TEMA 6.-INECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES

TEMA 6: INECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES

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INECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES

INECUACIONES LINEALES CON UNA INCOGNITA

1. 4𝑥 + 16 > 0

4𝑥 + 16 > 0 → 4𝑥 > −16 → 𝑥 >−164 → 𝑥 > −4

2. 5 − 8𝑥 > −3

5 − 8𝑥 > −3 → −8𝑥 > −8 → 𝑥 < 1

3. 2(𝑥 + 3) − 3𝑥 ≤ 6𝑥 + 4(1 − 𝑥)

2(𝑥 + 3) − 3𝑥 ≤ 6𝑥 + 4(1 − 𝑥) →

2𝑥 + 6 − 3𝑥 ≤ 6𝑥 + 4 − 4𝑥 →

2𝑥 − 3𝑥 − 6𝑥 + 4𝑥 ≤ 4 − 6 →

−3𝑥 ≤ −2 → 𝑥 ≥23

4. 2(𝑥 + 3) + 3(𝑥 − 1) > 2(𝑥 + 2)

2(𝑥 + 3) + 3(𝑥 − 1) > 2(𝑥 + 2) →2𝑥 + 6 + 3𝑥 − 3 > 2𝑥 + 4 →2𝑥 + 3𝑥 − 2𝑥 > 4 − 6 + 3 →

3𝑥 > 1 → 𝑥 >13

5. (𝑥 − 1)! − 7 > (𝑥 − 2)!

(𝑥 − 1)! − 7 > (𝑥 − 2)! →𝑥! − 2𝑥 + 1 − 7 > 𝑥! − 4𝑥 + 4 →

𝑥! − 𝑥! − 2𝑥 + 4𝑥 > −1 + 7 + 4 →2𝑥 > 10 →𝑥 > 5

Observa el signo de la inecuación cuando pasas un numero negativo dividiendo

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6. 2 − "#$%< 6𝑥 − &$'"

(

2 −1 − 𝑥4 < 6𝑥 −

3𝑥 + 16 →

2412 −

3(1 − 𝑥)12 <

72𝑥12 −

2(3𝑥 + 1)12 →

24 − 3(1 − 𝑥) < 72𝑥 − 2(3𝑥 + 1) →

24 − 3 + 3𝑥 < 72𝑥 − 6𝑥 − 2 →

3𝑥 + 6𝑥 − 72𝑥 < −2 + 3 − 24 →

−63𝑥 < −23 →

𝑥 >2363

7. &$#&)− %$'*

!< $

%− 3𝑥

3𝑥 − 35 −

4𝑥 + 82 <

𝑥4 − 3𝑥 →

4(3𝑥 − 3)20 −

10(4𝑥 + 8)20 <

5𝑥20 −

60𝑥20 →

4(3𝑥 − 3) − 10(4𝑥 + 8) < 5𝑥 − 60𝑥 →

12𝑥 − 12 − 40𝑥 − 80 < 5𝑥 − 60𝑥 →

12𝑥 − 40𝑥 − 5𝑥 + 60𝑥 < +80 + 12 →

27𝑥 < 92 →

𝑥 <9227

8. $&− !$'"

*− *#"+$

%)> 0

𝑥3 −

2𝑥 + 18 −

8 − 10𝑥45 > 0 →

120𝑥360 −

45(2𝑥 + 1)360 −

8(8 − 10𝑥)360 > 0 →

120𝑥 − 45(2𝑥 + 1) − 8(8 − 10𝑥) > 0 →

120𝑥 − 90𝑥 − 45 − 64 + 80𝑥 > 0 →

120𝑥 − 90𝑥 + 80𝑥 > 45 + 64 →

110𝑥 > 109

𝑥 >109110

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9. 5𝑥 + "#$!< 7𝑥 + $'"

(

30𝑥 + 3 − 3𝑥 < 42𝑥 + 𝑥 + 1 30𝑥 − 42𝑥 − 3𝑥 − 𝑥 < 1 − 3

−15𝑥 < −2

𝑥 >215

10. $#&!− $#!

*≤ $

!

4𝑥 − 12 − 𝑥 + 2 ≤ 4𝑥 4𝑥 − 4𝑥 − 𝑥 ≤ 12 − 2

−𝑥 ≤ 10 𝑥 ≥ −10

11. 2𝑥 − 3 − $!> 𝑥 + &$'"

(

12𝑥 − 18 − 3𝑥 > 6𝑥 + 3𝑥 + 1 12𝑥 − 3𝑥 − 6𝑥 − 3𝑥 > 1 + 18 0 > 19 → 𝑁𝑜𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛.

12. 𝑥 + 2(𝑥 + 1) + 3(𝑥 + 2) < $'&*!

2𝑥 + 4𝑥 + 4 + 6𝑥 + 12 < 𝑥 + 38 → 11𝑥 < 22 → 𝑥 < 2

13. 𝑥 − 2(𝑥 − 1) > 10 − 2(𝑥 + 3)

𝑥 − 2𝑥 + 2 > 10 − 2𝑥 − 6 → 𝑥 > 2

14. −5(−2𝑥 + 1) − &%≤ $#)

!

−20(−2𝑥 + 1) − 3 ≤ 2𝑥 − 10 → 40𝑥 − 20 − 3 ≤ 2𝑥 − 10 →

38𝑥 ≤ 13 → 𝑥 ≤1328

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15. )((3 − 𝑥) − "

!(𝑥 − 4) ≥ "

&(2𝑥 − 3) − 𝑥

15 − 5𝑥 − 3𝑥 + 12 ≥ 4𝑥 − 6 − 6𝑥 →

−2𝑥 ≥ −6 − 12 − 15 → −2𝑥 ≥ −33 → 𝑥 ≤332

16. 3𝑥 + 3(2𝑥 − 5) − 4(𝑥 − 2) ≤ 2 − 𝑥

3𝑥 + 6 − 15 − 4𝑥 + 8 ≤ 2 − 𝑥 3𝑥 − 4𝑥 + 𝑥 ≤ 2 − 8 + 15 − 6 →

0 ≤ 3 → 𝑁𝑜𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛, 𝑒𝑠𝑢𝑛𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟.

17. $!− $#"

(> 1 − !$#)

!

3𝑥 − 𝑥 + 1 > 6 − 6𝑥 + 15 → 8𝑥 > 20 → 𝑥 >208 → 𝑥 >

52

18. $'"&− $'!

%+ $#&

"*≥ − *

,

12𝑥 + 12 − 9𝑥 − 18 + 2𝑥 − 6 ≥ −32 → 12𝑥 − 9𝑥 + 2𝑥 ≥ −32 + 6 + 18 − 12 →

5𝑥 ≥ −20 → 𝑥 ≥ −4

19. !$#&%− $

!≤ 2(𝑥 − 1) − &)

%

2𝑥 − 3 − 2𝑥 ≤ 4𝑥 − 4 − 35 → −4𝑥 ≤ −36 → 𝑥 ≥ 9

20. −2𝑥 + 4 ≤ −2

−2𝑥 ≤ −6 → 𝑥 ≥ 3

21. 3(𝑥 − 1) + 1 ≤ 2(𝑥 + 1)

3𝑥 − 3 + 1 ≤ 2𝑥 + 1 → 𝑥 ≤ 3

22. !($#")&

> 𝑥 − 1

2𝑥 − 2 > 3𝑥 − 3 → −𝑥 > −1 → 𝑥 < 1

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INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

1. 𝑥! − 5𝑥 + 6 > 0

Lo primero que tenemos que hacer es hallar las raíces de la ecuación de segundo grado:

𝑥! − 5𝑥 + 6 = 0 → E𝑥 = 3𝑥 = 2

Ahora lo que tenemos que hacer es estudiar el signo de la inecuación en cada uno de los intervalos que se crean debido a las raíces del polinomio:

(−∞, 2), (2,3), (3,∞)

• En el intervalo (−∞, 2): 𝑥 = 0 → 0! − 5(0) + 6 = 6 > 0

• En el intervalo (2,3): 𝑥 = )!→ H)

!I!− 5H)

!I + 6 = − "

%< 0

• En el intervalo (3,∞): 𝑥 = 4 → 4! − 5(4) + 6 = 2 > 0

Buscamos los valores de 𝑥 tales que; 𝑥! − 5𝑥 + 6 > 0, es decir, las soluciones son los intervalos positivos:

(−∞, 2) ∪ (3,∞)

2. 7𝑥! − 3𝑥 ≥ 0

Lo primero que tenemos que hacer es hallar las raíces de la ecuación de segundo grado:

7𝑥! − 3𝑥 = 0 → 𝑥(7𝑥 − 3) = 0 → K𝑥 = 0

𝑥 =37

Ahora lo que tenemos que hacer es estudiar el signo de la inecuación en cada uno de los intervalos que se crean debido a las raíces del polinomio:

(−∞, 0), L0,37M , (

37 ,∞)

• En el intervalo (−∞, 0): 𝑥 = −1 → 7(−1)! − 3(−1) = 10 > 0

• En el intervalo H0, &/I : 𝑥 = "

%→ 7H"

%I!− 3H"

%I = #)

"(< 0

• En el intervalo H&/, ∞I : 𝑥 = 1 → 7(1)! − 3(1) = 4 > 0

Buscamos los valores de 𝑥 tales que; 7𝑥! − 3𝑥 ≥ 0, es decir, las soluciones son los intervalos positivos y los extremos entran dentro de la solución, ya que, tenemos el =.

(−∞, 0] ∪ O37 ,∞)

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3. 𝑥! + 2𝑥 + 10 < 0

Lo primero que tenemos que hacer es hallar las raíces de la ecuación de segundo grado:

𝑥! + 2𝑥 + 10 = 0 → 𝑥 =−2 ±Q(2)! − 4(1)(10)

2 =−2 ± √−36

2

Esta ecuación no tiene soluciones reales, no corta al eje de abscisas.

Por tanto, siempre estará por encima o por debajo del eje OX, es decir, o bien es positiva,

o negativa, para cualquier valor real. Comprobamos un único valor para ver si es positiva

o negativa y poder dar la solución:

• 𝑥 = 0 → 0! + 2(0) + 10 = 10 > 0

Para cualquier valor real la función es positiva, esta por encima del eje de abscisas.

La inecuación no tiene solución ya que 𝑥! + 2𝑥 + 10 < 0

4. x! + x − 12 ≥ 0

𝑥! + 𝑥 − 12 = 0 → 𝑥 =−1 ± Q1 − 4(1)(−12)

2 =−1 ± 72 = E 𝑥 = 3

𝑥 = −4

Me tengo que quedar con los intervalos positivos que es lo que me marca la inecuación x! + x − 12 ≥ 0 Solución: (−∞,−4]⋃[3, +∞)

5. −2x! + 3x > 0

−2𝑥! + 3𝑥 = 0 → 𝑥(−2𝑥 + 3) = 0 → K𝑥 = 0

−2𝑥 + 3 = 0 → 𝑥 =32

Solución: H0, &

!I

−4 3

+ + −

0 32

+ − −

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6. 4x! − 1 ≤ 0

4𝑥! − 1 = 0 → 𝑥 = V14 → W

𝑥 = −12

𝑥 =12

Solución: X− "

!, "!Y

7. 6x! + x − 1 < 0

𝑥 =−1 ±Q1 − 4(6)(−1)

12 = W

13

−12

Ahoravoyarealizaresteejerciciocreandounatabla:

𝑥 −13

− − +

𝑥 +12

− + +

L𝑥 −13M L𝑥 +

12M

+ − +

Ahorafinalmentetienesquefijarteenelsignodeladesigualdadparadecidirqueintervalo es la solución. En este caso nos dice que tienen que ser los intervalosnegativos.Portanto:

𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛: L−12 ,13M

−12

12

+ + −

−12

13

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8. 0!#"!− &0#!

&≤ (0'")!

(

x! − 12 −

3x − 23 ≤

(x + 1)!

6 →3(𝑥! − 1) − 2(3𝑥 − 2)

6 ≤(𝑥 + 1)!

6 →3𝑥! − 3 − 6𝑥 + 4 ≤ 𝑥! + 2𝑥 + 1 → 2𝑥! − 8𝑥 ≤ 0

2𝑥! − 8𝑥 = 0 → 2𝑥(𝑥 − 4) = 0 → E𝑥 = 0𝑥 = 4

Ahoravoyarealizaresteejerciciocreandounatabla:

𝑥 − + +𝑥 − 4 − − +

(𝑥)(𝑥 − 4) + − +Ahorafinalmentetienesquefijarteenelsignodeladesigualdadparadecidirqueintervalo es la solución. En este caso nos dice que tienen que ser los intervalosnegativos.Portanto:

𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛: [0,4]

0 4

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INECUACIONES DE GRADO SUPERIOR A DOS

Este tipo de inecuaciones se realizan igual que las de segundo grado. La única diferencia es que, para dar las raíces de la inecuación deberemos de utilizar Ruffini.

1. x& − 4x ≤ 0

𝑥& − 4𝑥 = 0 → 𝑥(𝑥! − 4) = 0 → K𝑥 = 0𝑥 = 2𝑥 = −2

𝑥 − − + +𝑥 − 2 − − − +𝑥 + 2 − + + +

𝑥(𝑥 − 2)(𝑥 + 2) − + − +Ahorafinalmentetienesquefijarteenelsignodeladesigualdadparadecidirqueintervalo es la solución. En este caso nos dice que tienen que ser los intervalosnegativos.Portanto:

𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛: (−∞,−2]⋃[0,2]

2. x& − 3x − 2 < 0TienesquehacerRuffiniparadescomponerestepolinomio:

10 − 3 − 2

1 − 1 − 20Ahoraconelpolinomioquequedatienesquehacerlaecuacióndesegundogrado:

𝑥 =1 ± Q1 − 4(1)(−2)

2 → 𝑥 = E21

𝑥 + 1 − + + +𝑥 − 1 − − + +𝑥 − 2 − − − +

(𝑥 + 1)(𝑥 − 2)(𝑥 − 1) − + − +Ahorafinalmentetienesquefijarteenelsignodeladesigualdadparadecidirqueintervalo es la solución. En este caso nos dice que tienen que ser los intervalosnegativos.Portanto:

𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛: (−∞,−1)⋃(1,2)

0 −2 2

−1 −112

1 −1 2

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INECUACIONES RACIONALES

1. )$#!!$'"

≤ 0

Igualamos por separado el numerador y denominador a cero.

5𝑥 − 2 = 0 → 𝑥 =25

2𝑥 + 1 = 0 → 𝑥 =−12

Ahora tienes que crear la siguiente tabla para ver los signos de cada ecuación determinar el signo de la función principal:

5𝑥 − 2 − − + 2𝑥 + 1 − + + 5𝑥 − 22𝑥 + 1

+ − +

Cuando ya tienes los signos calculados, recuerda, el valor que sale de hacer cero el denominador siempre esta fuera de la solución. El resto de los valores dependerán del signo de la inecuación: En este caso me dice la inecuación que tengo que coger los valores negativos, por tanto,

𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛: L−12 ,25v

Fíjate en los intervalos para entender lo que te he explicado en el párrafo anterior de la solución

2. $!#)$'%$!#)$'(

> 0

Igualamos por separado el numerador y denominador a cero.

𝑥! − 5𝑥 + 4 = 0 → 𝑥 =5 ± Q25 − 4(1)(4)

2 → 𝑥 = E41

𝑥! − 5𝑥 + 6 = 0 → 𝑥 =5 ± Q25 − 4(1)(6)

2 → 𝑥 = E32

Ahora tienes que crear la siguiente tabla para ver los signos de cada ecuación determinar el signo de la función principal: 𝑥! − 5𝑥 + 4 + − − − + 𝑥! − 5𝑥 + 6 + + − + + 𝑥! − 5𝑥 + 4𝑥! − 5𝑥 + 6

+ − + − +

−1 2w 25w

1 2 3 4

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Cuando ya tienes los signos calculados, recuerda, el valor que sale de hacer cero el denominador siempre esta fuera de la solución. El resto de los valores dependerán del signo de la inecuación: En este caso me dice la inecuación que tengo que coger los valores negativos, por tanto,

𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛: (−∞, 1)⋃(2,3)⋃(4,∞) Fíjate en los intervalos para entender lo que te he explicado en el párrafo anterior de la solución

3. $"#"%#$!

≤ 0

𝑥& − 1 = 0 → 𝑥 = 1 4 − 𝑥! = 0 → 𝑥 = ±2

𝑥& − 1 − − + + 4 − 𝑥! − + + − 𝑥& − 14 − 𝑥!

+ − + −

Cuando ya tienes los signos calculados, recuerda, el valor que sale de hacer cero el denominador siempre esta fuera de la solución. El resto de los valores dependerán del signo de la inecuación: En este caso me dice la inecuación que tengo que coger los valores negativos, por tanto,

𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛: (−2, 1]⋃(2,+∞) Fíjate en los intervalos para entender lo que te he explicado en el párrafo anterior de la solución

4. $!#"$'!

≤ 0

𝑥! − 1 = 0 → 𝑥 = E 1−1

𝑥 + 2 = 0 → 𝑥 = −2

𝑥! − 1 + + − + 𝑥 + 2 − + + + 𝑥! − 1𝑥 + 2

− + − +

Cuando ya tienes los signos calculados, recuerda, el valor que sale de hacer cero el denominador siempre esta fuera de la solución. El resto de los valores dependerán del signo de la inecuación: En este caso me dice la inecuación que tengo que coger los valores negativos, por tanto,

𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛: (−∞,−2)⋃[−1,1]

2 1 −2

−2 −1 1

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INECUACIONES EN VALOR ABSOLUTO

1. |𝑥 − 3| > 1

𝑥 − 3 < −1ó𝑥 − 3 > 1

• 𝑥 − 3 < −1 → 𝑥 < −1 + 3 → 𝑥 < 2 • 𝑥 − 3 > 1 → 𝑥 > 1 + 3 → 𝑥 > 4

(−∞, 2) ∪ (4,∞)

2. |𝑥 − 3| ≤ 1

−1 ≤ 𝑥 − 3 ≤ 1

−1 + 3 ≤ 𝑥 ≤ 1 + 3

2 ≤ 𝑥 ≤ 4

[2,4]

3. 3|2 − 𝑥| − 15 ≥ 0

3|2 − 𝑥| ≥ 15

|2 − 𝑥| ≥ 5

2 − 𝑥 ≤ −5ó2 − 𝑥 ≥ 5

• 2 − 𝑥 ≤ −5 → −𝑥 ≤ −5 − 2 → 𝑥 ≥ 7 • 2 − 𝑥 ≥ 5 → −𝑥 ≥ 5 − 2 → 𝑥 ≥ −3

La solución será el conjunto de valores que cumplan la primera o la segunda desigualdad.

(−∞,−3]∪ [7,∞)

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INECUACIONES CON DOS INCOGNITAS

1. 3𝑥 + 2𝑦 ≥ 6 Lo primero que tienes que hacer es despejar la incógnita y conservando el signo de la inecuación en todo momento.

3𝑥 + 2𝑦 ≥ 6 → 𝑦 ≥6 − 3𝑥2

Ahora tienes que hacer una tabla de valores para representar la recta:

𝑥 𝑦 0 3 2 0

Al conservar el signo de la inecuación, podemos determinar que parte del plano es la solución observando lo siguiente:

𝑦 ≥ ⋯ 𝑜𝑦 > ⋯ → 𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑑𝑒𝑙𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 → 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑦 ≤ ⋯ 𝑜𝑦 < ⋯ → 𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑑𝑒𝑙𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 → 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛

2. 𝑥 − 𝑦 + 1 ≥ 0 𝑥 − 𝑦 + 1 ≥ 0 → −𝑦 ≥ −1 − 𝑥 → 𝑦 ≤ 1 + 𝑥

Aquí tienes que tener en cuenta una cosa fundamental. Cuando pasas un numero negativo dividiendo o multiplicando al otro lado de la desigualdad, tienes que cambiar de dirección el signo.

𝑥 𝑦 1 2 2 3

Date cuenta como el signo de la inecuación nos dice que parte del plano es la solución.

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3. 𝑥 ≤ −2

Este tipo de inecuaciones son muy sencillas, solo tienes que recordar; cuando aparece la incógnita x, son líneas verticales: y en este caso la solución son todos los números de x inferiores al menos dos, por tanto:

4. 𝑦 > 1 Este tipo de inecuaciones son muy sencillas, solo tienes que recordar; cuando aparece la incógnita y, son líneas horizontales: y en este caso la solución son todos los números de y superiores al uno, por tanto:

Otra de las cosas importante que tienes que tener en cuenta, es el signo de desigualdad, si aparece el igual la línea será continua, pero en este caso no aparece, por tanto, tienes que dibujar una línea discontinua.

5. 𝑥 + 𝑦 − 2 ≥ 0 𝑥 + 𝑦 − 2 ≥ 0 → 𝑦 ≥ 2 − 𝑥

𝑥 𝑦 1 1 2 0

6. 2𝑥 − 3𝑦 ≤ 6

2𝑥 − 3𝑦 ≤ 6 → 𝑦 ≥6 − 2𝑥−3

𝑥 𝑦 0 −2 3 0

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7. $#&1

!≤ 3

𝑥 − 3𝑦2 ≤ 3 → 𝑥 − 3𝑦 ≤ 6 → −3𝑦 ≤ 6 − 𝑥 → 𝑦 ≥

6 − 𝑥−3

𝑥 𝑦 0 −2 6 0

8. $!− 1

&≥ −1

𝑥2 −

𝑦3 ≥ −1 → 3𝑥 − 2𝑦 ≥ −6 → 𝑦 ≤

−6 − 3𝑥−2

𝑥 𝑦 0 2 −2 0

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SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES CON UNA INCOGNITA

a) E4(𝑥 + 1) − 2 ≤ 02𝑥 + 4 ≥ 6

K4𝑥 + 4 − 2 ≤ 02𝑥 ≥ 2 → K4𝑥 ≤ −2

2𝑥 ≥ 2 → K𝑥 ≤ −12

𝑥 ≥ 1

Como no hay ninguna solución común a las dos inecuaciones, el sistema no tiene solución

b) E 3𝑥 − 2 < 42𝑥 + 6 > 𝑥 − 1

E 3𝑥 − 2 < 42𝑥 + 6 > 𝑥 − 1 → E3𝑥 < 6

𝑥 > −7 →E 𝑥 < 2𝑥 > −7

Ahora tienes que fijarte en que intervalo ambas soluciones coinciden para poder dar la solución del sistema. En este caso:

𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 → (−7,2)

c) �1 − (2𝑥 − 1) < 03(𝑥 + 1) − 9 ≤ 0

�1 −(2𝑥 − 1) < 0

3(𝑥 + 1) − 9 ≤ 0 → E1 − 2𝑥 + 1 < 03𝑥 + 3 − 9 ≤ 0 →E−2𝑥 < 0

3𝑥 ≤ 6 → E𝑥 > 0𝑥 ≤ 2

Ahora tienes que fijarte en que intervalo ambas soluciones coinciden para poder dar la solución del sistema. En este caso:

𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 → (0, 2]

1 −12

−7 2

2 0

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d) �3(𝑥 − 2) + 7 ≤ 42(𝑥 − 1) < 4

�3(𝑥 − 2) + 7 ≤ 42(𝑥 − 1) < 4 → E3𝑥 − 6 + 7 ≤ 4

2𝑥 − 2 < 4 → E3𝑥 ≤ 32𝑥 < 6 → E𝑥 ≤ 1

𝑥 < 3

Ahora tienes que fijarte en que intervalo ambas soluciones coinciden para poder dar la solución del sistema. En este caso:

𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 →(−∞, 1]

1 3

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SISTEMAS DE INECUACIONES CON DOS INCOGNITAS

a) �2𝑥 + 𝑦 ≤ 3𝑥 + 𝑦 ≥ 1

�2𝑥 + 𝑦 ≤ 3𝑥 + 𝑦 ≥ 1 → �𝑦 ≤ 3 − 2𝑥

𝑦 ≥ 1 − 𝑥 → 𝐶𝑟𝑒𝑎𝑟𝑢𝑛𝑎𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎𝑑𝑒𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠𝑝𝑎𝑟𝑎𝑐𝑎𝑑𝑎𝑢𝑛𝑎.

𝑥 𝑦 0 3 1 1

𝑥 𝑦 0 1 1 0

Ahora tienes que representar los puntos sobre los ejes para poder dibujar las líneas y después con lo que hemos aprendido sobre el signo de desigualdad, que siempre se cumple, representas el área que da solución al sistema:

𝑦 = 1 − 𝑥

𝑦 = 3 − 2𝑥

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b) � 𝑥 + 𝑦 ≤ 5−2𝑥 + 𝑦 > 6

� 𝑥 + 𝑦 ≤ 5−2𝑥 + 𝑦 > 6 → � 𝑦 ≤ 5 − 𝑥

𝑦 ≥ 6 + 2𝑥→ 𝐶𝑟𝑒𝑎𝑟𝑢𝑛𝑎𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎𝑑𝑒𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠𝑝𝑎𝑟𝑎𝑐𝑎𝑑𝑎𝑢𝑛𝑎.

𝑥 𝑦 0 5 1 4

𝑥 𝑦 0 6 1 8

Ahora tienes que representar los puntos sobre los ejes para poder dibujar las líneas y después con lo que hemos aprendido sobre el signo de desigualdad, que siempre se cumple, representas el área que da solución al sistema:

𝑦 = 5 − 𝑥

𝑦 = 6 + 2𝑥

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c) �2𝑥 + 𝑦 < 12𝑥 + 𝑦 ≥ 4

�2𝑥 + 𝑦 < 12𝑥 + 𝑦 ≥ 4 → �𝑦 < 1 − 2𝑥

𝑦 ≥ 4 − 2𝑥→ 𝐴ℎ𝑜𝑟𝑎𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑐𝑟𝑒𝑎𝑟𝑢𝑛𝑎𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎𝑐𝑜𝑛𝑐𝑎𝑑𝑎𝑢𝑛𝑎.

𝑥 𝑦 0 1 1 −1

𝑥 𝑦 0 4 1 2

Ahora tienes que representar los puntos sobre los ejes para poder dibujar las líneas y después con lo que hemos aprendido sobre el signo de desigualdad, que siempre se cumple, representas el área que da solución al sistema:

Como no coincide nada, el sistema de inecuaciones no tiene solución