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Material de matemática, produtos notáveis para ens médio.
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PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO
Produtos Notáveis
Os produtos notáveis são identidades que podem ser obtidas de maneira prática. Assim, como são muito frequentes no cálculo algébrico, iremos listar os principais. I. Quadrado da soma de dois termos:
2 2 2a b a 2 a b b
II. Quadrado da diferença de dois termos:
2 2 2a b a 2 a b b
III. Produto da soma pela diferença de dois termos:
2 2a b a b a b
IV. Cubo da soma de dois termos:
3 3 2 2 3a b a 3 a b 3 a b b
V. Cubo da diferença de dois termos
3 3 2 2 3a b a 3 a b 3 a b b
Fatoração
Seja uma expressão algébrica escrita como uma soma de termos. Fatorar essa expressão significa escrevê-la na forma de um produto. Para tanto, existem determinadas técnicas, descritas a seguir: Fator Comum Inicialmente, identificamos um termo comum a todas as parcelas da expressão. Em seguida, colocamos esse termo em evidência. Exemplos 1º) ab + ac = a(b + c)
2º) 24x3y
2 – 6x
4y + 12x
2y
5 = 6x
2y (4xy – x
2 + 2y
4)
Agrupamento Às vezes, não é possível identificar, de início, um fator comum a todas as parcelas de expressão. Nesse caso formamos dois ou mais grupos com um termo comum. Em seguida, colocamos em evidência o fator comum a todos os grupos. Exemplos
1º) ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (x + y) (a + b)
2º) 8x2 – 4xz – 6xy + 3yz = 4x (2x – z) – 3y (2x – z)
= (2x – z) (4x – 3y) Exercício Resolvido
01. Fatorar a expressão a2 – 4ba + 3b
2.
Resolução: 2 2 2 2a 4ab 3b a ba 3ba 3b
a(a b) 3b(a b)
(a b)(a 3b)
Soma e diferença de cubos
São identidades muito úteis em cálculo algébrico. São elas: I. Soma de cubos:
3 3 2 2a b a b a ab b
II. Diferença de cubos:
3 3 2 2a b a b a ab b
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA
AULA 1 – Prof. Raul Brito
2
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 1 – Prof. Raul Brito PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO
02. Fatorar a expressão x3 – 27:
Resolução:
x3 – 27 = x
3 – 3
3 = (x – 3) (x
2 + 3x + 9)
Identificação de um produto notável Exemplos
1º) x2 + 10x + 25 = (x + 5)
2 - Quadrado da soma.
2º) 222 2 6 3 3 3a b c ab c ab c ab c - Produto da soma pela diferença.
3º) a3 – 3a
2 + 3a – 1 = (a – 1)
3 – Cubo da diferença.
Fatoração do trinômio da forma ax2 + bx + c
Sejam x1 e x2, as raízes reais do trinômio P(x) = ax2 + bx + c, com a 0. Esse trinômio pode ser escrito na forma:
1 2P x a x x x x
Observação
As raízes podem ser obtidas pela Fórmula de Bhaskara:
2bx , em que b 4ac
2a
Exercício Resolvido
03. Fatorar a expressão x2 – 5x + 6.
Resolução: Cálculo das raízes:
2
1 2
5 4 1 6 25 24 1
5 1x x 2 e x 3
2
Substituindo na forma fatorada, temos 1(x – 2) (x – 3).
04. (FEI) fatorar 2 2 2a b c 2ab.
Resolução: 2 2 2 2 2 2 2 2a b c 2ab a 2ab b c (a b) c (a b c)(a b c) .
05. (UFGO) Simplificando
3 2
2 2
x y 2y y x
x y
, obtém-se:
a) (x + y)2 / (x – y)
b) x – y – 2yx2
c) x + y d) x – y
e) (x2 + y
2) / (x – y)
Resolução:
3 2 2
2 2
x y x yx y 2y x y x y x y 2y
x y x yx y
x y
x y x yx y .
06. Se
23
3
1 1R 3, então R é igual a :
R R
a) 1 b) 2 c) 0 d) 3 e) 6 Resolução:
3
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 1 – Prof. Raul Brito PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO
Dados:
2
3 33 2 3
2 3 3
3 3 3 3
3 3 3
1R 3
R
Desenvolvendo temos :
1 1 1 1 1 1 1R R 3 R 3 R R R 3 R
R R R RR R R
1Como R 3 temos :
R
1 1 13 R 3 3 3 3 R 3 3 R 0
R R R
Letra “c”
07. Simplificando 4 4
3 2 2 3
a b
a a b ab b
Resolução:
2 22 2 2 24 4
3 2 2 3 2 2
a ba b a ba b
a a b ab b a (a b) b (a b)
a b a b
(a b) 2 2a b
a b
08. Simplificando a expressão 2
2
a 7a 12
a 6a 9
encontramos:
a) a 4
a 3
b) 12
9
c) 19
15
d) a 7
a 6
e) 4
3
Resolução:
2
2
2
2
a 7a 12Resolvendo as equações
a 6a 9
a 7a 12 0 a 3 a 4
a 6a 9 0 a 3 a 3
Podemos escrever a fatoração: 2 2
2
2
a 7a 12 (a 3) (a 4) e a 6a 9 (a 3) (a 3)
Logo :
(a 3)a 7a 12
a 6a 9
(a 4)
(a 3)
a 4
a 3(a 3)
4
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 1 – Prof. Raul Brito PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO
EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM
Questão 01
Se a.b 1 e 2 2a b 3 . Qual o valor numérico da
expressão 2 2
2 2
a b2
b a ?
Questão 02
Se o comprimento da diagonal de um quadrado é x + y, a área desse quadrado é:
a) 2 2x y
b)
2x y
2
c)
2x y
2
d) 2 2x y
Questão 03
Calculando 2 2934287 934286 obtemos:
a) 1 b) 2 c) 1868573 d) 1975441 Questão 04
O valor numérico da expressão 4
2
a 1 a 1.
a 1 a 1
, para a = 101,
é: a) 101 b) 1110 c) 9801 d) 9900 e) 10000 Questão 05
O número real 4 2
2
x 2x 1r
x 2x 1
é igual a:
a) 2x x
b) 2x x 1
c) 2x 2x 1
d) 2x 2x 1
e) x 1 Questão 06
Se 3x 3 7 e 3y 7 1 , calcule o valor numérico da
expressão 3 3 2 2x y 3x y 3xy
a) 7
b) 3 7
c) 7 d) 8 e) 12
5
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 1 – Prof. Raul Brito PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO
Questão 07
Se m + n + p = 6 , mnp = 2 e mn + mp + np = 11, o valor
numérico de 2 2 2m n p
mnp é:
a) 1 b) 3 c) 7 d) 18 e) 22 Questão 08
Se 8 11 n2 2 2 é um quadrado perfeito , o valor de n é: a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20 Questão 09
Sabendo que x > 0 e simplificando a fração algébrica:
3 31 1
E x 1 . x 1x x
obtemos:
a)
32x x 1
x
b)
32x x 1
x
c)
33
3
1x
x
d)
3
2 x 1
x
e)
31
xx
Questão 10
O menor valor que a expressão 2 236x y 12x 3 pode
assumir para x e y reais é: a) 0 b) – 1 c) – 2 d) – 3 e) – 4 Questão 11
O valor de 99 99
x 2 5 2 5 é:
a) 2
b) 5
c) 2 5
d) 1 e) – 1
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CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 1 – Prof. Raul Brito PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO
Questão 12
(Mackenzie-SP) A expressão 2
4
x x 6 x 2
x 16
é:
a) x 3
x 2
b) x 2
x 2
c) 2
x 2
x 4
d) x 3
x 2
e) 2
x 3
x 4
Questão 13
(UFMG) Os lados de um retângulo são 1a x 1 e
1b x 1 e os de outro retângulo são 2a 3x 7 e
2b 3x 7 . Se os retângulos possuem a mesma área,
o valor de x é:
a) 2 2
b) 3
c) 10
d) 2 e) 4 Questão 14
(UFMG) Fatorando-se a expressão 4 4 3 3x y 2x y 2xy ,
obtém-se:
a) 2 2
x y x y
b) 3
x y x y
c) 22 2x y x y
d) 4
x y
e) x + y Questão 15
(UFMG) A expressão
3 2
2
x y y 3x y
x
é igual a:
a) x + y b) 3x – y c) 3x + y d) x – 3y e) x + 3y
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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
Questão 01
O valor numérico da expressão 2 268 32 está
compreendido no intervalo: a) [30,40[ b) [40,50[ c) [50,60[ d) [60,70[ Questão 02
Sejam x , y são IR com x y 16 e xy 64. O valor da
expressão x y
y x é:
a) – 2. b) – 1. c) 0. d) 1. e) 2. Questão 03
Seja x um número real tal que 3
x 9.x
Um possível valor
de 3
xx
é .α Sendo assim, a soma dos algarismos " "α
será:
a) 11
b) 12
c) 13
d) 14
e) 15
Questão 04
O valor da expressão: 2 2
a b a b é:
a) ab. b) 2ab. c) 3ab. d) 4ab. e) 6ab. Questão 05
Se x
y , x 0,2
a expressão 2(x 2y) 4 x
4y 2 y
é
equivalente a:
a) 2x.
b) 2y.
c) 0.
d) 1
x.2
e) 1
y.2
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CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 1 – Prof. Raul Brito PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO
Questão 06
Ao simplificar a expressão 3 2
2
x 4x 4x 16y ,
x 6x 8
em que
x 2 e x 4, obtém-se:
a) x. b) x – 2. c) x + 2. d) x + 4. Questão 07
A expressão: 2x2 – 4x + 5 – (x
2 + 2x – 4) equivale a:
a) 3x2 – 2x + 1.
b) x2 – 6x + 1.
c) (2x + 1)2.
d) (x – 3)2.
e) (x – 2)2 – (x + 1)
2.
Questão 08
Leia com atenção a demonstração a seguir: Vamos provar por a + b que 1 + 1 = 1
Passo 0: Sejam a e b números reais não nulos tais que a = b. Passo 1: Se a = b, podemos multiplicar os dois membros desta igualdade por a e obter: a
2 = ab
Passo 2: A seguir, subtraímos b2 dos dois membros da
igualdade: a2 – b
2 = ab – b
2
Passo 3: Fatorando as expressões, temos: (a + b)(a – b) = b (a – b)
Passo 4: Agora, dividimos ambos os membros por (a – b) e obtemos: a + b = b
Passo 5: Como no início, supomos que a = b, podemos substituir a por b. Assim: b + b = b Passo 6: Colocando b em evidência, obtemos: b (1 + 1) = b Passo 7: Por fim, dividimos a equação por b e concluímos que: 1 + 1 = 1
É evidente que a demonstração acima está incorreta. Há uma operação errada: a) No passo 2. b) No passo 3. c) No passo 4. d) No passo 6. Questão 09
Ao fatorar a expressão 210xy + 75x2y + 147y, obtém-se:
a) 3(7x + 5)2.
b) 3y(5x + 7)2.
c) 3(5x – 7)(5x + 7). d) 3y(7x – 5)(7x + 5).
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Questão 10
Considerando-se x 1 e y 0, ao simplificar a expressão
1,
1 ( 1)
x x y
x y x
obtém-se:
a) 1.
y
y
b) .1
y
y
c) 1.
x
x
d) .1
x
x
e) 2
.1
x
x
Questão 11
Simplificando a expressão 4 3 3 4
2 2
a a b ab b
a b
, com a b ,
obtém-se
a) a b
a b
b) 2 2a ab b
c) a b
d) 3
a b
Questão 12
Se x y 2 e 2 2x y 3 , então
3 3x y vale
a) 4. b) 5. c) 6. d) 7. e) 8. Questão 13
Simplificando a expressão numérica
2 2
123 456 123 455 encontra-se:
a) 0. b) 1. c) 12.345. d) 246.911. Questão 14
Sabendo que 2 2
y 2010 2000 2000 1990 , o valor
de 7
y
10 é igual a:
a) 8 b) 16 c) 20 d) 32
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Questão 15
A expressão algébrica: 2x x 1 x
.x 1 x 1 2
equivale a: a) 2x b) x c) – 2x d) – x
e) 2
2
x
x 1
Questão 16
Se
21
x 3x
, então 2
2
1x
x , é igual a:
a) 0 b) 1 c) 5 d) 6 Questão 17
Sendo o número n = 6842 - 683
2, a soma dos algarismos de
n é: a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 Questão 18
Se x + (1/x) = 3, o valor de x3 + (1/x
3) é:
a) 27 b) 18 c) 9 d) 6 e) 12 Questão 19
Sabendo-se que p + q = 4 e pq = 5, então o valor de
E = p3 + q
3 + p
2q + pq
2 é:
a) 24 b) 26 c) 30 d) 34 e) 36 Questão 20
P(x) = x2 - 50x + A, onde A ∈ IR. Para que o polinômio P(x)
torne-se um trinômio quadrado perfeito, o valor de A é: a) 25 b) 125 c) 225 d) 625 e) 1025
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RESOLUÇÕES DAS QUESTÕES DE CASA
Questão 01:
Resolução: Usando o produto da soma pela diferença, podemos escrever:
2 268 32 (68 32) (68 32) 100 36 100 36 10 6 60
Resposta: Alternativa D
Questão 02:
Resolução: Tem-se que: 2 2 2 2 2x y x y x y (x y) 2xy x y (x y) x y ( 16) x y
2 2 4 2y x xy y x xy y x xy y x 64 y x
x y 2.y x
Resposta: Alternativa E Questão 03:
Resolução: Do enunciado, temos: 2
2 2 2
2 2
22 2
2 2
3 3 9 9x 9 x 9 x 6 81 x 75 (I)
x x x x
3 3 9 9x x x 6 x 6 (II)
x x x x
Assim, comparando ( I ) e ( II ), temos: 6 75 69
Logo 6 9 15 .
Resposta: Alternativa E
Questão 04:
Resolução: Desenvolvendo cada produto notável, temos:
2 2 2 2 2 2a b a b a 2ab b a 2ab b 4ab.
Resposta: Alternativa D
Questão 05:
Resolução: Desenvolvendo a expressão:
2
x 2y 4 x
4y 2 y
(considerando que
xy
2 ), temos:
2 2 22 2 2x x 4 2x 4 4x 4 2 2x 2x 2 4x 4 4x 4 4x 4 4x 4x
x 2x x 2x 2 x 2x 2 2x 2 2x 2 2x 2
4 22 2
2x.(2x 2)2x
2x 2
Outra maneira seria:
2 2 2 2x x 4 2x 4 2x 2 2x 2 2x 2x 2
x 2 2 2x 2 2 2xx x 2x 2 x 2x 2 2x 2
4 22 2
Resposta: Alternativa A Questão 06:
Resolução: Fatorando a expressão, temos: 3 2 2 2
2
x 4x 4x 16 x (x 4) 4.(x 4) (x 4) (x 4) (x 2) (x 2)y (x 2).
(x 2) (x 4) (x 2) (x 4) (x 2)x 6x 8
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Logo y x 2 .
Resposta: Alternativa C Questão 07:
Resolução: Simplificando a expressão:
22 2 2 2 22x 4x 5 x 2x 4 2x 4x 5 x 2x 4 x 6x 9 x 3
Resposta: Alternativa D Questão 08:
Resolução: A operação errada foi no passo quatro, dividindo por a – b (1 – 1 = 0) estamos dividindo 2(a + b) e 1(b) por zero, o que não é possível. Resposta: Alternativa C
Questão 09:
Resolução: Fatorando a expressão, temos:
22 2210xy 75x y 147y 3y 25x 70x 49 3y 5x 7 .
Resposta: Alternativa B
Questão 10:
Resolução: Podemos escrever da seguinte forma:
x x y 1 yx x y 1 x(y 1) (y 1) (y 1).(x 1) (y 1)
x 1 y(x 1) y(x 1) y.(x 1) y.(x 1) y
.
Resposta: Alternativa A Questão 11:
Resolução: Simplificando, temos:
3 3 2 23 34 3 3 42 2
2 2
a b a b a b a ab ba a b b a ba a b ab b a ab b
a b a b a b a b a ba b
Resposta: Alternativa B
Questão 12:
Resolução: Temos que 2 2 2
2 2 2x y x y
x y x 2xy y xy2
.
Portanto:
2 2 2
23 3 2 2 3 3 2 2 3 3
3 3
x y x y 2 3x y x y x y xy x y x y x y x y 2 3
2 2
x y 5.
Resposta: Alternativa B Questão 13:
Resolução: Usando o produto da soma pela diferença:
2 2
123 456 123 455 123 456 123 455 123 456 123 455 246 911 .1 246 911
Resposta: Alternativa D Questão 14:
Resolução: Simplificando, temos:
2 2 7y 2000 2010 1990 y 2000 2010 1990 2010 1990 y 2000 4000 20 y 16 10
13
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 1 – Prof. Raul Brito PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO
Logo, 7
7 7
y 16.1016
10 10 .
Resposta: Alternativa B
Questão 15:
Resolução: Simplificando, temos:
2 2 2 2 2
2 2
22
2 2
x x 1 x x 1x x 1 x 1 x x x x x 1 x. . .
x 1 x 1 2 2 2x 1 x 1
2x. 1 x2x 1 x . x
2x 1 1 1 x .2
Resposta: Alternativa B
Questão 16:
Resolução: Desenvolvendo o produto notável, temos: 2
2 2 2
2 2 2
1 1 1 1 1x 3 x 2.x. 3 x 2 3 x 5
x x x x x
Resposta: Alternativa C Questão 17:
Resolução: Usando a diferença entre quadrados, temos:
2 2n 684 683 n 684 683 684 683 n 1367 1 n 1367
Logo, a soma dos algarismos é 1 + 3 + 6 + 7 = 17. Resposta: Alternativa D Questão 18:
Resolução: Elevando ao cubo, temos: 3 2 3 2 3
3 3 2 3
2 3
3 3
3 3
1 1 1 1 1 1x 3 x 3 x 3 x 27 x 3x 3x 27
x x x x x x
3 1 1 1 x 3x 27 x 3 x 27.
x xx x
Substituindo o valor dado na questão:
3 3 3 3
3 3 3 3
1 1 1 1x 3 3 27 x 9 27 x 27 9 x 18
x x x x .
Resposta: Alternativa B
Questão 19:
Resolução: Elevando a soma ao cubo, temos:
3 3 3 2 2 3 3 2 2 3 2 2
E
3 3 2 2 2 2
p q 4 p 3p q 3pq q 64 p p q pq q 2p q 2pq 64
Note que p q p q pq E, então : E 2p q 2pq 64 E 2pq(p q) 64
Substituindo os valores, temos :
E 2 5 4 64 E 40 64 E 24.
Resposta: Alternativa A Questão 20:
Resolução: Para um polinômio ser da forma de um trinômio quadrado perfeito, ele deve tomar a forma:
P(x) = (x + y)2.
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CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 1 – Prof. Raul Brito PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO
Desenvolvendo, temos: 2 2P(x) x 2xy y .
Assim, comparando com os dados da questão, temos: 2 2
2
2 2
P(x) x 2xy y
P(x) x 50x A
502xy 50x 2y 50 y y 25.
2
E y A A 25 A 625.
Resposta: Alternativa D
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