View
82
Download
3
Category
Preview:
Citation preview
13 1 Acep Hidayat,ST,MT Pusat Bahan Ajar dan eLearning http://www.mercubuana.ac.id
MODUL PERKULIAHAN
Analisa Struktur I
Modul Standar untuk digunakan dalam Perkuliahan di Universitas Mercu Buana
Fakultas Program Studi Tatap Muka Kode MK Disusun Oleh
TEKNIK PERECANAAN DAN DESAIN
Teknik Sipil 02 MK Acep Hidayat,ST,MT
Abstract
Kompetensi
Materi Analisa Struktur I berisikan konsep analisis deformasi struktur statis tertentu dan metode analisis struktur statis tak tentu sederhana.
Mahasiswa dapat memahami konsep deformasi struktur balok statis tertentu dengan metode integrasi dan Conjugate Beam dan menganalisis struktur statis tak tentu dengan metode Clapeyron dan Distribusi Momen/Cross.
13 2 Acep Hidayat,ST,MT Pusat Bahan Ajar dan eLearning http://www.mercubuana.ac.id
DEFORMASI LENTUR METODE INTEGRASI
2.1 Pendahuluan
Semua balok akan terdefleksi (atau melentur) dari kedudukannya apabila terbebani.
Dalam struktur bangunan, seperti : balok dan plat lantai tidak boleh melentur terlalu
berlebihan untuk mengurangi/meniadakan pengaruh psikologis (ketakutan) pemakainya.
Deformasi lentur adalah perubahan bentuk struktur yang disebabkan oleh momen
gaya dalam .Ada beberapa metode yang dapat dipergunakan untuk menyelesaikan
persoalan-persoalan defleksi pada balok. Dalam diktat ini hanya akan dibahas tiga metode,
yaitu metode integrasi ganda (doubel integrations), luas bidang momen (Momen Area
Method), dan metode luas bidang momen sebagai beban. Metode integrasi ganda sangat
cocok dipergunakan untuk mengetahui defleksi sepanjang bentang sekaligus. Sedangkan
metode luas bidang momen sangat cocok dipergunakan untuk mengetahui lendutan
dalam satu tempat saja. Asumsi yang dipergunakan untuk menyelesaiakan persoalan
tersebut adalah hanyalah defleksi yang diakibatkan oleh gaya-gaya yang bekerja tegak-
lurus terhadap sumbu balok, defleksi yang terjadi relative kecil dibandingkan dengan
panjang baloknya, dan irisan yang berbentuk bidang datar akan tetap berupa bidang
datar walaupun terdeformasi.
2.2 Penurunan Rumus
Pada waktu membahas tegangan lentur (modul 3) kita sudat mendapat hubungan :
M : Momen gaya dalam
R : Jari-jari kelengkungan
E : Elastisitas bahan
I : Momen Inersia penampang
Karena sangat kecil, maka AB
putaran sudut di B
13 3 Acep Hidayat,ST,MT Pusat Bahan Ajar dan eLearning http://www.mercubuana.ac.id
Pada = OC2 + CB =OB2
Mc
B
Karena yB sangat kecil dibanding 2R YB2 0
lendutan di B
Hubungan kelengkungan, putaran sudut, dan lendutan
Perjanjian tanda untuk kelengkungan, putaran sudut, dan lendutan adalah:
Bidang momen : MX+ Bidang momen : MX
+
Dari PQ :dx positif (x+) Dari PQ :dx positif (x+)
d negatif ; Mx+ d positif; Mx
-
Pers. Mx positif (serat bawah tarik) Pers. Mx negatif (serat bawah tekan)
13 4 Acep Hidayat,ST,MT Pusat Bahan Ajar dan eLearning http://www.mercubuana.ac.id
Maka didapat hubungan : = persamaan deferensial deformasi (PDD)
Persamaan ini bila di integrasi sekali (menjadi . ) akam menghasilkan persamaan putaran
sudut. Dan bila diintegrasi lagi (menjadi. y) akan menghasilkan persamaan lendutan. Jadi,
bila suatu elemen struktur dengan pembebanan tertentu mempunyai persamaan gaya dalam
(Mx), maka deformasinya (putaran sudut dan lendutan) dapat dihitung.
2.3 Contoh Soal
1.
sebuah balok kantilever dengan EI tertentu
mendapat gaya luar berupa momen pada ujungnya.
Hitung lendutan dan putaran sudut di titik B (
) !
jawab
Bila x kita mulai dari titik B, maka persamaan gaya
dalam momen pada penampang sejauh x dari B
menjadi :
Mx = -M
Persamaan diferensial deformasi :
Diintegrasi sekali menjadi
Diintegrasi sekali lagi menjadi
Untuk mendapatkan nilai konstanta integrasi C1 dan C2 diperlukan 2 persamaan dari hasil
menghitung harga deformasi yang diketahui (kondisi batas).
Pada struktur kantilever ini, harga lendutan yang sudah diketahui (kondisi/syarat batas)
adalah yA=0 dan A=0 (jepit). Maka :
Syarat batas (1) :
A =
0= M.l + C1 C1 = - Ml
13 5 Acep Hidayat,ST,MT Pusat Bahan Ajar dan eLearning http://www.mercubuana.ac.id
Syarat batas (2) : YA = 0x = l
Sehingga persamaan deformasinya menjadi :
Putaran sudut :
Lendutan :
Menghitung dan yB : titik B x = 0
2.
Hitung dan YA dari kantilever dengan pembebanan
seperti di samping ini!
Jawab :
X dari titik A
Mx = - P. X = - 3x
Persamaan diferensial deformasi :
Syarat batas (1) :
B =
Syarat batas (2) : YB = 0X3 = 4
13 6 Acep Hidayat,ST,MT Pusat Bahan Ajar dan eLearning http://www.mercubuana.ac.id
Persamaan deformasinya :
Putaran sudut :
Lendutan :
Periksa putaran sudut di B :
B =
Menghitung dan YA : x = 0
A =
3.
Hitung dan YB dari kantilever di bawah ini !
Jawab :
Ambil x dari kanan
Mx = - Rx.1/2x = - q . x .1/2 x = - qx2
Mx = - .2 .x2 = -x2
Persamaan diferensial deformasi:
Syarat batas:
SB (1): = 0 (jepit) x = 4
A =
13 7 Acep Hidayat,ST,MT Pusat Bahan Ajar dan eLearning http://www.mercubuana.ac.id
SB (2) : = yA = 0x = 4
0 = -64 + C2 C2 = +64
Persamaan deformasi :
Perhitungan deformasi :
4. Hitung dari balok sederhana dengan pembebanan seperti di bawah ini.
Jawab :
Reaksi perletakan :
MA = 0
+P.3 VB.5 = 0
+15 5 VB = 0 VB = +3t ()
V = 0
VA + VB P = 0
VA + 3 5 = 0 VA = 5 3 = 2t ()
13 8 Acep Hidayat,ST,MT Pusat Bahan Ajar dan eLearning http://www.mercubuana.ac.id
Persamaan bidang mmomen ( x dari kiri ) pada interval terakhir:
Mx = + VA. x P(x - 3) = + 2x 5(x 3)
Persamaan diferensial deformasi :
Syarat batas
SB (1) : yA = 0 x = 0
SB (2) : yB = 0 x = 5
Persamaan deformasi :
Putaran sudut :
Lendutan :
Perhitungan Deformasi :
13 9 Acep Hidayat,ST,MT Pusat Bahan Ajar dan eLearning http://www.mercubuana.ac.id
5. hitung putarannn sudut dan lendutan tengah bentang dari balok dengan pembebanan
seperti di bawah ini.
Jawab :
Reaksi Perletakan : VA = VB =
Persamaan bidang momen (x dari kiri) :
Mx = +VA . x Rx .1/2 x = +4x .qx2
Mx = +4x x2
Persamaan diferensial deformasi :
Syarat batas (SB) :
SB (1) : yA = 0 x = 0
0 = 0 0 + 0 + C2 C2 = 0
SB (2) : yB = 0 x = 4
13 10 Acep Hidayat,ST,MT Pusat Bahan Ajar dan eLearning http://www.mercubuana.ac.id
Persamaan deformasi :
Perhitungan deformasi :
Lendutan di tengah bentang
6. hitung putarannn sudut dan lendutan dari balok sederhana dengan
pembebanan seperti di bawah ini.
Jawab :
R = 5 . 2 = 10 t
Reaksi Perletakan : MA = 0
13 11 Acep Hidayat,ST,MT Pusat Bahan Ajar dan eLearning http://www.mercubuana.ac.id
+P . 1 VB . 4 + R . 4 = 0
4 4 + 45 = 0 VB = +
V = 0 VA + VB P R = 0
VA + - 4 10 = 0 VA = 14 - =
Persamaan bidang momen : (x diambil dari kiri)
Mx = VA . x P(x-1) q(x-2)2 + VB(x-4)
Mx = - 4(x-1) (x-2)2 + (x-4)
Persamaan diferensial deformasi :
- 4(x-1) (x-2)2 + (x-4)
Syarat batas (SB) :
SB (1) : yA = 0 x = 0
0 = C2
SB (2) : yB = 0 x = 4
Persamaan deformasi :
Periksa : yB = 0 ? x = 4
13 12 Acep Hidayat,ST,MT Pusat Bahan Ajar dan eLearning http://www.mercubuana.ac.id
Perhitungan deformasi :
yC = ? x = 7
yC = +
13 13 Acep Hidayat,ST,MT Pusat Bahan Ajar dan eLearning http://www.mercubuana.ac.id
Garis elastis/deformasinya adalah :
7. hitung putarannn sudut dan lendutan dari balok sederhana dengan pembebanan
seperti di bawah ini.
Penyelesaian :
Ambil x dari kiri :
Mx = Rx. 21 x = q. x.
21 x =
21 .q.x
2
Mx = 21 .3.x
2
= 23 x
2
Persamaan diferensial deformasi:
EI 22
dx
yd = - Mx = - ( 2
3 x2)
EI dx
dy = -
23 .
31 x
3 + C1
= - 13
21 Cx
EI y = -21 .
41 . x
4 + C1x + C2
EI y = -81 . x
4 + C1x + C2
Syarat batas:
1) A = 0 x = 0
EI dx
dyI A = - 1
3
21 Cx
= - 21 .0
3 + C1
13 14 Acep Hidayat,ST,MT Pusat Bahan Ajar dan eLearning http://www.mercubuana.ac.id
0 = C1
2) A = yA = 0 x = 0
EI yA = - 81 . x
4 + C1x + C2
= - 81 . 0
4 + 0 + C2
0 = C2
3) Persamaan deformasi:
EI dx
dy = - 3
21 x
EI y = -81 . x
4
4) Perhitungan deformasi:
1) B = ? x = 4
EI dx
dyI B = -
2
1 x
3
= -2
1 4
3
EI B = - 32
B = -EI
32
EI yB = -8
1x
4
EI yB = -8
1.4
4
EI yB = - 32
yB = -EI
32
8. Hitung A, B, yc dari balok sederhana dengan pembebanan seperti di bawah ini!
13 15 Acep Hidayat,ST,MT Pusat Bahan Ajar dan eLearning http://www.mercubuana.ac.id
Penyelesaian:
Reaksi perletakan:
MB = 0
- (P. 2) (VA . 5) = 0
- (5.2) 5VA = 0
VA = 5
10
VA = 2 t ( )
V = 0
VA + VB - P = 0
2 + VB 5 = 0
VB = 3 t ( )
Persamaan bidang momen ( x dari kanan) pada interval terakhir:
Mx = VB. x P (x 2)
= 3x 5 ( x 2)
Persamaan diferensial deformasi:
- EI 2
2
dx
yd = Mx
- EI 2
2
dx
yd = 3x 5 (x 2)
- EI dx
dy = 3.
2
1x
2 + 5.
2
1(x - 2)
2 + C1 =
2
3x
2 +
2
5(x - 2)
2 + C1
- EI y = 2
3.3
1x
3 -
2
5.3
1(x 2)2 + C1x + C2
Syarat batas (SB):
1) yB = 0 x = 0
- EI yB = 2
1x
3 -
6
5 (x 2)2 + C1x + C2
13 16 Acep Hidayat,ST,MT Pusat Bahan Ajar dan eLearning http://www.mercubuana.ac.id
- EI yB = 2
10
3 -
6
5(0 2)2 + C1.0 + C2
C2 = 0
2) yA = 0 x = 5
- EI yA = 2
1x
3 -
6
5 (x 2)2 + C1x + C2
- EI yA = 2
15
3 -
6
5(5 2)2 + C1.5 + C2
- EI yA = 2
125-
3
45+ 5C1 + 0
5C1 = - 2
80
C1 = - 8
Persamaan deformasi:
Putaran sudut : - EI dx
dy =
2
3x
2 -
2
5(x - 2)
2 + C1
Lendutan : - EI y = 2
1x
3 -
6
5 (x 2)2 + C1x + C2
Perhitungan deformasi:
A = ? x = 5
- EI dx
dyI A =
2
3x
2 -
2
5(x - 2)
2 + C1
= 2
35
2 -
2
5(5 - 2)
2 8
= 2
75 -
2
45-
2
16=
2
14
- EI dx
dy = 7
A = -EI
7
B = ? x = 0
- EI dx
dyB =
2
3x
2 -
2
5(x - 2)
2 + C1
- EI dx
dyB =
2
30
2 -
2
5(0 - 2)
2 - C1
13 17 Acep Hidayat,ST,MT Pusat Bahan Ajar dan eLearning http://www.mercubuana.ac.id
- EIB = -8
B = EI
8
C = yc ? x = 2
- EI yc = 2
1x
3 -
6
5 (x 2)2 + C1x + C2
- EI yc = 2
12
3 -
6
5 (2 2)2 + C1.2 + C2
- EI yc = 2
8-
2
32
- EI yc = - 12
yc = EI
12
C = yc ? x = 2
- EI yc = 2
1x
3 -
6
5 (x 2)2 + C1x + C2
- EI yc = 2
12
3 -
6
5 (2 2)2 + C1.2 + C2
- EI yc = 2
8-
2
32
- EI yc = - 12
yc = EI
12
13 18 Acep Hidayat,ST,MT Pusat Bahan Ajar dan eLearning http://www.mercubuana.ac.id
DAFTAR PUSTAKA
1. Chu Kia Wang, Statically Indeterminate Structures, Mc Graw-Hill, Book
Company, Inc.
2. Kinney, J.S. Indeterminate Structural Analysis, Addison-Wesley
Publishing Co.
Recommended