View
2
Download
1
Category
Preview:
Citation preview
Těžiště
Fyzikální význam těžiště:
a) hmotný bod se soustředěnou hmotností útvaru
b) bod, ve kterém lze hmotný útvar vystavený tíze
podepřít proti posunutí aniž by docházelo k rotaci
Těžiště je chápáno jako statický střed soustavy
rovnoběžných sil v prostoru či rovině, které tvoří vlastní
tíhy elementů hmotného útvaru.
Těžnice – osa procházející těžištěm
• Geometrické útvary (čáry, obrazce) nahradíme fiktivními rovnoběžnými silami
působícími v těžištích jednotlivých částí
u čáry je to délka úseček d, u obrazce plocha A.
-Těžiště je statickým středem soustavy těchto rovnoběžných sil.
321
332211
AAA
zAzAzA
A
Sz TTT
cel
xT
−+
⋅−⋅+⋅==
analogicky xT
Acel= A1+A2 - A3
xT
zT
1
23
zT
1
zT
2=
z
T3
F1
= A1
F1=
A1
F2
= A2
F3
= A3
otvor
Acel
T
x
z
Sx = A1 . zT1 + A2 .zT2 - A3 .zT3
Sx = Acel . zT
Těžiště rovinného homogenního složeného obrazceSložený rovinný obrazec ( lomená čára nebo složený plošný obrazec) vzniká spojením několika (obecně n, i=1, …, n) jednoduchých rovinných obrazců (prvků) v téže rovině,u kterých umíme určit polohu těžiště a základní geometrické charakteristiky (úsečka, kruh…).
Těžiště rovinného homogenního složeného obrazce
∑∑ ⋅
=i
Tii
TP
xPx
Postup:
a) Složený obrazec umístit do pravoúhlé souřadnicové soustavy xz
(výhodný je počátek v levém horním rohu obrazce)
b) Rozdělit složený obrazec na dílčí jednoduché obrazce
c) Pro každý obrazec i určit souřadnice xTi a zTi jeho těžiště Ti
d) Pro každý obrazec spočítat tíhovou fiktivní sílu Pi.
Hodnota Pi odpovídá délce dílčí čáry li nebo velikosti dílčí plochy Ai
e) Zavést fiktivní síly Pi do těžiště Ti nejprve rovnoběžně s osou z, poté s osou x
f) Určit výslednici tíhových sil: R=∑ li, R=∑ Ai
g) Určit statický střed soustavy těchto rovnoběžných sil (Varignonova věta).
Souřadnice statického středu této soustavy = souřadnice těžiště složeného obrazce.
Tiiz
TiiTz
xPS
xPxRS
∑
∑⋅−=
⋅−=⋅−= )(
Např.: x-ovou souřadnici těžiště xT určíme z rovnosti statického momentu tíhové síly k ose z - Sz
⇒A
Sx z
T =neboli
Těžiště složených obrazců s otvory a výřezy
Zvláštní případ složených obrazců – s otvory (s oslabením) nebo
s výřezy (otvory sousedící s obrysem obrazce)
Výpočet:
Jednotlivé obrazce považovat za samostatné
prvky bez otvorů,
otvory považovat za další prvky se zápornouplochou
(tíhové síly opačně orientované).
Centrální kvadratické momenty základních obrazců (viz tabulky)
h.bA =
36
b.hI
3
z =
0Dxz =
b
h
b
h
r
12
h.bI
3
x =12
b.hI
3
z = 0Dxz =
22 .72
1hbDxz =
36
h.bI
3
x =2
h.bA =
x
z
x
z
x
z
64
d.
4
r.II
44
zx
π=
π==2r.A π=
2aA = 12
aII
4
zx == 0Dxz =x
z
a
a
x12
h.bI
3
x =12
b.hI
3
z = 0Dxz =
Centrální kvadratické momenty válcováných I profilů
V tabulkách jsou uvedeny: hmotnost průřezu na jednotku délky, potřebné geometrické rozměry a průřezové
charakteristiky průřezů.
Hodnoty jsou vztaženy k osám y-z
(v rovině y-z…více v předmětu Pružnost a plasticita)
Nepočítají se - viz tabulky.
Centrální kvadratické momenty válcováných U profilů
Pokud budete v předmětu
Stavební statika počítat průřezové
charakteristiky složených
válcovaných průřezů, budou
základní tabulkové hodnoty
zadané.
Centrální kvadratické momenty složených průřezů
Využití kvadratických momentů k rovnoběžně posunutým osám
Postup výpočtu:
a) zvolit pomocnou souřadnicovou soustavu x ,z(výhodné zvolit počátek v levém horním rohu nebo na ose symetrie)
b) rozdělit složený obrazec na n základních prvků i=1, …, n
c) pro každý prvek určit Ai a souřadnice jeho těžiště [xTi ; zTi] v pomocné
souřadnicové soustavě
d) určit souřadnice těžiště [xT ; zT] celého obrazce, kterým proložit centrální
osy setrvačnosti průřezu xt , zt rovnoběžné s osami x, z.
e) pro každý prvek určit ramena těžiště Ti: , TTii zzc −=TTii xxd −=
f) s využitím Steinerovy věty vypočítat centrální kvadratické momenty celého obrazce:
( )∑=
+=n
i
iixx AcIIi
1
2. ( )∑
=
+=n
i
iizz AdIIi
1
2. ( )∑
=
+=n
i
iiizxxz AdcDDii
1
..
(Otvory mají plochy i momenty setrvačnosti se znaménkem mínus, deviační momenty s opačným znaménkem než plné prvky)
3
xT
zT
1
2
zT
1
zT
2=
z
T3
Otvor D = 8cm
T
x
z
Příklad 1: Složený průřez s otvorem – řešení ve cvičení a výsledky na stránkách
30
10
30
10
88
321
332211
AAA
zAzAzA
A
Sz TTT
cel
xT
−+
⋅−⋅+⋅==
analogicky xT
Acel= A1+A2 - A3
Sx = A1 . zT1 + A2 .zT2 - A3 .zT3
Sx = Acel . zT
Určete polohu těžiště k osám x a z, centrální kvadratické momenty setrvačnosti,
polární moment setrvačnosti, deviační moment, poloměry setrvačnosti, hlavní
momenty setrvačnosti, úhel k pootočeným osám. Rozměry jsou v cm. Výsledky v
samostatném souboru.
3
xT
zT
1
2
zT
1
zT
2=
z
T3
Otvor D = 8cm
T
x
z
Příklad 1: Složený průřez s otvorem
30
10
30
Určete polohu těžiště k osám x a z, centrální kvadratické momenty setrvačnosti,
polární moment setrvačnosti, deviační moment, poloměry setrvačnosti, hlavní
momenty setrvačnosti úhel k pootočeným osám. Rozměry jsou v cm. Výsledky v
samostatném souboru.
10
88
( ) ( ) 22
2,1 .4.2
1.
2
1xzzxzx DIIIII +−±+=
|α 1 |< |α 2|
xz
x
D
II −=
2,1
2,1tgα
( )( )
( )
TTii
TTii
zxP
iiizxxz
iiizz
iiixx
xxd
zzc
III
dcADD
dAII
cAII
ii
−=
−=
+=
⋅⋅+=
⋅+=
⋅+=
∑
∑
∑2
,
2
,
A
Ii x
x =A
Ii z
z =
Ix, Iz, Dxz - Steinerova věta:
b1 = 12 mm
b2 = 200 mm
h2 = 20 mm
h1
= 2
40
mm
z
x
(1)
(2)
A1 = b1 · h1 = 12 · 240 = 2 880 mm2
A2 = b2 · h2 = 200 · 20 = 4 000 mm2
A = A1 + A2 = 6 880 mm2
Příklad 2: Výpočet průřezových charakteristik svařovaného T průřezu
1. Poloha těžiště
T1
zT1
T2
zT2
xt
Sx1 = zT1 · A1 = 140 · 2 880 = 403 200 mm3
Sx2 = zT2 · A2 = 10 · 4 000 = 40 000 mm3
Sx = Sx1 + Sx2 = 443 200 mm3
zT
T
Sx = A · zT => zT = Sy’ / A = 64,42 mm
c1 = zT1 – zT = 140 – 64,42 = 75,58 mm
c2 = zT2 – zT = 10 – 64,42 = –54,42 mm
c2
c1
b1 = 12 mm
b2 = 200 mm
h1
= 2
40
mm
z = z1 = z2
(1)
(2)
I1z = 1/12 · h1 · b13 = 1/12 · 240 · 123 = 34 560 mm4
Iz = I1z + I2z = 13,368 · 106 mm4
Příklad 2: Výpočet průřezových charakteristik T průřezu
2. Centrální momenty setrvačnosti
T1
T2
T
xt
c2
c1
I2z = 1/12 · h2 · b23 = 1/12 · 20 · 2003 = 13,333 · 106 mm4
I1x1 = 1/12 · b1 · h13 = 1/12 · 12 · 2403 = 13,824 · 106 mm4
I1xt = I1x1 + A1 · c12 = 13,824 · 106 + 2880 · 75,582 =
= 30,276 · 106 mm4
x2
I2x2 = 1/12 · b2 · h23 = 1/12 · 200 · 203 = 133 333 mm4
I2xt = I2x2 + A2 · c22 = 133 333 + 4000 · (–54,42)2 =
= 11,979 · 106 mm4
x2
Ixt = I1xt + I2xt = 42,255 · 106 mm4
Steinerova věta: Ix = Ixt + A · c2 Iz = Izt + A · d2
h2
AU = 2800mm2
Ix,U = 13,5 . 106mm4
Iz,U = 1,13 . 106mm4
Příklad 3: Složený válcovaný průřez - hlavní průřezové charakteristiky:
z tabulek profilů:
Apásku = 1500mm2
( )( )
( )
TTii
TTii
zxP
iiizxxz
iiizz
iiixx
xxd
zzc
III
dcADD
dAII
cAII
ii
−=
−=
+=
⋅⋅+=
⋅+=
⋅+=
∑
∑
∑2
,
2
,
A
Ii x
x =A
Ii z
z =
poloha těžiště obrazce, centrální momenty setrvačnosti, polární moment setrvačnosti,
deviační moment, poloměry setrvačnosti
1) Určení polohy těžiště vzhledem k ose z
mmA
xAx
celk
ii
T 82,20.
==∑
Statický moment k ose z:
⇒==∑ Tcelkiiz xAxAS ..
2) Vzdálenosti dílčích těžišť od celkového těžiště
d1
d2
= 5- xT
= 29,3 - xT
= -15,82 mm
= 8,48mm
TTii
TTii
xxd
zzc
−=
−=
3) Centrální momenty setrvačnosti k těžištním osám
d1
d2
= -15,82 mm
= 8,48mm
Ix = I1x + I2x
Iz = I1z1 + A1d12 + I2z2 + A2d2
2
= 16,3125.106mm4
= 1,7193.106mm4
Steinerova věta:
Ix = Ixt + A · c2 Iz = Izt + A · d2
4) Deviační moment a polární moment setrvačnosti
Ix = Ix1 + Ix2 = 16,3125.106mm4
= 1,7193.106mm4
Ip = Ix + Iz =18,0353.106mm4
Dxzt =0
Iz = I1z1 + A1d12 + I2z2 + A2d2
2
Příklad 4: Těžiště lomené čáry
Stanovte polohu těžiště lomené čáry, která je dána spojnicí bodů:
A(-5;-6), B(0;0), C(0;3), D(6;6).
z
x1
2
3
Postup:
1. délky jednotlivých úseček (di)
2. celková délka ( d = ∑ di )
3. souřadnice dílčích těžišť
4. statický moment k ose x: Sx = ∑di.zT,i
5. statický moment k ose z: Sz = ∑di.xT,i
6. souřadnice těžiště lomené čáry:
Sx = d . zT → zT = Sx / d
Sz = d . xT → xT = Sz / d
Výsledky:
1. d1 = 7,81m, d2 = 3m, d3 = 6,71m
2. d = ∑ di = 17,52m
3. T1[-2,5;-3], T2[0;1.5], T3[3;4,5]
4. Sx = ∑di.zT,i = 11,27m2
5. Sz = ∑di.xT,i = 0,605m2
6. souřadnice těžiště lomené čáry:
zT = Sx / d = 0,64 m
xT = Sz / d = 0,03 m
T [0,03; 0,64]
Recommended