Teoretyczne podstawy analizy indeksowej – klasyfikacja...

Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu

Teoretyczne podstawy analizy indeksowej –klasyfikacja indeksów, konstrukcja,

zastosowanie

Szkolenie dla pracowników Urzędu Statystycznegont. Wybrane metody statystyczne w analizach

makroekonomicznych

dr Joanna Trzęsiok

Katowice, 24 czerwca 2014 r.

Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu

Plan

1 Szeregi czasowe

2 Przyrosty absolutne

3 Indeksy indywidualne

4 Indeksy agregatowe

5 Funkcja trendu

Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu

Badanie dynamiki zjawisk

Prowadząc badania dostajemy często dane przedstawiające zmiany(rozwój) badanego zjawiska w czasie. Dane te można przedstawićw postaci szeregu czasowego.

Szereg czasowy

to ciąg {yt} wartości badanego zjawiska obserwowanegow kolejnych jednostkach czasu

t 1 2 3 . . . n

yt y1 y2 y3 . . . yn

gdzie t – czas, yt – wielkość badanego zjawiska w okresie lubmomencie t.

Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu

Rodzaje szeregów czasowych

Wyróżniamy dwa rodzaje szeregów czasowych:

szereg czasowy momentów, gdy badane wielkości podawanesą na ściśle określony moment (np. stan ludności Polski na31.XII w latach 2000 – 2012 );

szereg czasowy okresów, zawiera informacje o rozmiarachzjawiska w ciągu kolejnych okresów danego przedziałuczasowego (np. wydobycie węgla w Polsce w latach 2005 –2013).

Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu

Miary dynamiki zjawisk

Analizę dynamiki zjawisk przeprowadzamy z wykorzystaniem miardynamiki, do których zaliczamy:

przyrosty absolutne i względne,

indeksy (wskaźniki) indywidualne i agregatowe.

Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu

Przyrosty absolutne

Przyrost absolutny ∆ytto różnica w poziomie zjawiska zanotowanego w dwóch różnychokresach (momentach) t i t∗

∆yt = yt − yt∗ .

Wyróżniamy:

przyrosty jednopodstawowe (o stałej podstawie), gdziet∗ = c jest pewnym okresem (momentem) podstawowym(bazowym)

∆yt = yt − yc ,

przyrosty łańcuchowe, gdzie t∗ = t − 1 to okres (moment)poprzedzający t

∆yt = yt − yt−1.

Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu

Indywidualne wskaźniki dynamiki

Indeks indywidualny it/t∗

to stosunek poziomu zjawiska w okresie (momencie) badanym t dopoziomu zjawiska w okresie (momencie) przyjętym za podstawęporównań t∗

it/t∗ =ytyt∗.

Indeksy indywidualne dotyczą zjawisk jednorodnych ujętychw prosty szereg dynamiczny.

Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu

Podział indeksów indywidualnych

Wyróżniamy:

indeksy jednopodstawowe (o stałej podstawie), gdzie t∗ = cjest pewnym okresem (momentem) podstawowym (bazowym)

it/c =ytyc,

indeksy łańcuchowe, gdzie t∗ = t − 1 to okres (moment)poprzedzający t

it/t−1 =ytyt−1.

Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu

Interpretacja indeksów

Interpretacja indeksu i

Indeks i mówi nam o procentowej zmianie badanego zjawiska o

(i − 1) · 100%.

Zatem, jeśli

i > 1, to obserwujemy wzrost poziomu zjawiska w okresiebadanym w porównaniu do bazowego o (i − 1) · 100%,

i = 1, to obserwujemy brak zmian poziomu zjawiskaw okresie badanym w porównaniu do bazowego,

i < 1, to obserwujemy spadek poziomu zjawiska w okresiebadanym w porównaniu do bazowego o (i − 1) · 100%.

Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu

Indeks średni i średnie tempo zmian

Indeks średni

Średnią z indeksów łańcuchowych obliczamy wykorzystując wzórna średnią geometryczną

i = n−1√i2/1 · i3/2 · . . . · in/n−1.

Można zauważyć, że

i = n−1

√y2y1· y3y2· . . . · yn

yn−1= n−1

√yny1.

Indeks średni interpretujemy jako średnie tempo zmian (ozn. T )badanego zjawiska przypadające na jednostkę czasu

T = (i − 1) · 100%.

Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu

Agregatowe wskaźniki dynamiki dla wielkości absolutnych

Indeksy agregatowe (zespołowe) stosujemy w odniesieniu dozjawisk złożonych, tj. zjawisk będących agregatami (zespołami)zjawisk niejednorodnych i bezpośrednio niesumowalnych.

Wyróżniamy agregatowe indeksy (dla wielkości absolutnych):

wartości,

cen,

ilości.

Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu

Agregatowy indeks wartości

Agregatowy indeks wartości

Iw =

n∑i=1

wit

n∑i=1

wi0

=

n∑i=1

pit · qit

n∑i=1

pi0 · qi0,

gdzie wit , wi0 – wartości produktu w okresie badanym i bazowym,pit , pi0 – ceny produktu w okresie badanym i bazowym,qit , qi0 – ilości produktu w okresie badanym i bazowym.

Interpretacja: Iw mówi nam o ile procent wzrosła lub spadławartość badanego agregatu produktów.

Zmiany procentowe obliczamy analogicznie, jak w przypadkuindeksów indywidualnych:

(Iw − 1) · 100%.

Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu

Agregatowe indeksy cen

Zmiana wartości sprzedaży agregatu produktów może wynikać ze zmianycen tych produktów. Aby to zbadać obliczamy agregatowe indeksy cen,w których przyjmuje się, iż ilości produktów są na stałym poziomie.

Agregatowy indeks cen o formule Laspeyresa,

w którym ilości produktów ustalone są na poziomie bazowym (q0)

Ip/q0 =

n∑i=1

pit · qi0

n∑i=1

pi0 · qi0.

Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu

Agregatowe indeksy cen (2)

Agregatowy indeks cen o formule Paaschego,

w którym ilości produktów ustalone są na poziomie badanym (qt)

Ip/qt =

n∑i=1

pit · qit

n∑i=1

pi0 · qit.

Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu

Agregatowe indeksy ilości

Zmiana wartości sprzedaży agregatu produktów może również wynikać zezmiany ilości sprzedaży tych produktów. Obliczamy wtedy agregatoweindeksy ilości, w których przyjmuje się, iż ceny produktów są nastałym poziomie.

Agregatowy indeks ilości o formule Laspeyresa,

w którym ceny produktów ustalone są na poziomie bazowym (p0)

Iq/p0 =

n∑i=1

pi0 · qit

n∑i=1

pi0 · qi0.

Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu

Agregatowe indeksy ilości (2)

Agregatowy indeks ilości o formule Paaschego,

w którym ceny produktów ustalone są na poziomie badanym (pt)

Iq/pt =

n∑i=1

pit · qit

n∑i=1

pit · qi0.

Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu

Agregatowe indeksy Fishera

Agregatowe indeksy Fishera to średnie geometryczne z indeksów(cen lub ilości) według formuł Laspeyresa i Paaschego.

Agregatowy indeks cen Fishera

I Fp =√Ip/q0 · Ip/qt .

Agregatowy indeks ilości Fishera

I Fq =√Iq/p0 · Iq/pt .

Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu

Zależności dla indeksów agregatowych

Między agregatowymi indeksami cen, ilości i wartości zachodząnastępujące związki:

Iw = Ip/q0 · Iq/pt = Ip/qt · Iq/p0 = I Fp · I Fq .

Relacje te wykorzystujemy do obliczania indeksów cen lub ilościmetodą pośrednią, np.:

Ip/q0 = Iw : Iq/pt , Iq/p0 = Iw : Ip/qt .

Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu

Agregatowe wskaźniki dynamiki dla wielkości stosunkowych

Wielkość stosunkowa x

to stosunek dwóch wielkości absolutnych

x =ab.

Przykładami wielkości stosunkowych są np.: przeciętna płaca,wydajność pracy, koszt jednostkowy, czy gęstość zaludnienia.

Dla wielkości stosunkowych definiujemy:

wszechstronny indeks agregatowy

Ix =XtX0

=

n∑i=1

ait

n∑i=1

bit

:

n∑i=1

ai0

n∑i=1

bi0

.

Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu

Indeks wszechstronny

Ponieważ, jeśli

x =ab, to a = x · b oraz b =

ax,

więc indeks wszechstronny Ix można przedstawić za pomocąrównoważnych formuł.

Równoważne formuły dla indeksu wszechstronnego

Ix =

n∑i=1

xitbit

n∑i=1

bit

:

n∑i=1

xi0bi0

n∑i=1

bi0

=

n∑i=1

ait

n∑i=1

aitxit

:

n∑i=1

ai0

n∑i=1

ai0xi0

.

Interpretacja: indeks wszechstronny mówi nam o zmianachwielkości x w okresie t w stosunku do okresu 0.

Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu

Indeks agregatowy o stałej strukturze czynnika b

Na zmiany wielkości x może wpływać zmiana struktury czynnika b.W analizie dynamiki x możemy ustalić b i w ten sposób zbadaćfaktyczne zmiany x z pominięciem b. Obliczamy wtedyagregatowe indeksy o stałej strukturze b.

Agregatowy wskaźnik o stałej strukturze b o formule Laspeyresa

ustalamy b na poziomie bazowym (b0)

Ix/b0 =

n∑i=1

xitbi0

n∑i=1

bi0

:

n∑i=1

xi0bi0

n∑i=1

bi0

Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu

Indeks agregatowy o stałej strukturze czynnika b (2)

lub

agregatowy wskaźnik o stałej strukturze b o formule Paaschego

ustalamy b na poziomie badanym (bt)

Ix/bt =

n∑i=1

xitbit

n∑i=1

bit

:

n∑i=1

xi0bit

n∑i=1

bit

.

Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu

Indeks wpływu zmian w strukturze czynnika b

Jeśli jednak chcemy poznać wpływ struktury czynnika b nadynamikę x , to możemy obliczyć agregatowy indeks wpływuzmian w strukturze czynnika b.

Konstruujemy wtedy indeksy w których ustalamy wielkościstosunkowe x :

indeks wpływu zmian w strukturze czynnika b o formuleLaspeyresa,

w którym ustalamy x na poziomie bazowym (x0)

bIx/x0 =

n∑i=1

xi0bit

n∑i=1

bit

:

n∑i=1

xi0bi0

n∑i=1

bi0

Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu

Indeks wpływu zmian w strukturze czynnika b (2)

oraz

indeks wpływu zmian w strukturze czynnika b o formulePaaschego,

w którym ustalamy x na poziomie badanym (xt)

bIx/xt =

n∑i=1

xitbit

n∑i=1

bit

:

n∑i=1

xitbi0

n∑i=1

bi0

Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu

Zależności dla indeksów

Między indeksem wszechstronnym, indeksem o stałej strukturzeczynnika b oraz indeksem wpływu zmian w strukturze czynnika bistnieją następujące zależności:

Ix = Ix/b0 ·b Ix/xt oraz Ix = Ix/bt ·b Ix/x0 .

Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu

Indeks agregatowy o stałej strukturze czynnika a

Analogicznie, na zmiany wielkości x może również wpływać zmianastruktury czynnika a. W analizie dynamiki x możemy ustalić ai w ten sposób zbadać faktyczne zmiany x z pominięciem a.Obliczamy wtedy agregatowe indeksy o stałej strukturze a.

Agregatowy wskaźnik o stałej strukturze a o formule Laspeyresa

ustalamy a na poziomie bazowym (a0)

Ix/a0 =

n∑i=1

ai0

n∑i=1

ai0xit

:

n∑i=1

ai0

n∑i=1

ai0xi0

Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu

Indeks agregatowy o stałej strukturze czynnika a (2)

lub

agregatowy wskaźnik o stałej strukturze a o formule Paaschego

ustalamy a na poziomie badanym (at)

Ix/at =

n∑i=1

ait

n∑i=1

aitxit

:

n∑i=1

ait

n∑i=1

aitxi0

.

Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu

Indeks wpływu zmian w strukturze czynnika a

Jeśli jednak chcemy poznać wpływ struktury czynnika a nadynamikę x , to możemy obliczyć agregatowy indeks wpływuzmian w strukturze czynnika a.

Konstruujemy wtedy indeksy w których ustalamy wielkościstosunkowe x :

indeks wpływu zmian w strukturze czynnika a o formuleLaspeyresa,

w którym ustalamy x na poziomie bazowym (x0)

aIx/x0 =

n∑i=1

ait

n∑i=1

aitxi0

:

n∑i=1

ai0

n∑i=1

ai0xi0

Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu

Indeks wpływu zmian w strukturze czynnika a (2)

oraz

indeks wpływu zmian w strukturze czynnika a o formule Paaschego,

w którym ustalamy x na poziomie badanym (xt)

aIx/xt =

n∑i=1

ait

n∑i=1

aitxit

:

n∑i=1

ai0

n∑i=1

ai0xit

.

Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu

Zależności dla indeksów

Między indeksem wszechstronnym, indeksem o stałej strukturzeczynnika a oraz indeksem wpływu zmian w strukturze czynnika aistnieją następujące zależności:

Ix = Ix/a0 ·a Ix/xt oraz Ix = Ix/at ·a Ix/x0 .

Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu

Przyczyny wpływające na rozwój zjawiska

Zmiany wartości badanej cechy w czasie można przedstawić w postacimodelu uwzględniającego zarówno przyczyny działające w sposób trwały,jak również przypadkowy.

W najbardziej ogólnym przypadku, na badane zjawisko oddziałujątrzy grupy przyczyn:

działające w sposób trwały i powodujące wystąpienieokreślonej tendencji rozwojowej (czyli trendu), powodującezmiany powolne, systematyczne i ujawniające się w długichokresach czasu;

działające okresowo ale regularnie, tzw. wahania sezonowe,często związane ze zjawiskami przyrodniczymi;

działające przypadkowo i nieregularnie tzw. wahaniaprzypadkowe.

Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu

Tendencja rozwojowa zjawiska

Do najważniejszych badań szeregu czasowego (dynamicznego)zaliczamy szacowanie tendencji rozwojowej zjawiska,prowadzące do wyznaczenia funkcji trendu:

yt = f (t) + zt ,

gdzie yt to zaobserwowany poziom zjawiska w okresie t,f (t) – funkcja trendu,zt – składnik resztowy.

Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu

Funkcja trendu

Kształt funkcji trendu odzwierciedlającej działanie tzw. przyczyngłównych zależy od danych empirycznych. Może mieć ona postać:

liniową:f (t) = at + b,

jak również nieliniową, np:

f (t) = at2 + bt + c

lubf (t) = a ln t + b.

Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu

Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu

Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu

Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu

Wyznaczanie trendu metodą najmniejszych kwadratów

Wyznaczanie trendu metodą analityczną

opiera się na tzw. metodzie najmniejszych kwadratów:

N∑t=1

(yt − f (t))2 → min,

w której szukamy takich parametrów funkcji f , które minimalizująsumę kwadratów różnic pomiędzy wartościami rzeczywistymi (yt)badanego zjawiska a wartościami teoretycznymi (f (t)), obliczonymina podstawie funkcji trendu.

Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu

Wyznaczanie parametrów trendu liniowego

Jeśli funkcja trendu ma postać liniową:

f (t) = at + b,

to oszacowania jej parametrów obliczamy za pomocą wzorów(uzyskanych metodą najmniejszych kwadratów):

a =cov(t, yt)S2(t)

=

NN∑t=1

ytt −N∑t=1

yt ·N∑t=1

t

NN∑t=1

t2 −(N∑t=1

t

)2 ,

b = yt − at.

Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu

Dopasowanie funkcji trendu

Jakość dopasowania wyznaczonej funkcji trendu można zbadać zapomocą:

odchylenia standardowego reszt

s(zt) =

√√√√√√N∑t=1

(yt − f (t))2

N − k,

gdzie k to liczba parametrów oszacowanego modelu;

współczynnika zbieżności

ϕ2 =

N∑t=1

(yt − f (t))2

N∑t=1

(yt − yt)2;

Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu

Dopasowanie funkcji trendu (2)

współczynnika determinacji

R2 = 1−

N∑t=1

(yt − f (t))2

N∑t=1

(yt − yt)2= 1− ϕ2.

Uwaga.

R2 ∈ [0, 1],

im większe R2 tym lepsze dopasowanie funkcji trendu dodanych.

Szeregi czasowe Przyrosty absolutne Indeksy indywidualne Indeksy agregatowe Funkcja trendu

Prognoza i błąd standardowy prognozy

Prognoza

Znając parametry funkcji trendu możemy obliczać prognozowanąwartość badanego zjawiska dla przyszłych okresów (momentów) T :

yT = f (T ).

Należy jednak pamiętać, że na badane zjawisko wpływają też inneprzyczyny, więc otrzymana wielkość yT jest obarczona pewnymbłędem.

Standardowy błąd prognozy

s(zt) ·

√√√√√√√1 +1N

+(T − t)2N∑t=1

(t − t)2.