View
35
Download
2
Category
Preview:
DESCRIPTION
Statistik Lektion 6. Konfidensinterval for andele og varians Hypoteseteori Hypotesetest af middelværdi, varians og andele. Repetition: Konfidensinterval. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
StatistikLektion 6
Konfidensinterval for andele og variansHypoteseteori Hypotesetest af middelværdi, varians og andele
Repetition: Konfidensinterval
Et (1-)100% konfidensinterval er et interval, der indeholder værdien af populationsparameteren med (1-)100% sikkerhed (ikke sandsynlighed).
Hvis jeg i fremtiden gentager mit eksperiment, vil der være (1-)100% sandsynlighed for at intervallet indeholder den sande populationsværdi.
Repetition: Konfidensinterval for middelværdienHvis variansen er kendt og populationen enten er normalfordelt eller stikprøven er stor, så er et (1-a)100% konfidensinterval for populationsmiddelværdien, , givet ved
nzx
2
Hvis variansen er ukendt og populationen er normalfordelt, så er et (1-a)100% konfidensinterval for givet ved
n
stx
2
z
t
Husk: n-1 frihedsgrader
Konfidensinterval for andele
Hvis stikprøven er stor, gælder
hvor er stikprøveandelen og p er populationsandelen.
Dvs.
som kan omskrives til
)1,0(~)1(
ˆN
npp
pP
1)1(
ˆ221 z
npp
pPzP
1)1(ˆ)1(ˆ22 nppzPpnppzPP
P̂
Konfidensinterval for andeleHvis stikprøven er stor er et (1-)100% konfidensinterval for populationsandelen p givet ved
hvor er stikprøveandelen for en stikprøve med n observationer.
nppzpnppzp )ˆ1(ˆˆ;)ˆ1(ˆˆ 22 p̂
Bemærk at som sædvanligt er estimatoren er erstattet af estimatet , og at vi har benyttet atp̂
P̂
nppnpp )1()ˆ1(ˆ
EksempelFor en given produkttype: Hvor stor en andel af det amerikanske marked er besat af udenlandske virksomheder?
En stikprøve på 100 forbrugere udtages og 34 af disse bruger et udenlandske produkt; resten bruger et amerikanske produkt.
Giv et 95% konfidensinterval for andelen af brugere af udenlandske produkter.
4328.02472.0
0928.034.0
)04737.0)(96.1(34.0
100
)66.0)(34.0(96.134.0
)ˆ1(ˆˆ
2
;
n
ppzp
Løsning:
Konfidensinterval for
Hvis populationen er normalfordelt med varians , så gælder der at
hvor S2 er stikprøvevariansen.
212
2
~)1(
n
Sn
2
Kritisk værdi: Antag X2 ~2(n-1) . Da er den kritiske værdi 2
n-1, defineret ved
P(X 2 > 2n-1,) =
Dvs. vi har
1))1(
( 22,12
22
21,1 nn
SnP
Konfidensinterval for
Hvis populationen er normalfordelt, så er et (1-)100% konfidensinterval for givet ved
hvor n er antallet af observationer i stikprøven.
1)1()1(
221,1
22
22,1
2
nn
SnSnP
2
21,1
2
22,1
2 )1(;
)1(
nn
snsn
Bemærk, at estimatoren S2 er erstattet af estimatet s2.
Resultatet kommer sig af, at sandsynligheden på forrige slide kan omskrives til
EksempelEn maskine fylder kaffekander (med kaffe ;-) Hvis det gennemsnitlige indhold er forskellig fra hvad det skal være, kan maskinen justeres. Hvis variansen er for høj, skal maskinen sendes til reparation. En stikprøve på 30 kander giver et varians estimat på s2 = 18,540. Giv et 95% konfidensinterval for populations-variansen, .
Løsning:
2
21,1
2
22,1
2 )1(,
)1(
nn
snsn
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
f (2)
Chi-Square Distribution: df = 29
05.162975.0 72.452
025.0
Hypoteser og Hypotesetest
En hypotese er typisk et udsagn om en populationsparameter, fx middelværdien.
En hypotesetest er en procedure, der afgører om vi vil afvise eller ikke afvise vores hypotese.
Vi afviser vores hypotese, hvis vores data er passer ”usandsynligt dårligt” med vores hypotese.
Case: Hypotesetest på dåse
Baggrund: I egenskab af brygmestre hos Bryggeriet har vi fået installeret et nyt tappeanlæg, der fylder på 0.5l dåser. Vi tømmer 25 dåser og finder at gennemsnitsvolumen er 497.1ml…
Producenten af anlægget har oplyst at standardafvigelsen for den påfyldte volumen er 6.7ml.
Anklage: Producenten har sjusket med installationen
Spørgsmål: Er producenten skyldig i sjusk eller ej?
Trin I en Hypotesetest
En hypotesetest består af 5 elementer:
I. Antagelser
II. Hypoteser
III. Teststørrelser
IV. Beslutning/konklusion
a) Vha. p-værdi
b) Vha. kritisk værdi
I: Antagelser
Type af data: Se på om det er diskrete eller kontinuerte data.
Populationsfordeling: Se på hvilken fordeling populationen har.
Stikprøve: Hvilken metode er brugt til at indsamle data. Skal være en simpel stikprøve i de test vi bruger.
Stikprøvestørrelse: Hvor stor er den stikprøve vi har til at beregne test størrelsen?
I bryggeri-eksemplet antager vi at vi har n=25 observationer og at populationen af volumener er normalfordelt.
II: Hypoteser Nul-hypotesen H0:
En påstand om en populations-parameter. Er typisk mere specifik end alternativ hypotesen.
Den alternative hypotese H1:
En påstand om alle situationer, der ikke er dækket af H0, dvs. det ”modsatte af H0”.
Generelt princip: Nul-hypotesen er sand indtil det modsatte er bevist.
Strafferetsanalogi: H0 = uskyldig. Uskyldig indtil det det modsatte er bevist.
I bryggeri-eksemplet har vi to hypoteser:
H0: = 0 (her: 0 = 500) (ingen sjusk, uskyldig)
H1: 0 (sjusk, ikke uskyldig)
Teststørrelsen beregnes fra stikprøve data og bruges til at vurdere nul-hypotesen H0.
Den indeholder typisk et punktestimat for den parameter, der indgår i nul hypotesen – for eksempel stikprøve-gennemsnittet som punktestimat for middelværdien.
Gør det klart, hvilke værdier af teststørrelsen der er kritiske for H0, dvs. hvilke værdier, der taler imod H0- hypotesen.
I Bryggeri-eksemplet skal vi bruge
Teststørrelsen er
Hvis H0 er sand ved vi at
Værdier af z langt fra nul er kritiske for H0.
III: Teststørrelsen
1.497x
16.2257.6
5001.4970
n
xz
)1,0(~0 Nn
XZ
IV: Konklusion/Beslutningsregel En beslutningsregel for en hypotese test, er en regel for under hvilke
betingelser nul-hypotesen kan forkastes på baggrund af stikprøven.
Intuitivt bygger beslutningsreglen på at vi afviser H0, hvis teststørrelsen ligger for langt fra hvad man ville forvente hvis H0 er sand.
Mest almindeligt er at bruge en p-værdi. En p-værdi er et udtryk for hvor ”trovædig” H0-hypotesen er på baggrund af en stikprøve. Hvis p-værdien er for lille afviser vi H0.
Lidt mere old-school er at bruge kritiske værdier. Her er ideen at afvise H0-hypotesen, hvis teststørrelsen er mere ”esktrem” end den/de kritiske værdier.
For begge metoder gælder, at sandsynligheden for at forkaste H0-hypotesen når H0 er sand betegnes signifikansniveauet og angives ved .
a) p-værdi og beslutningsregelDefinition: p-værdien for en test, er sandsynligheden for at observere en ny teststørrelse, der er mindst lige så kritisk for H0 som den observerede teststørrelse, under antagelse af at nul hypotesen er sand.
Fortolkning: Jo mere ekstrem teststørrelsen er, jo mindre er p-værdien. p-værdien bliver et udtryk for hvor meget vi tror på H0. Så når p-værdien bliver for lille, så tror vi så lidt på H0, at vi afviser H0.
Procedure:1.Vælg et signifikansniveau , typisk .2.Udfør testen, dvs. beregn teststørrelsen3.Beregn p-værdien4.Beslutning: Hvis p-værdien < , så afvises H0 (H1 accepteres)
Hvis p-værdien > , så kan vi ikke afvise H0
Eksempler på dåserAntag at volumen i populationen af 0.5l Bryggeri-dåser er normalfordelt med ukendt middelværdi og kendt varians .
Vi opstiller to hypoteserH0: = 0 (her: 0 = 500)H1: 0
I udgangspunktet er H0 sand, dvs.
Teststørrelsen er:
Skal vi afvise H0?
nNX 20 ,~ 1,0~0 N
n
XZ
16.2257.6
5001.4970
n
xz
Beslutning vha. kritiske værdierBeslutningsregel: Vi afviser H0 hvis
Eller ækvivalent kan vi afvise H0, hvis
Sandsynligheden for at afvise en sand H0 er præcis .
Ovenfor har vi benyttet:
22 zzzz eller
nzx
nzx
2020 eller
nzx
n
xz
0
0
2z
2z
Kritiske værdier
Kritiske værdier
Eksempel: p-værdier på dåseBryggeri-eksemplet: Vi har observeret et gennemsnit på 497.1 ml for 25 observation fra en normalfordelt population.
Teststørrelsen:
En mere kritisk værdi ville være en teststørrelse mindre end -2.16 eller større end 2.16.
p-værdien er derfor
Da 0.03 < 0.05 afviser vi H0.
03.0)16.2(2)16.2()16.2( ZPZPZP
16.2257.6
5001.4970
n
xz
Test af middelværdi(to-sidet test) Antagelse: Test af , X kvantitativ variabel og n>30.
Hypoteser:
Stikprøvefordeling af når H0 er sand er approksimativ normal med middelværdi og standard afvigelse
Teststørrelse:
01
00
:H
:H
n
XZ
0
X
n
x0
z0
standardisering
Eksempel Hypoteser: H0: = 30
H1: 30
Stikprøve: n = 50 = 31.5 = 5
Teststørrelse:
p-værdi:
Lille p-værdi, så H0 forkastes. Fordeling:
12,2505
305.31
Z
034.0017.02)12,2(2
)12,2|(|
Zp
Zpp
x
12.2 z 12.2z
Summe opgave
H0: = 30
H1: 30
Stikprøve: n = 20 = 31.5 = 5
Beregn værdien af test størrelsen og p-værdien.
H0: = 30
H1: 30
Stikprøve: n = 100 = 31.5 = 5
Beregn værdien af test størrelsen og p-værdien
x x
Højresidet test (et en-sidet test) Antagelse: Test af , X kontinuert variabel og n>30.
Hypoteser:
Stikprøve-fordeling af når H0 er sand er approksimativ normal med middelværdi og standard afvigelse
Teststørrelse:
p-værdien: p( Z > observeret z værdi)
0
000
:
:
1H
eller H
n
XZ
0
Xn
Eksempel højresidet test
H0: = 30
H1: > 30
Stikprøve: n = 50 = 31.5 = 5
Test størrelse:
p-værdi:
Lille p-værdi, så H0 forkastes.
Fordeling:
12,2505
305.31
Z
017.0)21,2( ZP
x
Z=2,12
x
Test af middelværdi for ukendt varians Antagelse: Population normalfordelt med ukendt middelværdi
og ukendt varians σ²
Hypoteser:
Teststørrelse t er t-fordelt med (n-1) frihedsgrader:
p-værdien: 2·P(T > |t|), hvor T ~ tn-1 (kræver computer)
Venstre- og højre-sidet test efter samme princip som før.
:H
:H
01
00
ns
Xt 0
Eksempel
H0: = 30 H1: 30
Signifikansniveau:
Stikprøve: n = 50 = 31.5 s = 5
Teststørrelse:
Teststørrelsens fordeling:
p-værdi:
Da p-værdi < , forkastes H0.12,2
505
305.31
t
040.0020.02
)12,2(2
|)12,2|(2
tP
TP
2.12-2.12
x
Eksempel - fortsat
H0: = 30 H1: 30
Signifikansniveau:
Stikprøve: n = 50 = 31.5 s = 5
Teststørrelse:
Teststørrelsens fordeling:
Slå tn-12 op, enten vha. tabel eller R.
t49,/2 = 2,01 Da 2,12 er større end 2,01
forkastes H0.
Hvis t = -2,12 ville vi forkaste H0 fordi da -2,12 er mindre end -2.01.
12,2505
305.31
t
2.02-2.01
x
2.12
Hypotesetest for middelværdi i R cmdr
Da p-værdien mindre end 0.05 forkaster vi H0 hypotesen og accepterer H1 hypotesen, dvs. at er forskellig fra 175.
t-teststørrelseantal frihedsgrader
p-værdi
H1 hypotese
Vælg mellem to- og en-sidede test
Middelværdi under H0
Statistics → Means → Single-sample t-test…
Test af en Andel
Antagelse: Test af populationsandel p, når np(1-p) > 9.
Hypoteser:
Stikprøvefordeling af når H0 er sand er approksimativ normal med middelværdi og standard afvigelse
Teststørrelse:
p-værdien: 2·P( Z > |z|)
Højresidet og venstresidet test efter samme princip som før.
:H
:H
01
00
pp
pp
npp
ppz
/)1(
ˆ
00
0
p̂npp /)1( 00
0p
Test af Variansen Antagelse: Populationen er normalfordelt med varians .
normal fordelt.
Hypoteser:
Teststørrelse:
Under H0 følger en -fordeling med n-1 frihedsgrader
Kritiske værdier:
p-værdi: hvis nog
ellers, hvor n.
Højresidet og venstresidet test efter samme princip som før.
20
21
20
20
:H
:H
20
2)1(
sn
2
)(2 22 ΧP
22,1
221,1 nn og
)(2 22 χΧP
Test af varians - Eksempel H0: H1: sn
Venstre-sidet test, så H0 forkastes, hvis .
Da kan vi ikke forkaste H0.
78.201
8659.0)125()1(20
22
sn
)1(21
2 n
85.13)24()1( 295.0
21 n
)1(21
2 n
p Da p-værdi > 0.05 kan vi ikke afvise H0. p-værdien findes i R vha. pchisq(20.78,df=24)
3483.0)78.20())1(( 220
22 PsnPværdi
Opsummering: Test af middelværdi 1 Antagelser: Kendt varians + normalfordelt population eller stor
stikprøve: Z-test. Nul-hypotese
H0:
Teststørrelse:
Alternativ hypoteser H1: p-værdi = P( Z<z ) H1: p-værdi = P( Z>z ) H1: p-værdi = P( |Z|>|z| ) = 2⋅P( Z>|z| )
Beslutning: Hvis p-værdi < : Afvis H0 og accepter H1. Hvis p-værdi > : Ej afvis H0 og ej accepter H1.
n
xz
0
Test vha. p-værdier
Opsummering: Test af middelværdi 1.1 Antagelser: Kendt varians + normalfordelt population eller stor
stikprøve: Z-test Nul-hypotese
H0:
Teststørrelse:
Alternativ hypoteser H1:
Afvis H0 hvis z < -Z
H1:
Afvis H0 hvis z > Z
H1:
Afvis H0 hvis |z| > Z
n
xz
0
Test vha. kritiske værdier
Opsummering: Test af middelværdi 2 Antagelser: Ukendt varians + normalfordelt population: t-test Nul-hypotese
H0:
Teststørrelse:
Alternativ hypoteser H1:
Afvis H0 hvis t < -t n-1
H1:
Afvis H0 hvis t > tn-1
H1:
Afvis H0 hvis |t| > tn-1
ns
xt 0
Test vha. kritiske værdier
Recommended