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ALINE NEVES GOMES
Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea: Geometria dinâmica e arquitetura
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado como requisito parcial para a obtenção de título de Licenciatura em Matemática, Universidade do Estado do Pará. Orientador: Prof. MSc. Antônio José Barros Neto
Belém 2009
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) Biblioteca do Centro de Ciências Sociais e Educação da UEPA
Gomes, Aline Neves
Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea: Geometria dinâmica e arquitetura / Aline Neves Gomes, orientação de Antônio José Barros Neto. Belém, 2009. Trabalho de Conclusão de Curso (Licenciatura Plena em Matemática) –
Universidade do Estado do Pará. Belém, 2009. 1. Geometria – Estudo e Ensino 2. Matemática I. Título.
CDD: 21 ed. 516.007
ALINE NEVES GOMES
Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea: Geometria dinâmica e arquitetura
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado como requisito parcial para a obtenção de titulo de Licenciatura em Matemática, Universidade do Estado do Pará.
Data da aprovação: 05 de Fevereiro de 2009
Banca Examinadora
______________________________- Orientador
Prof. Antônio José Barros Neto Mestre em Ciência da Computação pelo Centro de Informática (CIn) da UFPE Universidade do Estado do Pará
______________________________
Prof. Pedro Franco de Sá
______________________________
Prof. Weber da Silva Mota
Ao meu Deus.
Fonte de toda sabedoria e conhecimento.
Único digno de louvor, honra e glória.
AGRADECIMENTOS
Ao Deus de toda terra, amor inexplicável, fui perdoada, estou viva, fui
restaurada, liberta, tocada pelo Seu espírito e guiada pela Sua palavra, pelo amor
que nunca falha. Por que sei que deu ao mundo o Seu filho único para que
conhecêssemos o Seu nome, e vivêssemos o amor do Salvador, Ele tomou o meu
lugar, sabendo que seria crucificado, mas me amou mesmo indigna. É a minha
força, é a minha esperança, que com Seu poder e misericórdia me levanta, e faz me
andar sobre os oceanos mais profundos. Eu dou a minha vida para honrar o amor de
Cristo, pois tudo que tenho, tudo que sou e o que vier a ser vem Dele.
A minha amada mãe Ivanete, minha amiga e companheira, minha
inspiração de vida, meu grande amor. Ao meu pai Adelson, a quem eu amo
sinceramente. Aos meus irmãos, Alessandra, Júnior, Felipe, Emmily, Ana e Soyane
pelo apoio, incentivo e força.
A toda minha família, mesmo os mais distantes, por toda colaboração
para a conclusão do meu curso, em especial meus avós Arão, Lourdes e Antônio,
minha tia Uilza e Marilene e minhas primas Marisa, Marília, Jene, Suzane e Karina.
Aos meus amigos do curso de matemática, pelas madrugadas, pelos
trabalhos, pelo apoio, mesmo nas horas mais difíceis me fizeram acreditar que eu
conseguiria concluir o curso, e demonstraram que juntos resistimos. Somos mais
que vencedores e o nosso diploma é mais do que merecido.
Ao Diego Rodrigo e Andrique pela compreensão, pela força e amizade.
Aos que não completaram o curso por colaborarem de alguma forma para
que eu chegasse ao final.
Ao meu orientador professor Antônio José Barros, pela compreensão, por
aceitar minhas idéias, por me ouvir e me ajudar.
Aos outros amigos da universidade estadual que de alguma forma,
contribuíram para a minha formação, seja em projetos, revisando trabalhos ou me
ouvindo.
A família Hoshino pela amizade e apoio. A família Mello por me ajudarem
sempre. A família Dias pelas orações.
Aos amigos de arquitetura pelas brincadeiras que me fazem sorrir mesmo
nos piores momentos, especialmente ao Daniel, Lucas e Monique, pelas longas
conversas e por me agüentarem quando ninguém agüentava. Aos professores de
arquitetura pelas orientações que inspiraram este trabalho, especialmente José
Bassalo, Thais Sanjad e Juliano Ximenes, exemplo de profissionais e grandes
mestres.
Aos amigos da Secult, grandes chefes, que me ensinam ser uma
profissional competente de forma descontraída, em especial a Myrian Maia, pelas
orientações e a Mena Mata, exemplo de vida e alegria e por acreditar no meu
potencial.
Aos amigos da Igreja Evangélica Assembléia de Deus, por me ajudarem
sendo os grandes pilares da minha vida, em especial ao Levy André, meu grande
irmão e ao Grupo Adoração Viva.
A Universidade do Estado do Pará e aos seus funcionários, destacando-
se a Eunice, pela compreensão e ajuda em qualquer situação.
Aos professores pelo auxilio na formação acadêmica, em especial a
Acylena Coelho, Natanael Freitas e Mário Thomás, por colaborarem com este
trabalho e pelos conselhos que me fizeram ver que somos os responsáveis pela
quebra de paradigmas e assim pelas mudanças na educação.
A todos que não lembrei neste momento de colocar aqui, mas que estão
guardados nas minhas lembranças.
Você precedeu a criação, eternidade em suas
mãos, toda a minha vida falou em motivação,
minha alma vai resistir.
Você agüentou a minha derrota, carregou a cruz
por minha vergonha, meu pecado pesou sobre
Seus ombros, minha alma vai resistir.
E o que posso dizer, o que posso fazer, além de
oferecer este coração, inteiramente a Você.
Caminharei na salvação, Seu Espírito vivo em
mim, a vida a fortalecer Sua promessa, minha vai
resistir.
E o que posso dizer, o que posso fazer, além de
oferecer este coração, inteiramente a Você.
Vou resistir, braços ao alto, coração abandonado,
em respeito ao Único que tudo deu.
Vou resistir, minha alma entregue para Ti Senhor,
tudo o que sou é Seu.
E o que posso dizer, o que posso fazer, além de
oferecer este coração, inteiramente a Você.
Hillsong
GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 73
RESUMO
GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea: Geometria dinâmica e arquitetura. 2009. 81 f. Trabalho de Conclusão de Curso (Licenciatura em Matemática) – Universidade do Estado do Pará, Belém, 2009. O trabalho apresenta uma proposta de seqüência didática para o tema de secção áurea a ser executada por meio do software de geometria dinâmica Cabri II Plus utilizando imagens digitais de fachadas de prédios que sofreram alguma intervenção do arquiteto italiano Antônio Landi como área de desenho ou zona de trabalho para as construções geométricas. Para tanto foi estudada a relação entre matemática e arquitetura, em especial a secção áurea, a forma como os livros didáticos e livros de educação matemática abordam esta relação e a utilizam no ensino de determinado domínio da matemática bem como a importância da utilização de geometria dinâmica para promover a construção do conhecimento. Acredita-se que o uso adequado de software educacional tem uma influência direta na formação do senso crítico e investigativo do aluno, e ainda que o uso de temas que fazem parte do cotidiano do aluno pode contribuir substancialmente para o processo de ensino aprendizagem. A proposta envolve aspectos históricos, técnicos e matemáticos, que estimulam o aprendizado com o objetivo de conduzir o aluno a construir a definição de secção áurea e a investigar suas aplicações em alguns exemplos da arquitetura da cidade de Belém, mostrando que é possível aplicar uma seqüência didática que torne a geometria menos abstrata demonstrando a utilidade da secção áurea desde que o professor esteja disposto a utilizar métodos diferentes de ensino e aprendizagem. Palavras-chave: Secção Áurea. Geometria Dinâmica. Educação. Arquitetura. Landi.
GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 73
ABSTRACT
GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea: Geometria dinâmica e arquitetura. 2009. 81 f. Trabalho de Conclusão de Curso (Licenciatura em Matemática) – Universidade do Estado do Pará, Belém, 2009. The work presents a proposal of didactic sequence for the theme of golden section to be executed by means of the software of dynamic geometry Cabri II Plus using digital images of facades of buildings that suffered some intervention of the Italian architect Antônio Landi as drawing area or work zone for the geometric constructions. For so much it was studied the relationship between mathematics and architecture, especially the golden section, the form as the didactic books and books of mathematical education approach this relationship and they use it in the teaching certain domain of the mathematics as well as the importance of the use of dynamic geometry to promote the construction of the knowledge. It is believed that the adapted use of educational software has a direct influence in the formation of the student's critical and investigative sense, and although the use of themes that you/they are part of the daily of the student can contribute substantially to the process of teaching learning. The proposal involves historical aspects, technicians and mathematical, that stimulate the learning with the objective of driving the student to build the definition of golden section and to investigate its applications in some examples of the architecture of the city of Belém, showing that is possible to apply a didactic sequence that turns the less abstract geometry demonstrating the usefulness of the golden section since the teacher is arranged to use methods different from teaching and learning. Key-words: Golden Section. Dynamic geometry. Education. Architecture. Landi.
GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 73
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Imagem 01 - Semelhanças matemáticas na natureza 15
Imagem 02 - Segmentos da definição de secção áurea 17
Imagem 03 - Série de Fibonacci no molusco náutico 18
Imagem 04 - Retângulo áureo 19
Imagem 05 - Desenho do retângulo de ouro ABED 19
Imagem 06 - Análise gráfica do uso de secção áurea na fachada do
Partenon 20
Imagem 07 - Análise gráfica do uso de secção áurea na fachada de
Santa Maria de Novella 21
Imagem 08 - Homem Vitruviano 22
Imagem 09 - Retângulo de ouro na Mona Lisa 22
Imagem 10 - Modulor de Le Corbusier 23
Imagem 11 - Espaço ocupado por uma pessoa segundo o modulor de Le
Corbusier 24
Imagem 12 - Planta baixa do projeto Museu Mundial de Le Corbusier 25
Imagem 13 - Catedral Metropolitana de Belém 26
Imagem 14 - Igreja de Santo Alexandre 27
Imagem 15 - Casa das Onze janelas 28
Imagem 16 - Comparações de elementos da planta baixa com elementos
geométricos 30
Imagem 17 - Altura da tesoura de acordo com a largura do vão 31
Imagem 18 - Proporcionalidades no corpo humano 33
Imagem 19 - Construção da espiral logarítmica 33
Imagem 20 - Seqüência de retângulos áureos 36
Imagem 21 - Corpo humano e medidas em razão áurea 37
Imagem 22 - Traçado da circunferência 48
Imagem 23 - Prolongamento dos lados do quadrado 49
Imagem 24 - Reta perpendicular 50
Imagem 25 - Marcação dos vértices do retângulo 50
Imagem 26 - Segmento a serem medidos 51
Imagem 27 - Complexo Feliz Lusitânia 54
GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 74
Imagem 28 - Fachada inserida em um retângulo 56
Imagem 29 - Identificação dos retângulos áureos 57
Imagem 30 - Traçado de bissetrizes 58
Imagem 31 - Demonstração geométrica do retângulo áureo 59
Imagem 32 - Identificação dos retângulos áureos 60
Imagem 33 - Demonstração geométrica do retângulo áureo 62
Imagem 34 - Retângulo áureo 01 da Igreja de Santo Alexandre 63
Imagem 35 - Retângulo áureo 02 da Igreja de Santo Alexandre 63
Imagem 36 - Retângulo áureo 03 da Igreja de Santo Alexandre 64
Imagem 37 - Retângulo áureo 04 da Igreja de Santo Alexandre 64
Imagem 38 - Retângulo áureo 05 da Igreja de Santo Alexandre 65
Imagem 39 - Retângulo áureo 06 da Igreja de Santo Alexandre 65
Imagem 40 - Retângulo áureo 07 da Igreja de Santo Alexandre 66
Imagem 41 - Retângulo áureo 08 da Igreja de Santo Alexandre 66
Imagem 42 - Retângulo áureo 09 da Igreja de Santo Alexandre 67
Imagem 43 - Retângulo áureo 10 da Igreja de Santo Alexandre 67
Imagem 44 - Retângulo áureo 11 da Igreja de Santo Alexandre 68
Imagem 45 - Retângulo áureo 01 da Catedral Metropolitana de Belém 69
Imagem 46 - Retângulo áureo 02 da Catedral Metropolitana de Belém 69
Imagem 47 - Retângulo áureo 03 da Catedral Metropolitana de Belém 70
Imagem 48 - Retângulo áureo 04 da Catedral Metropolitana de Belém 70
Imagem 59 - Retângulo áureo 05 da Catedral Metropolitana de Belém 71
Imagem 50 - Retângulo áureo 06 da Catedral Metropolitana de Belém 71
Imagem 51 - Retângulo áureo 07 da Catedral Metropolitana de Belém 72
Imagem 52 - Retângulo áureo 08 da Catedral Metropolitana de Belém 72
Imagem 57 - Retângulo áureo 09 da Catedral Metropolitana de Belém 73
Imagem 54 - Retângulo áureo 10 da Catedral Metropolitana de Belém 73
Imagem 55 - Retângulo áureo 11 da Catedral Metropolitana de Belém 74
Imagem 56 - Retângulo áureo 12 da Catedral Metropolitana de Belém 74
GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 73
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO 12
2 MATEMÁTICA E ARQUITETURA 14
2.1 Secção Áurea 16
2.2 Antônio Landi 25
3 ATIVIDADES MATEMÁTICAS ENVOLVENDO ARQUITETURA 29
3.1 Exemplo de Atividade Envolvendo Arquitetura 29
3.2 Exemplo de Atividade Envolvendo Secção Áurea 32
3.3 Livros Didáticos e Atividades com Secção Áurea 34
4 GEOMETRIA DINÂMICA 38
4.1 Informática e Educação Matemática 38
4.2 Conceito de Geometria Dinâmica 41
4.3 Cabri II Plus 43
5 PROPOSTA DE SEQUENCIA DIDÁTICA 45
5.1 Primeira etapa: Conceito de secção áurea 47
5.1.1 Atividade 01: A forma geométrica perfeita 47
5.1.2 Atividade 02: Construção de um retângulo áureo 47
5.1.3 Atividade 03: Análise das proporções no retângulo áureo 51
5.1.4 Observações 52
5.1.5 Resultados esperados 52
5.2 Segunda etapa: Análise de fachadas 53
5.2.1 Atividade 04: Visita monitorada 53
5.2.2 Atividade 05: Medindo a fachada da Casa das Onze janelas 54
5.2.3 Atividade 06: Análise da fachada da Casa das Onze Janelas 57
5.2.4 Atividade 07: Medindo uma janela da Casa das Onze Janelas 59
5.2.5 Atividade 08: Análise de uma janela da Casa das Onze Janelas 60
5.2.6 Atividade 09: Análise da fachada da Igreja de Santo Alexandre 62
5.2.7 Atividade 10: Análise da fachada da Catedral Metropolitana de Belém 68
5.2.8 Observações 75
5.2.9 Resultados esperados 75
6 COCLUSÃO 76
REFERÊNCIAS 78
GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 12
1 INTRODUÇÃO
A matemática muitas vezes é vista pelos alunos como uma disciplina
muito abstrata, não conseguindo relacioná-la com algo do seu cotidiano. No entanto,
pesquisas no campo da educação matemática buscam torná-la mais palpável e
acessível aos alunos, facilitando assim a matemática. Um tópico que pode ser
extremamente abordado relacionando-o com o cotidiano é a geometria pelas suas
aplicações em diversas áreas, como exemplo na arquitetura, pois nesta área desde
o processo de concepção até a execução a geometria é explorada. Existem
inúmeras relações que envolvem a geometria e a arquitetura, entre elas destaca-se
neste trabalho a secção áurea, muito utilizada por arquitetos, matemáticos,
escultores e pintores ao longo dos séculos por representar a expressão máxima de
beleza.
Este trabalho teve como objetivo principal propor uma seqüência didática
que envolvesse o conceito de secção áurea tendo como ferramenta principal o
software de geometria dinâmica Cabri II Plus e utilizando imagens de fachadas de
alguns prédios que sofreram algum tipo de intervenção do arquiteto Giuseppe
Antônio Landi. A seqüência didática se destina aos alunos do ensino médio que já
tenham estudado números irracionais, sendo assim um exemplo de aplicação de um
número irracional, no entanto, com as devidas adaptações pode ser aplicadas a
alunos do ensino fundamental para o estudo de proporções.
Para tanto foi realizada uma pesquisa bibliográfica sobre informática na
educação matemática, o uso de software de geometria dinâmica, a influência da
matemática na arquitetura, modelos de proporções arquitetônicas e edifícios que
sofreram intervenção de Landi. Depois dessa etapa foi elaborado o projeto de
pesquisa que orientou a elaboração deste trabalho final organizando os conceitos e
objetivos a serem alcançados, traçando assim as diretrizes da pesquisa. Então
foram escolhidos os edifícios a serem usados como modelos para as atividades com
secção áurea. Foi feita uma consulta aos livros didáticos recomendados pelo
Ministério da Educação, para analisar a forma como é abordado o conceito de
secção áurea, além de livros que continham atividades matemáticas que
envolvessem arquitetura. Assim foram feitos os experimentos nas imagens das
fachadas dos prédios escolhidos utilizando o software de geometria dinâmica Cabri II
Plus, desenvolvendo uma seqüência didática para o ensino de secção áurea.
GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 13
O trabalho está dividido em quatro capítulos começando com um pouco
da história da relação entre matemática e arquitetura, destacando a secção áurea e
o trabalho e a relevância de Landi para a cidade de Belém, seguido por exemplos e
análises de atividades matemáticas que envolvem arquitetura, citando as atividades
encontradas em alguns livros didáticos. O capítulo seguinte trata sobre a geometria
dinâmica, destacando a importância da informática na educação, definido e
caracterizando geometria dinâmica e descrevendo os principais recursos
disponibilizados no Cabri II Plus. E por fim, a proposta de seqüência didática para o
estudo de secção áurea.
O software Cabri II Plus foi escolhido pelo fato de permitir a inserção de
imagens digitais como fundo, podendo-se assim trabalhar construções sobre estas
imagens, no entanto existem outros softwares de geometria dinâmica que permitem
este tipo de manuseio.
GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 14
2 MATEMÁTICA E ARQUITETURA
A matemática é o magistral edifício
imaginado pelo homem para
compreender o Universo. Nela encontra-
se o absoluto e o infinito, o apreensível e
o não-apreensível [...].
Le Corbursier1
Os sistemas matemáticos de proporção são o maior elo entre matemática
e a arquitetura. Eles se originaram do conceito pitagoriano que tudo é número, além
da crença de que as relações harmônicas do universo são manifestações de
relações numéricas. Sobre esta crença Thompson (apud SILVA, 1991, p. 53), afirma
que:
A definição matemática de uma forma tem uma qualidade de precisão que estava completamente ausente no nosso primitivo estágio de mera descrição; ela e expressa em poucos vocábulos ou em símbolos ainda mais breves, e estes vocábulos ou símbolos estão tão prenhes de significação que o próprio pensamento e economizado; somos trazidos, por meio dela, para a proximidade do aforisma de Galileu (tão antigo quanto Platão, tão antigo quanto Pitágoras, tão antigo quanto a sabedoria dos egípcios), segundo o qual ‘o livro da natureza é escrito com caracteres da Geometria’. (apud SILVA, 1991, p.53)
O centro de toda educação filosófica estava na matemática e na
geometria, pois as verdades matemáticas eram tidas como indiscutíveis, exatas e
intemporais. Para Silva (1999, p.57) os teoremas matemáticos descreviam o mundo
legítimo “[...] sendo as formas geométricas as manifestações por excelência da
beleza. Pois a geometria era a mais inequívoca expressão da lógica, a qual não
poderia estar alheia a beleza.”
Na arquitetura a busca pela harmonia no processo projetual vem da idéia
de que a beleza pode ser definida como integridade, harmonia e claridade. Como
para gregos a matemática podia expressar este tipo de beleza, a arquitetura por
meio de suas doutrinas foi conduzida para a matemática.
Essa harmonia defendida, veementemente pelos pitagóricos2, foi
expandida para diversas áreas do conhecimento, como a geometria, a mecânica
celeste, a biologia e a estética visual.
1 Apud POSSEBON, 2008, p. 60.
GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 15
Silva (1991) defende que a matemática pregada por Pitágoras3 é muito
diferente da que se conhece hoje, os números sobrepujavam as relações e
transcrições quantitativas, sendo suas aplicações mais amplas do que as que se
entende atualmente. Os números eram estudados em sua essência qualitativa e
Pitágoras e outros filósofos da antiguidade estudaram e pesquisaram a natureza e
seus fenômenos minuciosamente com a finalidade de entender e explicar suas leis
morfogenéticas4, que para eles tinham como base a matemática e a geometria
(imagem 01).
Imagem 01: Semelhanças matemáticas na natureza
Fonte: DIAS, 2008 p.11.
No entanto, esse espírito de investigação da matemática e suas relações
com a natureza parecem esquecidos pelos pesquisadores atuais, não somente na
área da matemática, como também na arquitetura. Doczi (apud SILVA, 1991, p. 54)
afirma estar preocupado com esta falta de interesse:
Por que será que as flores da macieira apresentam sempre cinco pétalas? Por que usamos tantos números quantos podemos contar em nossos dedos? Perguntas como estas, só as crianças fazem, os adultos dão pouca importância a elas, simplesmente aceitam, sem buscar a razão. Quando examinamos profundamente o padrão de uma flor de macieira, uma concha ou o balanço de um pêndulo, descobrimos há uma perfeição, uma ordenação incrível que desperta em nós o maravilhoso que experimentávamos quando crianças. Algo infinitamente maior do que nos se revela e, ainda sim, e parte de nós mesmos, o ilimitado emerge dos limites. (apud SILVA, 1991, p.54)
2 Fundaram a teoria dos números, estabeleceram os métodos de argumento geométrico e
desenvolveram a teoria da proporcionalidade.
3 Nasceu em 530 a.C., foi considerado o pai da música e procurava explicar o universo através
da proporcionalidade harmônica, pregando segundo Biembengut (1999, p.31) que “[...] suas
diferenças qualitativas poderiam ser reduzidas a diferenças quantitativas.” Para o renascimento ele
representou a perfeição do saber matemático e místico.
4 Leis relacionadas ao estudo da formação e da estrutura de acordo com sua herança genética.
GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 16
O que se observava era o interesse dos arquitetos de diferentes
gerações, gregos5, renascentistas6 e modernistas7, em utilizar no processo projetual
sistemas de proporcionalidade, tendo como objetivo gerar uma compreensão de
ordem e harmonia no que diz respeito aos elementos da sua composição visual.
O papel dos sistemas de proporcionalidade vai além do caráter técnico e
funcional, pois eles estabelecem um fundamento lógico na estética de uma obra
arquitetônica, conferindo beleza as suas dimensões, unificando visualmente os
elementos do projeto. De acordo com Ching (2005, p.285) os sistemas de
proporcionalidade “Podem conferir um sentido de ordem a uma seqüência de
espaços e elevar o continuidade dela. Podem estabelecer relações entre os
elementos externos e internos de um edifício.”
Sobre os sistemas de proporcionalidade, Euclides8 (apud CHING, 2005,
p.284) afirma que:
[...] um sistema de proporcionalidade estabelece um conjunto coerente de relações visuais entre as partes de um edifício, assim como entre as partes e o todo. Embora tais relações possam não ser imediatamente percebidas pelo observador casual, a ordem visual que criam pode ser percebida, aceita ou mesmo reconhecida através de uma série de experiências repetitivas. Após um certo período de tempo podemos começar a ver o todo na parte, e aparte no todo. (apud CHING, 2005, p. 284)
2.1 Secção Áurea
Existem diversas teorias de proporção criadas ao longo da história da
arquitetura, entre elas destaca-se a secção áurea, devido sua característica
vanguardista sendo, ainda hoje, extremante contemporânea.
5 A arquitetura grega (146 d.C.) é conhecida pelas suas regras de formas e proporção, essas
regras influenciaram muitas gerações de arquitetos.
6 A arquitetura renascentista (séculos XVI e XVII) é caracterizada pela grande importância dada
à simetria e as relações matemáticas exatas entre as partes da obra arquitetônica, havendo ênfase
nos modelos clássicos.
7 A arquitetura modernista (século XX) tem caráter inovador, havendo uma ruptura filosófica e
prática com o passado.
8 Nasceu em 300 a.C., organizou de forma lógica os descobrimentos geométricos de seus
antecedentes. Segundo Biembengut (1999) “A beleza, a exatidão e o raciocínio geométrico
apresentado nos ‘Elementos’ constituem um modelo clássico de organização formal da matemática,
encontrados ainda hoje no método axiomático.”
GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 17
A secção áurea é utilizada desde a antiguidade como forma de buscar a
perfeição. Tida como o número que atinge a excelência dos números por arquitetos,
pintores, escultores e até por biólogos. Segundo Ching (2005, p.286), a secção
áurea pode ser definida como “[...] a razão entre duas secções de uma reta, e ou
duas dimensões de uma figura plana, em que a menor das duas está para maior
assim como a maior está para a soma das ambas”. Assim se um ponto divide um
segmento de reta em média e extrema razão, este está dividindo-o em secção
áurea, e a divisão da menor parte do segmento pela maior denomina-se razão áurea
(EVES, 2004). Essa definição pode ser expressa algebricamente da seguinte forma:
a b=
b a + b
Onde a e b são segmentos de retas com onde b > a, conforme ilustra a
imagem 02.
Imagem 02: Segmentos da definição de secção áurea.
Fonte: Autor.
Essas proporções são encontradas em formas da natureza e no corpo
humano, e assim foram utilizadas em pinturas, construções e esculturas ao longo
dos tempos por diferentes gerações de artistas, servindo de base desde os
renascentistas até os modernistas. Ching (2005, p. 286) afirma que “Os arquitetos
renascentistas exploraram a secção áurea em suas obras. Em tempos mais
recentes, Le Corbusier baseou seu sistema Modulor na secção áurea. Seu uso na
arquitetura pendura mesmo nos dias atuais.” A secção áurea é tratada como uma
forma de regular e imprimir em criações uma ordem que lhe confira qualidade
indiscutível.
A secção áurea se aproxima da Série de Fibonacci9 (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13...),
na qual cada termo a partir do terceiro é alcançado pela soma dos dois termos
9 Também conhecido como Leonardo de Pisa, viveu de 1175 a 1250, e foi o mais talentoso
matemático da idade média (EVES, 2004). Publicou a obra intitulada Liber abaci, onde defende a
notação indu-arábica
GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 18
imediatamente anteriores, sendo que a razão entre dois termos consecutivos obtém-
se o chamado número de ouro, conhecido pelo símbolo Ф (lê-se phi), em
homenagem a Phideas10.
φ = =1+ 5
1,6180339887...2
Boyer (1987, p. 186) ao discorrer sobre a seqüência de Fibonacci afirma
que “[...] verificou-se que essa seqüência tem muitas propriedades belas e
significativas. [...] A seqüência se aplica também a questões de filotaxia e
crescimento orgânico.” No molusco náutico é possível observar que os lados dos
quadrados que dão forma a ele seguem a seqüência 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,...
correspondente a série de Fibonacci (imagem 03)
Imagem 03: Série de Fibonacci no molusco náutico.
Fonte: DIAS, 2008 p.11.
O chamando retângulo áureo ou retângulo de ouro (imagem 04), é
considerado perfeito devido à razão entre o lado maior e o lado menor ser o número
de ouro, sendo a sua proporção considerada a mais agradável ao observador.
10 Escultor grego que viveu no século V a.C.
GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 19
Imagem 04: Retângulo áureo, a razão de entre a e b é igual a Ф.
Fonte: Autor.
Este retângulo pode ser obtido através de qualquer quadrado, trançando
partir de seu ponto médio de qualquer um de seus lados, um segmento de reta até
um dos vértices de seu lado oposto, e utilizando o compasso, traçasse um arco que
cruze o prolongamento do lado inicial. Obtendo-se então, o lado maior do retângulo
(imagem 05).
Imagem 05: Desenho do retângulo de ouro ABED, onde ACFD é um quadrado e M é o ponto médio
de AC.
Fonte: Autor.
Assim MF é igual a 5AC
2 e AB é igual a
1+ 5AC
2
Na Grécia o retângulo de ouro foi utilizado em grande escala em
construções arquitetônicas. A maioria das grandes obras arquitetônicas gregas são
templos, que deveriam ser a expressão da beleza e perfeição para poderem ser
dedicados a deuses, por isso em seus projetos era usada a secção áurea, tida como
GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 20
o número que expressava a divina proporção (CHING, 2005). Um exemplo famoso
de utilização em obras gregas é o Partenon11, cuja fachada é uma composição de
retângulos de ouro (imagem 06).
Imagem 06: Análise gráfica do uso de secção áurea na fachada do Partenon.
Fonte: CHING, 2005, p.288.
No renascimento com a valorização da cultura clássica, a secção áurea
volta a ser utilizada como padrão do estético perfeito. Os renascentistas estudavam
a natureza matematizando-a, pois a matemática era tida como uma ciência objetiva
e infalível. Eles acreditavam que suas obras deveriam pertencer aos padrões mais
elevados e se lançaram em uma intensa pesquisa em busca de uma regra de
proporção perfeita que relacionasse corretamente as larguras dos ambientes e dos
vão e sua relação com a altura estabelecendo assim dimensionamentos harmônicos,
então eles se depararam com os moldes gregos de proporção, que tinham como
11 Considerado uma das mais famosas estruturas do mundo, foi construído em Atenas no
século V a.C. (BARISON, 2008).
GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 21
base a secção áurea, conhecida como a divina proporção (SILVA, 1991). Assim a as
decisões de projeto passam a ser regidas por fórmulas baseadas tanto na secção
áurea quanto em suas aproximações, como a seqüência de Fibonacci.
No entanto, diferentemente da antiguidade clássica, arquitetura no
renascimento não era vista como algo sagrado, mas como uma ciência que envolve
conhecimentos da matemática, da proporção e da harmonia. Para os renascentistas
a arquitetura era a matemática expressada em unidades especiais, sendo esta
unidade a secção áurea (CHING, 2005). A Fachada de Santa Maria de Novella,
projetada por Leon Baptista Alberti12 em 1456, tem este sistema de
proporcionalidade (imagem 07).
Imagem 07: Análise gráfica do uso de secção áurea na fachada de Santa Maria de Novella.
Fonte: Autor.
No corpo humano o número de ouro está presente e foi estudado neste
sentido principalmente por Leonardo Da Vinci13. No estudo do “Homem Vitruviano”
(imagem 08), ele demonstra a relação do corpo humano com a secção áurea e
segundo Dias (2008) ele tenta ilustrar a tese de Pitágoras de que o homem é a
medida das coisas. Para entender melhor a ocorrência do número Ф no corpo
humano, basta observar algumas medidas:
12 Viveu entre 1404 e 1472, era arquiteto, pintor, escultor, compositor, autor, poeta, dramaturgo,
matemático e filósofo. Utilizava em suas obras ordens clássicas, e representou o primeiro exemplo de
o homem universal do Renascimento.
13 Viveu entre 1445 e 1517, era pintor, escultor e arquiteto. Estudou a anatomia humana e
dissecava cadáveres para depois pintar a figura humana com precisão nos detalhes, buscando assim
o realismo e a glorificação do homens.
GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 22
[...] a perna inteira dividida pelo tamanho do joelho ao chão; o braço inteiro dividido pela medida do cotovelo ao dedo; a medida da cintura até a cabeça, dividido pelo tamanho do tórax; a altura do crânio dividida pelo tamanho da mandíbula até o alto da cabeça; o tamanho da base do queixo pela base do nariz ... tudo isso resulta em Phi. Além disso o umbigo divide o corpo adulto em média e extrema razão; a linha dos ombros divide a distância que vai do umbigo até o alto da cabeça, em média e extrema razão; o comprimento do rosto é dividido em média e extrema razão pela linha dos olhos. (NINA; CARVALHO, 2008, p.2)
Imagem 08: Homem Vitruviano.
Fonte: NEUFERT, 1998, p.18.
Em uma das obras mais famosas de Da Vinci pode-se observar a
ocorrência do retângulo áureo, a Mona Lisa que foi pintada em 1505 (DIAS, 2008).
Se for desenhado um retângulo ao redor da face o mesmo será um retângulo áureo,
e se desenhar outro que seja limitado pela linha dos olhos, mãos e ombros ele será
áureo (imagem 09).
Imagem 09: Retângulo de ouro na Mona Lisa.
Fonte: Autor.
GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 23
Le Corbusier14 no século XX criou uma teoria de proporcionalidade
denominada Modulor15, sendo um sistema matemático, devido às dimensões
estéticas da secção áurea e a série da Fibonacci, e anatômico, devido as proporções
funcionais baseadas no corpo humano (imagem 10).
Imagem 10: Modulor de Le Corbusier.
Fonte: BARISON, 2008, p.8.
14 Viveu entre 1887 e 1965, foi um dos maiores arquitetos modernistas, era ligado à filosofia e
tinha um racionalismo idealista, sendo profundo admirador da arte clássica grega.
15 Module: unidade de medida, d’or: secção de ouro.
GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 24
O modulor segundo Possebon (2008, p.60) pode ser definido como “[...]
um sistema de proporcionamento do espaço arquitetônico baseado neste critério
geométrico, e oferece toda uma gama de dimensões”. A estrutura básica é baseada
em três medidas de acordo com a secção áurea, são elas 113, 70 e 43 centímetros.
Onde:
43 + 70 = 113
133 + 70 = 183
113 + 70 + 43 = 226 (2 x 133)
Assim os resultados definem o espaço ocupado pela figura humana, como
mostra a imagem 11.
Imagem 11: Espaço ocupado por uma pessoa segundo o modulor de Le Corbusier.
Fonte: CHING, 2005, p.302.
O modulor foi muito utilizado no modernismo (imagem 12) e ainda hoje é
utilizado como base para projetos de arquitetura, uma das mais recomendadas e
tradicionais literaturas para quem quer ter noções de como projetar, o livro Arte de
Projetar em Arquitetura de Ernest Neufert, tem como fundamento para seu sistema
de medidas o modulor, no qual ele alega que Le Corbusier consegui uma divisão
harmônica do corpo humano e que a combinação das duas séries do modulor, a
vermelha e a azul, resultam em medidas que definem a ocupação do homem no
espaço (NEUFERT, 1998).
GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 25
Imagem 12: Planta baixa do projeto Museu Mundial de Le Corbusier.
Fonte: CHING, 2005, p.289.
2.2 Antônio Landi
Giuseppe Antônio Landi nasceu em 30 de outubro de 1713 em Bolonha
na Itália, teve formação em arquitetura na Academia Clementina de Bolonha e foi
professor no Instituto de Ciências e Artes de Bolonha. Assim como os outros
arquitetos do setecentos, buscou na obra de Palladio16 informações sobre os moldes
da antiguidade clássica (PARÁ, 2000).
Chegou a Belém em 1753 envolvido na Comissão Demarcadora de
Limites17 e trabalhou no norte do Brasil por trinta e oito anos. Foi o responsável por
uma intensa modificação na paisagem arquitetônica de Belém na segunda metade
do século XVIII e por causa de seu trabalho e personalidade forte e perseverante
recebeu do governador Mendonça Furtado o título de arquiteto régio do Grão Pará,
sendo assim reconhecido como um dos mais importantes arquitetos da cidade.
16 Viveu de 1508 a 1580, preocupou-se coma pesquisa das proporções harmônicas
relacionando-as com a composição musical, considerando-a o segredo da harmonia universal.
17 Esta comissão era chefiado por Mendonça Furtado e tem como objetivo de demarcar as
terras da América por determinação do Tratado de Madri.
GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 26
Giuseppe Antonio Landi não é, para a cidade de Belém, apenas uma referencia histórica. Muito mais do que isso, ele é a presença viva e constante com a qual os belenenses cruzam diariamente, quando vão ao centro histórico da capital do Pará, que Landi ajudou a embelezar, há mais de dois séculos. (PARÁ, 2000, p.3)
Seu estilo pode ser caracterizado como barroco tardio italiano e com
ênfase nas correntes clássicas. Existem em Belém onze igrejas e três obras de
arquitetura civil que foram projetados ou sofreram intervenção de Landi, pode-se
citar como exemplo a capela de São João, a Igreja de Santa Ana, A igreja de Santo
Alexandre, a Catedral Metropolitana de Belém, a Igreja das Mercês, a Igreja de
Nossa Senhora do Carmo, a Igreja de Nossa senhora do Rosário dos Homens
Pretos, a Casa das Onze Janelas e a Capela do Murutucu (CRUZ, 1973).
No Complexo Feliz Lusitânia, que busca valorizar os referenciais sociais,
históricos e econômicos da ocupação da Amazônia e do Pará por meio da
revitalização urbanística, paisagística e arquitetônica de espaços criados durante os
séculos XVII e XVIII, localiza-se algumas das principais obras que sofreram
intervenção de Landi, são elas a Catedral Metropolitana de Belém, a Igreja de Santo
Alexandre e a Casa das Onze Janelas.
A Catedral Metropolitana de Belém (imagem 13), conhecida como Igreja
da Sé, construída entre 1748 e 1774, teve sua fachada concluída por Landi, assim
como uma parte da decoração interna.
Imagem 13: Catedral Metropolitana de Belém.
Fonte: Autor.
GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 27
Sua porta central possui dimensões igual a 4,10m por 6,60m formando
assim um retângulo áureo e na composição de sua fachada podemos encontrar
outros retângulos áureos, como o formado pela parte central da fachada e a
marcação do abaixo do relógio (23,13m por 14,20m) e o formado pela altura da
parte central e a distancia entre os pináculos (31,10m por 19,30m).
A Igreja de Santo Alexandre (imagem 14), onde atualmente funciona
juntamente com o arcebispado o Museu de Arte Sacra de Belém, tem traços de
Landi em sua capela mor que foi decorada em 1756.
Imagem 14: Igreja de Santo Alexandre.
Fonte: Autor.
Sendo sua porta central possui medidas iguais a 2,20m por 3,60m que
formam assim um retângulo áureo, e na sua fachada podem ser identificados
diversos retângulos áureos, como o formado pela parte central superior da fachada
(9,40m por 15,35m) e o formado por toda parte central da fachada (15,50m por
25,30m).
A Casa das Onze janelas (imagem 15), antigo Hospital Real que
funcionou até 1938, foi construída no inicio do século XVIII e teve seus desenhos
assinados por Landi, que decidiu manter uma fachada mais simples, como dos
sobrados portugueses.
GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 28
Imagem 15: Casa das Onze janelas.
Fonte: Autor.
A fachada é formada por janelas que juntamente com suas molduras
medem 3,42m por 2,16m, que formam um retângulo áureo e sua fachada é
composta por dois retângulos áureos que medem 23,30m por 14,20m cada um.
O que é necessário destacar é o fato que todas essas obras tiveram como
base de seu processo projetual os moldes clássicos, apresentando características
estéticas deste período, entre elas a presença da secção áurea no dimensionamento
de seus elementos.
GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 29
3 ATIVIDADES MATEMÁTICAS ENVOLVENDO ARQUITETURA
Uma das maiores causas do baixo
rendimento no ensino da matemática e
do desinteresse dos alunos pela matéria
deve-se ao grande abismo que separa a
matemática da escola da matemática da
realidade.
Ubirabatan D’Ambrosio18
No processo projetual e construtivo da arquitetura existem situações que
podem ser usadas para o ensino da matemática. Temas como a criação da forma, a
escala, as áreas, os níveis do terreno, as modulações utilizadas, o dimensionamento
de pilares e vigas, podem ser trabalhados afim de que o aluno possa ver como a
matemática está presente na construção civil.
3.1 Exemplo de Atividade Envolvendo Arquitetura
Explorar situações do cotidiano no ensino da matemática tem o papel de
fazer com que a matemática saia do campo abstrato para o concreto, especialmente
no estudo das formas e do espaço, isto se torna primordial. Os Parâmetros
Curriculares Nacionais Terceiro e Quarto Ciclos do Ensino Fundamental afirmam
que diversas profissões exigem o pensamento geométrico, e que as situações
presentes nessas profissões devem ser utilizadas para o ensino da matemática,
entre as profissões está a arquitetura. Outro aspecto da arquitetura que pode ser
abordado em situações problemas da matemática é a questão dos sistemas de
medida e a necessidade de padronização (BRASIL, 1998).
Biembengut (1999) descreve uma atividade de modelagem matemática e
construção civil que está dividida em duas etapas. A primeira tem como foco a planta
da casa e a segunda a sua maquete. A modelagem é a ação de construção de um
modelo. Para Granger (apud BIEMBENGUT, 1999, p. 19):
[...] o modelo é uma imagem que se forma na mente, no momento em que o espírito racional busca compreender e expressar de forma intuitiva uma sensação, procurando relacioná-la com algo já conhecido, efetuando deduções. Nesse sentido, a modelagem, arte de modelar, é um processo que emerge da própria razão e participa da nossa vida como forma de
18 Apud BIEMBENGUT, 1999.
GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 30
constituição e de expressão do conhecimento. (apud BIEMBENGUT, 1999, p. 19)
O que é interessante na atividade que Biembengut (1999) propõe, é a
forma como os temas matemáticos são abordados, sempre valorizando a
investigação e construção do conhecimento pelo aluno, fazendo com que temas da
construção civil gerem questionamentos que serão resolvidos matematicamente,
através de modelos, que é objetivo da modelagem matemática. Cada etapa é
precedida de uma explicação técnica que faz com que o aluno se situe no tema que
será abordado.
Na primeira parte da atividade quando aborda sobre o esboço da planta
baixa de uma casa, a autora insere conceitos elementares de geometria plana,
associando os encontros das paredes com pontos, as paredes com retas e os
ambientes com planos (imagem 16), discutindo assim posições relativas das retas e
a forma correta de inseri-las em uma planta. Ela associa as aberturas das portas
com ângulos, estudando assim as classificações de ângulos, além de fazer
referência a uma porta giratória ao abordar o tema circunferência e círculo e aos
espaços dos ambientes para abordar quadriláteros e suas classificações.
Imagem 16: Comparações de elementos da planta baixa com elementos geométricos.
Fonte: BIEMBENGUT, 1999.
Seguindo a atividade de modelagem o tamanho da casa gera o tema
sistemas de medidas lineares, estudando assim o sistema métrico decimal. As
medidas da casa incidem no tema representação decimal dos números racionais, na
qual são estudadas as operações com números decimais sempre tendo como
situação problema a planta da casa. As medidas de superfícies e a
proporcionalidade são abordadas por meio de análise da planta baixa.
GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 31
A segunda etapa tem como tem principal a construção de uma maquete
da casa que simboliza a construção da casa. Ao se questionar a forma de fazer as
paredes são abordados a questão dos sólidos geométricos, seus elementos e suas
classificações, além de suas áreas serem utilizadas na atividade para calcular a área
da parede. O conceito de isometria vem atrelado aos tipos de revestimentos, na qual
o aluno além de aprender sobre os tipos de isometria aprende um pouco sobre
ornamentação.
Os telhados e suas formas são utilizados com uma forma de inserir o
conceito de triângulo e suas classificações (imagem 17). Os reservatórios d’água
como forma de abordar sistemas de medidas de volume, capacidade e massa. Por
último é estudado a forma fracionária dos números racionais e suas operações por
meio da discussão sobre de instalações hidráulicas e elétricas e a melhor
representação de suas bitolas.
Imagem 17: Altura da tesoura de acordo com a largura do vão.
Fonte: BIEMBENGUT, 1999.
É importante ressaltar que todos os temas matemáticos abordados são
antecedidos por questionamentos práticos da construção civil, a modelagem é usada
como uma forma de auxiliar a resolver esses questionamentos e é sempre
incentivada a aplicação de atividades complementares para o aprofundamento e
consolidação do conhecimento. É apresentada ao aluno uma matemática ligada a
situações reais que o desafiam a construção de modelos da realidade aprendendo
através deles (D’Ambrosio apud BIEMBENGUT, 1999).
3.2 Exemplo de Atividade Envolvendo Secção Áurea
GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 32
Os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio (BRASIL, 2006,
p.93) citam como tema complementar o estudo do número de ouro sendo visto como
uma forma de valorizar a matemática, podendo ser utilizado para o aprendizado de
proporções geométricas demonstrando o aspecto estético da matemática. Destaca
ainda a importância dos alunos conhecerem a história da matemática, afirmando que
a história pode contribuir para a formação de conceitos e ser uma ferramenta para o
ensino da matemática.
A utilização da História da Matemática em sala de aula também pode ser vista como um elemento importante no processo de atribuição de significados aos conceitos matemáticos. É importante, porém, que esse recurso não fique limitado à descrição de fatos ocorridos no passado ou à apresentação de biografias de matemáticos famosos. A recuperação do processo histórico de construção do conhecimento matemático pode se tornar um importante elemento de contextualização dos objetos de conhecimento que vão entrar na relação didática. (BRASIL, 2006, p.86)
Uma atividade interessante envolvendo secção áurea é proposta por
Biembengut e Hein (2007). Os autores propõem uma seqüência de atividades com
modelagem para discutir o conceito de beleza e razão áurea. A atividade se inicia
com o questionamento se é possível avaliar a beleza física por meio de uma fórmula
matemática e segue com a explicação das proporcionalidades que regem a estética
no corpo humano e uma atividade de pesquisa que consiste na avaliação se as
proporções do corpo dos alunos seguem os padrões da estética, montando assim
uma tabela de medidas.
O próximo item da seqüência de atividades diz a respeito da explicação
sobre o número de ouro por meio de um segmento e suas divisões em razão áurea,
questionando o aluno de que forma pode-se dividir o segmento, demonstrando
algebricamente a origem do número Ф e definindo o que é secção áurea. Assim os
autores recomendam que o professor discuta a origem e as aplicações da secção
áurea pelos gregos tanto na arquitetura como nas esculturas de Phideas e a
retomem os questionamentos sobre beleza desta vez explicando que uma das leis
de proporcionalidade que rege a estética é a secção áurea, mostrando a figura das
proporcionalidades que se assemelham no corpo humano (imagem 18).
GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 33
Imagem 18: Proporcionalidades no corpo humano.
Fonte: BIEMBENGUT; HEIN, 2007.
Os próximos tópicos da atividade se referem aos polígonos de ouro,
triângulo, retângulo e pentágono, demonstrando suas propriedades e aplicações e
propondo aos alunos pesquisarem da utilização do retângulo na arquitetura e nas
obras de arte explicando que “os retângulos áureos estão presentes nas obras
gregas, nas obras de Leonardo da Vinci, Albrescht Durer, Salvador Dalí, dentre
outros” (BIEMBENGUT; HEIN, 2007, p.89), e citando como exemplo mais antigo de
utilização o Partenon. Os autores apresentam os passos para construção do
pentágono de ouro e demonstram que os triângulos formados pelas diagonais
possuem a proporção áurea.
Imagem 19: Construção da espiral logarítmica.
Fonte: BIEMBENGUT; HEIN, 2007.
A última atividade se refere à espiral logarítmica mostrando sua
construção a partir do retângulo áureo (imagem 19) e demonstrando algebricamente
suas seqüências em função do número Ф. É explicado que as relações áureas são
encontradas na natureza tanto em plantas como em amimais, e que o número Ф é
apenas uma modelo que manifesta harmonia e beleza, mas não é uma regra
fechada e única.
GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 34
3.3 Livros Didáticos e Atividades com Secção Áurea
A secção áurea é citada na maioria dos livros didáticos indicados pelo
Ministério da Educação (MEC) por meio do Catálogo do Programa Nacional do Livro
para o Ensino Médio (PNLEM), juntamente com o conteúdo de seqüências, no qual,
normalmente em notas históricas, é abordada a seqüência de Fibonacci.
No livro de Silva e Barreto Filho (2003), intitulado “Matemática Aula por
Aula”, no inicio do conteúdo de progressões é citado Fibonacci e razão de ouro que
segundo os autores exerceu grande influência na arquitetura e na arte. Neste livro é
mostrada uma figura do Parthenon de Atenas como exemplo de utilização do
retângulo áureo que seria a “[...] forma geométrica aprazível aos olhos humanos [...]”
(SILVA; BARRETO FILHO, 2003, p.9).
No livro “Matemática” de Paiva (2008), o retângulo de ouro é novamente
citado juntamente com a seqüência de Fibonacci no final do conteúdo de seqüências
na secção “Ciência, Informação e Tecnologia”. Desta vez é utilizada como exemplo a
concha do náutico, um molusco dos oceanos Pacífico e Indico, que tem seu
crescimento em espiral que obedecem uma seqüência de retângulos áureos, com a
largura igual a 0,6118 do comprimento. Para o autor outros exemplos da série de
Fibonacci mostram sua presença na arte, na musica e na física (PAIVA, 2008,
p.217).
Os autores Smole, Vieira e Kiyukawa (2003) em seu livro “Matemática
Ensino Médio” no final do conteúdo de números irracionais, ao citar o número áureo
como um famoso número irracional, descreve sua construção a partir do quadrado e
sua importância para os gregos na arquitetura e para os renascentistas em obras
clássicas, tendo como exemplo a Mona Lisa, além de demonstrar como obter o
número de áureo através da construção de um retângulo partindo de um quadrado
de lado 2. Na secção “Flash Matemático” no final do conteúdo de seqüências, a
secção áurea é retomada, desta vez com a seqüência de Fibonacci, pois ao falar do
número Ф, associam-no com a razão áurea, pois é o valor da razão entre dois
números que estejam em razão áurea. Assim “[...] a razão entre termos consecutivos
da seqüência de Fibonacci se aproxima da razão áurea [...]” (SMOLE; VIEIRA;
KIYUKAMA, 2003, p. 165).
No livro “Matemática” de Dante (2008), outra vez no conteúdo de
seqüências há uma secção sobre a seqüência de Fibonacci onde é falado sobre o
GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 35
crescimento dos coelhos e é citado o número de ouro dos gregos como o resultado
da divisão de “[...] cada terno da seqüência, a partir do 21, pelos eu precedente [...]”
(DANTE, 2008, p. 248).
Nestes livros a secção áurea é tida somente somo um assunto
complementar, de nenhum modo é dado algum destaque ao tema, ficando somente
em pequenos tópicos ou notas históricas. Não é explorada qualquer atividade de
ensino que tenha como base a secção áurea, muito menos é utilizada como forma
de construir o conhecimento do conteúdo de seqüências, visto que é mencionada
somente no final do conteúdo, quando tanto a teoria, quanto as atividades de fixação
já foram ministradas. A história da matemática deve ser utilizada na sala de aula,
mas com o objetivo de construção de conhecimento por meio da investigação dos
aspectos históricos da matemática, para que o aluno possa vivenciar experiências
de redescoberta, as quais possam despertar sua curiosidade científica para o
desenvolvimento de habilidades matemáticas (MENDES, 2006).
Um exemplo muito interessante de utilização de secção áurea, não como
nota histórica, mas como atividade de ensino, pode ser encontrada no livro de Dante
(2008) da oitava série, que tem como titulo “Tudo é Matemática”. Nele o autor em
uma secção intitulada “A divina proporção: o número de ouro” recorre a uma
seqüência de atividades que tem como objetivo levar o aluno a compreender o que é
secção áurea, suas propriedades e sua utilidade na biologia, na arquitetura, nas
artes e no corpo humano.
A atividade se inicia com os questionamentos sobre a existência um
número com propriedades mágicas, e que teria sido utilizado por matemáticos,
cientistas e artistas e sua presença na natureza, seguida por uma atividade de
análise de proporções de uma reta e os segmentos contidos nela que levam a um
resultado que é o número irracional 1,618034, o número de ouro ou razão áurea.
As atividades seguintes dizem respeito a utilização da secção áurea,
começando com uma rápida explicação sobre os gregos e a harmonia, equilíbrio e
beleza, Fibonacci e o número de ouro na natureza, o Renascimento e o número de
ouro na pintura. Mostrando, então, imagens de uma estrela do mar, um girassol e
um boi, como exemplos de secção áurea na natureza.
O retângulo de ouro é analisado por meio de imagens de retângulos para
serem medidos e calculada a razão entre seus lados, que resultará na secção áurea,
pois os lados dos retângulos seguem a seqüência de Fibonacci. E como exemplo do
GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 36
retângulo de ouro, é apresentado o Parthenon e suas medidas para que o aluno
calcule se ele se enquadra no retângulo de ouro. Ainda é mostrada a imagem de
São Jerônimo de Leonardo da Vinci, como exemplo de utilização do retângulo de
ouro na pintura renascentista.
A próxima atividade apresentada demonstra a construção do retângulo de
ouro utilizando régua e compasso. E é apresentado um exemplo de seqüência de
retângulos de ouro, o modelo matemático da concha do caramujo (imagem 20)
seguida de uma atividade de cálculo envolvendo o número de ouro.
Imagem 20: Seqüência de retângulos áureos.
Fonte: DANTE, 2008.
Novamente uma atividade de análise de figuras é apresentada, mas desta
vez com triângulos, para saber qual tem seus lados em razão áurea e comparar o
resultado com o triângulo que o aluno achar ser o mais bonito. E assim construir um
triângulo em razão áurea e um pentágono regular cuja para provar que suas
diagonais obedecem à secção áurea.
Por último é proposta uma atividade de pesquisa de medidas do corpo
humano com o objetivo de montar uma tabela e testar se a razão entre a altura total
do corpo humano e a medida dos pés ao umbigo é uma razão áurea (imagem21).
GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 37
Imagem 21: Corpo humano e medidas em razão áurea.
Fonte: DANTE, 2008.
Esta seqüência de atividades se destaca devido a importância que é dada
ao tema número de ouro. São atividades que buscam mostrar para o aluno como
secção áurea está presente no cotidiano e no mundo, fazendo com que o aluno
manipule figuras, desenhos e números. Levando assim o aluno a construir o seu
conhecimento através da curiosidade que desenvolve o espírito investigativo.
Assim, a história da matemática passa a ser um elemento motivador da
aprendizagem matemática, tornando as aulas mais interessantes e instigando a
aluno a estudar (MENDES, 2006). É importante ressaltar que não bastam os autores
dos livros didáticos terem esta visão, mas ela deve “[...] configurar-se corretamente
na ação docente [...]” (MENDES, 2006, p.91), para que alcancem ao objetivo para a
qual foram criadas.
GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 38
4 GEOMETRIA DINÂMICA
Preparar o jovem para participar de uma
sociedade complexa como a atual, que
requer aprendizagem autônoma e
contínua ao longo da vida, é o desafio
que temos pela frente.
Ministério da Educação19
4.1 Informática e Educação Matemática
As pesquisas em educação matemática têm como objetivo principal
favorecer a construção do conhecimento matemático. A informática é uma tendência
da educação matemática, no entanto para se utilizar o computador para a educação
são fundamentais alguns elementos, o computador, o software educativo, um
professor capacitado para ensinar por meio de informática e o aluno (VALENTE
2008).
Os Parâmetros Curriculares Nacionais Terceiro e Quarto Ciclos do Ensino
Fundamental destacam a importância da inserção de novas tecnologias na
educação, devido a escrita, leitura, visão, audição, criação e aprendizagem serem
diretamente influenciados positivamente pela informática, além de ser um recurso
cada vez mais utilizado na sociedade moderna, e se o papel da escola é preparar o
aluno para viver com qualidade, a informática tem que estar presente nessa
preparação. Com o uso adequado de software educativo o aluno passa a ter um
interesse maior por projetos de investigação e exploração, aprendendo com seus
erros, sendo estes então grandes aliados no desenvolvimento cognitivo (BRASIL,
1998).
A inserção do computador no ambiente de sala de aula tem merecido
destaque na educação, devido provocar uma revolução na metodologia de ensino
motivando assim a aprendizagem, abrindo novas possibilidades, ampliando
horizontes dentro do conhecimento, visando uma educação de qualidade (BALDIN;
VILLAGRA, 2002; BORBA; PENTEADO, 2003; VALENTE, 2008).
19 Apud BRASIL, 2006, p.6.
GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 39
Ter a sabedoria de revistar o velho. Revistar sua pratica pensar a informática na escola é coerente com o sonho de fazer uma escola de qualidade para uma cidadania crítica. Isto implica, por sua vez, o conceito de escola cidadã, ou seja, o lugar de produção de conhecimento, se leitura e de escrita onde o computador ou a rede de computadores constituirá elementos dinamizadores, favorecendo o funcionamento progressivo da instituição e da própria cidadania democrática. (Freire apud GONÇALVES et al, 2006, p.19)
No entanto, a forma de usar este recurso tem que ser adequado, para que
ele não se restrinja a ser utilizado como mera ferramenta de descontração, mas
exerça seu poder como recurso para a construção do conhecimento, “é importante
contribuir para que o aluno transforme seus pensamentos, desenvolva atividades
criativas, compreenda conceitos, reflita sobre eles e, conseqüentemente, crie novos
significados” (KAMPFF; CAVEDINI, 2008, p.1102).
Assim vários programas vêm cooperar com esse objetivo, especialmente
na matemática, na qual as mídias informatizadas auxiliam na geração de gráficos,
tabelas, expressões algébricas e desenhos geométricos. Isto se torna importante ao
passo que a aprendizagem matemática se faz essencialmente por meio do
experimentar, interpretar, visualizar, induzir, conjecturar, abstrair, generalizar e
demonstrar (Gravina e Santarosa apud KAMPFF; CAVEDINI, 2008).
Para os Parâmetros Curriculares Nacionais Terceiro e Quarto Ciclos do
Ensino Fundamental, no ensino da matemática os computadores podem ser
utilizados com as seguintes finalidades:
[...] como fonte de informação, poderoso recurso para alimentar o processo de ensino e aprendizagem; como auxiliar no processo de construção de conhecimento; como meio para desenvolver autonomia pelo uso de softwares que possibilitem pensar, refletir e criar soluções; como ferramenta para realizar determinadas atividades – uso de planilhas eletrônicas, processadores de texto, banco de dados etc. (BRASIL, 1998, p.44)
Então a escolha do software é fundamental, segundo Valente (2008) o
computador pode ser utilizado de diversas formas, entre eles destacam-se: como
máquina de ensinar e como ferramenta. Como máquina de ensinar o papel do
software é ensinar um aprendiz, isto pode se feito por meio de programas tutoriais,
de exercíco-e-prática, jogos e simulações. Porém o computador como ferramenta
assume o papel de auxiliar o aluno no desenvolvimento do aprendizado, pois ele
estará executando uma tarefa utilizando o computador.
É necessário destacar que o papel do professor é primordial para que as
atividades que usam o computador como ferramenta obtenham êxito, pois do
professor é a responsabilidade de criar desafios que serão solucionados por meio do
GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 40
software a ser utilizado, sendo uma competência fundamental do professor conhecer
diferentes recursos e buscar novas técnicas educativas escolhendo assim um
software mais adequado para cada situação (Perrenoud, apud KAMPFF; CAVEDINI,
2008). Assim, acima de tudo é primordial que o professor repense a sua metodologia
de ensino e aprendizagem, para motivar o aluno a envolver-se na construção do
conhecimento. Pesquisas mostram que esse processo estabelece uma relação
diferente entre aluno e professor que passam ser mais próximos, interagindo e
colaborando mutuamente (BRASIL, 1998)
Para tanto, Baldin e Villagra (2002) destacam a importância de uma
preparação solida dos professores, além de um treinamento criterioso, entendendo
que é importante que o professor domine o software a ser utilizado, mas que só isto
não basta, é necessário que o professor possua um “[...] domínio conceitual do
conteúdo programático que permita discernimento sobre a técnica ou estratégia de
ensino coma utilização de determinado programa, dentro do contexto educacional”
(BALDIN; VILLAGRA, 2002, p.7). Não há sentido em se ter um laboratório totalmente
equipado se o professor não consegue manipular e desenvolver atividades
adequadas para o ensino e aprendizagem.
O professor deve ser o orientador que conduzirá o aluno a investigar e
buscar soluções, assim o computador não pode ser visto como um problema, mas
como uma possibilidade de desenvolvimento do professor como profissional, abrindo
novas perspectivas para a prática docente (BALDIN; VILLAGRA, 2002). Muitas
escolas públicas já dispõem de laboratórios equipados para a realização de
atividades, no entanto os muitos profissionais da educação não estão, e muitas
vezes não querem está, preparados para manipular este recurso, inviabilizando
assim o acesso ao uso do computador com ferramenta para a educação. O
professor deve se conscientizar que a prática docente requer atualizações
constantes de concepções metodológicas, se realmente o objetivo do professor é
ensinar e não tão somente informar, ele deve buscar recursos para que a
aprendizagem seja favorecida.
É esperado que nas aulas de Matemática se possa oferecer uma educação tecnológica, que não signifique apenas uma formação especializada, mas, antes, uma sensibilização para o conhecimento dos recursos da tecnologia, pela aprendizagem de alguns conteúdos sobre sua estrutura, funcionamento e linguagem e pelo reconhecimento das diferentes aplicações da informática, em particular nas situações de aprendizagem, e valorização da forma como ela vem sendo incorporada nas práticas sociais.
GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 41
(BRASIL, 1998, p.46)
Assim é inegável que a tecnologia está presente no cotidiano do aluno, e
o papel do professor é acima de tudo formar cidadãos críticos e capacitados a bem
utilizarem essas tecnologias, especialmente a informática.
4.2 Conceito de Geometria Dinâmica
Dentre os softwares educativos para o estudo de geometria se destacam
os softwares de geometria dinâmica que são aqueles que “[...] dispõem de régua e
compasso virtuais e com menu de construção em linguagem clássica da geometria
[...] feita uma construção, pode-se aplicar movimento a seus elementos, sendo
preservadas as relações geométricas impostas à figura” (BRASIL, 2006, p. 88).
A geometria dinâmica foi criada a partir da idéia de inovar, reciclar em
busca da melhor compreensão dos conteúdos, dando assim a opção de manipular
virtualmente objetos que outrora eram estáticos, ganhando assim, movimento.
The principal contribution of DG to the nature of experimentation in geometry is the dynamic dependency of its display on the position of some movable object. This suggests a kind at function, and yet another perspective on the figure-drawing distinction. (GOLDENBERG; CUOCO, 1998, p.359)
Assim a geometria dinâmica, quando bem utilizada, agiliza o estudo, pois
o aluno a partir de alguns objetos iniciais pode fazer inúmeros testes, o que não é
possível na geometria quando é estudada no papel (BRANDÃO, 2002).
A Geometria Dinâmica oferece uma nova proposta que visa explorar os mesmos conceitos da geometria clássica, porém, através de um software interativo. Assim, é possível disponibilizar representações gráficas de objetos geométricos que aproximam o objeto material da tela do computador (desenho) ao objeto teórico (figura), favorecendo o desenvolvimento de uma leitura geométrica dos desenhos por parte do aprendiz, contornando, assim, uma das dificuldades do ensino da Geometria. (Rodrigues apud SANTOS; DAMBROS; BORGES, 2008, p.2)
Um ponto relevante da geometria dinâmica é precisão, na geometria em
papel as construções mais complexas podem não ter êxito em provar algo devido à
dificuldade de ser preciso no desenho, isto não acontece na geometria dinâmica,
que por meio de comandos o aluno consegue construir objetos de forma precisa na
qual a prova é inquestionável (KING; SCHATTSCHNEIDER, 1997).
Além desta característica, outras podem ser citadas para destacar a
relevância da utilização de softwares de geômetra dinâmica, como o aluno poder
transformar suas construções (rotação, reflexão, aumentar, diminuir, mover), a
GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 42
capacidade do software de registrar a sucessão de passos dado pelo aluno, além de
poder gerar simulações (KING; SCHATTSCHNEIDER, 1997).
No entanto, o maior destaque se deve ao fato da geometria dinâmica
inspirar no aluno a investigação, a exploração e a descoberta, visto que crianças e
adolescentes possuem em geral um espírito curioso, este método de ensino,
dependendo da atividade desenvolvida e da criatividade do professor, poderá vir a
ser um grande centro de interesse do aluno que passa a experimentar, visualizar,
interpretar, conjecturar, induzir, generalizar, abstrair e demonstrar (GOLDENBERG;
CUOCO, 1998). “É o aluno agindo, diferentemente de seu papel passivo frente a
uma apresentação formal do conhecimento, baseada essencialmente na
transmissão ordenada de ‘fatos’, geralmente na forma de definições e propriedades”
(Gravina apud SANTOS; DAMBROS; BORGES, 2008, p.1)
O aluno que é orientado adequadamente para utilizar o software de
geometria dinâmica passa então a refletir sobre o seu experimento e assim a
construir o seu conhecimento. Essa característica da geometria dinâmica é muito
valorizada pelo fato da construção de conhecimento ser um elemento essencial na
educação matemática e se faz necessário oferecer esta oportunidade para o aluno,
criando assim um processo social de produção do conhecimento (BRASIL, 2006)
Interestingly, the opportunities are not for researchers alone. The making of definitions is central to mathematics. To learn the importance and purpose of careful definition, students must be afforded explicit opportunities to participate in such definition-making themselves. (Villiers apud GOLDENBERG; CUOCO, 1998, p.359)
Sendo assim, é visto como determinante no processo de ensino e
aprendizagem de matemática o fato do aluno produzir seu conhecimento,
investigando e chegando a conclusões e os softwares de geometria dinâmica são
sem dúvida forte aliados para este processo.
Vale lembra que para tanto é imprescindível a escolha adequada do
software, pois ambientes computacionais diferentes permitem diferentes tipos de
experiências (GOLDENBERG; CUOCO, 1998), então o sucesso de qualquer
atividade com softwares de geometria dinâmica depende diretamente do professor
saber orientar adequadamente e fazer escolhas corretas.
Outro aspecto dos softwares de geometria dinâmica é a sua aplicabilidade
em outras áreas da matemática, não apenas na geometria, favorecendo a
visualização de situações problemas e facilitando as representações matemáticas.
GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 43
Assim a geometria dinâmica tem sido utilizada como ferramenta indispensável para
diversos pesquisadores, matemáticos e cientistas (KING; SCHATTSCHNEIDER,
1997).
4.3 Cabri II Plus
O Cabri-Géomètre é um software de geometria dinâmica que foi
desenvolvido por Jean-Marie Laborde e Franck Bellemain, no final dos anos 80 na
Institut d’ Informatique ET Mathématiques Appliquées de Grenoble (IMAG) um
laboratório de pesquisa associado ao Centre National de la Recherche Scientifique
(CNRS) e a Université Joseph Fourier em Grenoble. A sigla Cabri vem do francês e
significa Cahier de Brouillon Interactif que traduzido seria Caderno de Rascunho
Interativo. O Cabri já foi traduzido para mais de vinte idiomas e está presente em
mais de quarenta países (BALDIN; VILLAGRA, 2002; KAMPFF; CAVEDINI, 2008;
SOUZA, 2001).
O Cabri II Plus é uma nova versão do Cabri-Géomètre II, incorporando
outras funcionalidades e novas possibilidades. O programa dispõe de funções que
fazem o papel da régua e do compasso auxiliando na construção e manipulação de
todas as figuras geométricas elementares. Apresentando uma linguagem apropriada
e “[...] excelentes propriedades que o tornam forte aliado na modernização do ensino
fundamental e médio” (BALDIN; VILLAGRA, 2002, p.8).
Para o processo e ensino aprendizagem o software Cabri-Géomètre
contribui de forma significativa, ao passo de que a linguagem visual facilita a
compreensão de conceitos abstratos da matemática tornando-a mais agradável, a
interatividade instiga o espírito de investigação de propriedades e leva a conjectura
de novas propriedades, a possibilidade de atividades de manipulação concretas, o
desenvolvimento da sensibilidade no que diz respeito aos conceitos matemáticos, e
por fim a possibilidade de rever os passos dados e assim também identificar os erros
e corrigi-los (BALDIN; VILLAGRA, 2002; KAMPFF; CAVEDINI, 2008).
O Cabri-Géomètre é um software que apresenta as características que permitem utilizar o computador como uma ferramenta auxiliar para investigação de como se dá a construção de conceitos geométricos. [...] esse software permite certa interatividade do aluno com o meio e possibilita fazer, por comandos bem definidos e linguagem geométrica, as construções que se fazem no ambiente com lápis e papel. (SOUZA, 2001, p.93)
Entre as características do Cabri II Plus se destacam: a criação de pontos
e diferentes relações entre eles e os objetos, a verificação de propriedades, o uso do
GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 44
compasso, a movimentação e transformação dos objetos criados (característica
básica dos softwares de geometria dinâmica), a possibilidade de reproduzir etapas
de uma figura e a possibilidade de ocultar linhas auxiliares. Além dessas destaca-se
a possibilidade de inserir como fundo uma figura, podendo então analisar
geometricamente a mesma.
Outros aspectos do software Cabri II Plus é a possibilidade de ser
trabalhados temas da geometria analítica, transformacional e euclidiana. Podendo
também ser explorados conceitos avançados da geometria descritiva e hiperbólica,
além de poder ser adotado em aulas de álgebra, trigonometria, física e educação
artística (SOUZA, 2001).
GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 45
5 PROPOSTA DE SEQUENCIA DIDÁTICA
[...] ensinar não é transferir
conhecimentos, mas criar as
possibilidades para a sua produção ou a
sua construção [...]
Freire20
Seqüência didática pode ser entendida como uma série de atividades que
conduzem a um objetivo, sendo que os níveis de cognição e dificuldade de cada
etapa vão gradualmente aumentando, levando o aluno a construir seu
conhecimento. Sendo assim, é um conjunto de aulas planejadas que pode ter a
duração variando em dias de acordo com a necessidade e apresentando “desafios
cada vez maiores aos alunos, permitindo a construção do conhecimento” (CRE
MARIO COVAS, 2008).
Uma seqüência didática permite um trabalho interdisciplinar, podendo o
professor recorrer a outras áreas para a melhor compreensão do assunto abordado.
Assim, um tema pode ser abordado articulando os diversos pontos de vista. Esta
didática de ensino se origina da didática francesa que defende a ativa participação
do aluno no processo de ensino aprendizagem e a contextualização do saber
escolar.
Um dos objetivos da educação matemática é contribuir para que aluno possa desenvolver uma certa autonomia intelectual e que o saber escolar aprendido lhe proporcione condições para compreender e participar do mundo em que ele vive. (PAIS, 2002, p.67)
Assim, de acordo com o nível cognitivo do aluno, o professor pode e deve
buscar baseado no currículo escolar situações do cotidiano para serem transpostas
em situações didáticas, pois sem um vinculo com a realidade a formação do saber
fica prejudicada, principalmente em se tratando do saber matemático. No entanto, é
necessária uma seleção e uma adaptação do conteúdo para ser utilizado em sala de
aula, pois “um conteúdo do conhecimento, tendo sido designado como saber a
ensinar, sofre então um conjunto de transformações adaptativas que vão torná-lo
apto a tomar o lugar entre objetos de ensino” (Chevallard apud PAIS, 2002, p.19).
20 Apud THOMAZ NETO; COTA, 2006.
GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 46
A didática francesa destaca ainda a importância da participação de três
elementos na relação pedagógica: o professor, o aluno e o saber. As múltiplas
relações entre esses elementos formam as situações didáticas.
A seqüência didática proposta tem como objetivo principal a formação do
conceito de secção áurea e a analise de sua aplicação na arquitetura de Belém,
mais especificamente nos prédios que sofreram intervenção do arquiteto Antônio
Landi. Será desenvolvida em duas etapas, a primeira se refere a atividades que
devem conduzir o aluno ao entendimento de secção áurea e a segunda a atividades
de análise de fachadas de alguns prédios.
Esta proposta leva em consideração a teoria que o aluno deve construir o
seu conhecimento (THOMAZ NETO; COTA, 2006), fazendo com que o saber se
solidifique de forma mais eficaz, para isto usa como instrumentos principais a
realidade de Belém e o software de geometria dinâmica Cabri II Plus (Villiers apud
GOLDENBERG; CUOCO, 1998). Além de considerar que a geometria deve
possibilitar ao aluno a possibilidade de resolver problemas práticos do seu dia-a-dia,
visando que o estudo da matemática se torne mais concreto aos olhos do aluno
(BRASIL, 2006).
Deste modo a mesma deve ser desenvolvida em um laboratório de
informática com equipamentos adequados no qual devem já está instalados o
software Cabri II Plus. De preferência um aluno ou dois por computador. Tem como
foco alunos do ensino médio no estudo de números irracionais, como um exemplo
de aplicação dos mesmos. Então, é imprescindível que o aluno possua um
conhecimento básico sobre o assunto para que possa prosseguir na aprendizagem
de novos conceitos, visto que os alunos interpretam os objetos construídos na
geometria dinâmica de acordo com o conhecimento que possuem, quanto mais
repertório matemático referente ao conteúdo possuírem mais questionamentos virão
sobre as atividades e mais cercados de conclusões dos próprios alunos serão estas
elas (GOLDENBERG; CUOCO, 1998).
É importante destacar que para a seqüência didática proposta alcançar o
seu objetivo é necessário que o aluno já possua familiaridade com o software Cabri
II Plus. É possível utilizar outro software de geometria dinâmica na seqüência,
contanto que ele permita que figuras possam ser inseridas como fundo de tela e que
construções possam ser realizadas sobre essa figura.
GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 47
5.1 Primeira etapa: Conceito de secção áurea
Objetivo
Conduzir o aluno a construção do conceito de secção áurea.
5.1.1 Atividade 01: A forma geométrica perfeita
Objetivo
Fazer com que os alunos percebam que existem semelhanças
geométricas que se repetem na natureza e se questionarem se pode existir uma
forma que seja perfeita matematicamente.
Tempo
30 minutos
Recursos
Folhas de papel.
Lápis.
Régua.
Imagens de flores e estrelas do mar.
Procedimentos
É importante ressaltar que esta atividade precisa ser precedida de um
contexto histórico, no qual o professor explana acerca da relação da matemática
com a estética, mostrando o exemplo da semelhança de quantidade de repetições
em flores e estrelas o mar.
Ao fim dessa primeira parte o professor questiona os alunos sobre se
existiria alguma fórmula para se criar imagens esteticamente perfeitas. Neste
momento o professor pede para os alunos desenharem no papel, utilizando ou não
régua, o que seria para eles uma figura geométrica perfeita. Após eles desenharem
o professor questiona-os se existe na natureza alguma daquelas formas que eles
desenharam.
5.1.2 Atividade 02: Construção de um retângulo áureo
Objetivos
Construir um retângulo áureo a partir e um quadrado qualquer.
Tempo
15 minutos
GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 48
Recursos
Software Cabri II Plus.
Procedimentos
Depois da atividade inicial o professor discorrerá sobre os gregos e a sua
busca por beleza divina, e convidará o aluno a construir a figura geométrica que
segundo os gregos terias as proporções da perfeição. É importante que o professor
ainda não fale sobre a secção áurea nem suas propriedades, para que os alunos
mesmos possam percebê-las.
As construções do que seria segundo os gregos a figura geométrica
perfeita deve seguir alguns passos, que necessitam ser orientados pelo professor.
1° Passo: Deve-se construir um quadrado qualquer e para isto pode-se se
utilizar a ferramenta “polígono regular’ (terceiro menu de ferramentas), onde se
escolhe primeiro o centro do polígono regular e girando o cursor se escolhe o
número de lados.
2° Passo: Deve-se marcar o ponto médio de um dos lados do quadrado
utilizando a ferramenta “ponto médio” (quinto menu de ferramentas).
3° Passo: Tendo este ponto médio com centro deve-se construir uma
circunferência, basta escolher a ferramenta circunferência (quarto menu de
ferramentas), clicar no ponto médio e depois clicar em um dos vértices do lado
oposto para se escolher o raio da circunferência (imagem 22).
Imagem 22: Traçado da circunferência.
Fonte: Autor
GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 49
4° Passo: Construir duas retas auxiliares, que servirão de prolongamento
dos lados do quadrado, uma do lado no qual está o centro da circunferência e a
outra do lado oposto. Pra tanto, escolhe-se a ferramenta reta (terceiro menu de
ferramentas) e clica-se em um dos vértices do lado escolhido e depois clica-se no
outro vértice, repete-se o procedimento no outro lado (imagem 23).
Imagem 23: Prolongamento dos lados do quadrado.
Fonte: Autor
5° Passo: Com a ferramenta “reta perpendicular” (quinto menu de
ferramentas) traçar uma reta perpendicular a reta que é prolongamento do lado
aonde está o centro da circunferência no ponto de interseção da reta com a
circunferência, clicando na reta e depois no ponto de interseção (imagem 24).
GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 50
Imagem 24: Reta perpendicular.
Fonte: Autor
6° Passo: Utilizando a ferramenta “polígono” (terceiro menu de
ferramentas), traçar um retângulo que terá como vértices os pontos indicados na
imagem 25.
Imagem 25: Marcação dos vértices do retângulo.
Legenda: (1) o ponto de interseção da reta na qual está o centro da circunferência e a circunferência,
(2) ponto de interseção da reta com a reta perpendicular, (3) e (4) vértices do quadrado.
Fonte: Autor
GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 51
5.1.3 Atividade 03: Análise das proporções no retângulo áureo
Objetivos
Que o aluno perceba que qualquer quadrado pede ser gerador de um
retângulo áureo e que esse retângulo sempre possui as mesmas proporções.
Tempo
30 minutos
Recursos
Software Cabri II Plus.
Folhas de papel.
Lápis.
Procedimentos
Finalizada a construção do retângulo o professor pede para que os alunos
meçam os lados do retângulo utilizando a ferramenta “distância ou comprimento”
(nono menu de ferramentas), clicando no primeiro ponto e depois no segundo de
cada lado. Depois, utilizando a ferramenta “calculadora” (nono menu de ferramentas)
dividir o comprimento do maior lado pelo menor e anotar o resultado. Em seguida
conforme a imagem 26 medir o comprimento do lado do quadrado (1) e do
prolongamento do vértice até a interseção coma circunferência (2).
Imagem 26: Segmento a serem medidos.
Fonte: Autor
GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 52
Então dividir o comprimento do segmento (1) pelo segmento (2), e
comparar com o resultado da divisão anterior. Em seguida comparar com o resultado
dos outros alunos que começaram a atividade 02 com quadrados de tamanhos
diferentes.
Ao comparar os resultados o aluno perceberá que todos resultaram em
um mesmo número, 1,62, que é a aproximação do número de ouro, 1,618033...,
neste momento o professor explica porque o retângulo construído é dito como
perfeito pelos gregos, suas propriedades na natureza e no corpo humano e suas
aplicações.
5.1.4 Observações
Para esta etapa chegue ao seu objetivo é necessário acima de tudo que o
professor conheça a história da secção áurea21 e suas propriedades na natureza e
no corpo humano, além de um conhecimento aprofundado da construção do
retângulo áureo e suas características.
5.1.5 Resultados esperados
Ao fim desta etapa o aluno deve ter compreendido que o retângulo áureo
não é um retângulo qualquer, que possui características especifica e que pode ser
construído a partir que qualquer quadrado, desde que obedeça ao seu método de
construção. Além de entender as aplicações e sua importância tanto para
matemática quanto para as outra áreas do conhecimento, como na arte. Assim deve
responder aos seguintes questionamentos:
� Existem semelhanças matemáticas na natureza? Quais?
� O que é secção áurea?
� Qual a sua principal propriedade?
� Qual a sua importância?
� Como podemos obtê-la a partir de um quadrado?
� Onde podemos encontrá-la?
21 Que pode ser encontrada no livro Razão Áurea, a História de Fi: Um Número Surpreendente,
de Mário Lívio da Editora Recora.
GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 53
5.2 Segunda etapa: Análise de fachadas
Objetivo
Mostrar a importância da secção áurea na arquitetura.
Demonstrar a influencia da secção áurea na arquitetura de Antônio Landi.
5.2.1 Atividade 04: Visita monitorada
Objetivo
Fazer com que os alunos conheçam um pouco do patrimônio histórico
edificado capital de Belém e vejam algumas das obras de um dos maiores
responsáveis pela modificação da paisagem urbana da cidade.
Tempo
3 horas.
Recursos
Câmera fotográfica.
Procedimentos
Esta atividade consiste na visita monitorada ao Complexo Feliz Lusitânia22
(imagem 27), no centro histórico de Belém. A visita deve ser orientada por um
professor de história ou algum mediador cultural, a fim de que os alunos possam
receber informações acerca da importância de Antônio Landi para o cenário
arquitetônico de Belém.
22 O complexo Feliz Lusitânia é um espaço público construído pelo governo do estado com o
intuito de valorizar a história primeiro núcleo de Belém. O complexo conta com prédios históricos que
datam a fundação de Belém, entre eles destacam-se o antigo Hospital Militar conhecido atualmente
como Casa das Onze Janelas, a Catedral Metropolitana de Belém, conhecida como Igreja da Sé, o
Museu de Arte Sacra formado pela Igreja de Santo Alexandre e o Arcebispado, o Forte do Presépio
onde está instalado o Museu do Encontro, casario da Padre Champagnat e a Praça Frei Caetano
Brandão. O complexo fica localizado próximo ao Ver-o-Peso ao redor da Praça Frei Caetano
Brandão.
GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 54
Imagem 27: Complexo Feliz Lusitania.
Legenda: (1) Igreja de Santo Alexandre e Arcebispado, (2) Catedral Metropolitana de Belém, (3) Casa
das Onze Janerlas e (4) Forte do Presépio.
Fonte: Google Earth 2008
Deve ser informada aos alunos que cada período da história possui seu
estilo arquitetônico próprio, e que cada estilo possui suas regras e leis que regem o
ato de projetar. O estilo de Antônio Landi pode ser caracterizado como Barroco
Tardio, que é um estilo muito marcado pela influencia clássica que é aquela criada
pelos gregos, e como para os gregos a beleza estava diretamente ligada à
matemática, e a proporção perfeita era a secção áurea, as obras do Barroco Tardio,
como as de Antônio Landi, são exemplos claros da utilização da secção áurea no
processo projetual.
Para explicar melhor como esta influência ocorre o professor deve
capturar algumas imagens com a câmera fotográfica da Casa das Onze Janelas,
Catedral Metropolitana de Belém e da Igreja de Santo Alexandre, que são obras do
arquiteto Antônio Landi.
5.2.2 Atividade 05: Medindo a fachada da Casa das Onze janelas
Objetivo
Medir a fachada da Casa das Onze Janelas, procurando indícios da
utilização da secção áurea no processo projetual.
GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 55
Tempo
15 minutos
Recursos
Software Cabri II Plus.
Fotografias das edificações de Antônio Landi.
Procedimentos
Nesta atividade o aluno deverá analisar a imagem da fachada da Casa
das Onze Janelas, utilizando o software Cabri II Plus, com o objetivo de perceber
como a secção áurea era utilizada no processo projetual. Recomenda-se utilizar a
Casa das Onze Janelas para a primeira análise inicial devido sua fachada ser menos
complexa que a dos outros edifícios (Catedral Metropolitana de Belém e da Igreja de
Santo Alexandre).
É interessante, visando uma educação cidadã consciente, que o professor
discutisse a importância de se usar imagens de autoria do professor ou de algum
aluno, devido a necessidade de se obter a autorização do autor para o uso de
qualquer imagem, para não feri os direitos autorais23.
Para o desenvolvimento dessa atividade o professor deve orientar os
alunos em alguns passos.
1° Passo: Primeiro o aluno deve inserir a imagem no software, para isto
deve clicar com o botão direito do mouse na área de desenho do Cabri II Plus.
selecionar a opção “Imagem de fundo” e então a opção “do Arquivo”, podendo-se
assim procurar o local onde está salva a imagem, selecioná-la e clicar no botão abrir.
2° Passo: Desenhar, com a ferramenta “reta” (terceiro menu de
ferramentas), uma linha base que marque o limite do telhado da Casa das Onze
Janelas, e a partir dessa reta traçar retas perpendiculares, com a ferramenta “reta
perpendicular” (quinto menu de ferramentas), a fim de que a fachada seja inserida
em um retângulo (imagem 28).
23 Segundo o art. 5º da Constituição Federal (apud CASTRO, 2008) “aos autores pertence o
direito exclusivo de utilização, publicação ou reprodução de suas obras, transmissível aos herdeiros
pelo tempo que a lei fixar”. Portanto, a utilização não autorizada de imagens pode acarretar punições
previstas por lei.
GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 56
Imagem 28: Fachada inserida em um retângulo.
Fonte: Autor
3° Passo: A partir dessa marcação, desenhar um retângulo com a
ferramenta “polígono” (terceiro menu de ferramentas) clicando nos pontos de
interseção.
4° Passo: Com a ferramenta “ponto médio” (quinto menu de ferramentas),
marcar os pontos médios dos lados maiores desse retângulo, clicando nesses lados.
5° Passo: A partir desses pontos médio com a ferramenta “segmento”
(terceiro menu de ferramentas), traçar um segmento que tem como limites os pontos
médios. Desse modo o retângulo fica dividido em dois retângulos congruentes.
6° Passo: Para verificar a existência de secção áurea na fachada o aluno
deve medir os lados de um dos retângulos utilizando a ferramenta “distância ou
comprimento” (nono menu de ferramentas) e dividir utilizando a ferramenta
“calculadora” (nono menu de ferramentas) o maior pelo menor, clicando assim nos
vértices do retângulo. O aluno perceberá que os resultados, freqüentemente serão
próximos a 1,63 ou 1,62, no entanto, normalmente não serão iguais uns aos outros,
isto variará devido às posições das retas iniciais, também do ângulo foi captada a
fotografia ou também ser devido a configuração do número de casas decimais que o
Cabri II Plus deve exibir nos resultados dos cálculos com a ferramenta calculadora
(imagem 29).
GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 57
Imagem 29: Identificação dos retângulos áureos.
Fonte: Autor
5.2.3 Atividade 06: Análise da fachada da Casa das Onze Janelas
Objetivo
Analisar a fachada da Casa das Onze Janelas segundo a secção áurea,
provando da utilização da mesma no processo projetual.
Tempo
30 minutos
Recursos
Software Cabri II Plus.
Fotografias das edificações de Antônio Landi.
Procedimentos
Para confirmar geometricamente os resultados obtidos na atividade 05,
para tanto, o alunos deve seguir as seguintes orientações.
1° Passo: O aluno deve começar do 5° passo da atividade 05, e partindo
de dois vértices de um lado menor do retângulo, traçar com a ferramenta “bissetriz”
(quinto menu de ferramentas) a bissetriz desses ângulos (imagem 30).
GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 58
Imagem 30: Traçado de bissetrizes.
Fonte: Autor
2° Passo: Os pontos da bissetriz que interceptam os lados maiores do
retângulo marcam os vértices do quadrado gerador do retângulo áureo. Então, com
a ferramenta “polígono” (terceiro menu de ferramentas), delinear o quadrado
clicando nos pontos de interseção e nos vértices de onde foram traçadas as
bissetrizes e por último no primeiro ponto de interseção.
3° Passo: Com a ferramenta “ponto médio” (quinto menu de ferramentas),
clicar em um dos lados do quadrado que seja colinear a um dos lados maiores do
retângulo, marcando assim seu ponto médio.
4° Passo: Este ponto médio será o centro da circunferência, que deverá
ser desenhada coma ferramenta circunferência (quarto menu de ferramentas),
clicando no ponto médio e depois clicando em um dos vértices do lado oposto para
se escolher o raio da circunferência (imagem 31). Portanto, como essa
circunferência também contém em seus pontos um dos vértices do retângulo que
não pertencem ao quadrado, então, fica provado geometricamente, pela
demonstração feita na atividade 02, que o retângulo na fachada da Casa das Onze
Janelas é um exemplo de retângulo áureo.
GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 59
Imagem 31: Demonstração geométrica do retângulo áureo.
Fonte: Autor
5.2.4 Atividade 07: Medindo uma janela da Casa das Onze Janelas
Objetivo
Medir uma janela da Casa das Onze Janelas, procurando indícios da
utilização da secção áurea no processo projetual.
Tempo
15 minutos
Recursos
Software Cabri II Plus.
Fotografias das edificações de Antônio Landi.
Procedimentos
Continuando com a análise na fachada da Casa das Onze Janelas,
analisaremos agora uma de suas janelas, os procedimentos são parecidos com os
da análise da fachada completa, e seguem os seguintes passos.
1° Passo: Primeiro o aluno deve inserir a imagem no software, clicando
novamente com o botão do lado direito do mouse na zona de trabalho (de acordo
com o manual) do Cabri II Plus e selecionando a opção “Imagem de fundo” e “do
Arquivo”, procurando o local onde está salva a imagem, selecionando-a e clicando
no botão abrir.
GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 60
2° Passo: Desenhar, com a ferramenta “reta” (terceiro menu de
ferramentas), uma linha base que marque o limite da moldura da janela e a partir
dessa reta traçar retas perpendiculares, com a ferramenta “reta perpendicular”
(quinto menu de ferramentas), para de que a janela seja inserida em um retângulo
(imagem 32).
3° Passo: Para verificar a existência da secção áurea na janela o aluno
deve medir utilizando a ferramenta “distância ou comprimento” (nono menu de
ferramentas) os lados do retângulo e dividir utilizando a ferramenta “calculadora”
(nono menu de ferramentas) o maior pelo menor, clicando assim nas interseções
das retas. O resultado esperado é aproximações dos números 1,63 ou 1,62, essas
aproximações variam devido as posições das retas iniciais, também do ângulo foi
captada a fotografia ou também ser devido a configuração do número de casas
decimais que o Cabri II Plus deve exibir nos resultados dos cálculos com a
ferramenta calculadora (imagem 32).
Imagem 32: Identificação dos retângulos áureos.
Fonte: Autor
5.2.5 Atividade 08: Análise de uma janela da Casa das Onze Janelas
Objetivo
Analisar uma janela da Casa das Onze Janelas segundo a secção áurea,
provando da utilização da mesma no processo projetual.
GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 61
Tempo
30 minutos
Recursos
Software Cabri II Plus.
Fotografias das edificações de Antônio Landi.
Procedimentos
Neste momento será feita a prova geométrica da existência da secção
áurea na janela da Casa das Onze Janelas, com os seguintes passos.
1° Passo: O aluno deve começar do 3° passo da atividade 07, e partindo
de dois vértices de um lado menor do retângulo, traçar com a ferramenta “bissetriz”
(quinto menu de ferramentas) a bissetriz desses ângulos.
2° Passo: Os pontos da bissetriz que interceptam os lados maiores do
retângulo marcam os vértices do quadrado gerador do retângulo áureo. Então, com
a ferramenta “polígono” (terceiro menu de ferramentas), o aluno deve delinear esse
quadrado clicando nos pontos de interseção e nos vértices de onde foram traçadas
as bissetrizes e por último no primeiro ponto de interseção.
3° Passo: Com a ferramenta “ponto médio” (quinto menu de ferramentas),
clicar em um dos lados do quadrado que seja colinear a um dos lados maiores do
retângulo, marcando assim seu ponto médio.
4° Passo: Este ponto médio será o centro da circunferência, que deverá
ser desenhada coma ferramenta circunferência (quarto menu de ferramentas),
clicando no ponto médio e depois clicando em um dos vértices do lado oposto para
se escolher o raio da circunferência (imagem 33). Assim, como essa circunferência
também contém em seus pontos um dos vértices do retângulo que não pertencem
ao quadrado, então pela demonstração feita na atividade 02, fica provado
geometricamente a existência de retângulo áureo no desenho da janela da Casa das
Onze Janelas.
GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 62
Imagem 33: Demonstração geométrica do retângulo áureo.
Fonte: Autor
5.2.6 Atividade 09: Análise da fachada da Igreja de Santo Alexandre
Objetivo
Analisar a fachada da Igreja de Santo Alexandre segundo a secção áurea,
provando da utilização da mesma no processo projetual.
Tempo
1hora e 30 minutos
Recursos
Software Cabri II Plus.
Fotografias das edificações de Antônio Landi.
Procedimentos
Esta atividade consiste na análise da fachada da Igreja de Santo
Alexandre e se assemelha as atividades anteriores, no entanto, a partir dessa
atividade os alunos é quem deveram escolher os passos a serem dados com a
devida orientação do professor, para que ao final dessa atividade sejam encontrados
no mínimo os seguintes retângulos áureos.
GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 63
1° Retângulo: Retângulo gerador da largura da fachada (imagem 34).
Imagem 34: Retângulo áureo 01 da Igreja de Santo Alexandre.
Fonte: Autor
2° Retângulo: Retângulo gerador da altura da fachada (imagem 35).
Imagem 35: Retângulo áureo 02 da Igreja de Santo Alexandre.
Fonte: Autor
GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 64
3° Retângulo: Retângulo gerador das dimensões das torres (imagem 36).
Imagem 36: Retângulo áureo 03 da Igreja de Santo Alexandre.
Fonte: Autor
4° Retângulo: Retângulo da altura da marcação da fachada (imagem 37).
Imagem 37: Retângulo áureo 04 da Igreja de Santo Alexandre.
Fonte: Autor
GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 65
5° Retângulo: Retângulo da altura da marcação da fachada (imagem 38).
Imagem 38: Retângulo áureo 05 da Igreja de Santo Alexandre.
Fonte: Autor
6° Retângulo: Retângulo da altura da cruz em relação à largura da
fachada (imagem 39).
Imagem 39: Retângulo áureo 06 da Igreja de Santo Alexandre.
Fonte: Autor
GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 66
7° Retângulo: Retângulo da altura da marcação da fachada (imagem 40).
Imagem 40: Retângulo áureo 07 da Igreja de Santo Alexandre.
Fonte: Autor
8° Retângulo: Retângulo da altura do braço da cruz na fachada (imagem
41).
Imagem 41: Retângulo áureo 08 da Igreja de Santo Alexandre.
Fonte: Autor
GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 67
9° Retângulo: Retângulo da largura da parte central da fachada (imagem
42).
Imagem 42: Retângulo áureo 09 da Igreja de Santo Alexandre.
Fonte: Autor
10° Retângulo: Retângulo da porta central (imagem 43).
Imagem 43: Retângulo áureo 10 da Igreja de Santo Alexandre.
Fonte: Autor
GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 68
11° Retângulo: Retângulo da porta lateral (imagem 44).
Imagem 44: Retângulo áureo 11 da Igreja de Santo Alexandre.
Fonte: Autor
5.2.7 Atividade 10: Análise da fachada da Catedral Metropolitana de Belém
Objetivo
Analisar a fachada da Catedral Metropolitana de Belém segundo a secção
áurea, provando da utilização da mesma no processo projetual.
Tempo
1hora e 30 minutos
Recursos
Software Cabri II Plus.
Fotografias das edificações de Antônio Landi.
Procedimentos
Esta última atividade tem como objetivo a análise de uma fachada mais
complexa, como a da Catedral Metropolitana de Belém. Novamente deve ser uma
atividade na qual os procedimentos deve ser conduzidos pelo próprio aluno, todavia,
sempre orientados pelo professor para que se cheguem a identificação de no
mínimo os seguintes retângulos áureos.
GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 69
1° Retângulo: Retângulo gerador da largura da fachada (imagem 45).
Imagem 45: Retângulo áureo 01 da Catedral Metropolitana de Belém.
Fonte: Autor
2° Retângulo: Retângulo gerador da altura da fachada (imagem 46).
Imagem 46: Retângulo áureo 02 da Catedral Metropolitana de Belém.
Fonte: Autor
GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 70
3° Retângulo: Retângulo demarcador da largura da parte central da
fachada (imagem 47).
Imagem 47: Retângulo áureo 03 da Catedral Metropolitana de Belém.
Fonte: Autor
4° Retângulo: Retângulo demarcador da altura da parte central da
fachada (imagem 48).
Imagem 48: Retângulo áureo 04 da Catedral Metropolitana de Belém.
Fonte: Autor
GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 71
5° Retângulo: Retângulo da marcação da fachada (imagem 49).
Imagem 49: Retângulo áureo 05 da Catedral Metropolitana de Belém.
Fonte: Autor
6° Retângulo: Retângulo da marcação da fachada (imagem 50).
Imagem 50: Retângulo áureo 06 da Catedral Metropolitana de Belém.
Fonte: Autor
GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 72
7° Retângulo: Retângulo das dimensões da porta central e da sua
moldura (imagem 51).
Imagem 51: Retângulo áureo 07 da Catedral Metropolitana de Belém.
Fonte: Autor
8° Retângulo: Retângulo das dimensões da torre (imagem 52).
Imagem 52: Retângulo áureo 08 da Catedral Metropolitana de Belém.
Fonte: Autor
GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 73
9° Retângulo: Retângulo da largura da fachada na parte superior (imagem
53).
Imagem 53: Retângulo áureo 09 da Catedral Metropolitana de Belém.
Fonte: Autor
10° Retângulo: Retângulo delimitador da largura da parte central superior
da fachada (imagem 54).
Imagem 54: Retângulo áureo 10 da Catedral Metropolitana de Belém.
Fonte: Autor
GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 74
11° Retângulo: Retângulo da altura do braço da cruz com a largura da
parte central (imagem 55).
Imagem 55: Retângulo áureo 11 da Catedral Metropolitana de Belém.
Fonte: Autor
12° Retângulo: Retângulo da relação da torre coma parte central (imagem
56).
Imagem 56: Retângulo áureo 12 da Catedral Metropolitana de Belém.
Fonte: Autor
GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 75
5.2.8 Observações
É imprescindível que para estas atividades o professor teste as
dimensões das imagens, para garantir que não será necessário diminuir suas
dimensões para que fiquem visíveis por inteiro na tela do Cabri II Plus. Se for preciso
diminuir as dimensões o professor precisa tomar cuidado pra não alterar as
proporções das imagens, o que prejudicará as atividades.
Os exemplos citados nas atividades 09 e 10, não são de nenhum modo
únicos, os alunos poderão encontrar retângulos áureos não citados nas atividades,
no entanto é importante que o professor esteja preparado para orientar a análise de
pelo menos os exemplos citados.
5.2.9 Resultados esperados
Espera-se que ao fim desta etapa o aluno possa ter plena noção do
conceito de secção áurea e sua aplicação, especialmente na arquitetura. Além de
compreender a importância da matemática no processo projetual e na história da
arquitetura. Assim ao fim desta etapa espera-se que o aluno possa responder aos
seguintes questionamentos:
� Qual a importância da secção áurea na história da arquitetura?
� Qual a utilidade da secção áurea na arquitetura de Antônio Landi?
� Como se pode demonstrar a existência se secção áurea na arquitetura de
Antônio Landi?
GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 76
6 CONCLUSÃO
A relação da matemática com arquitetura é extremamente ampla, não
podendo ser resumida e muito menos sua utilidade para o ensino ser descrita em
algumas páginas. O que pode ser ignorado por educadores é o potencial educativo
que esta relação pode gerar, tendo em vista que a arquitetura faz parte do cotidiano
de qualquer aluno e que uma forma de facilitar e desmistificar o ensino da
matemática é mostrar como ela está presente na realidade que o aluno vive.
Na maioria dos livros didáticos essas relações ainda são pouco
exploradas, ou são subestimadas, sendo reduzidas a notas ou textos
complementares. Espera-se que os autores atentem as pesquisas, especialmente as
que trabalham com modelagem matemática, e possam na reformulação de seus
livros inserirem atividades que envolvam o cotidiano do aluno, em especial a
arquitetura.
Acredita-se que os meios informatizados são uma forma de atrair a
atenção dos alunos, despertando sua curiosidade e seu senso crítico e investigativo,
sendo assim importantes ferramentas no processo de ensino e aprendizagem. No
caso da geometria, os programas de geometria dinâmica contribuem
substancialmente para o ensino ao tornarem visíveis transformações outrora
abstratas.
Este trabalho de forma alguma expressa a única forma de se abordar
secção áurea, mas tenta com algumas idéias que foram convertidas em uma
proposta de seqüência didática encontrar um modo mais adequado e eficiente de
ministrar o tema quando comparado com a forma tradicional de ensino (definição,
exemplo e exercício).
A seqüência didática teve foco na arquitetura de Antônio Landi devido a
sua importância para a cidade de Belém. Como sugestão para outras atividades
podem ser utilizados outros prédios do arquiteto Antônio Landi, e.g., o Palácio Lauro
Sodré, que atualmente funciona como Museu Histórico do Estado do Pará, a Igreja
de Nossa Senhora do Carmo e a Capela de São João, dentre outros exemplos
espalhados pela cidade Belém. No entanto, nada impede que esta atividade possa
ser feita com imagens de templos gregos e igrejas renascentistas, ou até mesmo
com prédio históricos de outra cidade, sendo esta última opção a mais recomendada
GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 77
para que o aluno possa ter contato com o patrimônio arquitetônico e entenda a
importância de sua preservação.
As maiores dificuldades que podem ser encontradas ao tentar realizar a
proposta em uma escola pode ser em primeiro lugar a falta ou o pequeno número de
equipamentos adequados, em segundo lugar a inexistência do software Cabri II
Plus, pelo fato de não ser um software livre e por ultimo a ausência de profissionais
preparados para trabalhar com o ensino por meio de informática, sendo esta ultima
uma deficiência que pode ser superada se o professor se esforçar e tiver disposição
para reciclar seus conhecimentos e adquirir novos. Uma opção livre e aberta para
substituir o Cabri II Plus é utilizar o software de geometria dinâmica Régua e
Compasso (GROTHMANN, 2009) que apesar de originalmente apresentar sua
interface em Alemão possui uma versão em Português (BORTOLOSSI, 2009).
Assim espera-se que este trabalho seja fonte de inspiração para
professores e futuros professores que encontrarão em seu caminho a tarefa de
ensinar e preparar cidadãos para uma sociedade cada vez mais moderna, sabendo
que os educadores são os principais responsáveis por quebra de paradigmas que a
envolvem, no entanto, é preciso ser um profissional que se desafie a cada dia a
realizar o melhor.
GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 78
REFERÊNCIAS
BARISON, Maria Bernadete. Definições, Traçados, Exemplos e Aplicações de Proporção Áurea em Desenho Geométrico e Arquitetura. Disponível em: <http://www.mat.uel.br>. Acesso em: 19 Jun. 2008.
BALDIN, Yuriko Yamamoto; VILLAGRA, Guillhermo Antônio Lobos. Atividades com Cabri-Géomètre II para cursos de licenciatura em matemática e professores de ensino fundamental médio. São Carlos: EdUFSCar, 2002.
BIEMBENGUT, Maria Salett. Modelagem Matemática e Implicações no Ensino-Aprendizagem de Matemática. Blumenau: Editora da Furb, 1999.
__________; HEIN, Nelson. Modelagem Matemática no Ensino. 4. ed. São Paulo : Contexto, 2007.
BORBA, Marcelo de Carvalho; PENTEADO, Miriam Godoy. Informática e Educação Matemática. 3. ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2003.
BORTOLOSSI, Humberto José. Régua e Compasso (C.a.R.): software de Geometria Dinâmica Gratuito. Disponível em: <http://www.professores.uff.br/hjbortol/car/index.html> . Acesso em: 23 jan. 2009.
BOYER, Carl B. História da Matemática. 7. ed. São Paulo: Editora Blucher Ltda, 1987.
BRANDÃO, Leônidas de Oliveira. Estudando Algoritmos Fractais com Programas de Geometria Dinâmica. Revista do Professor de Matemática. São Paulo, n.49, p. 27-34, 2002.
BRASIL. Lei n° 9.394, de 20 de dezembro de 1996. Disponível em: <http://portal.mec.gov.br>. Acesso em: 25 Jun. 2008.
__________. Lei n° 9.610, de 19 de fevereiro de 1998. Disponível em: <http://www.planalto.gov.br>. Acesso em: 28 Nov. 2008.
__________. Secretaria de Educação Básica. Catálogo do Programa Nacional do Livro para o Ensino Médio. Brasília: Ministério da Educação, Secretaria de Educação Básica, 2004.
__________. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais Terceiro e Quarto Ciclos do Ensino Fundamental. Brasília: Ministério da Educação / Secretaria de Educação Fundamental, 1998.
GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 79
__________. Secretaria de Educação Básica. PCNEM - Ciências da natureza, matemática e suas tecnologias. Brasília: Ministério da Educação, Secretaria de Educação Básica, 2006.
CASTRO, Antônio Lincoln. Noções Sobre Direito Autoral. Disponível em: <http://www.uff.br> Acesso em: 28 Nov. 2008.
CHING, Francis D. K. Arquitetura Forma, Espaço e Ordem. 4. ed. São Paulo: Martins Fontes, 2005.
__________. Dicionário Visual de Arquitetura. 4. ed. São Paulo: Martins Fontes, 2006.
CRE MARIO COVAS. Seqüência Didática e História: Aulas que Desafiam e Ensinam. Disponível em: <http://www.crmariocovas.sp.gov.br> Acesso em: 28 Nov. 2008.
CRUZ, Ernesto. História de Belém. Belém: Imprensa Universitária da Universidade Federal do Pará, 1973.
DANTE, Luis Roberto. Tudo é Matemática. 1. ed. São Paulo: Editora Ática, v. 4, 118-121, 2008.
__________. Matemática. 1. ed. São Paulo: Editora Ática, v. 1, p. 248, 2008.
DIAS, Andréia Aparecida. Numero de Ouro: um Pouco da História do Número de Ouro. Disponível em: < http://www.unimesp.edu.br>. Acesso em: 19 Jun. 2008.
EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. Campinas: Editora UNICAMP, 2004.
GOLDENBERG, E. P.; CUOCO, A. A. What is Dynamic Geometry? In: LEHRER, R.; CHAZAN, D. Designing Learning Environments for Developing Understanding of Geometry and Space. Mahwah: Lawrence Erlbaum Associates, 1998.
GONÇALVES, José et al. Uma Proposta Alternativa de Ensino de Função de Primeiro Grau em Ambiente informatizado. 2006. 33 f.Trabalho de Conclusão de Curso (Licenciatura Plane em Matemática) – Universidade do Estado do Pará, Belém, 2006.
GROTHMANN, René. C.a.R.: Compass and Ruler. Disponível em: <http://mathsrv.ku-eichstaett.de/MGF/homes/grothmann/java/zirkel/doc_en/index.html>. Acesso em: 23 jan. 2009.
GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 80
KAMPFF, Adriana; CAVEDINI, Patrícia. Ambientes Informatizados de Aprendizagem Matemática: o Estudo da Geometria no Ensino Fundamental. Disponível em: < http://www.niee.ufrgs.br>. Acesso em: 15 Abr. 2008
KING, James; SCHATTSCHNEIDER, Doris. Geometry Turned On: Dynamic Software in Learning, Teaching, and Research. Washington: Mathematical Association of America, 1997.
MENDES, Iram Abreu. A investigação histórica como agente da cognição matemática em sala de aula. In: MENDES, I. A. ; FOSSA, J. A. ; VALDÉS, J. E. N. . A história como um agente de cognição na Educação Matemática. 1. ed. Porto Alegre: Sulina, 2006.
NEUFERT, Ernest. Arte de Projetar em Arquitetura. 13. ed. São Paulo: Editorial Gustavo Gili, 1998.
NINA, Clarissa; CARVALHO, Liege. O Número de Ouro e o Homem Vitruviano. Disponível em: <http://ccet.ucs.br>. Acesso em: 30 Jun. 2008.
PAIS, Luiz Carlos. Didática da Matemática: Uma análise da influencia francesa. 2. ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2002.
PAIVA, Manoel Rodrigues. Matemática: Conceitos, Linguagem e Aplicações. São Paulo: Moderna, v. 1, p. 217, 2008.
PARÁ. Secretária de Estado de Cultura. Feliz Lusitânia: Forte do Presépio, Casa das Onze Janelas e Casario da Rua Padre Champagnat. Belém: SECULT/PA, 2006. (Série Restauro, v.4)
__________. Secretária de Estado de Cultura. Feliz Lusitânia: Museu de Arte Sacra. Belém: SECULT/PA, 2006. (Série Restauro, v.3)
__________. Secretária de Estado de Cultura. Guia de visitação: Museu do Estado do Pará. Belém: SECULT/UNAMA, 2000.
POSSEBON, Ennio. O Modulor de Le Corbusier: forma, proporção e medida na arquitetura. FMU – Revista de Cultura IMAE, n.11, jan./jun. 2004. Disponível em <http://www.fmu.br>. Acesso em 12 de junho de 2008.
SANTOS, Marcelo; DAMBROS, Roberto; BORGES, Jonatas. Geometria Dinâmica: Construindo e Explorando Conceitos Através do Software Wingeom. Disponível em: <http://www.facos.edu.br>. Acesso em: 20 Maio 2008.
SILVA, Elvan. A Forma e a Fórmula. Porto Alegre: Sagra, 1991.
GOMES, Aline Neves. Proposta de Seqüência Didática com Secção Áurea 81
SILVA, Cláudio; BARRETO FILHO, Benigno. Matemática Aula por Aula. 1. ed. São Paulo: FTD, v. 2, p. 9-10, 2003.
SMOLE, Kátia; VIEIRA, Maria; KIYUKAMA, Rokusaburo. Matemática Ensino Médio. 3. ed. São Paulo: Saraiva, v. 1, p. 16-17, 165-166, 2003.
SOUZA, Maria J. Araújo. Informática Educativa na Educação Matemática: Estudo da Geometria no Ambiente do Software Cabri-Géomètre. 2001. 179 f. Dissertação de Mestrado (Pós-graduação em Educação Brasileira) – Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2001.
THOMAZ NETO, Mário; COTA, Shyrleny. Explorando Conhecimentos Matemáticos por Meio de Atividades de Ensino com o Material dourado. In: Anais do SIPEMAT. Recife: Universidade Federal de Pernambuco, 2006.
VALENTE, José Armando. Diferentes Usos do Computador na Educação. Disponível em: < http://www.nied.unicamp.br>. Acesso em: 19 Jun. 2008.
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