Statistische Maßzahlen Arten Mittelwerte Modus Median(Zentralwert) Quantile Zweck –Kennzeichnung...

statistische Maßzahlen

• Arten

Mittelwerte Modus

Median(Zentralwert) Quantile

• Zweck

– Kennzeichnung einer Menge von Objekten durch den typischen Wert

– Vergleich von 2 Mengen (z.B. 2 Stichproben)

• Verschiedene Verfahren bei

– ungruppierten Daten.....................

– gruppierten Daten.................................

– klassierten Daten...........................................................

– Beispiel: Zensuren

• 1,1,2,2,3,3,3

– Mittelwert (arithmetisch)

• alle Merkmalsausprägungen werden addiert, • dann wird durch die Gesamtzahl geteilt• hier =2,142857

– Modus

• häufigster Wert• hier :3

– Zentralwert

• die Hälfte aller Ergebnisse ist kleiner, die andere Hälfte ist größer

• hier: 2

Maßzahlen bei Listen: babyleicht

Maßzahlen bei Listen: Beispiele und Formeln

– Beispiel: Zensuren

• 1,1,2,2,3,3,3

– arithmetischer Mittelwert

- Zentralwert

• die Hälfte aller Ergebnisse ist kleiner, die andere Hälfte ist größer

• hier:

– Modus

• häufigster Wert, hier :Mo=3

24

2

1 xxZ N

7

3332211

N

xx

i

Maßzahlen bei Listen: Beispiele und Formeln

– Beispiel: Zensuren

• 1,1,2,2,3,3,3,4

– arithmetischer Mittelwert

- Zentralwert

• die Hälfte aller Ergebnisse ist kleiner, die andere Hälfte ist größer

• hier:

– Modus

• häufigster Wert, hier :Mo=3

5254

221 , xxxxZ NN

8

43332211

N

xx

i

arithmetischer Mittelwert

Ausprägung 1 2 3 4 5 6 7

Häufigkeit 1 1 1 1 1 1 1N=7

einfaches arithmetisches Mittel x=4=28/7

Ausprägung 1 1 1 4 4 7

Häufigkeit 1 1 1 1 1 1

N=6

einfaches arithmetisches Mittel x=3=18/6

arithmetischer Mittelwert für Schulkinder(1)

Ausprägung 1 1 1 4 4 7

absolute Häufigkeit 1 1 1 1 1 1

einfaches arithmetisches Mittel

Ausprägung 1 4 7

absolute Häufigkeit 3 2 1

gewogenes arithmetisches Mittel

6

744111

N

xx

i

6

172431 ****

N

nxx

ii

arithmetisches Mittel mit absoluten Häufigkeiten (Rechentabelle)

Merkmal absolute Häufigkeit

Produkt

1 3 1*3=3

4 2 4*2=8

7 1 7*1=7

Summe 18

= 3 = arithmet. Mittelwert

:6

6

172431 ****x

N

nx ii

arithmetisches Mittel für Schulkinder(2)

– Beispiel: Altersangabe

10

450140330220 *****x

N

nx ii

Alter absolute Häufigkeit

20 2

30 3

40 1

50 4

arithmetischer Mittelwert

• berechnet mit absoluter Häufigkeit

• Bei der obigen Formel spricht man auch vom

„gewogenen arithmetischen Mittel“

arithmetisches Mittel mit absoluten Häufigkeiten (Rechentabelle)

Alter absolute Häufigkeit

Produkt

20 2 40

30 3 90

40 1 40

50 4 200

Summe 370

= 37

:10

10

450140330220 *****x

N

nx ii

arithmetisches Mittel mit relativen Häufigkeiten

Alter absolute Häufig-

relative keit

Produkt

20 2 0,2 4

30 3 0,3 9

40 1 0,1 4

50 4 0,4 20

37

arithmetischer Mittelwert

• berechnet („gewogen“) mit relativer Häufigkeit

4050104030302020 ,*,*,*,*

*x

iiii fxN

nx

=37

2 Weisen, den gewogenen Mittelwert zu berechnen

gewogenes arithmetisches Mittel mit absoluten Häufigkeiten

6

744111

6

172431

****

N

nxx

ii

6107304501 ,*,*,** ii fxx Σgewogenes arithmetisches Mittel mit relativer Häufigkeit

beide Formeln sind gleichwertig

x absolute Häufigkeit

relative Häufigkeit

1 3 0,5

4 2 0,333

7 1 0,1616

Arten der Mittelwert berechnung

• Einfache Liste einfacher Mittelwert

• 2,2,2,4,4,6

• Tabelle mit Häufigkeiten

•

• gewogener Mittelwert

Zeilennummer

Merkmals-ausprägung

Häufigkeit

I x n

1 2 3

2 4 2

3 6 1

N

xi

N

xh ii

Gewogener Mittelwert(alternatives Vorgehen)

•

•

Zeilennummer

Merkmals-ausprägung

Häufigkeit Gewogene Merkmale

I x n x*n

1 2 3 2*3=6

2 4 2 4*2=8

3 6 1 6*1=6

Summe 6 20

Mittelwert x =20/6 =3,333333

Gewogener Mittelwert mit relativen Häufigkeiten

• Tabelle mit Häufigkeiten

• Zeile Merkmals-ausprägung

Absolute Häufigkeit

Relative Häufigkeit

I X h f

1 2 3 0,5

2 4 2 0,33333

3 6 1 0,1666667

iixf

N

xh ii =0,5*2+0,33333*4+0,166667*6

=3,333333

Gewogener Mittelwert mit relativen Häufigkeiten (Alternatives Vorgehen)

• Tabelle mit Häufigkeiten

• Zeile Merkmals-ausprägung

Absolute Häufigkeit

Relative Häufigkeit

Produkt

I X h f f*h

1 2 3 0,5 0,5*2=1

2 4 2 1/3 (1/3)*4=1,33333

3 6 1 1/6 (1/6)*6=1

Summ 3,333333

iixf=3,3333=Mittelwert

geometrischer Mittelwert(1)

Klasse 2 4 4 8

abs. Häufigkeit 1 1 1 1

geometrisches Mittel

Nxi

geometrisches Mittel

4-te Wurzel aus dem Produkt(2*4*4*8)=4

Anwendung:

bei Wachstumsprozessen

geometrischer Mittelwert(2)

Anwendungsfelder:

Bevölkerungswachstum, Verzinsung von Kapital, Wachstum in Únternehmen und Volkswirtschaften

Anwendungsbeispiel

Ein Unternehmen hat Erfolg.

Im ersten Jahr verdoppeln sich die Umsätze gegenüber dem Ausgangsjahr.

im nächsten Jahr vervierfachen sie sich im Vergleich mit dem Jahr davor.

im nächsten Jahr ebenso.

im Jahr darauf sind die umsätze 8 mal so hoch , wie im 3. Jahr.

Wenn man jetzt ein Maß braucht, um wieviel die Umsätze durchschnittlich in jedem Jahr gewachsen sind, dann nimmt man das geometrische Mittel der Werte 2,4,4,8.

geometrischer Mittelwert(3)

Jahre Jahr 0 Jahr 1 Jahr 2 Jahr 3 Jahr 4

Umsätze 1000 3000 4500 1687,5 5062,5

geometrisches Mittel Nxi

geometrisches Mittel4-te Wurzel aus dem Produkt(3* 1,5 *0,375*3)=1,5

=durchschnittlicher Faktor für das Wachstum in einem Jahr

Wachstumsfaktor 3 1,5 0,375 3

abs. Häufigkeit 1 1 1 1

geometrischer Mittelwert(4)

Jahre Jahr 0 Jahr 1 Jahr 2 Jahr 3 Jahr 4

Umsätze 1000 1100 1210 1452 1306,8

geometrisches Mittel Nxi

geometrisches Mittel4-te Wurzel aus dem Produkt(1,1*1,1*1,2*0,9)=1,07

=durchschnittlicher Faktor für das Wachstum in einem Jahr

Wachstumsfaktor 1,1 1,1 1,2 0,9

abs. Häufigkeit 1 1 1 1