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zafa y
T1. OPTIMIZACIÓN SIN RESTRICCIONES EN VARIAS VARIABLES
1.2 Optimización de funciones de dos variables
1.1 Optimización clásica libre: optimización sin restricciones
El objetivo de este punto es desarrollar un procedimiento para encontrar los valores extremos de una función objetivo con dos variables de elección.
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osi
TEOREMA DEL VALOR EXTREMO: EXTREMOS ABSOLUTOS
1.2.1 Extremos absolutos
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1.2.2 Definición de extremos relativos
EJEMPLO GRÁFICO
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72 1 1,2 4
2 8k 2 2 0
f2 2 X É
ayf y 2g
4 0 2 y4 y 42 2 441,2
2J
fax y X 1 y 25 4 _Para todo Xyy 1,2
Tapitas 5 4 47 fax g 74
g
TE YPls 2 hay un mínimo
1.2.3 Definición de puntos críticos
EJERCICIO 1
TEOREMA
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X2 22 1
3 1 G J
2 ELEGÍ 2x 4k
3 Reg y4 0 xo
Í 347553.24536kg443
95 0 yeo
Plo o
Ico a 2 fix y 22 Poco hay un
máximo relativo
EJERCICIO 2
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Punto de silla (o ensilladura)
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Interpretación geométrica de la condición de primer orden
1.3 Condiciones necesarias (de primer orden) para los valores extremos de una función de dos variables
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¿Pero es condición suficiente? NO
La condición de primer orden es condición necesaria, pero no suficiente.
En los gráficos posteriores vemos que pueden ser puntos de silla o de inflexión.
¿Cómo buscar la condición suficiente ?
Para poder buscar la condición suficiente se tendrá que efectuar a través de la diferencial de segundo orden, que está expresada en función de las derivadas parciales de segundo orden.
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1.4 Condiciones suficientes (de segundo orden) para los valores extremos de una función de dos variables
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de
la
Matriz Hessiana
Sir SkySky f'yxHE fin
ja ha SEha ftp.fjr lfxy
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Resumen: condición suficiente segundo orden
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is
1.5 procedimiento práctico para obtener los extremos de una función de dos variables
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Ímar 1
1 EI 3 2 44tgz.gr x o x zx 4
okIz3y28y 0 y 34 81 043 p
Puntos míticos Iz4 310
1.14133 3
3 22
6 4
Ian Í227O
Hg6 4
o leyes
EJERCICIO 3
Obtener los extremos de la función:
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4
Plo 0
o g
48 0.0
yEnee
PCO 0
Hyo a ha 4 O existe un
EsmeroIco 1 I
1 411
0.04No existeextremo
1 470
Plo 813
EEYEI.gr hay un puntode silla
Pez 0extremoFimi
haz 4 CO
p 43,0
hay un punto
FIYIde silla
Hey YPez g
o 8 11 440 hay unmáximorelativo
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2X ya o 2x ya X
21
y35 24 0 35 49J y o 35 43 0
35 93 513 y o foto yo3 yo y 3
y o X o Plo
4 3 X E PC 3
2 Derivadas
4 Igas
6g 2x
Poso tejashizo 0.0 0
CASO DUDOSO
y g
4 2.9 6 6 o
PC 3 Hey 3
Punto silla
EJERCICIO 4: Estudio de un caso dudoso
Obtener los extremos de la función:
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En este punto vamos a extrapolar a n variables para hacer el análisis de extremos libres.
Aquí existen dos posibilidades, según que la función esté dada en forma explícita o en forma implícita.
Funciones en forma explícita
Condición necesaria para la existencia de óptimos locales
1.6 Extremos relativos de funciones de n variables
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Condición suficiente para la existencia de óptimos locales
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Hallar los extremos relativos de la función:
EJERCICIO 5
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1.7 Optimalidad Global
Ahora ya tenemos las herramientas necesarias para encontrar los óptimos locales en una función cualquiera, sin restricciones sin embargo son las soluciones óptimas globales las que verdaderamente interesan en el entorno económico.
¿Qué utilidad podría tener disponer de un máximo local de la función de beneficios cuando es posible que exista otro máximo local que proporcione un mayor beneficio?
Con esta pregunta queda claro que lo verdaderamente útil será disponer de criterios adicionales que aseguren que el óptimo encontrado, ya sea máximo o mínimo, es global.
1.7.1 Condiciones de segundo orden en relación con la concavidad y convexidad
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Teorema Local - Global
Concretando el teorema de global y estricto:
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EJERCICIO 6
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