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TEMA 5
TRIGONOMETRÍA
EL TRIANGULO
Un triángulo, en geometría, es un polígono de tres segmentos que determinan tres
puntos del plano y su limitación. Cada punto dado pertenece a dos segmentos. Los
puntos comunes a cada par de segmentos se denominan vértices del triángulo y los
segmentos de recta determinados son los lados del triángulo. Dos lados contiguos
forman uno de los ángulos interiores del triángulo. Un triángulo es una figura
estrictamente convexa.
CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS
Los triángulos se pueden clasificar por la relación entre las longitudes de sus lados o por la amplitud de sus ángulos.
a). Por las longitudes de sus lados
Por las longitudes de sus lados, todo triángulo se clasifica:
Triángulo equilátero, cuando los tres lados del triángulo tienen una misma longitud (los tres ángulos internos miden 60 grados o π/3 radianes).
Como triángulo isósceles (del griego ἴσος "igual" y σκέλη "piernas", es decir, "con dos piernas iguales"), si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida. (Tales de Mileto, filósofo griego, demostró que un triángulo isósceles tiene dos ángulos iguales, estableciendo así una relación entre longitudes y ángulos; a lados iguales, ángulos iguales).
Un triángulo es isósceles cuando tiene dos lados iguales; esto no descarta que los tres lados sean iguales, de modo que todo triángulo equilátero sea isósceles, pero no se cumple el enunciado recíproco.
Sea el triángulo ABC isósceles, donde b = c entonces los ángulos opuestos son iguales, i.eB = C. También se cumple que B' = C' siendo estos los ángulos externos. Además se cumplen las igualdades
A + 2B = A +2C = 180º;
A' + 2B' = A' + 2C' = 360º; A' = 2C = 2B; B'=C'=A+B= A+C
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Como triángulo escaleno (del griego σκαληνός "desigual"), si todos sus lados tienen longitudes diferentes (en un triángulo escaleno no hay dos ángulos que tengan la misma medida).
b). Por la amplitud de sus ángulos
Por la amplitud de sus ángulos los triángulos se clasifican en:
(Clasificación por amplitud de sus ángulos)
Triángulos
Rectángulos
Oblicuángulos Obtusángulos
Acutángulos
Triángulo rectángulo: si tiene un ángulo interior recto (90°). A los dos lados que conforman el ángulo recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa.
Triángulo oblicuángulo: cuando ninguno de sus ángulos interiores es recto (90°). Por ello, los triángulos obtusángulos y acutángulos son oblicuángulos. Cualquier triángulo o bien es rectángulo o bien oblicuángulo.
Triángulo obtusángulo: si uno de sus ángulos interiores es obtuso (mayor de 90°); los otros dos son agudos (menores de 90°).
Triángulo acutángulo: cuando sus tres ángulos interiores son menores de 90°.
Rectángulo Obtusángulo Acutángulo
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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Las funciones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos.
Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones.
Grafica de funciones seno y coseno
Valor x Seno Coseno
Radianes Grados
-π -180
-5π/6 -150
-3π/4 -135
-2π/3 -120
-π/2 -90
-π/3 -60
-π/4 -45
-π/6 -30
0 0
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π/6 30
π/4 45
π/3 60
π/2 90
2π/3 120
3π/4 135
5π/6 150
π 180
3π/2 270
2π 360
5π/2 470
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Ejemplos.
1. Calcular la altura de un triángulo equilátero de 10 cm de lado.
Solución:
102 = ℎ2 + 52
ℎ = √100 − 25 = 8.66 𝑐𝑚
2. De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a=415m y b=280m. Resolver
el triángulo.
Solución:
𝑠𝑒𝑛𝐵 =280
415= 0.6747 ∴ 𝐵 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(0.6747) = 42°25´
𝐶 = 90° − 42°25´ = 47°35´
𝑐 = 𝑎𝑐𝑜𝑠𝐵 ∴ 𝑐 = (415)(0.7381) = 306.31𝑚
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3. El triángulo ABC es un triángulo escaleno, calcula x.
Solución:
𝑥 + 55° + 36° = 180°
𝑥 + 91° = 180°
𝑥 = 180° − 91° = 89°
Ejercicios Propuestos:
1. Halla las razones trigonométricas de los ángulos de los siguientes triángulos
rectángulos:
a). b=56cm, a=62.3cm
b). b=33.6cm, c=4.5cm
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c). c=16cm, a=36cm
2. En cada uno de los siguientes casos, se facilita la medida de los tres lados de un
triángulo. Determina cuáles de ellos son rectángulos, obtusángulos o acutángulos.
a). 12cm, 16 cm y 20cm
b). 13m, 12m y 10m
c). 5cm, 10cm y 6cm
d). 8mm, 5mm y 5mm
e). 11m, 61m y 60m
f). 40 cm, 41cm y 9cm
TEOREMA DE PITÁGORAS
El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado
de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las
respectivas longitudes de los catetos. Es la proposición más conocida, entre otras,
de las que tienen nombre propio de la matemática.
Si el triangulo rectángulo tiene catetos a y b, y su hipotensa es c; el teorema se
representa matemáticamente como: 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2
De la ecuación 𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐, se derivan
𝑐 = √𝑎2 + 𝑏2𝑎 = √𝑐2 − 𝑏2 b= √𝑐2 − 𝑎2
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Ejemplos:
1. Determina la longitud de la hipotenusa dado que los catetos del triángulo
miden 3m y 4m respectivamente.
Solución:
Aplicando la fórmula de manera directa: 𝑐 = √𝑎2 + 𝑏2 = √32 + 42 =
√9 + 16 = 5
2. Si la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 5m y un cateto 3m. ¿Cuánto
mide el otro cateto?
Solución:
De manera similar, se puede aplicar directamente la fórmula del teorema de
Pitágoras, por lo que:
𝑎 = √𝑐2 − 𝑏2 = √25 − 9 = √16 = 4
3. Una escalera de 10m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la
escalera está separada 6m de la pared. ¿A qué altura está la escalera sobre
la pared?
Solución:
De Pitágoras se tiene que: 𝑎 = √𝑐2 − 𝑏2 = √100 − 36 = √64 = 8
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Ejemplo de aplicación:
Una cometa está atada al suelo con un cordel de 200 metros de longitud. Cuando la cuerda está totalmente tensa, la vertical de la cometa al sueloestá a 160 metros del punto donde se ató la cometa. ¿A qué altura está volando la cometa?
Ejercicios Propuestos:
1. Halla la medida, en metros, de la hipotenusa de un triángulo rectángulo, cuyos catetos miden 3 y 4 metros.
2. Halla la medida, en metros, del cateto desconocido de un triángulo rectángulo, cuya hipotenusa mide 17 metros y el cateto conocido mide 15 metros.
3. Una escalera de 65 decímetros se apoya en una pared vertical de modo que el pie de la escalera está a 25 decímetros de la pared. ¿Qué altura, en decímetros alcanza la escalera?
4. Una escalera de bomberos de 14,5 metros de longitud se apoya en la fachada de un edificio, poniendo el pie de la escalera a 10 metros del edificio. ¿Qué altura, en metros, alcanza la escalera?
5. La cara frontal de una tienda de campaña es un triángulo isósceles cuya base
mide 1,6 metrosy cada uno de los lados iguales mide 170 centímetros.Calcula la altura en centímetros de esa tienda de campaña.
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6. Un faro de 16 metros de altura manda su luz a una distancia horizontal sobre el mar de 63 metros. ¿Cuál es la longitud, en metros, del haz de luz?
7. Si nos situamos a 120 metros de distancia de un cohete, la visual al extremo superior del mismo recorre un total de 130 metros. ¿Cuál es la altura total del cohete?
8. Si nos situamos a 150 metros de distancia de un rascacielos, la visual al
extremo superior del mismo recorre un total de 250 metros. ¿Cuál es la altura total del rascacielos?
9. Un coche que se desplaza desde el punto A hasta el punto B recorre una
distancia horizontalde 35 metros, mientras se eleva una altura de 12 metros. ¿Cuál es la distancia, en metros, que separa a los puntos A y B?
10. La altura de una portería de fútbol reglamentaria es de 2,4 metros y la
distancia desdeel punto de penalti hasta la raya de gol es de 10,8 metros. ¿Qué distancia recorre un balón que se lanza desde el punto de penalti y se estrella en el punto central del larguero?
82
LEY DE SENOS Y COSENOS
Ley de senos
En trigonometría, el teorema de los senos o también conocido como ley de los senos es una relación de proporcionalidad entre las longitudes de los lados de un triángulo y los senos de sus respectivos ángulos opuestos.
Usualmente se presenta de la siguiente forma:
Ley de cosenos
La ley de los cosenos es usada para encontrar las partes faltantes de un triángulo oblicuo (no rectángulo) cuando ya sea las medidas de dos lados y la medida del ángulo incluido son conocidas (LAL) o las longitudes de los tres lados (LLL) son conocidas. En cualquiera de estos casos, es imposible usar la ley de los senos porque no podemos establecer una proporción que pueda resolverse.
La ley de los cosenos establece:
c2 = a2 + b2 – 2abcos C.
Esto se parece al teorema de Pitágoras excepto que para el tercer término y si C es un ángulo recto el tercer término es igual 0 porque el coseno de 90° es 0 y se obtiene el teorema de Pitágoras. Así, el teorema de Pitágoras es un caso especial de la ley de los cosenos.
La ley de los cosenos también puede establecerse como
b2 = a2 + c2 – 2accos B or
a2 = b2 + c2 – 2bccos A.
Teorema de los senos:
Si un triángulo ABC, las medidas de los lados opuestos a los
ángulos A,B y C son respectivamente a,b,c entonces:
𝑎
𝑠𝑒𝑛𝐴=
𝑏
𝑠𝑒𝑛𝐵=
𝑐
𝑠𝑒𝑛𝐶
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Ejemplos:
1) Calcula los lados y el ángulo que falta en el siguiente triángulo oblicuángulo.
Calculando el lado b o el c, utilizando el TEOREMA DEL SENO. Para el lado b se tiene:
𝑏
𝑠𝑒𝑛75°=
𝑎
𝑠𝑒𝑛40°
𝑏 = (𝑎
𝑠𝑒𝑛40°) (𝑠𝑒𝑛75°)
𝑏 = (12
𝑠𝑒𝑛40°) (𝑠𝑒𝑛75°) = 18
Calculando el lado c:
𝑐
𝑠𝑒𝑛𝐶=
12
𝑠𝑒𝑛40°
El ángulo C es fácil de calcular ya que se tiene a los otros dos. Sabiendo que la suma de los tres da 180°:
C = 180° – 40° – 75°
C = 65°
𝑐 = (12
𝑠𝑒𝑛40°) (𝑠𝑒𝑛65°) = 16.91
2) Calcula el lado y los ángulos que faltan del siguiente triángulo oblicuángulo.
84
Aquí no se puede utilizar el teorema del seno ya que siempre falta un dato. Por ejemplo, tenemos el lado c pero no su ángulo opuesto (C) o tenemos el ángulo (B) pero no su lado b. Lo mismo pasa con la relación (A) y a, falta el ángulo. Entonces en este caso, el TEOREMA DEL COSENO es el indicado ya que lo puede resolver.
Para hallar el lado b:
𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝐵
𝑏2 = (1200)2 + (700)2 − 2(1200)(700)𝑐𝑜𝑠(108°)
b = 1565 metros
Ahora se puede sacar el ángulo A o el C. Para el ángulo A:
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝐴
(1200)2 = (1565)2 + (700)2 − 2(700)(1565)𝑐𝑜𝑠𝐴
𝑐𝑜𝑠𝐴 =−1499225
−2191000= 0.684
Ahora se usa la función inversa para obtener el ángulo deseado.
𝐴 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(0.684) = 46°50´34´´
Para calcular el ángulo C solo se resta a 180° el valor de los otros dos. Recordando que la suma de los tres ángulos interiores de todo triángulo da 180°
C = 180° – 108° – 46° 50´34″
C = 25° 9´26″
Ejemplo de aplicación:
85
3. Desde lo alto de un globo se observa un pueblo A con un ángulo de 50º, y
otro B, situado al otro lado y en línea recta, con un ángulo de 60º. Sabiendo
que el globo se encuentra a una distancia de 6 kilómetros del pueblo A y a 4
del pueblo B, calcula la distancia entre los pueblos A y B.
Solución:
Esquema de la situación.
El ángulo debajo del globo es de 110º porque si se trazara una perpendicular desde
el globo al suelo, a la izquierda se tendría 50º y a la derecha 60º. Aquí se tiene que
usar el TEOREMA DEL COSENO, porque el ángulo que conocemos es el que
forman los dos lados de los cuales tenemos su longitud.
𝑑2 = 62 + 42 − (2)(6)(4)𝑐𝑜𝑠(110°)
𝑑 = 8.27 𝑘𝑚
Ejercicios Propuestos.
1. En los siguientes triángulos, halla los lados y ángulos restantes:
2. Los flancos de un triángulo forman un ángulo de 80º con la base. Si el
triángulo tiene 30 centímetros de base, calcula la longitud de sus lados.
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3. Tres amigos se sitúan en un campo de fútbol. Entre Alberto y Pedro hay 25
metros, y entre Pedro y Camilo, 12 metros. El ángulo formado en la esquina
de Camilo es de 20º. Calcula la distancia entre Alberto y Camilo.
4. Una valla cuyo perímetro tiene forma triangular mide 20 metros en su lado
mayor, 6 metros en otro y 60º en el ángulo que forman entre ambos. Calcula
cuánto mide el perímetro de la valla.
5. Calcule la distancia que debe recorrer un obrero para subir y bajar una
carretilla por una rampa. Si se sabe que la base mide 28m y tiene una
inclinación de 28° en la subida y 45°20´ en la bajada.
6. Se necesita cercar un terreno de forma triangular del que se conoce dos de
los lados que lo forman, uno de 8m y otro de 10m de largo. Además, se sabe
que el ángulo que forman estos lados es de 110°10´. Calcular el largo del
alambre que se necesita usar.
7. Una torre inclinada 10° de la vertical, está sujeta por un cable desde un punto
P a 15m de la base de la torre. Si el ángulo de elevación del cable es de 25°.
Calcule la longitud del cable.
8. Una persona observa un avión y un barco desde la cúpula de un faro, tal
como lo muestra la figura. ¿cuál es la distancia que hay del barco al avión?
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9. Un árbol es observado por dos puntos opuestos, separados 250m con
ángulos de elevación de 30° y 25°. ¿A qué distancia está la cúspide de cada
punto de observación?
10. Dos autos parten de una estación y siguen por carreteras distintas que
forman entre si un ángulo de 80°. Si las velocidades son 60 km/h y 100 km/h,
¿qué distancia los separa después de una hora y media de recorrido?
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Definición.
Es una igualdad algebraica entre razones de un mismo ángulo que se verifica para
cualquier valor que se atribuye a dicho ángulo.
Las identidades trigonométricas se usan para cambiar la forma de una expresión
trigonométrica. Esto es muy importante, ya que algunas formas de las funciones
trigonométricas se manejan con más facilidad y con mayor utilidad que otras.
88
Identidades recíprocas:
𝑠𝑒𝑛𝐴 =1
𝑐𝑠𝑐𝐴 𝑐𝑠𝑐𝐴 =
1
𝑠𝑒𝑛𝐴
𝑐𝑜𝑠𝐴 =1
𝑠𝑒𝑐𝐴 𝑠𝑒𝑐𝐴 =
1
𝑐𝑜𝑠𝐴
𝑡𝑎𝑛𝐴 =1
𝑐𝑜𝑡𝐴 𝑐𝑜𝑡𝐴 =
1
𝑡𝑎𝑛𝐴
Identidades de Relación:
𝑡𝑎𝑛𝐴 =𝑠𝑒𝑛𝐴
𝑐𝑜𝑠𝐴 𝑐𝑜𝑡𝐴 =
𝑐𝑜𝑠𝐴
𝑠𝑒𝑛𝐴
Identidades Pitagóricas:
𝑠𝑒𝑛2𝐴 + 𝑐𝑜𝑠2𝐴 = 1
𝑠𝑒𝑐2𝐴 = 1 + 𝑡𝑎𝑛2𝐴
𝑐𝑠𝑐2𝐴 = 1 + 𝑐𝑜𝑡2𝐴
Identidades de Ángulo Duplo y la mitad de un ángulo:
𝑠𝑒𝑛2𝐴 = 2 𝑠𝑒𝑛𝐴 𝑐𝑜𝑠𝐴
𝑐𝑜𝑠2𝐴 = 𝑐𝑜𝑠2𝐴 − 𝑠𝑒𝑛2𝐴
𝑠𝑒𝑛2𝐴 =1
2−
1
2𝑐𝑜𝑠2𝐴
𝑐𝑜𝑠2𝐴 =1
2+
1
2𝑐𝑜𝑠2𝐴
𝑡𝑎𝑛2𝐴 =2𝑡𝑎𝑛𝐴
1 − 𝑡𝑎𝑛2𝐴
Ejemplos:
Existen varios métodos para probar identidades trigonométricas, lo más sencillo es:
“Expresar todos los términos de la igualdad en función del seno y coseno y se
efectúan las operaciones indicadas, sonsiguiéndose así la identidas de ambos
miembros”.
Ejemplos.
Demostrar que:
89
1. 𝑐𝑜𝑡𝑎 ∙ 𝑠𝑒𝑐𝑎 = 𝑐𝑠𝑐𝑎
Solución:
𝑐𝑜𝑡𝑎 ∙ 𝑠𝑒𝑐𝑎 =𝑐𝑜𝑠𝑎
𝑠𝑒𝑛𝑎∙
1
𝑐𝑜𝑠𝑎=
1
𝑠𝑒𝑛𝑎= 𝑐𝑠𝑐𝑎
2. 𝑠𝑒𝑐2𝑎 + 𝑐𝑠𝑐2𝑎 =1
𝑠𝑒𝑛2𝑎∙𝑐𝑜𝑠2𝑎
Solución:
𝑠𝑒𝑐2𝑎 + 𝑐𝑠𝑐2𝑎 =1
𝑐𝑜𝑠2𝑎+
1
𝑠𝑒𝑛2𝑎=
𝑠𝑒𝑛2𝑎 + 𝑐𝑜𝑠2𝑎
𝑠𝑒𝑛2𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑠2𝑎=
1
𝑠𝑒𝑛2𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑠2𝑎
3. 𝑠𝑒𝑛2𝑎
1−𝑐𝑜𝑠2𝑎∙
𝑠𝑒𝑛2𝑎
𝑐𝑜𝑠𝑎= 4𝑐𝑜𝑠𝑎
Solución:
𝑠𝑒𝑛2𝑎
1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑎∙
𝑠𝑒𝑛2𝑎
𝑐𝑜𝑠𝑎=
(2𝑠𝑒𝑛𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑎)2
𝑠𝑒𝑛2𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑎= 4𝑐𝑜𝑠𝑎
Ejercicios Propuestos.
1. 𝑡𝑔𝛼 + 𝑐𝑜𝑡𝛼 = 𝑠𝑒𝑐𝛼 ∙ 𝑐𝑠𝑐𝛼
2. 𝑐𝑜𝑡2𝑎 = 𝑐𝑜𝑠2𝑎 + (𝑐𝑜𝑡𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑎)2
3. 𝑐𝑜𝑡𝑎 ∙ 𝑠𝑒𝑐𝑎 = 𝑐𝑠𝑐𝑎
4. 𝑠𝑒𝑛2𝑥
1+𝑐𝑜𝑠2𝑥= 𝑡𝑔𝑥
5. 𝑠𝑒𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥= 1 −
1
𝑡𝑎𝑛𝑥
90
6. 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑐𝑜𝑡𝑥= 𝑠𝑒𝑛𝑥
7. 𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑠𝑐𝑥+
𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑒𝑐𝑥= 1
8. 𝑡𝑎𝑛𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥= 𝑠𝑒𝑐𝑥
9. 𝑠𝑒𝑐𝑦
𝑡𝑎𝑛𝑦+𝑐𝑜𝑡𝑦= 𝑠𝑒𝑛𝑦
10. 𝑐𝑠𝑐𝑥
𝑐𝑜𝑡𝑥= 𝑠𝑒𝑐𝑥
11. 1−𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥=
𝑐𝑜𝑠𝑥
1+𝑠𝑒𝑛𝑥
12. 𝑠𝑒𝑛𝛼+𝑐𝑜𝑡𝛼
𝑡𝑔𝛼+𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝛼= 𝑐𝑜𝑠𝛼
13. (𝑠𝑒𝑐𝛼 − 𝑡𝑔𝛼)2 =1−𝑠𝑒𝑛𝛼
1+𝑠𝑒𝑛𝛼
14. 1 + 𝑠𝑒𝑛𝑎 ∙ 𝑡𝑔𝑎 =𝑠𝑒𝑛𝑎+𝑐𝑜𝑡𝑎
𝑐𝑜𝑡𝑎
15. 𝑡𝑔𝑎 + 𝑐𝑡𝑔𝑎 =1
𝑠𝑒𝑛𝑎∙𝑐𝑜𝑠𝑎
TEMA 6
FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
FUNCIÓN EXPONENCIAL BASE a.
Una función exponencial con base a es una función de la forma f(x) = ax, donde a y
x son números reales tal que a > 0 y a es diferente de uno.
Ejemplo:
Funciones exponenciales base a
91
FUNCIÓN EXPONENCIAL BASE e.
La función exponencial, es conocida formalmente como la funciónreal ex, donde e
es el número de Euler, aproximadamente 2.71828...; esta función tiene por dominio
de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su
derivada es la misma función. Se denota equivalentemente como f(x)=ex o exp(x),
donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa
del logaritmo natural.
Ejemplo:
92
FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Una función logarítmica es aquella que genéricamente se expresa como
f (x) = logax, siendo a la base de esta función, que ha de ser positiva y distinta de 1.
La función logarítmica es la inversa de la función exponencial, dado que:
loga b = x.
La función logarítmica sólo existe para valores de x positivos, sin incluir el cero.
Propiedades de de la función logarítmica:
Logaritmo del producto: 𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑎 ∙ 𝑐) = 𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑎) + 𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑐)
Logaritmo del cociente: 𝑙𝑜𝑔𝑏 (𝑎
𝑐) = 𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑎) − 𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑐)
Logaritmo de la potencia: 𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑎𝑐) = 𝑐 ∙ 𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑎)
Cambio de base: 𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑎) =𝑙𝑜𝑔𝑐(𝑎)
𝑙𝑜𝑔𝑐(𝑏)
Propiedad útil en la práctica: 𝑏𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑎) = 𝑎
Ejemplo:
Graficar 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔2𝑥
93
APLICACIONES DE TEMAS 5 Y 6
1. Obtener la longitud de una escalera recargada en una pared de 4.33m de
altura que forma un ángulo de 60° con respecto al piso.
2. Una persona de 6 pies de estatura, está parada a 20 pies de un poste de
alumbrado público y proyecta una sombra de 10 pies de longitud. ¿cuál es la
altura de el poste?
94
3. Dos ambulancias, distanciadas 8 km en línea recta, reciben una llamada de
urgencia de una casa. Observa la figura y calcula la distancia que separa a
cada ambulancia de la casa:
4. Halla la altura de un edificio que proyecta una sombra de 56 m. a la misma
hora que un árbol de 21m proyecta una sombra de 24m.
5. Dados los siguientes datos, calcule:
a. Calcula x e y en el triángulo. b. Halla el seno, el coseno y la tangente de los ángulos
6. Hallar la altura de una antena sabiendo que a una distancia de 18 m se ve la
parte superior de la antena bajo un ángulo de 30°.
7. Un tronco de 6,2 m está apoyado en una pared y forma con el suelo un ángulo
de 55º.
a) ¿A qué altura de la pared se encuentra apoyado?
b) Calcula la distancia desde el extremo inferior del tronco hasta la
pared.
8. Un edificio proyecta una sombra de 140m cuando el sol forma un ángulo de
25° sobre el horizonte, calcular la altura del edificio.
95
9. Un cable está sujeto a un poste, formando un ángulo de 54°. Si el poste mide
5.3m, ¿cuánto medirá el cable?
10. Encontrar la altura de una montaña cuando el ángulo de elevación es de 60°
y la distancia entre el punto de observación y la montaña es de 620 metros.
11. Desde un punto A en la orilla de un río se ve un árbol justo enfrente. Si
caminamos 100m río abajo, por la orilla recta del río, llegamos a un punto B
desde el que se ve el pino formando un ángulo de 30° con nuestra orilla.
Calcular la anchura del río.
12. Un hombre divisa a otro en una torre que mide 15m con un ángulo de
elevación equivalente a 35°. ¿cuál es la distancia entre los dos hombres?
96
EVALUACIÓN
1. Expresa en grados sexagesimales los siguientes ángulos:
a). 2π/5rad.
b). 3π/10 rad.
2. Expresa en radianes los siguientes ángulos:
a). 316°
b). 10°
3. Calcula las razones de los siguientes ángulos:
97
a). 225°
b). 330°
4. Comprobar las identidades:
a). 𝑡𝑔𝛼 + 𝑐𝑡𝑔𝛼 = 𝑠𝑒𝑐𝛼 ∙ 𝑐𝑠𝑐𝛼
b). 𝑐𝑡𝑔𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑐𝑥 = 𝑐𝑠𝑐𝑥
5. De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 5 m y B = 41.7°. Resolver el
triángulo.
6. Un árbol de 50 m de alto proyecta una sombra de 60 m de larga. Encontrar el
ángulo de elevación del sol en ese momento.
7. Resuelve el triángulo en el que se conocen los datos: b=10, a=14 y B=45°.
8. Tres pueblos A, B y C están unidos por carreteras rectas y llanas. La distancia
es de 4km, la distancia es de 6 km y el ángulo que forman es de 60° ¿cuánto
distan B y C?
9. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide a=25m y el cateto b=20m.
Resolver el triángulo.
10. Halla las razones trigonométricas de los ángulos α y β del triángulo ABC
sabiendo que es rectángulo.
TEMA 7
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
MÉTODOS DE SOLUCIÓN
Teoría: Un sistema de ecuaciones está compuesta de dos o más ecuaciones la cual
puede tener una solución una cantidad infinita de soluciones o ninguna.
En esta ocasión veremos un ejemplo en el cual tenga una solución la cual se puede
resolver por varios métodos.
98
METODO DE ELIMINACIÓN O REDUCCIÓN
El método de reducción o eliminación consiste primeramente en eliminar una de las
variables x o y, queda una ecuación con una sola variable, se resuelve, el valor
encontrado se sustituye en una de la ecuaciones originales para hallar el valor de la
otra variable.
Veamos el proceso de solución que se sigue en cada uno de los ejercicios
siguientes:
1. Resolver:
Para eliminar x, se multiplica la primera ecuación por -2 y la segunda ecuación por
1 (o se deja igual)
Luego, se suman las dos ecuaciones:
Ahora se sustituye y = 1 en la primera ecuación (o en la segunda) y queda x - 3(1)
= 0 → Conjunto solución: (3, 1) ó x = 3, y = 1
Se puede comprobar si realmente (3, 1) es la solución:
Se ha verificado que (3,1) es solución de:
99
Resuelva los siguientes ejercicios
1. Determinar el valor de y en el siguiente sistema:
Respuesta: y = -3/5
2. El valor de y en el siguiente sistema:
Respuesta: y = -7
3. El valor de x en el siguiente sistema
Respuesta: x = 32/11
Problemas de Aplicación
A continuación veremos algunos problemas que se resuelven con sistemas de
ecuaciones y algunos ejemplos de cómo plantear los sistemas para poder resolver
fácilmente los problemas.
100
1.- Juan pagó $50 por 3 cajas de taquetes y 5 cajas de clavos. Pedro compró 5
cajas de taquetes y 7 de clavos y tuvo que
pagar $74. ¿Cuál es el precio de cada caja de
taquetes y de cada caja de clavos?
Del problema anterior se desprenden las siguientes ecuaciones
Aplicando el método para solución de ecuaciones que estamos viendo
Respuesta: Podemos entonces decir que la caja de taquetes cuesta $5 y la de
clavos cuesta $7.
2.- Enriqueta es costurera y quiere aprovechar una oferta de botones. El paquete
de botones blancos cuesta $15 y el de botones negros $10. Si con $180.00 compró
en total 14 paquetes, ¿cuánto gastó en botones blancos?
Ahora ya podemos plantear el sistema de ecuaciones:
Aplicando el método para solución de ecuaciones que estamos viendo
Respuesta: Ahora ya sabemos que Enriqueta compró 8 paquetes de botones
blancos. Hemos llegado a la solución: podemos afirmar que Enriqueta gastó $120
en botones blancos.
Ejercicios propuestos de aplicación
1.- Jovita y Felipe hacen paletas de chocolate para vender. La materia prima
necesaria para hacer una paleta grande les cuesta $5.00 y para una paleta chica
101
$3.00. Si disponen de $570.00 y quieren hacer 150 paletas, ¿cuántas paletas de
cada tamaño podrán hacer?
2.- El costo de las entradas a una función de títeres es de $30 para los adultos y
$20 para los niños. Si el sábado pasado asistieron 248 personas y se recaudaron
$5930, ¿cuántos adultos y cuántos niños asistieron a la función el sábado?
Para comprobar dichos resultados podemos ayudarnos de la siguiente página
http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi
Video de ejercicio resuelto
https://www.youtube.com/watch?v=v6iKv3QXqNs
MÉTODO DE ELIMINACIÓN POR SUSTITUCIÓN Sistema de ecuaciones:
102
2x + 5y = -24……………….. (1) 8x – 3y = 19………………... (2) Despejamos cualquiera de las incógnitas en una de las ecuaciones, en este caso x
de la ecuación (1):
2𝑥 + 5𝑦 = −24
𝑥 =−24 − 5𝑦
2
Este valor lo sustituimos en la ecuación (2):
8 (−24 − 5𝑦
2) − 3𝑦 = 19
De este modo se tiene una ecuación con una incógnita.
Por simplificación se obtiene el valor de y:
8 (−24 − 5𝑦
2) − 3𝑦 = 19
4(−24 − 5𝑦) − 3𝑦 = 19
−96 − 20𝑦 − 3𝑦 = 19
−20𝑦 − 3𝑦 = 19 + 96
−23𝑦 = 115
𝑦 =115
−23
𝑦 = −5
El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos ecuaciones:
2𝑥 + 5𝑦 = −24
2𝑥 + 5(−5) = −24
103
2𝑥 − 25 = −24
2𝑥 = −24 + 25
2𝑥 = 1
𝑥 =1
2
De esta forma encontramos los valores de x y de y que satisfacen a las dos ecuaciones:
𝑥 =1
2
𝑦 = −5
Ejercicios propuestos Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones:
1. x + 3y = 6 5x – 2y = 13
2. 4x + 5y = 5
-10y – 4x = -7
3. 32x – 25y = 13 16x + 15y = 1
Ejercicios de aplicación Para este método podemos usar ese video para comprender mejor lo descrito
https://www.youtube.com/watch?v=3FHhPLVUt9o
para poder comprender mejor este método podemos ir resolviendo junto a la persona el
problema
https://www.youtube.com/watch?v=Ru7q68wuRhc
MÉTODO DE IGUALACIÓN
Resolver el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas ""x , "" y
1
5
yx
yx
104
Se despeja la misma incógnita de las dos ecuaciones si queremos encontrar el valor
de "" y se despeja ""x
yx
yx
1
5
Luego como su nombre lo indica se igualan las dos ecuaciones ya despejadas, y
se resuelve como una ecuación de primer grado con una incógnita.
22
4
24
215
15
y
y
y
yy
Si queremos encontrar el valor de ""x se despeja "" y
xyxy
xy
1;1
5
Se igualan las dos ecuaciones despejadas luego se resuelve.
3
62
512
15
x
x
x
xx
El resultado de ""x y el de "" y se pueden sustituir para en las ecuaciones y así
probar si el resultado es correcto.
MÉTODO POR DETERMINANTES
Definición de determinante de una matriz.
105
2221
1211
21122211
2221
1211
det
22
aa
aaA
aaaaA
xdematrizUnaaa
aaASea
En el que A es invertible si 0A esto es válido para matrices cuadradas de
orden nxn
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
ASea
312232211331233321123223332211det aaaaaaaaaaaaaaaA
3231
2221
13
3331
2321
12
3332
2322
11aa
aaa
aa
aaa
aa
aaaAseao
Para calcular determinantes de 3x3 se puede usar el método de aumentar filas
o columnas
3231333231
2221232221
1211131211
232221
131211
333231
232221
131211
tantan
aaaaa
aaaaa
aaaaa
Adocolumnasaumen
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
Afilasdoaumen
NOTA: Este método no funciona para determinantes NXN donde N es diferente
de 3
Todos los determinantes se basan en el determinante de 2 por 2
El det cdaddc
ba lo que se conoce comúnmente como la resta de las
diagonales
El determinante de 2x2 de 26442
31
1331051
32
106
16102324053142511
520
413
211
16210421513410223511
413
211
520
413
211
REGLA DE CRAMER
Si BXA es un sistema de n ecuaciones lineales con n variables tal que .0A
El sistema tiene una solución única dada por:
A
Ax
A
Ax
A
Ax
A
Ax
A
Ax
i
i ,,,,,4
4
3
3
2
2
1
1
Donde iA se obtiene al sustituir la columna i de A por B
Ejemplo 1: Resolver el sistema de ecuaciones lineales por Cramer
02
434
21
21
xx
xx
4
2
8
64
8
12
34
02
44
,22
4
64
4
12
34
10
34
21
xx
La solución es 4,2 21 xx
4023
15
52
321
31
21
xxx
xx
xx
Ejemplo 2: Resolver el sistema
107
423
24654
18642
321
321
321
xxx
xxx
xxx
46
24
)154(6)188(4)610(2
)2024(6)2448(4)610(18
213
654
642
214
6524
6418
1
x
26
12
6
)7216(6)188(18)2048(2
213
654
642
214
6524
6182
2
x
36
18
6
)154(18)7216(4)2420(2
213
654
642
413
2454
1842
3
x
Ecuaciones simultáneas
Dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas son simultáneas cuando se
satisfacen para iguales valores de las incógnitas.
Por ejemplo:
x + y = 5 x – y = 1 son simultáneas porque x=3, y=2 satisfacen ambas ecuaciones. Sistema de ecuaciones
108
Es la reunión de dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas.
Por ejemplo:
2x + 3y = 13 4x – y = 5
Es un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.
Para resolver un sistema de esta clase es necesario obtener de las dos ecuaciones
dadas una sola ecuación con una incógnita. A esto se le llama eliminación.
109
ANEXO
TEMAS ADICIONALES
TEMA ADICIONAL 1
110
111
112
113
114
115
116
TEMA ADICIONAL 2
RADICALES
117
118
119
120
TEMA ADICIONAL 3
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
Recommended