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Statistik: 17.3.04
Konfidenzintervall und Testen für den Mittelwert und Anteile
17.3.04 PI Statistik, SS 2004 (8) 2
Schließende Statistik
oder Statistische Inferenz: Rückschluss aus den Ergebnissen einer Zufallsstichprobe auf die Grundgesamtheit oder ihre Parameter (, p, etc.)Das Schätzen von Parametern: für den unbekann-ten Wert eines Parameters (, p, etc.) ist zu bestimmen
ein numerischer Wert (Punktschätzer) oder ein Intervall, in dem der unbekannte Wert mit
vorgegebener Wahrscheinlichkeit enthalten ist (Konfidenzintervall)
Entscheidung zwischen Behauptungen (Hypothesen)
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Beispiel A: Abfüllmenge
Der unbekannte Mittelwert μ der Füllmenge soll geschätzt werdenStichprobe (n = 25): = 126.7, s = 0.5.
Punktschätzer für μ ist Konfidenzintervall für μ: ± c. Testen von H0: μ = 126.4 gegen H1: μ > 126.4
x
xx
17.3.04 PI Statistik, SS 2004 (8) 4
Beispiel B: Anteil der Berufstätigen unter Studierenden
Anteil θ ist unbekannt Stichprobe (n = 200) gibt Anteil von p = 32% Punktschätzer für θ ist p = 0.32 Konfidenzintervall p ± c Testen die Nullhypothese H0: θ = 0.20
gegen H1: µ > 0.20
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Stichprobenverteilungen
Wahrscheinlichkeitsverteilungen von und p sind Basis von statistischen EntscheidungsverfahrenZentraler Grenzwertsatz
x
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Stichprobenmittelwert
Grundgesamtheit: X mit (beliebiger) Verteilung, und . Stichprobenmittelwert :
Mittelwert von ist Standardabweichung (Standardfehler,
standard error) von ist StdAbw( ) = /n
Für nicht zu kleines n: ist näherungsweise normalverteilt
x
x
x
xx
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Konfidenzintervall für μ
Konfidenzintervall zur Konfidenzzahl γ
Mit γ = 0.95c = 2/n
genauer: c = 1.96 /n99.7%-iges KI: ± 3 /n90%-iges KI: ± 1.645 /n
: { }x c P x c x c
xx
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Beispiel A: Abfüllmenge
Stichprobe (n = 25): = 126.7, s = 0.5.Punktschätzer für μ ist = 126.795%-iges Konfidenzintervall für μ :
Einsetzen gibt
oder: 126.5 ≤ ≤ 126.9
xx
1.96 1.96s s
x xn n
0.5 0.5126.7 1.96 126.7 1.96
25 25
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Konfidenzintervall: Wahl von c
Näherungsweise gilt Wahl von c0 so, dass
oder
Aus
folgt
und das 0.975-Perzentil c0 = 1.96
, /X N n
0 0 0.95X
P c n c
0 0 0.95P X c X cn n
0 0 0 0( ) ( ) 0.95X
P c n c c c
0
1 0.95( ) 0.975 (1.96)
2c
17.3.04 PI Statistik, SS 2004 (8) 10
100%iges Konfidenzintervall für μ
Symmetrisches Intervall um so, dass 100% aller so konstruierten Intervalle das wahre enthalten
x
(1 ) / 2 (1 ) / 2 0.95P X z X zn n
0.90 1.645
0.95 1.96
0.99 2.58
(1 ) / 2z Wahl von z für gegebenes
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Wahl des Stichprobenumfanges
Halbe Länge c des Konfidenzintervalls hängt ab von n, und Bei Vorgabe von c und kann n berechnet werden:
n =(z(1+)/2σ/c)2
17.3.04 PI Statistik, SS 2004 (8) 12
Unbekanntes
Verwendung der t -Verteilung statt der standardisierten Normalverteilung
Student‘sche t -Verteilung: hat einen Parameter (n-1), die „Zahl der Freiheitsgrade“ tabelliert, in EXCEL: Funktionen TVERT, TINV symmetrisch, glockenförmig für wachsendes n der Normalverteilung immer
ähnlicher
1Xn t n
s
17.3.04 PI Statistik, SS 2004 (8) 13
p t(2) t(10) t(20) t(30)t(100
)N(0,1
)
0.952.92
01.81
21.72
51.69
71.66
01.645
0.975
4.303
2.228
2.086
2.042
1.984
1.96
0.995
9.925
3.169
2.845
2.750
2.626
2.58
t -Verteilung: Perzentilep-Quantile der t -Verteilung für wachsende Zahl der Freiheitsgrade und der Normalverteilung
17.3.04 PI Statistik, SS 2004 (8) 14
Test für μ
VerfahrenLege die Nullhypothese H0 (μ = μ0) und die Alternative H1 festWähle den maximal tolerierten p-Wert (probability value), d.i. die Wahrscheinlichkeit, den Fehler 1. Art zu begehen (das Signifikanzniveau, auch mit bezeichnet); z.B. 0.05Ziehe die Stichprobe, berechne Berechne den p-Wert Verwerfe H0, wenn der p -Wert kleiner als ist
x
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Beispiel A: Abfüllmenge
Nullhypothese H0: μ = 125g
Alternative H1: μ > 125g
Die Entscheidung soll für = 0.05 getroffen werdenStichprobe (n = 9): = 126.0, s = 1.5Wir verwerfen H0!
x
0126
126 1251 9 1 (2) 0.0228
1.5
p Wert P X H
17.3.04 PI Statistik, SS 2004 (8) 16
Testen von HypothesenMethode, auf Basis einer Zufallsstichprobe eine Entscheidung zwischen zwei Behauptungen (Vermutungen) zu treffenNullhypothese H0: ist jene Vermutung, über die entschieden werden soll (z.B. = 125)Alternativhypothese: eine konkurrierende Vermutung p -Wert: Wahrscheinlichkeit, den erhaltenen oder einen noch extremeren Wert für die Teststatistik zu erhalten, wenn H0 zutrifft; ein Maß für die Glaubwürdigkeit von H0
Fehlentscheidungen: Fehler 1. Art (-Fehler): richtige H0 wird nicht akzeptiert; der
p -Wert ist die Wahrscheinlichkeit, diesen Fehler zu begehen Fehler 2. Art: zutreffende Alternativhypothese wird nicht
akzeptiertSignifikanzniveau : maximal tolerierter p -Wert
17.3.04 PI Statistik, SS 2004 (8) 17
Wahl der Alternativhypothese
Das, was ich „beweisen“ möchteBeispiel: Abfüllmenge; H0: =125g Konsumentenschützer möchte erkennen,
wenn <125g; er möchte ziemlich sicher sein, dass er
recht hat, wenn er „<125g“behauptet Test mit Signifikanzniveau =0.05: er irrt
höchstens in 5 von 100 Entscheidungen Analog: Produzent möchte erkennen, wenn
>125g oder wenn ≠125g
17.3.04 PI Statistik, SS 2004 (8) 18
Inferenz bei Anteilen
Schätzwert für Anteil aus Stichprobe (Umfang n): relative Häufigkeit pn
Stichprobenverteilung von pn (Zentraler Grenzwert-satz):
mit
Faustregel für „großes n'': n > 5, n (1-) > 5
2( , )n pp N
(1 )p n
17.3.04 PI Statistik, SS 2004 (8) 19
100%iges Konfidenzintervall für
Symmetrisches Intervall um pn so, dass 100% aller so konstruierten Intervalle das wahre enthalten
(1 ) / 2 (1 ) / 2n p n pp z p z
0.90 1.645
0.95 1.96
0.99 2.58
(1 ) / 2z Wahl von z für gegebenes
In p ist durchpn zu ersetzen!
17.3.04 PI Statistik, SS 2004 (8) 20
Beispiel B: Berufstätige
Anteil der Berufstätigen unter den Studierenden θ ist unbekannt Stichprobe (n = 200) gibt Anteil von p200 = 32%
Punktschätzer für θ ist p = 0.32 95%-iges Konfidenzintervall für θ :
oder: 0.255 ≤ θ ≤ 0.385Achtung! nθ ≈ 200 (0.32) = 64 > 5, n(1-θ) ≈ 200 (0.68) = 136 > 5
(0.32)(0.68) (0.32)(0.68)0.32 1.96 0.32 1.96
200 200
17.3.04 PI Statistik, SS 2004 (8) 21
Beispiel B: Berufstätige
Nullhypothese H0: θ = 30%
Alternative H1: μ > 30%
Die Entscheidung soll für = 0.05 getroffen werdenStichprobe (n = 200): p200 = 0.32
Wir verwerfen H0 nicht! 200 00.32
0.32 0.31 200 1 (0.617) 0.269
(0.3)(0.7)
p Wert P p H
Beachten Sie!
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