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Apostila I
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APLICAÇÃO DE MATLAB NA APLICAÇÃO DE MATLAB NA APLICAÇÃO DE MATLAB NA APLICAÇÃO DE MATLAB NA ENGENHARIAENGENHARIAENGENHARIAENGENHARIA
III SENES III SENES III SENES III SENES ---- Semana de Engenharia do Norte do Espírito SantoSemana de Engenharia do Norte do Espírito SantoSemana de Engenharia do Norte do Espírito SantoSemana de Engenharia do Norte do Espírito SantoDe 15 a 19 de agosto de 2011De 15 a 19 de agosto de 2011De 15 a 19 de agosto de 2011De 15 a 19 de agosto de 2011
Taisa Shimosakai de LiraTaisa Shimosakai de LiraTaisa Shimosakai de LiraTaisa Shimosakai de Lira
O que é o MATLAB?
• MATLAB (MATrix LABoratory):
Programa de computador especializado e otimizado para cálculos científicos e de engenharia.
• Vantagem: Ampla biblioteca de funções predefinidas.
• Desvantagem: É uma linguagem interpretada, por isso pode ser mais lento que linguagens compiladas.
ToolboxesToolboxesToolboxesToolboxesToolboxesToolboxesToolboxesToolboxes
São bibliotecas de rotinas MATLAB (m-files), aplicadas aáreas específicas tais como:
• Otimização
• Estatística
• Redes Neurais• Redes Neurais
• Identificação de Sistemas
• Equações Diferenciais Parciais
• Ajuste de Curvas
• Sistema de Controle
cd C:\Meus Documentos
>>who:::: Lista as variáveisLista as variáveisLista as variáveisLista as variáveis>>whos: Lista e especifica as variáveisLista e especifica as variáveisLista e especifica as variáveisLista e especifica as variáveis>>clc:Limpa a janela de comandosLimpa a janela de comandosLimpa a janela de comandosLimpa a janela de comandos>>clf:Limpa figura atualLimpa figura atualLimpa figura atualLimpa figura atual
Comandos BásicosComandos BásicosComandos BásicosComandos BásicosComandos BásicosComandos BásicosComandos BásicosComandos Básicos
>>clf:Limpa figura atualLimpa figura atualLimpa figura atualLimpa figura atual>>clear: Deleta variáveis do Deleta variáveis do Deleta variáveis do Deleta variáveis do workspaceworkspaceworkspaceworkspace MATLABMATLABMATLABMATLAB>>help:Ajuda do MATLAB documentaçãoAjuda do MATLAB documentaçãoAjuda do MATLAB documentaçãoAjuda do MATLAB documentação>>close all:Fecha as janelas de figuras abertasFecha as janelas de figuras abertasFecha as janelas de figuras abertasFecha as janelas de figuras abertas
Comentários, pontuação e formas de Comentários, pontuação e formas de Comentários, pontuação e formas de Comentários, pontuação e formas de interromper a execução de um comandointerromper a execução de um comandointerromper a execução de um comandointerromper a execução de um comando
[;][;][;][;] ---- no final do comando executa e não exibe resultado.no final do comando executa e não exibe resultado.no final do comando executa e não exibe resultado.no final do comando executa e não exibe resultado.
[,] [,] [,] [,] ---- permite a execução de dois comandos na mesma permite a execução de dois comandos na mesma permite a execução de dois comandos na mesma permite a execução de dois comandos na mesma linha, lembrando que eles são executados linha, lembrando que eles são executados linha, lembrando que eles são executados linha, lembrando que eles são executados seqüencialmente.seqüencialmente.seqüencialmente.seqüencialmente.seqüencialmente.seqüencialmente.seqüencialmente.seqüencialmente.
[[[[CrtlCrtlCrtlCrtl+C] +C] +C] +C] ---- interrompe a execução do comando, usado no interrompe a execução do comando, usado no interrompe a execução do comando, usado no interrompe a execução do comando, usado no caso de travamento durante a execução.caso de travamento durante a execução.caso de travamento durante a execução.caso de travamento durante a execução.
[ ↑ ] [ ↑ ] [ ↑ ] [ ↑ ] ---- retorna as linhas executadas anteriormente.retorna as linhas executadas anteriormente.retorna as linhas executadas anteriormente.retorna as linhas executadas anteriormente.
[%] [%] [%] [%] ---- indica comentário.indica comentário.indica comentário.indica comentário.
[...] [...] [...] [...] ---- permite continuação de escrita do comando na linha permite continuação de escrita do comando na linha permite continuação de escrita do comando na linha permite continuação de escrita do comando na linha seguinte.seguinte.seguinte.seguinte.
VariáveisVariáveisVariáveisVariáveisVariáveisVariáveisVariáveisVariáveis� Matlab é Matlab é Matlab é Matlab é case sensitivecase sensitivecase sensitivecase sensitive (variável A é diferente de a)(variável A é diferente de a)(variável A é diferente de a)(variável A é diferente de a)
� Caso não se forneça o nome da variável de atribuição, o Caso não se forneça o nome da variável de atribuição, o Caso não se forneça o nome da variável de atribuição, o Caso não se forneça o nome da variável de atribuição, o Matlab cria uma variável chamada Matlab cria uma variável chamada Matlab cria uma variável chamada Matlab cria uma variável chamada ans ((((answeransweransweranswer))))
� Se a variável já existe, o MATLAB armazena sempre a Se a variável já existe, o MATLAB armazena sempre a Se a variável já existe, o MATLAB armazena sempre a Se a variável já existe, o MATLAB armazena sempre a ultimaultimaultimaultima atribuição atribuição atribuição atribuição feita.feita.feita.feita.ultimaultimaultimaultima atribuição atribuição atribuição atribuição feita.feita.feita.feita.
� DeveDeveDeveDeve----se evitar dar nomes às variáveis usando nomes de se evitar dar nomes às variáveis usando nomes de se evitar dar nomes às variáveis usando nomes de se evitar dar nomes às variáveis usando nomes de comandos internos comandos internos comandos internos comandos internos do MATLAB.do MATLAB.do MATLAB.do MATLAB.
� O nome da variável deve começar por uma O nome da variável deve começar por uma O nome da variável deve começar por uma O nome da variável deve começar por uma letraletraletraletra e não e não e não e não deve conter caracteres especiais nem espaço.deve conter caracteres especiais nem espaço.deve conter caracteres especiais nem espaço.deve conter caracteres especiais nem espaço.
� As variáveis podem ter até As variáveis podem ter até As variáveis podem ter até As variáveis podem ter até 31 caracteres31 caracteres31 caracteres31 caracteres....
Matemática ElementarMatemática ElementarMatemática ElementarMatemática ElementarMatemática ElementarMatemática ElementarMatemática ElementarMatemática Elementar
OperaçãoOperaçãoOperaçãoOperação SímboloSímboloSímboloSímbolo ExemploExemploExemploExemplo
AdiçãoAdiçãoAdiçãoAdição ++++ 3 + 223 + 223 + 223 + 22
SubtraçãoSubtraçãoSubtraçãoSubtração ---- 54.454.454.454.4----16.516.516.516.5
MultiplicaçãoMultiplicaçãoMultiplicaçãoMultiplicação **** 3.14*63.14*63.14*63.14*6MultiplicaçãoMultiplicaçãoMultiplicaçãoMultiplicação **** 3.14*63.14*63.14*63.14*6
DivisãoDivisãoDivisãoDivisão / ou/ ou/ ou/ ou\\\\ 19.54/7 ou 719.54/7 ou 719.54/7 ou 719.54/7 ou 7\\\\19.5419.5419.5419.54
PotenciaçãoPotenciaçãoPotenciaçãoPotenciação ^̂̂̂ 2^82^82^82^8
Hierarquia de OperaçõesHierarquia de OperaçõesHierarquia de OperaçõesHierarquia de OperaçõesHierarquia de OperaçõesHierarquia de OperaçõesHierarquia de OperaçõesHierarquia de Operações
PrecedênciaPrecedênciaPrecedênciaPrecedência OperaçãoOperaçãoOperaçãoOperação
1111O conteúdo de todos os parênteses é avaliado, a O conteúdo de todos os parênteses é avaliado, a O conteúdo de todos os parênteses é avaliado, a O conteúdo de todos os parênteses é avaliado, a partir dos parênteses mais internos em direção partir dos parênteses mais internos em direção partir dos parênteses mais internos em direção partir dos parênteses mais internos em direção
aos mais externos.aos mais externos.aos mais externos.aos mais externos.
2222Todos os expoentes são avaliados,Todos os expoentes são avaliados,Todos os expoentes são avaliados,Todos os expoentes são avaliados, da esquerda da esquerda da esquerda da esquerda
para direita.para direita.para direita.para direita.2222
para direita.para direita.para direita.para direita.
3333TodasTodasTodasTodas as multiplicações e divisões são as multiplicações e divisões são as multiplicações e divisões são as multiplicações e divisões são avaliadas,avaliadas,avaliadas,avaliadas, da esquerda para direita.da esquerda para direita.da esquerda para direita.da esquerda para direita.
4444Todas as somasTodas as somasTodas as somasTodas as somas e subtrações são avaliadase subtrações são avaliadase subtrações são avaliadase subtrações são avaliadas,,,, da da da da
esquerda para direita.esquerda para direita.esquerda para direita.esquerda para direita.
Funções MatemáticasFunções MatemáticasFunções MatemáticasFunções MatemáticasFunções MatemáticasFunções MatemáticasFunções MatemáticasFunções Matemáticas
FunçãoFunçãoFunçãoFunção DescriçãoDescriçãoDescriçãoDescrição
sensensensen SenoSenoSenoSeno
coscoscoscos CoCoCoCo----senosenosenoseno
expexpexpexp ExponencialExponencialExponencialExponencialexpexpexpexp ExponencialExponencialExponencialExponencial
loglogloglog Logaritmo naturalLogaritmo naturalLogaritmo naturalLogaritmo natural
log10log10log10log10 Logaritmo na base 10Logaritmo na base 10Logaritmo na base 10Logaritmo na base 10
sqrtsqrtsqrtsqrt Raiz quadradaRaiz quadradaRaiz quadradaRaiz quadrada
absabsabsabs Valor absoluto ou móduloValor absoluto ou móduloValor absoluto ou móduloValor absoluto ou módulo
>>help elfun
Funções EstatísticasFunções EstatísticasFunções EstatísticasFunções EstatísticasFunções EstatísticasFunções EstatísticasFunções EstatísticasFunções Estatísticas
FunçãoFunçãoFunçãoFunção DescriçãoDescriçãoDescriçãoDescrição
meanmeanmeanmean MédiaMédiaMédiaMédia
medianmedianmedianmedian MedianaMedianaMedianaMediana
maxmaxmaxmax Valor máximoValor máximoValor máximoValor máximomaxmaxmaxmax Valor máximoValor máximoValor máximoValor máximo
minminminmin Valor mínimoValor mínimoValor mínimoValor mínimo
stdstdstdstd DesvioDesvioDesvioDesvio----padrãopadrãopadrãopadrão
varvarvarvar VariânciaVariânciaVariânciaVariância
sumsumsumsum Soma dos elementosSoma dos elementosSoma dos elementosSoma dos elementos
Vetores: como criar?Vetores: como criar?Vetores: como criar?Vetores: como criar?Vetores: como criar?Vetores: como criar?Vetores: como criar?Vetores: como criar?
Opção 1: Opção 1: Opção 1: Opção 1: >> C=[1 2 3 4 5]
ou >> C=[1 ,2 ,3 ,4 ,5]
ou >> C=[1 ;2 ;3 ;4 ;5]
Opção 2: Opção 2: Opção 2: Opção 2: Usando os comandos:Usando os comandos:Usando os comandos:Usando os comandos:Opção 2: Opção 2: Opção 2: Opção 2: Usando os comandos:Usando os comandos:Usando os comandos:Usando os comandos:
logspacelogspacelogspacelogspace: vetor com espaçamento logarítmico.: vetor com espaçamento logarítmico.: vetor com espaçamento logarítmico.: vetor com espaçamento logarítmico.
LinspaceLinspaceLinspaceLinspace: vetor linearmente espaçado.: vetor linearmente espaçado.: vetor linearmente espaçado.: vetor linearmente espaçado.
>>C=linspace(1,5,5)
linspacelinspacelinspacelinspace(valor inicial, valor final, número de pontos)(valor inicial, valor final, número de pontos)(valor inicial, valor final, número de pontos)(valor inicial, valor final, número de pontos)
Opção 3: Opção 3: Opção 3: Opção 3: >>C=1:1:5 ou >>C=1:5
Valor inicial: incremento: valor finalValor inicial: incremento: valor finalValor inicial: incremento: valor finalValor inicial: incremento: valor final
Opção 4: Opção 4: Opção 4: Opção 4: Usando estrutura forUsando estrutura forUsando estrutura forUsando estrutura for
>>For i=1:5
Vetores: como criar?Vetores: como criar?Vetores: como criar?Vetores: como criar?Vetores: como criar?Vetores: como criar?Vetores: como criar?Vetores: como criar?
>>For i=1:5
>>C(i)=i;
>>end
Vetores: manipulaçãoVetores: manipulaçãoVetores: manipulaçãoVetores: manipulaçãoVetores: manipulaçãoVetores: manipulaçãoVetores: manipulaçãoVetores: manipulação
Operações Básicas: Operações Básicas: Operações Básicas: Operações Básicas: +, +, +, +, ---- ,* ,/, ^,* ,/, ^,* ,/, ^,* ,/, ^
Operações Ponto a Ponto: Operações Ponto a Ponto: Operações Ponto a Ponto: Operações Ponto a Ponto: ./, .*, .^./, .*, .^./, .*, .^./, .*, .^
Transposição: Transposição: Transposição: Transposição: C’C’C’C’Transposição: Transposição: Transposição: Transposição: C’C’C’C’
Operações elementares: Operações elementares: Operações elementares: Operações elementares: log exp sin cos tan etc...etc...etc...etc...
>> a=[ 1 2 3]; b=[ 4 5 6];
>> 2*a-1
ans =
1 3 5
>> a*b
Vetores: manipulaçãoVetores: manipulaçãoVetores: manipulaçãoVetores: manipulaçãoVetores: manipulaçãoVetores: manipulaçãoVetores: manipulaçãoVetores: manipulação
>> a*b
??? Error using ==> mtimes
Inner matrix dimensions must agree.
>> a.*b
ans = 4 10 18
>>a*b’
ans = 32
Matrizes: como criar?Matrizes: como criar?Matrizes: como criar?Matrizes: como criar?Matrizes: como criar?Matrizes: como criar?Matrizes: como criar?Matrizes: como criar?
Opção 1: Opção 1: Opção 1: Opção 1: a partir de vetoresa partir de vetoresa partir de vetoresa partir de vetores
>>C=[ 2 3];
>>D=[ 3 4];
>>M=[C;D]>>M=[C;D]
Opção 2: Opção 2: Opção 2: Opção 2: >>M= [ 2 3; 3 4] ou ou ou ou >>M=[ 2,3; 3, 4];
Opção 3: Opção 3: Opção 3: Opção 3: usando estrutura usando estrutura usando estrutura usando estrutura for
>>for i=1:2
>>for j=1:2
>>M(i,j)=i+j;
Matrizes: como criar?Matrizes: como criar?Matrizes: como criar?Matrizes: como criar?Matrizes: como criar?Matrizes: como criar?Matrizes: como criar?Matrizes: como criar?
>>M(i,j)=i+j;
>>end
>>end
Opção 4: Opção 4: Opção 4: Opção 4: Matrizes padrãoMatrizes padrãoMatrizes padrãoMatrizes padrão>>eye(2)
ans =
1 0
0 1
Matrizes: como criar?Matrizes: como criar?Matrizes: como criar?Matrizes: como criar?Matrizes: como criar?Matrizes: como criar?Matrizes: como criar?Matrizes: como criar?
0 1
>>ones(2,3)
ans =
1 1 1
1 1 1
Outras: zeros, rand, randn
Além das operações já citadas anteriormente para Além das operações já citadas anteriormente para Além das operações já citadas anteriormente para Além das operações já citadas anteriormente para vetores:vetores:vetores:vetores:
Produto Matricial: Produto Matricial: Produto Matricial: Produto Matricial: A*B
Inversa: Inversa: Inversa: Inversa: inv(A)
Matrizes: manipulaçãoMatrizes: manipulaçãoMatrizes: manipulaçãoMatrizes: manipulaçãoMatrizes: manipulaçãoMatrizes: manipulaçãoMatrizes: manipulaçãoMatrizes: manipulação
Inversa: Inversa: Inversa: Inversa: inv(A)
Determinante: Determinante: Determinante: Determinante: det(A)
Valores característicos: Valores característicos: Valores característicos: Valores característicos: eig(A)
M(M(M(M(linhalinhalinhalinha, , , , colunacolunacolunacoluna))))
M(1,1)M(1,1)M(1,1)M(1,1)---- retorna elemento M11retorna elemento M11retorna elemento M11retorna elemento M11
Matrizes: acesso às componentesMatrizes: acesso às componentesMatrizes: acesso às componentesMatrizes: acesso às componentesMatrizes: acesso às componentesMatrizes: acesso às componentesMatrizes: acesso às componentesMatrizes: acesso às componentes
Caso não seja especificado a coluna da matriz, o que Caso não seja especificado a coluna da matriz, o que Caso não seja especificado a coluna da matriz, o que Caso não seja especificado a coluna da matriz, o que não é necessário no caso de vetores, ele considera o não é necessário no caso de vetores, ele considera o não é necessário no caso de vetores, ele considera o não é necessário no caso de vetores, ele considera o vetor coluna 1.vetor coluna 1.vetor coluna 1.vetor coluna 1.
>>A=[ 1 2; 3 4]
>>A(2)
ans = 3
PodePodePodePode----se também usar incrementos:se também usar incrementos:se também usar incrementos:se também usar incrementos:
Matrizes: acesso às componentesMatrizes: acesso às componentesMatrizes: acesso às componentesMatrizes: acesso às componentesMatrizes: acesso às componentesMatrizes: acesso às componentesMatrizes: acesso às componentesMatrizes: acesso às componentes
PodePodePodePode----se também usar incrementos:se também usar incrementos:se também usar incrementos:se também usar incrementos:>>C=[ 1 2 3; 4 5 6];
>>C(1:2,2)
ans = 2
5
>>C(:,3)
ans = 3
6
Matrizes: BuscaMatrizes: BuscaMatrizes: BuscaMatrizes: BuscaMatrizes: BuscaMatrizes: BuscaMatrizes: BuscaMatrizes: Busca
>>A =[1 2 3;4 5 6; 7 8 9];
>>[i,j] = find(A>5)
i = 3
3
22
3
j = 1
2
3
3
Matrizes: BuscaMatrizes: BuscaMatrizes: BuscaMatrizes: BuscaMatrizes: BuscaMatrizes: BuscaMatrizes: BuscaMatrizes: Busca
>>A =[1 2 3;4 5 6; 7 8 9];
>>k = find(A>5)
k = 3
6
8
9
>>A(k)
ans = 7
8
6
9
n=length(A): Dimensão do vetorDimensão do vetorDimensão do vetorDimensão do vetor
s=size(A): Retorna um vetor, sendo o 1Retorna um vetor, sendo o 1Retorna um vetor, sendo o 1Retorna um vetor, sendo o 1°°°° elemento elemento elemento elemento o no no no n°°°° linhas e 2linhas e 2linhas e 2linhas e 2°°°° elemento o nelemento o nelemento o nelemento o n°°°° de colunasde colunasde colunasde colunas
Dimensões: Vetores e MatrizesDimensões: Vetores e MatrizesDimensões: Vetores e MatrizesDimensões: Vetores e MatrizesDimensões: Vetores e MatrizesDimensões: Vetores e MatrizesDimensões: Vetores e MatrizesDimensões: Vetores e Matrizes
[r,c]=size(A): r é o nr é o nr é o nr é o n°°°° linhas, c é o nlinhas, c é o nlinhas, c é o nlinhas, c é o n°°°° colunascolunascolunascolunas
r=size(A,1):Retorna o nRetorna o nRetorna o nRetorna o n°°°° de linhasde linhasde linhasde linhas
c=size(A,2):Retorna o nRetorna o nRetorna o nRetorna o n°°°° de colunasde colunasde colunasde colunas
Estruturas MultidimensionaisEstruturas MultidimensionaisEstruturas MultidimensionaisEstruturas MultidimensionaisEstruturas MultidimensionaisEstruturas MultidimensionaisEstruturas MultidimensionaisEstruturas Multidimensionais
>>A = zeros(2,2,2)
A(:,:,1) = 0 0
0 0
A(:,:,2) = 0 0
0 00 0
Operadores RelacionaisOperadores RelacionaisOperadores RelacionaisOperadores RelacionaisOperadores RelacionaisOperadores RelacionaisOperadores RelacionaisOperadores Relacionais
OperadorOperadorOperadorOperador DescriçãoDescriçãoDescriçãoDescrição
<<<< Menor queMenor queMenor queMenor que
<=<=<=<= Menor ou igual aMenor ou igual aMenor ou igual aMenor ou igual a
>>>> Maior queMaior queMaior queMaior que>>>> Maior queMaior queMaior queMaior que
>=>=>=>= Maior ou igual aMaior ou igual aMaior ou igual aMaior ou igual a
======== Igual aIgual aIgual aIgual a
~=~=~=~= Diferente deDiferente deDiferente deDiferente de
Operadores LógicosOperadores LógicosOperadores LógicosOperadores LógicosOperadores LógicosOperadores LógicosOperadores LógicosOperadores Lógicos
OperadorOperadorOperadorOperador DescriçãoDescriçãoDescriçãoDescrição
&&&& E E E E
|||| OuOuOuOu
~~~~ NãoNãoNãoNão~~~~ NãoNãoNãoNão
Controle de FluxoControle de FluxoControle de FluxoControle de FluxoControle de FluxoControle de FluxoControle de FluxoControle de Fluxo
Loops Loops Loops Loops for: : : : limita o número de vezes que os limita o número de vezes que os limita o número de vezes que os limita o número de vezes que os comandos são executadoscomandos são executadoscomandos são executadoscomandos são executados
for i=1:10
A(i)=i;
end
A= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Loops Loops Loops Loops while: : : : permite a execução até que um permite a execução até que um permite a execução até que um permite a execução até que um critério seja satisfeitocritério seja satisfeitocritério seja satisfeitocritério seja satisfeito
it=0;
while it<10
Controle de FluxoControle de FluxoControle de FluxoControle de FluxoControle de FluxoControle de FluxoControle de FluxoControle de Fluxo
it=it+1;
A(it)=it;
end
A= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Controle de FluxoControle de FluxoControle de FluxoControle de FluxoControle de FluxoControle de FluxoControle de FluxoControle de Fluxo
Loops Loops Loops Loops if-else-end: : : : a sequencia de comamdos a sequencia de comamdos a sequencia de comamdos a sequencia de comamdos têm que ser executados condicionalmentetêm que ser executados condicionalmentetêm que ser executados condicionalmentetêm que ser executados condicionalmente
Forma mais simples:Forma mais simples:Forma mais simples:Forma mais simples:if expressão
comando
end
Duas alternativas:Duas alternativas:Duas alternativas:Duas alternativas:if expressão
comandos executados se verdadeira
else
comandos executados se falsa
end
LoopsLoopsLoopsLoops if-else-end:
Três ou mais alternativas:Três ou mais alternativas:Três ou mais alternativas:Três ou mais alternativas:if expressão 1
comandos executados se expressão 1 for
verdadeira
Controle de FluxoControle de FluxoControle de FluxoControle de FluxoControle de FluxoControle de FluxoControle de FluxoControle de Fluxo
verdadeira
elseif expressão 2
comandos executados se expressão 2 for
verdadeira
else
comandos executados se nenhuma outra
expressão for verdadeira
end
Arquivo.m de funções Arquivo.m de funções Arquivo.m de funções Arquivo.m de funções versusversusversusversus arquivo.m de comandos:arquivo.m de comandos:arquivo.m de comandos:arquivo.m de comandos:
A principal diferença é que o arquivo.m de função se comunica A principal diferença é que o arquivo.m de função se comunica A principal diferença é que o arquivo.m de função se comunica A principal diferença é que o arquivo.m de função se comunica com o Matlab apenas por meio das variáveis de entrada e saída com o Matlab apenas por meio das variáveis de entrada e saída com o Matlab apenas por meio das variáveis de entrada e saída com o Matlab apenas por meio das variáveis de entrada e saída que ela cria. As variáveis intermediárias definidas internamenteque ela cria. As variáveis intermediárias definidas internamenteque ela cria. As variáveis intermediárias definidas internamenteque ela cria. As variáveis intermediárias definidas internamentepela função não aparecem nem interage com o espaço de pela função não aparecem nem interage com o espaço de pela função não aparecem nem interage com o espaço de pela função não aparecem nem interage com o espaço de
Arquivos M de funções (Arquivos M de funções (Arquivos M de funções (Arquivos M de funções (Arquivos M de funções (Arquivos M de funções (Arquivos M de funções (Arquivos M de funções (functionsfunctionsfunctionsfunctionsfunctionsfunctionsfunctionsfunctions))))))))
pela função não aparecem nem interage com o espaço de pela função não aparecem nem interage com o espaço de pela função não aparecem nem interage com o espaço de pela função não aparecem nem interage com o espaço de trabalho do Matlab.trabalho do Matlab.trabalho do Matlab.trabalho do Matlab.
Comandos [soma.m]Comandos [soma.m]Comandos [soma.m]Comandos [soma.m]A=2; B=3;
Soma=A+B
Execução:
>>soma
Função [soma.m] Função [soma.m] Função [soma.m] Função [soma.m] function S=soma(A,B)
S=A+B;
Execução:
>>soma(2,3)
REGRAS E PROPRIEDADES:REGRAS E PROPRIEDADES:REGRAS E PROPRIEDADES:REGRAS E PROPRIEDADES:
1)1)1)1) O nome da função tem que ser idêntico ao nome do O nome da função tem que ser idêntico ao nome do O nome da função tem que ser idêntico ao nome do O nome da função tem que ser idêntico ao nome do arquivo.arquivo.arquivo.arquivo.
2)2)2)2) O nome não deve ter mais do que 31 caracteres. O nome não deve ter mais do que 31 caracteres. O nome não deve ter mais do que 31 caracteres. O nome não deve ter mais do que 31 caracteres. 3)3)3)3) Não usar: ç, acentos ou Não usar: ç, acentos ou Não usar: ç, acentos ou Não usar: ç, acentos ou ----....
functionsfunctionsfunctionsfunctionsfunctionsfunctionsfunctionsfunctions
3)3)3)3) Não usar: ç, acentos ou Não usar: ç, acentos ou Não usar: ç, acentos ou Não usar: ç, acentos ou ----....4)4)4)4) Deve começar com uma letra.Deve começar com uma letra.Deve começar com uma letra.Deve começar com uma letra.5)5)5)5) Os arquivos M de funções não são sensíveis a maiúsculas ou Os arquivos M de funções não são sensíveis a maiúsculas ou Os arquivos M de funções não são sensíveis a maiúsculas ou Os arquivos M de funções não são sensíveis a maiúsculas ou
minúsculas. minúsculas. minúsculas. minúsculas. 6)6)6)6) A primeira linha do arquivo é chamada linha de declaração e A primeira linha do arquivo é chamada linha de declaração e A primeira linha do arquivo é chamada linha de declaração e A primeira linha do arquivo é chamada linha de declaração e
deve conter a palavra deve conter a palavra deve conter a palavra deve conter a palavra functionfunctionfunctionfunction, seguida pela sintaxe da , seguida pela sintaxe da , seguida pela sintaxe da , seguida pela sintaxe da chamada da função.chamada da função.chamada da função.chamada da função.
VARIÁVEIS LOCAIS E GLOBAIS:VARIÁVEIS LOCAIS E GLOBAIS:VARIÁVEIS LOCAIS E GLOBAIS:VARIÁVEIS LOCAIS E GLOBAIS:
A execução de um A execução de um A execução de um A execução de um arquivo M de comandosarquivo M de comandosarquivo M de comandosarquivo M de comandos,,,, lê as variáveis lê as variáveis lê as variáveis lê as variáveis existentes no existentes no existentes no existentes no workspaceworkspaceworkspaceworkspace e salva todas as variáveis criadas e salva todas as variáveis criadas e salva todas as variáveis criadas e salva todas as variáveis criadas durante sua execução.durante sua execução.durante sua execução.durante sua execução.
functionsfunctionsfunctionsfunctionsfunctionsfunctionsfunctionsfunctions
A execução de um A execução de um A execução de um A execução de um arquivo M de função arquivo M de função arquivo M de função arquivo M de função ((((functionfunctionfunctionfunction), NÃO lê ), NÃO lê ), NÃO lê ), NÃO lê as variáveis existentes no as variáveis existentes no as variáveis existentes no as variáveis existentes no workspaceworkspaceworkspaceworkspace, lê apenas as , lê apenas as , lê apenas as , lê apenas as variáveis dadas na entrada do programa ou aquelas variáveis dadas na entrada do programa ou aquelas variáveis dadas na entrada do programa ou aquelas variáveis dadas na entrada do programa ou aquelas definidas internamente. definidas internamente. definidas internamente. definidas internamente.
A A A A functionfunctionfunctionfunction pode até exibir na tela resultados se não pode até exibir na tela resultados se não pode até exibir na tela resultados se não pode até exibir na tela resultados se não usarmos [usarmos [usarmos [usarmos [;;;;] no final da linha, mas ela só retorna os ] no final da linha, mas ela só retorna os ] no final da linha, mas ela só retorna os ] no final da linha, mas ela só retorna os argumentos assinados em sua saída e não salva as argumentos assinados em sua saída e não salva as argumentos assinados em sua saída e não salva as argumentos assinados em sua saída e não salva as demais variáveis no demais variáveis no demais variáveis no demais variáveis no workspaceworkspaceworkspaceworkspace....
functionsfunctionsfunctionsfunctionsfunctionsfunctionsfunctionsfunctions
Para que uma Para que uma Para que uma Para que uma functionfunctionfunctionfunction leia uma variável definida leia uma variável definida leia uma variável definida leia uma variável definida externamente, é necessário definir essa variável como externamente, é necessário definir essa variável como externamente, é necessário definir essa variável como externamente, é necessário definir essa variável como global global global global em todos os arquivos em que ela é utilizada, ou em todos os arquivos em que ela é utilizada, ou em todos os arquivos em que ela é utilizada, ou em todos os arquivos em que ela é utilizada, ou passar como passar como passar como passar como parâmetro de entradaparâmetro de entradaparâmetro de entradaparâmetro de entrada....
SubSubSubSub----rotinarotinarotinarotina::::Function y=f(x)
SubSubSubSub----rotina:rotina:rotina:rotina:Function y=f(x,a)
Exemplo:Exemplo:Exemplo:Exemplo:
F(x)= xF(x)= xF(x)= xF(x)= x2222 ––––ax+2, onde a é fornecido pelo usuário.ax+2, onde a é fornecido pelo usuário.ax+2, onde a é fornecido pelo usuário.ax+2, onde a é fornecido pelo usuário.
functionsfunctionsfunctionsfunctionsfunctionsfunctionsfunctionsfunctions
Function y=f(x)
global a
Y= x2 –ax+2;
Programa principal:Programa principal:Programa principal:Programa principal:global a
s=fsolve(‘f’,0);
Function y=f(x,a)
Y= x2 –ax+2;
Programa principal:Programa principal:Programa principal:Programa principal:s=fsolve(‘f’,0,[],a);
Administração de ArquivosAdministração de ArquivosAdministração de ArquivosAdministração de ArquivosAdministração de ArquivosAdministração de ArquivosAdministração de ArquivosAdministração de Arquivos
Arquivos de dados do MATLAB:Arquivos de dados do MATLAB:Arquivos de dados do MATLAB:Arquivos de dados do MATLAB:
Salvar:Salvar:Salvar:Salvar:>>save(‘nome’,’var1’,’var2’,’var3’)
nome.m ou nome.mat
Carregar:Carregar:Carregar:Carregar:>>load (‘nome’,’var1’,’var2’,’var3’)
Arquivos de Excel: Arquivos de Excel: Arquivos de Excel: Arquivos de Excel: xlsread e xlswrite
GráficosGráficosGráficosGráficosGráficosGráficosGráficosGráficos
Bidimensionais:Bidimensionais:Bidimensionais:Bidimensionais:
x = -pi:.1:pi;
y = sin(x);
plot(x,y)
plot(x,y,’’’’or’’’’)xlabel('-\pi \leq \Theta \leq \pi')
ylabel('sin(\Theta)')
title('Plot of sin(\Theta)')
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.8
1Plot of sin(Θ)
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
sin
( Θ)
-π ≤ Θ ≤ π
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
seno
co-seno
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-1
-π ≤ Θ ≤ π
x = -pi:.1:pi;
y = sin(x);
Z = cos(x);
figure(2)
plot(x,y,’’’’og’’’’,x,z,’’’’r’’’’)xlabel('-\pi \leq \Theta \leq \pi')
legend(‘‘‘‘seno’’’’,’’’’co-seno’’’’)
SímboloSímboloSímboloSímbolo CorCorCorCor SímboloSímboloSímboloSímbolo MarcadorMarcadorMarcadorMarcador SímboloSímboloSímboloSímbolo Tipo de linhaTipo de linhaTipo de linhaTipo de linha
bbbb AzulAzulAzulAzul .... PontoPontoPontoPonto ---- Linha contínuaLinha contínuaLinha contínuaLinha contínua
gggg VerdeVerdeVerdeVerde oooo CírculoCírculoCírculoCírculo :::: Linha pontilhadaLinha pontilhadaLinha pontilhadaLinha pontilhada
rrrr VermelhoVermelhoVermelhoVermelho xxxx CruzCruzCruzCruz ----.... Traços e pontosTraços e pontosTraços e pontosTraços e pontos
cccc CianoCianoCianoCiano ++++ Sinal de positivoSinal de positivoSinal de positivoSinal de positivo -------- Linha tracejadaLinha tracejadaLinha tracejadaLinha tracejada
mmmm MagentaMagentaMagentaMagenta **** AsteriscoAsteriscoAsteriscoAsterisco
yyyy AmareloAmareloAmareloAmarelo ssss QuadradoQuadradoQuadradoQuadrado
kkkk PretoPretoPretoPreto dddd LosangoLosangoLosangoLosango
wwww BrancoBrancoBrancoBranco vvvv Triangulo para baixoTriangulo para baixoTriangulo para baixoTriangulo para baixo
^̂̂̂ Triangulo para cimaTriangulo para cimaTriangulo para cimaTriangulo para cima
^̂̂̂ Triangulo para cimaTriangulo para cimaTriangulo para cimaTriangulo para cima
<<<< Triangulo para esquerdaTriangulo para esquerdaTriangulo para esquerdaTriangulo para esquerda
>>>> Triangulo para direitaTriangulo para direitaTriangulo para direitaTriangulo para direita
pppp PentagramaPentagramaPentagramaPentagrama
hhhh HexagramaHexagramaHexagramaHexagrama
subplot(2,2,1)
plot(...)
subplot(2,2,2)
plot(...)
subplot(2,2,3)
plot(...)
subplot(2,2,4)
plot(...)
subplot(2,2,1:2)
plot(...)
subplot(2,2,3)
plot(...)
subplot(2,2,4)
plot(...)
FunçãoFunçãoFunçãoFunção DescriçãoDescriçãoDescriçãoDescrição
loglogloglogloglogloglog Gráfico logGráfico logGráfico logGráfico log----loglogloglog
semilogxsemilogxsemilogxsemilogx Gráfico logGráfico logGráfico logGráfico log----normal no eixo xnormal no eixo xnormal no eixo xnormal no eixo x
semilogysemilogysemilogysemilogy Gráfico logGráfico logGráfico logGráfico log----normal no eixo xnormal no eixo xnormal no eixo xnormal no eixo x
polarpolarpolarpolar Gráfico em coordenadas polaresGráfico em coordenadas polaresGráfico em coordenadas polaresGráfico em coordenadas polares
plotyyplotyyplotyyplotyy Gráfico com duas escalas diferentes na verticalGráfico com duas escalas diferentes na verticalGráfico com duas escalas diferentes na verticalGráfico com duas escalas diferentes na vertical
barbarbarbar Gráfico de barrasGráfico de barrasGráfico de barrasGráfico de barras
barhbarhbarhbarh Gráfico de barras horizontaisGráfico de barras horizontaisGráfico de barras horizontaisGráfico de barras horizontais
bar3bar3bar3bar3 Gráfico de barras tridimensionaisGráfico de barras tridimensionaisGráfico de barras tridimensionaisGráfico de barras tridimensionaisbar3bar3bar3bar3 Gráfico de barras tridimensionaisGráfico de barras tridimensionaisGráfico de barras tridimensionaisGráfico de barras tridimensionais
bar3hbar3hbar3hbar3h Gráfico de barras tridimensionais horizontaisGráfico de barras tridimensionais horizontaisGráfico de barras tridimensionais horizontaisGráfico de barras tridimensionais horizontais
histhisthisthist HistogramaHistogramaHistogramaHistograma
paretoparetoparetopareto Gráfico de ParetoGráfico de ParetoGráfico de ParetoGráfico de Pareto
piepiepiepie Gráfico em forma de pizzaGráfico em forma de pizzaGráfico em forma de pizzaGráfico em forma de pizza
xlimxlimxlimxlim Limites no eixo xLimites no eixo xLimites no eixo xLimites no eixo x
ylimylimylimylim Limites no eixo yLimites no eixo yLimites no eixo yLimites no eixo y
gridgridgridgrid Exibe as linhas de gradeExibe as linhas de gradeExibe as linhas de gradeExibe as linhas de grade
boxboxboxbox Exibe caixa em torno do gráficoExibe caixa em torno do gráficoExibe caixa em torno do gráficoExibe caixa em torno do gráfico
GráficosGráficosGráficosGráficosGráficosGráficosGráficosGráficos
Tridimensionais:Tridimensionais:Tridimensionais:Tridimensionais:
FunçãoFunçãoFunçãoFunção DescriçãoDescriçãoDescriçãoDescrição
plot3plot3plot3plot3Traça linhas e pontos no espaço Traça linhas e pontos no espaço Traça linhas e pontos no espaço Traça linhas e pontos no espaço
tridimensionaltridimensionaltridimensionaltridimensional
meshmeshmeshmesh Superfície na forma de uma redeSuperfície na forma de uma redeSuperfície na forma de uma redeSuperfície na forma de uma rede
Superfície na forma de uma rede com curvas Superfície na forma de uma rede com curvas Superfície na forma de uma rede com curvas Superfície na forma de uma rede com curvas meshcmeshcmeshcmeshc
Superfície na forma de uma rede com curvas Superfície na forma de uma rede com curvas Superfície na forma de uma rede com curvas Superfície na forma de uma rede com curvas de nível por baixode nível por baixode nível por baixode nível por baixo
meshzmeshzmeshzmeshzSuperfície na forma de uma rede com plano Superfície na forma de uma rede com plano Superfície na forma de uma rede com plano Superfície na forma de uma rede com plano
no nível zerono nível zerono nível zerono nível zero
surfsurfsurfsurf Gráfico de superfícieGráfico de superfícieGráfico de superfícieGráfico de superfície
surfcsurfcsurfcsurfcGráfico de superfíciecom curvas de nível por Gráfico de superfíciecom curvas de nível por Gráfico de superfíciecom curvas de nível por Gráfico de superfíciecom curvas de nível por
baixobaixobaixobaixo
plot3surfc
plot3surfc
meshz
Exemplo 1:Modelos simples - o tanque de nível
FE AFE AFE A
Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1
h Fh Fh F
Considerando constantes a vazão de alimentação FE, a
densidade ρρρρ e a temperatura T, e que o sistema está sujeito à
condição inicial:
( ) 00 hth == (1)
Modelos simples - o tanque de nível
pode-se escrever o balanço de massa do sistema
( )( )FF
dt
tdmE −= ρ (2)
( ) ( )dt
tdhA
dt
tdmρ=
( )( )FF
Adt
tdhE −=
1
Ainda,
e, portanto,
(3)
(4)
Modelos simples - o tanque de nível
Freqüentemente, considera-se a vazão de saída do tanque
proporcional à altura da coluna de líquido é inversamente
proporcional a uma resistência ao escoamento (R):
h
R
hF =
( )
−=R
hF
Adt
tdhE
1
Logo,
(5)
(6)
Modelos simples - o tanque de nível
Este modelo simples de um tanque de nível, sem balanço de
energia, possui uma solução analítica:
( )
−=−RA
t
eRFth 1( )
−=
−RA
E eRFth 1
Para simular este modelo, basta escolher os valores das
constantes R, A e FE, das condições iniciais h0 e t0.
A simulação da solução analítica do modelo do tanque de
nível é mostrada a seguir.
(7)
Faça: R = 1; A = 2; FE = 10
InterpolaçãoInterpolaçãoInterpolaçãoInterpolaçãoInterpolaçãoInterpolaçãoInterpolaçãoInterpolação
Interpolação unidimensional:Interpolação unidimensional:Interpolação unidimensional:Interpolação unidimensional:
YI = INTERP1(X,Y,XI,METHOD)
The default is linear interpolation. Use an empty matrix [] to
specify the default. Available methods are:
'nearest' - nearest neighbor interpolation
'linear' - linear interpolation (default)'linear' - linear interpolation (default)
'spline' - piecewise cubic spline interpolation (SPLINE)
'pchip' - shape-preserving piecewise cubic interpolation
'cubic' - same as 'pchip'
'v5cubic' - the cubic interpolation from MATLAB 5, which
does not extrapolate and uses 'spline' if X is not equally
InterpolaçãoInterpolaçãoInterpolaçãoInterpolaçãoInterpolaçãoInterpolaçãoInterpolaçãoInterpolação
Interpolação bidimensional:Interpolação bidimensional:Interpolação bidimensional:Interpolação bidimensional:
ZI = INTERP2(X,Y,Z,XI,YI,METHOD)
The default is linear interpolation. Use an empty matrix [] to
specify the default. Available methods are:
'nearest' - nearest neighbor interpolation
'linear' - bilinear interpolation'linear' - bilinear interpolation
'cubic' - bicubic interpolation
'spline' - spline interpolation
PolinômiosPolinômiosPolinômiosPolinômiosPolinômiosPolinômiosPolinômiosPolinômios
Raízes: Raízes: Raízes: Raízes:
p(x) = x4-12x3+25x+116
>>p = [1 -12 0 25 116];
>>r = roots(p)
r = 11.7473
2.7028
-1.2251 + 1.4672i
-1.2251 - 1.4672i
PolinômiosPolinômiosPolinômiosPolinômiosPolinômiosPolinômiosPolinômiosPolinômios
Mutiplicação: Mutiplicação: Mutiplicação: Mutiplicação:
a(x) = x3+2x2+3x+4 e b(x) = x3+4x2+9x+16
>>a = [1 2 3 4];
>>b = [1 4 9 16];>>b = [1 4 9 16];
>>c = conv(a,b)
c =
1 6 20 50 75 84 64
c(x) = x6+6x5+20x4+50x3+75x2+84x+64
PolinômiosPolinômiosPolinômiosPolinômiosPolinômiosPolinômiosPolinômiosPolinômios
Adição: Adição: Adição: Adição:
a(x) = x3+2x2+3x+4 e b(x) = x3+4x2+9x+16
>>a = [1 2 3 4];
>>b = [1 4 9 16];>>b = [1 4 9 16];
>>d = a + b
d =
2 6 12 20
a(x) = 2x3+6x2+12x+20
PolinômiosPolinômiosPolinômiosPolinômiosPolinômiosPolinômiosPolinômiosPolinômios
Divisão: Divisão: Divisão: Divisão:
a(x) = x3+2x2+3x+4 e b(x) = x3+4x2+9x+16
>>a = [1 2 3 4];
>>b = [1 4 9 16];>>b = [1 4 9 16];
>>[q,r] =deconv(a,b)
q = 1
r = 0 -2 -6 -12
r(x) = 1 e q(x) = -2x2-6x-12
PolinômiosPolinômiosPolinômiosPolinômiosPolinômiosPolinômiosPolinômiosPolinômios
Derivadas: Derivadas: Derivadas: Derivadas:
p(x) = x4-12x3+25x+116
>>p = [1 -12 0 25 116];
>>h = polyder(p)>>h = polyder(p)
h = 4 -36 0 25
h(x) = 4x3-36x2+25
PolinômiosPolinômiosPolinômiosPolinômiosPolinômiosPolinômiosPolinômiosPolinômios
Integrais: Integrais: Integrais: Integrais:
h(x) = 4x3-36x2+25
>>h = [4 -36 0 25];
>>r = polyint(h,116)
r = = 1 -12 0 25 116
r(x) = x4-12x3+25x+116
PolinômiosPolinômiosPolinômiosPolinômiosPolinômiosPolinômiosPolinômiosPolinômios
Cálculo do polinômio num intervalo: Cálculo do polinômio num intervalo: Cálculo do polinômio num intervalo: Cálculo do polinômio num intervalo:
p(x) = x3+4x2-7x-10 x =[-1;3]
>>p = [1 4 -7 -10];
>>x = linspace(-1,3,5);>>x = linspace(-1,3,5);
>>v = polyval(p,x)
v = 0 -10 -12 0 32
PolinômiosPolinômiosPolinômiosPolinômiosPolinômiosPolinômiosPolinômiosPolinômios
Ajuste de curvas: Ajuste de curvas: Ajuste de curvas: Ajuste de curvas:
>>x = [0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5];
>>y = [-0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34];
>>p = polyfit(x,y,2)
p = -22.0589 27.3497 -0.5835p = -22.0589 27.3497 -0.5835
P(x) = -22.0589x2+27.3497x-0.5835
Integração NuméricaIntegração NuméricaIntegração NuméricaIntegração NuméricaIntegração NuméricaIntegração NuméricaIntegração NuméricaIntegração Numérica
F = @(x)1./(x.^3-2*x-5);
Q = quad(F,0,2)
Q = -0.46052
3
1
2 5
dxx x− −∫
function y = myfun(x)
y = 1./(x.^3-2*x-5);
Q = quad(@myfun,0,2)
Q = -0.4605
Ou:Ou:Ou:Ou: quadl
30 2 5
dxx x− −∫
Diferenciação NuméricaDiferenciação NuméricaDiferenciação NuméricaDiferenciação NuméricaDiferenciação NuméricaDiferenciação NuméricaDiferenciação NuméricaDiferenciação Numérica
dy y∆≈
∆dydx = diff(y)./diff(x)
dx x≈
∆dydx = diff(y)./diff(x)
Sistema de Equações Algébricas Sistema de Equações Algébricas Sistema de Equações Algébricas Sistema de Equações Algébricas Sistema de Equações Algébricas Sistema de Equações Algébricas Sistema de Equações Algébricas Sistema de Equações Algébricas Não LinearesNão LinearesNão LinearesNão LinearesNão LinearesNão LinearesNão LinearesNão Lineares
[x,fval] = fsolve(fun,x0)
Equações DiferenciaisEquações DiferenciaisEquações DiferenciaisEquações DiferenciaisEquações DiferenciaisEquações DiferenciaisEquações DiferenciaisEquações Diferenciais
EDOs PVI: EDOs PVI: EDOs PVI: EDOs PVI:
ODE23: : : : RungeRungeRungeRunge----Kutta de 2ª e 3ª ordens.Kutta de 2ª e 3ª ordens.Kutta de 2ª e 3ª ordens.Kutta de 2ª e 3ª ordens.ODE23s: : : : RungeRungeRungeRunge----Kutta de 2ª e 3ª ordens para Kutta de 2ª e 3ª ordens para Kutta de 2ª e 3ª ordens para Kutta de 2ª e 3ª ordens para problemas com rigidez numérica (problemas com rigidez numérica (problemas com rigidez numérica (problemas com rigidez numérica (stiff stiff stiff stiff ).).).).
::::RungeRungeRungeRunge----Kutta de 4ª e 5ª ordens.Kutta de 4ª e 5ª ordens.Kutta de 4ª e 5ª ordens.Kutta de 4ª e 5ª ordens.ODE45::::RungeRungeRungeRunge----Kutta de 4ª e 5ª ordens.Kutta de 4ª e 5ª ordens.Kutta de 4ª e 5ª ordens.Kutta de 4ª e 5ª ordens.
[T,Y] = solver(odefun,tspan,y0)
Tanque de aquecimento
h
FE ,TE
F , T
A
T
Th
h
FE ,TE
F , T
A
T
Th
Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2
h F , TTh h F , TTh
Considerando constantes a vazão de alimentação FE, a
temperatura Th, o coeficiente global de transferência de calor U e
as propriedades do fluido ρρρρ e Cp e que o sistema está sujeito às
condições iniciais:
( ) 00 hth == ( ) 00 TtT ==
Modelos simples - tanque de aquecimento
Como no caso anterior, o balanço de massa pode ser escrito
como :
( )
−=R
hF
Adt
tdhE
1(6)
O balanço de energia é escrito como:O balanço de energia é escrito como:
( )
+−
+=
p
E
p
hEE
C
U
A
FT
C
UT
A
TF
hdt
dT
ρρ
1(11) (8)
Constantes do Modelo:R = 1 h/m2 Ro = 1000 kg/m3
A = 2 m2 U = 150 kJ/(m2 . s . K)FE = 10 m3/h TE = 530 KCp = 0.75 kJ/(kg.K) Th = 540 K
Condições iniciais:T0 = Th
h0 = 5/A
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