos:
( @, 1] [3, + @)
37
Solucin:
Es lo que queda fuera del entorno de centro 1 yradio 3, es decir, los intervalos:
( @, 4) (2, + @)
36
Solucin:
Es el entorno cerrado de centro 3 y radio 2,E( 3, 2), es decir, el intervalo cerrado:
[ 5, 1] = {x , 5 x 1}
35
Solucin:
Es el entorno abierto de centro 1 y radio 4, E(1, 4),es decir, el intervalo abierto:
( 3, 5) = {x , 3 < x < 5}
34
Solucin:
m.c.m.(2, 5, 15) = 30
15(x 1) 6(3x + 10) + 2(5x + 3)15 x 15 18x + 60 + 10x + 615 x 18x 10x 60 + 6 + 15 13x 81 x 81/13
Interpretacin grfica:
Son los valores de x para los que:
f(x) = x + 81/13 es positiva o nula.
5x + 315
3x + 105
x 12
33
Solucin:
m.c.m.(3, 2, 12, 6) = 12
4(4x + 1) 6(2x + 1) x + 1016x + 4 12x 6 x + 1016x 12x x 10 4 + 63x 12x 4
Interpretacin grfica:
Son los valores de x para los que:
f(x) = x 4 es negativa o nula.
f(x) = x 4 X
Y
f(x) = x + 81/13
X
Y
+
0 1
4
0 1
81/13
0 1
4 2
0 1
1 3
0 1
4 2
0 1
5 1
0 1
3 5
TEMA 6. INECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES 201
G
rupo
Edi
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l Bru
o, S
.L.
x 1 0x + 2 < 0 }
2. Inecuaciones polinmicas y racionales
Resuelve las siguientes inecuaciones y haz la interpre-tacin grfica:
x2 1 < 0
x2 + 6x 5 0
x2 6x + 8 < 0
2x2 + 3x 2 0
Solucin:[ 2, 1/2] = {x , 2 x 1/2}
Interpretacin grfica:
Es el intervalo donde la parbola:
f(x) = 2x2 + 3x 2 es negativa o nula.
43
Solucin:(2, 4) = {x , 2 < x < 4}
Interpretacin grfica:
Es el intervalo donde la parbola:
y = x2 6x + 8 es negativa.
42
Solucin:[1, 5] = {x , 1 x 5}
Interpretacin grfica:
Es el intervalo donde la parbola:
y = x2 + 6x 5 es positiva o nula.
41
Solucin:( 1, 1) = {x , 1 < x < 1}
Interpretacin grfica:
Es el intervalo donde la parbola:
f(x) = x2 1 es negativa.
40
Solucin:
x 1, x < 2No hay solucin; la interseccin de los dos es el con-junto vaco,
39
A(1, 0)B(1, 0)
X
Y
f(x) = x2 1
B(1, 0) A(5, 0)
f(x) = x2 + 6x 5
X
Y
+
B(2, 0)
X
Y
A(4, 0)
f(x) = x2 6x + 8
B(2, 0)
X
Y
A(1/2, 0)
f(x) = 2x2 + 3x 2
0 1
2 4
0 1
2 1/2
0 1
1 5
0 1
1 1
202 SOLUCIONARIO
G
rupo
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.L.
Ejercicios y problemas
x2 x
x2 + 5x + 4 < 0
x2 + x
0
< 0
Solucin:(0, 4) = {x , 0 < x < 4}
Interpretacin grfica:
Es el intervalo donde la hiprbola:
x 4y = es negativa.x
x 4x
48
Solucin:( @, 2] (3, + @)
Interpretacin grfica:
Es el intervalo donde la hiprbola:
x 2y = es positiva o nula.x 3
x 2x 3
47
Interpretacin grfica:
Es el intervalo donde la parbola:
15f(x) = x2 + x es positiva o nula.4
Solucin:( @, 5/2] [3/2, + @)
154
46
Solucin:( 4, 1) = {x , 4 < x < 1}
Interpretacin grfica:
Es el intervalo donde la parbola:
f(x) = x2 + 5x + 4 es negativa o nula.
45
Solucin:x2 x 0( @, 0] [1, + @)
Interpretacin grfica:
Es el intervalo donde la parbola:
f(x) = x2 x es positiva o nula.
44
O(0, 0) A(1, 0)
X
Y
f(x) = x2 x++
A(3/2, 0)
X
Y
f(x) = x2 + x 15/4
B(5/2, 0)
++
X
Y
f(x) = + 11x 3
y = 1
x = 3
++
A(1, 0)
X
Y
f(x) = x2 + 5x + 4
B(4, 0)
0 1
0 1
0 1
4 1
0 1
5/2 3/2
0 1
2 3
0 1
0 4
TEMA 6. INECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES 203
G
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.L.
3. Inecuaciones lineales con dos variablesResuelve las siguientes inecuaciones:
3x y 3
y < 4
x y 3
x + 3y < 6
Escribe la inecuacin correspondiente a la zonacoloreada de las siguientes figuras:
4. Sistemas de inecuaciones lineales condos variables
Resuelve mentalmente los siguientes sistemas deinecuaciones:
x 0y 0 }
x 2x 3 }55
Solucin
54
Solucin:
a) y 2b) x y 2
53
Solucin
52
Solucin
51
Solucin
50
Solucin
49
X
Ya)
X
Yb)
X
Y
f(x) = + 14x
y = 1
x = 0 X
Y
B(0, 2)
A(6, 0)
x + 3y = 6
x + 3y < 6
X
Y
B(0, 3)
A(1, 0)
3x y = 33x y 3
X
Y
y = 4
y < 4
y = 0
x = 0x 0y 0}
X
Y
X
Y
x y = 3
x y 3
204 SOLUCIONARIO
G
rupo
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l Bru
o, S
.L.
Ejercicios y problemas
x y 3x + y 5 }
Resuelve mentalmente el siguiente sistema deinecuaciones:
2x + 3y > 6
2x y < 6 }
Escribe el sistema de inecuaciones correspon-diente a la zona coloreada de cada una de lassiguientes figuras:
Solucin:
a) x 0 b) x 1y 0 } y 1
x + y 6}
58
Solucin
57
Solucin
56
Solucin
Resuelve las siguientes inecuaciones:
x 3(x 2) < 11 4x3(2x 1) > 2x + 6x + 1
Solucin:6x 3 > 2x + 6x + 1
6x 2x 6x > 1 + 3
2x > 4
x < 2
( @, 2) = {x , x < 2}
60
Solucin:x 3x + 6 < 11 4x
x 3x + 4x < 11 6
2x < 5
x < 5/2
( @, 5/2) = {x , x < 5/2}
59
Para ampliar
a) b)
X
Y
X
Y
x 2x 3}
X
Y
x = 3 x = 2
2x + 3y > 62x y < 6}
X
Y
2x y = 6
2x + 3y = 6
x y 3x + y 5}
X
Y
x y = 3
x + y = 5
0 1
5/20 1
2
TEMA 6. INECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES 205
G
rupo
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x2 5x + 4 0
x2 + 4x + 5 < 0
0
> 0
Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:
2x + 3 > 1
4x + 5 9 + 3x }
13x + 21 2 3(5x 7)x + 2(3x 5) > 6x 7 }
Resuelve grficamente la inecuacin:
3x + 4y 12
Solucin:
67
Solucin:
Primera ecuacin:
13x + 21 2 3(5x 7) 13x + 21 2 15x + 21 13x + 15x 2 + 21 212x 2x 1Segunda ecuacin:
x + 2(3x 5) > 6x 7
x + 6x 10 > 6x 7
x + 6x 6x > 7 + 10
x > 3
La solucin es el conjunto vaco, , ya que no haypuntos comunes a las soluciones de las dos ecuacio-nes que forman el sistema.
66
Solucin:Primera ecuacin:
2x + 3 > 1
2x > 2
x > 1
Segunda ecuacin:
4x + 5 9 + 3x4x 3x 9 5x 4La solucin es el intervalo:
( 1, 4] = {x , 1 < x 4}
65
Solucin:Raz del numerador: x = 1
Raz del denominador: x = 2
Para x = 0 1 que no es > 0( @, 1) (2, + @)
2x + 2x 2
64
Solucin:Raz del numerador: x = 1
Raz del denominador: x = 2
Para x = 0 3/2 que no es 0( 2, 1] = {x , 2 < x 1}
3x + 3x + 2
63
Solucin:La ecuacin:
x2 + 4x + 5 = 0
No tiene soluciones reales; por tanto, la solucin esel conjunto vaco, , o toda la recta real,Si se prueba un punto, x = 0, quedara:
5 < 0
Esto es falso, por tanto, la solucin es el conjuntovaco,
62
Solucin:( @, 1] [4, + @)
61
X
Y
3x + 4y 12
3x + 4y = 12
0 1
41
0 1
2 1
0 1
2 1
0 1
4 1
206 SOLUCIONARIO
G
rupo
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Ejercicios y problemas
2x y < 3
Observando las siguientes representaciones grfi-cas, escribe directamente las soluciones de lasinecuaciones correspondientes:
a) x2 0 b) x2 4x + 5 0
Resuelve grficamente el sistema de inecuaciones:
3x y 22x + y 2 }
x + y 5x y 3 }
Observando las siguientes representaciones grfi-cas, escribe directamente las soluciones de lasinecuaciones correspondientes:
a) 0 b) 0
Escribe el sistema de inecuaciones correspondien-te a la zona rellena de cada una de las siguientesfiguras:
Solucin:
a) x 1
}b) x 1
}x 5 x 3y 3 x + y 4y 5 x + y 6
73
Solucin:
a) ( @, 0) = {x , x < 0}b) ( @, 0) (0, + @)
1x2
1x
72
Solucin:
71
Solucin:
70
Solucin:
a) Es toda la recta real,
b) Es el conjunto vaco,
69
Solucin:
68
X
Y
X
Y
y = x2
y = x2 4x + 5
X
Y
X
Y
y = 1x
y = 1x2
a) b)
X
Y
X
Y
X
Y
2x y < 3
2x y = 3
X
Y
x y = 3
x + y = 5 x + y 5x y 3}
X
Y
3x y = 2
2x + y = 23x y 22x + y 2}
TEMA 6. INECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES 207
G
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l Bru
o, S
.L.
Dada la funcin f(x) = 2x 6, halla:
a) cundo vale cero.
b) cundo es positiva.
c) cundo es negativa.
d) Represntala para comprobarlo.
Dada la funcin f(x) = 1 x2, halla:
a) cundo vale cero.
b) cundo es positiva.
c) cundo es negativa.
d) Represntala para comprobarlo.
Dada la funcin f(x) = , halla:
a) cundo vale cero.
b) cundo es positiva.
c) cundo es negativa.
d) Represntala para comprobarlo.
2x
78
Solucin:a) 1 x2 = 0 x2 = 1
x2 = 1 x = 1b) ( 1, 1) = {x , 1< x < 1}
c) ( @, 1) (1, + @)
d) Representacin:
77
Solucin:
a) 2x 6 = 0 x 3 = 0 x = 3b) 2x 6 > 0 x > 3
c) 2x 6 < 0 x < 3
d) Representacin:
76
Problemas
X
Yf(x) = 2x 6
A(3, 0)
+
X
Y
f(x) = 1 x2
A(1, 0)B(1, 0)
+
El permetro de un tringulo equiltero es menoro igual que 18 m. Calcula cunto puede medir ellado.
Escribe el sistema de inecuaciones correspondien-te a la zona rellena de cada una de las siguientesfiguras:
Solucin:a) x 0 b) x y 2
y 0 } x y 2 }x + y 3
75
Solucin:
3x 18x 6 m
74 a) b)
X
Y
X
Y
0 1
3
0 1
3
0 1
1 1
0 1
1 1
208 SOLUCIONARIO
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Ejercicios y problemas
El permetro de un cuadrado es menor o igual que20 m. Calcula cunto puede medir el lado.
Un comerciante desea comprar frigorficos y lava-doras, que cuestan 500 y 400 , respectivamen-te. Si solo dispone de sitio para almacenar 50 elec-trodomsticos, y de 22 000 para invertir,representa en el plano el recinto de todas las posi-bles soluciones de la cantidad de frigorficos y lava-doras que puede comprar.
Un fabricante vende sillas y mesas. Para su fabrica-cin, necesita 2 h y 5 h, respectivamente, de trabajomanual y 1 h y 2 h para pintarlas. Si el fabricante nopuede sobrepasar las 200 horas de trabajo manual y90 horas de pintura, representa en el plano el recintode las posibles soluciones.
Para profundizar
Resuelve grficamente los sistemas de inecuaciones:
x 0
}y 0x + y 2x + y 5
82
Solucin:Sillas: x
Mesas: y
x 0
}y 02x + 5y 200x + 2y 90
81
Solucin:Frigorficos: x
Lavadoras: y
x 0
}y 0x + y 50500x + 400y 22 000
x 0
}y 0x + y 505x + 4y 220
80
Solucin:
4x 20x 5
79
Solucin:a) Nunca vale cero.
b) (0, + @) = {x , x > 0}
c) ( @, 0) = {x , x < 0}
d) Representacin:
X
Y
f(x) = 2x+
X
Y
10
10
20
30
40
50
60
20 30 40 50 60
x 0y 0x + y 505x + 4y 220
}
X
Y
20
20
40
60
80
100
120
40 60 80 100 120
x 0y 02x + 5y 200 x + 2y 90
}
0 1
0
0 1
0
TEMA 6. INECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES 209
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y 03x + 2y 63x + 4y 12 }
Dada la funcin f(x) = |x|, halla:
a) cundo vale cero.
b) cundo es positiva.
c) cundo es negativa.
d) Represntala para comprobarlo.
Dada la funcin f(x) = x2 + 2x 1, halla:
a) cundo vale cero.
b) cundo es positiva.
c) cundo es negativa.
d) Represntala para comprobarlo.
El rea de un cuadrado es menor o igual que 36 m2. Calcula cunto puede medir el lado.
Un agricultor puede sembrar en sus tierras, comomximo, 4 hectreas de trigo y 6 hectreas de cen-teno. La produccin de trigo, por cada hectreasembrada, es de 4 toneladas, mientras que la pro-duccin de centeno, tambin por hectrea sem-brada, es de 2 toneladas, pudiendo producir unmximo de 20 toneladas entre los dos cereales.Representa en el plano el recinto de las posiblessoluciones.
87
Solucin:x > 0x2 36 }(0, 6] = {x , 0 < x 6}
86
Solucin:a) x2 + 2x 1 = 0 x = 1, raz doble.b) Nunca es positiva, es decir, es el conjunto
vaco, c) ( @, 1) (1, + @) = {x , x ? 1}
d) Representacin:
85
Solucin:
a) |x| = 0 x = 0b) |x| > 0 siempre que x ? 0
c) |x| < 0 nunca, es decir, es el conjunto vaco, d) Representacin:
84
Solucin:
83
Solucin:
X
Y
x 0y 0x + y 2x + y 5
}y = 0
x = 0x + y = 5
x + y = 2
X
Y
y 03x + 2y 63x + 4y 12}
y = 0
3x + 4y = 12
3x + 2y = 6
X
Y
O(0, 0)
f(x) = |x|+
+
X
Y
f(x) = x2 + 2x 1
A(1, 0)
0 1
0
0 1
1
0 1
0 6
210 SOLUCIONARIO
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Ejercicios y problemas
El nmero de unidades de dos productos (A y B)que un comercio puede vender es, como mximo,igual a 100. Dispone de 60 unidades de productode tipo A y de 70 unidades de tipo B. Representaen el plano el recinto de las posibles soluciones.
Solucin:Unidades producto A: x
Unidades producto B: y
x 0
}y 0x 60y 70x + y 100
88Solucin:
Hectreas de trigo: xHectreas de centeno: y
x 0
}y 0x 4y 64x + 2y 20
x 0
}y 0x 4y 62x + y 10
X
Yx 0y 0x 4y 62x + y 10
}x = 4y = 6
2x + y = 10 X
Y x 0y 0x 60y 70x + y 100
}y = 70
120
100
80
60
40
20
20 40 60 80 100 120
x = 60
x + y = 100
TEMA 6. INECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES 211
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Aplica tus competencias
Una fbrica monta ordenadores e impresoras.Un ordenador necesita 2 h para su montaje, yuna impresora, 1 h. Diariamente dispone de 120 hde trabajo y de una capacidad de almacenaje de80 unidades. Si el ordenador y la impresora tie-nen las mismas dimensiones y, por lo tanto, ocu-pan el mismo espacio en el almacn, cuntosordenadores e impresoras se pueden montarcada da?
Los alumnos de un centro educativo pretendenvender dos tipos de lotes, A y B, para sufragar losgastos del viaje de estudios. Cada lote de tipo Aconsta de una caja de mantecadas y tres partici-paciones de lotera; cada lote del tipo B constade dos cajas de mantecadas y dos participaciones delotera. Por razones de almacenamiento, puedendisponer a lo sumo de 1 200 cajas de manteca-das. Los alumnos solo cuentan con 1 600 parti-cipaciones de lotera, y desean maximizar susbeneficios. Cuntos lotes pueden hacer de cadatipo?
Solucin:Unidades de lote A: x
Unidades de lote B: y
x 0 }y 0x + 2y 1 2003x + 2y 1 600
90
Solucin:Nmero de ordenadores: x
Nmero de impresoras: y
x 0 }y 02x + y 120x + y 80
89
X
Y
x 0y 02x + y 120x + y 80 }
120
100
80
60
40
20
20 40 60 80 100 120
x + y = 80
2x + y = 120
X
Yx 0y 0x + 2y 12003x + 2y 1600}
1200
1000
800
600
400
200
200 400 600 800 1000 1200
x + 2y = 1200
3x + 2y = 1600
212 SOLUCIONARIO
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Comprueba lo que sabes
Define qu es una inecuacin racional y pon unejemplo; no es necesario que la resuelvas.
Resuelve la siguiente inecuacin:
2x + 7 3(4x 1)
Resuelve la siguiente inecuacin:
x2 + 2x + 3 0
Resuelve la siguiente inecuacin:
0
Escribe el sistema de inecuaciones correspondien-te a la zona coloreada de cada una de las figurasdel margen:
Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones:
x + y 43x + y 6 }
Dada la funcin: f(x) = 4 x2, halla:
a) cundo vale cero.
b) cundo es positiva.
c) cundo es negativa.
d) Represntala para comprobarlo.
a) 4 x2 = 0 x2 = 4x2 = 4 x = 2
b) ( 2, 2) = {x , 2< x < 2}
7
Solucin:
6
Solucin:a) x 1 b) x 0 }x 4 } y 0x + y 4
5
Solucin:( @, 2] [2, + @)
x 2x + 2
4
Solucin:[ 1, 3] = {x , 1 x 3}
3
Solucin:2x + 7 12x 32x 12x 3 7 10x 10x 1[1, + @) = {x , x 1}
2
Solucin:Una inecuacin racional es una expresin de laforma:
P(x) < 0 P(x) y Q(x) son polinomiosQ(x)
donde el operador < puede ser: , > o Ejemplo
x + 1 0x 2
1
0 1
1
0 1
3 1
0 1
2 2
X
Ya)
X
Yb)
X
Y
x + y 43x + y 6 }
3x + y = 6
x + y = 4P(1, 3)
0 1
2 2
TEMA 6. INECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES 213
G
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Un pastelero produce dos tipos de bollos. El tipoA lleva 400 g de harina y 100 g de azcar, mien-tras que los del tipo B llevan 300 g de harina y200 g de azcar. Si el pastelero tiene para cada da30 kg de harina y 10 kg de azcar, cuntosbollos puede producir de cada tipo?
Solucin:x 0y 00,4x + 0,3y 300,1x + 0,2y 10
}x 0y 04x + 3y 300x + 2y 100
}8
c) ( @, 2) (2, + @)
d) Representacin:
X
Y
y = 4 x2
A(2, 0)B(2, 0)
+
X
Y
x 0y 04x + 3y 300x + 2y 100 }4x + 3y = 300
20
20 40 60 80 100 120
40
60
80
100
120
x + 2y = 100
0 1
2 2
214 SOLUCIONARIO
G
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Resuelve el sistema:
x 3 0x + 2 > 0 }
Resuelve la siguiente inecuacin y haz la repre-sentacin grfica correspondiente:
x2 2x 3 0
Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones:
x + 2y 42x + y 5 }
Halla mediante ensayo-acierto la inecuacincorrespondiente a la zona coloreada de la si-guiente figura:
Internet. Abre: www.editorial-bruno.es y eligeMatemticas, curso y tema.
95
Solucin:Resuelto en el libro del alumnado.
94
Solucin:Resuelto en el libro del alumnado.
93
Solucin:Resuelto en el libro del alumnado.
92
Solucin:Resuelto en el libro del alumnado.
91
Paso a paso
Linux/Windows
Resuelve la siguiente inecuacin:
x + 7 3x + 4
Resuelve la siguiente inecuacin y haz la repre-sentacin grfica correspondiente:
0
Resuelve la siguiente inecuacin: x + y 0
Solucin:
98
Solucin:x 1 x > 2Son los intervalos:
( @, 1] (2, + @)
x + 1x 2
97
Solucin:x 3/2Es el intervalo: [3/2, + @)
96
Practica
TEMA 6. INECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES 215
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Resuelve la siguiente inecuacin: x y 0
Resuelve la siguiente inecuacin: x + y 3
Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones:
y 2y 3 }
Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones:
x + y 2x y 0 }
Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones:
2x + 3y > 6
2x y < 6 }
Halla mediante ensayo-acierto cada uno de los sistemasde inecuaciones correspondientes a la zona colorea-da de cada una de las siguientes figuras:
Solucin:x y 2 }x y 2
105
Solucin:x 0y 0 }x + y 3
104
Solucin:
103
Solucin:
102
Solucin:
101
Solucin:
100
Solucin:
99
Windows Derive
Recommended