View
38
Download
6
Category
Preview:
DESCRIPTION
Planowanie eksperymentu. Studia niestacjonarne 2009/10 r. Cele eksperymentu. potwierdzenie lub sfalsyfikowanie określonej teorii (hipotezy); znalezienie związku między bodźcem (przyczyną X) i zachowaniem obiektu (skutkiem Y): Y = f(X) lub optymalizacja obiektu badań. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
Studia niestacjonarne
2009/10 r.
Cele eksperymentu
• potwierdzenie lub sfalsyfikowanie określonej teorii (hipotezy);
• znalezienie związku między bodźcem (przyczyną X) i zachowaniem obiektu (skutkiem Y): Y = f(X) lub
• optymalizacja obiektu badań.
Co to jest eksperyment?
• Zabieg badawczy, polegający na celowym wywoływaniu zjawiska (lub jego zmiany) w warunkach kontrolowanych oraz zbadaniu jego przebiegu, cech lub zależności. (Enc. PWN 1995)
• Pytanie, jakie teoria zadaje Naturze. (I. Kant);
Najprostszy eksperyment• Wartość teoretyczna pewnej wielkości fizycznej
wynosi XT = 21,00
• Zaplanować eksperyment weryfikujący tę wartość
• Hipoteza zerowa: Ho: XT – Xe= 0, tj. XT = Xe
• Hipoteza alternatywna: H1: XT ≠ Xe
• Ale Xe jest zmienną losową, (wynik pomiaru) stąd konieczny jest test statystyczny
Wyniki eksperymentu
Nr 1 2 3 4X 20,91 19,82 20,53 20,21
Średnia Xe = 20,37
Odchylenie std. poj. pomiaru σ = 0,46
Test t-Studenta
• Statystyka t = (XT – Xe )/ σXe = (XT – Xe )√N/ σ
• t = (21,00 – 20,37)√4/0,46 = 2,74• Dla poziomu istotności testu α = 0,05
tcr (α/2 = 0,025, ν = 4-1=3) = 3,19
t < tcr dlatego nie ma podstaw do odrzucenia H0
Błędy w testowaniu hipotez
Faktyczny stan rzeczy:prawdziwa jestH0 H1
H0
BłądI rodzaju
(Pr. )odrzucić
Decyzja:
przyjąćH0
BłądII rodzaju
(Pr. )
Wyniki eksperymentu poszerzonego
Nr 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
X 20,91 19,82 20,53 20,21 20,48 20,55 20,37 20,62 20,13 21,10
Średnia Xe = 20,47
Odchylenie std. poj. pomiaru σ = 0,37
Test t-Studenta
• Statystyka t = (XT – Xe )/ σXe = (XT – Xe )√N/ σ
• t = (21,00 – 20,47)√10/0,37 = 4,53• Dla poziomu istotności testu α = 0,05
tcr (α/2 = 0,025, ν = 10-1 = 9) = 2,25
t > tcr dlatego H0 należy odrzucić
Niezbędna liczba pomiarów N
=
X
_p(X)
Poziom ufności np. 68%
ΔΔ
(tolerancja) Δ = (odchylenie std. średniej) σx/N0,5
=> N = (σx /Δ)2
_X
Niezbędna liczba pomiarów N
=
X
_p(X)
Poziom ufności tu: 95%
Δ Δ
(tolerancja) Δ = (2 odchylenia std. średniej) 2 σx/N0,5
=> N = ( 2 σx /Δ)2
Niezbędna liczba pomiarów N
=
X
_p(X)
Poziom ufności
γ%
Δ Δ
(tolerancja) Δ = (t odchyleń std. średniej) = t · σx/N0,5
=> N = ( t · σx /Δ)2
gdzie: t (γ, N) - promień przedziału ufności
Wpływ liczebności prób Nna rozkład średniej
=X2
=X1
_p(X)
σx = 20 N = 16 σx /N0,5 = 20/4 = 5
5 5
_X
Wpływ liczebności prób Nna rozkład średniej
=X2
=X1
_p(X)
σx = 20 N = 16 σx /N0,5 = 20/4 = 5
5 2
σx = 20 N = 100 σx /N0,5 = 20/10 = 2
25
_X
Wpływ liczebności prób Nna rozkład średniej
=X2
=X1
_p(X)
σx = 20 N = 16 σx /N0,5 = 20/4 = 5
5 1
σx = 20 N = 400 σx /N0,5 = 20/20 = 1
15
_X
Wpływ liczebności próby na odchylenie std. średniej
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 50 100 150 200 250 300 350 400
Liczebność próby N
N^
-0,5
Niezbędna liczba pomiarów N dla wykazania różnicy średnich Δ
= X2
=X1
_p(X)
= =N = [(t1+t2)σx/(X2-X1)]2
Δ
t1σx1t2σx2
αβ
_X
Model„czarnej skrzynki”
Obiekt badańObiekt badań
f yx2
x1
xn
..
.
Y = f (X1, X2)
Dwie wielkości wejściowe
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y max
X1
X2
5
10152025
Plan kompletny dla dwóch zmiennych wejściowych
Plany badań
Plan kompletny
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y max
X2
X1
Planowanie badań i analiza wyników
Plan badań
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y max
X1
X2
5
10152025
0
5
10
15
20
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10x1
yy=f 1 (x1 ) ; x2=const
x1opt
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 10 20 30
y=f 2(x2); x1=x1opt=constx2
y
Plan
tradycyjny
krok 1krok 1
krok 2krok 2
Wyznaczone
maksimummaksimum (?)
?
Plan badań optymalizacyjnych
Plan dwupoziomowy
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y max
X2
X1
Plany czynnikowe kompletne dwupoziomowe 2p
Często wystarczy przyjąć, że każda ze zmiennych wejściowych występuje tylko na dwóch poziomach. Plany takie pozwalają jednoznacznie wyznaczyć jedynie funkcje regresji o postaci:
ppijpp XXXbXXbXXbXbXbXbXbbY~
..~~~~~~~~~
....~~~~~~~~~ˆ
21..311321123322110
ib~
- współczynniki regresji dla zmiennych standaryzowanych. gdzie
Normowanie wielkości wejściowej
xk
minmax
min2
kk
kkk xx
xxx
α – ramię gwiezdne, np. α = 1
Plan dwupoziomowya) całkowity (32 = 8) b) połówkowy
Plan całkowity 32 = 8 i połówkowy
2
~X
1
~X
Nrdośw.
1 -1 -1 -1
2 (1) -1 -1 1
3 (2) -1 1 -1
4 (3) 1 -1 -1
5 (4) 1 1 1
6 -1 1 1
7 1 -1 1
8 1 1 -1
3
~X
Punkty centralne planu• Jeżeli podejrzewamy, że badana zależność ma
charakter nieliniowy, należy do eksperymentu dołączyć jeden lub kilka punktów środkowych, w których kodowane zmienne wejściowe przyjmują wartość równą 0. Są to tzw. punkty centralne planu (central points).
• W dalszej analizie porównuje się wyniki pomiarów w punktach centralnych ze średnią wartością uzyskaną z punktów planu -1 oraz +1. Pozwala to sprawdzić stopień krzywizny badanej funkcji (check for curvature).
Jeżeli średnia z wartości zmiennej zależnej w punktach centralnych istotnie różni się od średniej wartości ze wszystkich pozostałych punktów planu, to badany związek jest nieliniowy.
Planowanie badań i analiza wyników
Klasyfikacja planów badań
P S /D K : K om p le tn e
P S /D S -M : M on ose lekcyjn e
P S /D S -P : P o lise lekcyjn e
P S /D S : S e lekcyjn e
P S /D : Z d e te rm in ow an e
P S /O : O p tym a lizacyjn e
P S /R : R an d om izow an e
P S : S ta tyczn e P D : D yn am iczn e
P : P lan y d ośw iad czeń
Popularne programy CADEx /DoE
Statistica
Błędy w planowaniu eksperymentu
• Rachunek błędu (niepewności) – oddzielne zagadnienie;
• Brak randomizacji;
• Zbyt mała (znacznie rzadziej: zbyt duża) liczba doświadczeń;
• Zbyt szybki demontaż stanowiska badawczego (przed obróbką wyników).
Bibliografia
1. http://www.eti.pg.gda.pl/katedry/kose/dydaktyka/Metrologia/planowanie_eksperymentu.pdf
2. http://imisp.mech.pw.edu.pl/imisp_site/docs/51.doc
3. Park H.M. Hypothesis testing and statistical power of a test. www.indiana.edu/~statmath/ stat/all/ power/power.pdf 15. 05. 2008
Planowanie eksperymentu
Literatura pomocnicza
• Mańczak K. „Technika planowania eksperymentu” WNT, W. 1976
• Brandt S. „Analiza danych” PWN, W. 1998
• Eadie W.T. i in. „Metody statystyczne w fizyce doświadczalnej” PWN, W.1989
• Polański Z. „Planowanie doświadczeń w technice” PWN, Warszawa1984
Recommended