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TEOREMA DE NOETHER
GRUPOS DE LIE y SIMETRÍAS EN FÍSICA
¿Qué haremos hoy?
¿Qué haremos hoy?
Entender una frase
Una teoría invariante bajo la acción del grupo SO(3) conserva el momento angular
Ésta:
CONTENIDO
o Aproximación de Funciones o Rotaciones o Grupo de Lie o Formulación Lagrangiana de la Física o Teorema de Noether o Conclusión
Aproximación de Funciones
Aproximación de Funciones
xx
fxdf
dx
Aproximación de Funciones
xx
fxdf
dx
Aproximación de Funciones
xx
fxdf
dx
x
2 0
Aproximación de Funciones
xx x
fxdf
dx
2 0
Aproximación de Funciones
xx x
fxdf
dx
fx fx df
dx
2 0
Aproximación de Funciones
x
f2 6
f2.01 6 0.01 3
df2dx
3
Ejemplo
x 2.01x 2
Aproximación de Funciones
x1
fx1,x2
x2
Función de 2 variables
Aproximación de Funciones
x1
fx1,x2
x2
x1 1
x2 2
Función de 2 variables
Aproximación de Funciones
x1
fx1,x2fx1 1,x2 2 fx1,x2 1
f
x1 2
f
x2
x2
x1 1
x2 2
Función de 2 variables
Rotaciones
Rotación en el plano
x1
x2
Rotación en el plano
x1
x2
x1
x2
Rotación en el plano
x1
x2
x1
x2
x
x
Rotación en el plano
x1
x2
x1
x2
x 12 x 2
2
x 1
2 x 2
2
x
x
Rotación en el plano
x1
x2
x1
x2
x 12 x 2
2
x 1
2 x 2
2
x1 2 x2
2x1
2 x22
x
x
Rotación en el plano
x1
x2
x1
x2
x 12 x 2
2
x 1
2 x 2
2
x1 2 x2
2x1
2 x22
x12 x2
2 x1 2 x2
2
x
x
Rotación en el plano
x12 x2
2 x1 2 x2
2
x
x
Rotación en el plano
x12 x2
2 x1 2 x2
2
x
x
ROTACION es lineal?
Rotación en el plano
x12 x2
2 x1 2 x2
2
x
x
ROTACION es lineal?
x
y
x y
Rotación en el plano
x12 x2
2 x1 2 x2
2
x
x
ROTACION es lineal?
x
y x y
x y
Rotación en el plano
x12 x2
2 x1 2 x2
2
x
x
ROTACION es lineal?
x y
x y
Rotación en el plano
x12 x2
2 x1 2 x2
2
x
x
ROTACION es lineal?
x y
x y
x y
Rotación en el plano
x12 x2
2 x1 2 x2
2
x
x
ROTACION es lineal?
x y
x y
Rotación en el plano
x12 x2
2 x1 2 x2
2
x
x
ROTACION es lineal?
x
y
x y
Rotación en el plano
x12 x2
2 x1 2 x2
2
x
x
ROTACION es lineal?
x
y
x
y
x y
Rotación en el plano
x12 x2
2 x1 2 x2
2
x
x
ROTACION es lineal?
x
y
x y
Rotación en el plano
x12 x2
2 x1 2 x2
2
x
x
ROTACION es lineal?
x
y
x y
x y
Rotación en el plano
x12 x2
2 x1 2 x2
2
x
x
ROTACION es lineal?
x y
x y
Rotación en el plano
x12 x2
2 x1 2 x2
2
x
x
ROTACION es lineal?
x y x y
x y x y
Rotación en el plano
x12 x2
2 x1 2 x2
2
x
x
ROTACION es lineal?
x y x y
como es lineal existe una
matriz R que implementa la rotación
x y x y
Rotación en el plano
pero ¿qué matriz?
Rotación en el plano
Sabemos que
x12 x2
2 x1 2 x2
2
Rotación en el plano
Sabemos que
x12 x2
2 x1 2 x2
2
x x
Rotación en el plano
Notación y cálculos sencillos
x x1
x2
xT x1 x2
xTx x1 x2
x1
x2
x2 x12 x2
2 x1 2 x2
2 xT
x
Invariante
xTx xTx
xTx x
Tx xT x
Rotación en el plano
Descubriendo a R
xTx xTx
R rota a x y lo convierte en x’
detR 1
SO2 R / RTR I ; detR 1
x x
Grupo de Lie
Definición de Grupo
G, = Conjunto G dotado de una operación interna
Asociativa
Existencia de un único elemento neutro
Existencia de un único elemento inverso para cada g
Conjunto contínuo
SO2 R / RTR I ; detR 1
Parametrización de los elementos de SO(2):
Multiplicación de los elementos de SO(2):
¿SO(2) con la multiplicación de matrices forma un grupo?
R
R2R1 R12
SO(2) es un grupo de Lie
SO2 R / RTR I ; detR 1
Asociativa
Existencia de un único elemento neutro
Existencia de un único elemento inverso
SO(2) es un grupo continuo (o de LIE) porque cumple:
R3R2R1 R3 R2R1
R0 I
RR I
R0
R
RRotación infinitesimal 2 0
R
2 0
RR R3
R
2 0
RR R3
R
2 0
R 3R
3R
3 R
2 0
R 3
3 R
2 0
R N
N R
2 0R N
N R
Aproximación cuando N es número muy grande
R N I
NG
Recordatorio
R0 I dR0
d
2 0R N
N R
Aproximación cuando N es número muy grande
R N I
NG
R0 I dR0
d
R I N
GN
R I N
GN
N
R eG
Ejemplo para verlo fácil
1 25000
5000 7. 3861
e2 7. 3891
R eG
Qué es G?
Se ha de cumplir
RT R I
RT R I
I GTI G I
I G GT 2GTG I
G GT 0
G GT
G 0 1
1 0
Antisimétrica
Generador
Y otra cosa más
e2 1 2 12!
22 13!
23 14!
24 . . .
Por lo que
I G 12!2G2 1
3!3G3 1
4!4G4 . . .eG
R eG cos sin
sin cos
Formulación Lagrangiana de la Física
Formulación Lagrangiana de la Física
T V
x
ddt
v
Lagrangiano
Ecuaciones de Euler-Lagrange
Formulación Lagrangiana de la Física
A
B
Trayectoria correcta?
Formulación Lagrangiana de la Física
A
B
Aquella que minimice:
Teorema de Noether
Teorema de Noether
Definición de simetría contínua
Teorema de Noether
Definición de simetría contínua
Teorema de Noether
Definición de simetría contínua
Teorema de Noether
Definición de simetría contínua
Teorema de Noether
Definición de simetría contínua
Teorema de Noether
TEOREMA DE NOETHER
Si el Lagrangiano es invariante bajo una simetría contínua, entonces existe una ley de conservación asociada:
Q v
T
G x constante
GENERADOR de la SIMETRÍA
Teorema de Noether
Qué significa todo esto? Ejemplo
12
mv12 v2
2 k2x1
2 x22
x1
x2
k
m
Teorema de Noether
12
mv12 v2
2 k2x1
2 x22
x1
x2
k
m
Q v
TGx constante
v
v1
v2
mv1
mv2
Q mv1 mv2
0 1
1 0
x1
x2
Teorema de Noether
12
mv12 v2
2 k2x1
2 x22
x1
x2
k
m
Q v
TGx constante
v
v1
v2
mv1
mv2
Q x1mv2 x2mv1 L3 constante
La tercera componente del momento angular se conserva en el tiempo!
Teorema de Noether
Ejemplo 2
r
mA
mB
12
mAvA2 1
2mBvB
2 Vr
Suposición
La fuerza solo depende de la distancia entre los cuerpos
Teorema de Noether
Ejemplo 2
r
mA
mB
12
mAvA2 1
2mBvB
2 Vr
es invariante bajo rotaciones (invariante SO(3))
Teorema de Noether
Ejemplo 2
r
mA
mB
12
mAvA2 1
2mBvB
2 Vr
G
0 n3 n2
n3 0 n1
n2 n1 0
Teorema de Noether
Ejemplo 2
r
mA
mB 12
mAvA2 1
2mBvB
2 Vr
Cálculos
vA
mAvA1
mAvA2
mAvA3
vB
mBvB1
mBvB2
mBvB3
Q mAvA1 mAvA2 mAvA3
0 n3 n2
n3 0 n1
n2 n1 0
xA1
xA2
xA3
mBvB1 mBvB2 mBvB3
0 n3 n2
n3 0 n1
n2 n1 0
xB1
xB2
xB3
Teorema de Noether
Ejemplo 2
r
mA
mB 12
mAvA2 1
2mBvB
2 Vr
Simplificando
Q n1LA1 LB1 n2LA2 LB2 n3LA3 LB3
Ltotal constante
Ley de Conservación
Conclusiones
Conocer el generador de una simetría contínua del define la magnitud que se conserva. Para determinar el generador nos basta con hacer una transformación infinitesimal Las simetrías de una teoría nos permiten conocer de antemano qué están prohibidos. Los Grupos de Lie son una herramienta muy poderosa
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