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Transformacion de una matriz simetrica en una tridiagonal similar con los mismos autovalores
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Anlisis Matricial IX
Transformacin de una matriz simtrica en una tridiagonal similar
con los mismos autovalores
El mtodo consiste en premultiplicar y postmultiplicar la matriz por una matriz de Householder :
La es obtenida de forma parecida (aunque con cambios importantes) a la del mtodo de la factorizacin . Nuestro objetivo es utilizar matrices de Householder para convertir una matriz simtrica en una matriz tridiagonal, similar, simtrica y con los mismos autovalores.
Sea = una matriz simtrica:
1 =
02131
1
; 1 =
0100
; 1 = 1 1 =
021 1
31
1
Mtodo 1
Donde:
1 es tal que 1 = 212 + 31
2 + + 12
1 = sign(21) 1
= 1 =
11 12 13 121 22 23 231
1
32
2
33
3
3
,
donde = , = 1, . . ,
1 = =
4 2 1 22 3 0 212
02
2 1 1 1
;
donde = , = 1,2, 3, 4.
1 =
0212
; 1 =
0300
; 1 = 1 1 =
0512
1 = sign(2) 22 + 1 2 + 2 2 =3
Ejemplo 1
El primer vector de Householder es 1:
Con 1 construimos una matriz de Householder 1 . La matriz 11 tendr como primera columna:
11100
La matriz = tendr como primera fila: 11 1 0 0
2 es simtrica y similar a 1. Sea 2 tal que:
2 = sign(32(2)
) 32(2) 2
+ 42(2) 2
+ + 2(2) 2
2 =
11 1 0 0
1 22(2)
23(2)
2(2)
00
32(2)
2(2)
33(2)
3(2)
3(2)
(2)
1 =
4 2 1 22 3 0 212
02
2 1 1 1
:1=3
4.0000 -2.0000 1.0000 2.0000 3.0000 -3.3333 1.3333 1.0000 0.0000 1.2667 1.7333 0.4000 0.0000 0.5333 0.4667 -2.2000
1 1 =
= :
4.0000 3.0000 0.0000 0.0000 3.0000 3.3333 0.0000 -1.6667 0.0000 0.0000 1.9867 0.9067 0.0000 -1.6667 0.9067 -1.3200
2 =
2 es simtrica y similar a 1. Sea 2 tal que:
2 = sign 0 02 + 1.6667 2 = 1.667
Entonces, 2 , el segundo vector de Householder es:
2 =
00
32(2)
42(2)
2(2)
; 2 =
00200
; 2 = 2 2 =
00
32(2)
2
42(2)
2(2)
2 =
000
1.6667
; 2 =
00
1.66670
;
2 = 2 2 =
00
1.66671.6667
2 =
11 1 0 0
1 22(2)
23(2)
2(2)
00
32(2)
2(2)
33(2)
3(2)
3(2)
(2)
; 2= 1.667
4.0000 3.0000 0.0000 0.0000 3.0000 3.3333 0.0000 -1.6667 0.0000 0.0000 1.9867 0.9067 0.0000 -1.6667 0.9067 -1.3200
2 =
Con 2 construimos la matriz de Householder 2. La matriz 22 tendr como segunda columna:
1
22(2)
200
La matriz = tendr como segunda fila:
1 22(2)
2 0 0
4.0000 3.0000 0.0000 0.0000 3.0000 3.3333 0.0000 -1.6667 0.0000 -1.6667 0.9067 -1.3200 0.0000 0.0000 1.9867 0.9067
22 =
2 =
11 1 0 0
1 22(2)
23(2)
2(2)
00
32(2)
2(2)
33(2)
3(2)
3(2)
(2)
; 2= 1.667
4.0000 3.0000 0.0000 0.0000 3.0000 3.3333 0.0000 -1.6667 0.0000 0.0000 1.9867 0.9067 0.0000 -1.6667 0.9067 -1.3200
2 =
=
4.0000 3.0000 0.0000 0.0000 3.0000 3.3333 -1.6667 0.0000 0.0000 -1.6667 -1.3200 0.9067 0.0000 0.0000 0.9067 1.9867
3 =
Observa que 2 no altera la primera columna de 2
3 es simtrica y similar a 1 con dos columnas y filas en forma tridiagonal.
Hemos obtenido una matriz tridiagonal simtrica similar a 1, con = 11, y
= un producto de matrices de Householder y, por tanto, ortogonal, por lo que* = 1. Adems 1 y tienen los mismos autovalores:
1 = 11
1=
1 0 0 0 0 -0.6667 0.3333 0.6667 0 0.3333 0.9333 -0.1333 0 0.6667 -0.1333 0.7333
2 = 22
2=
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0
2 = 0.5 2 2 = 2.7779 1 = 0.5 1
1 = 15
= 21 =
1 0 0 0 0 -0.6667 0.3333 0.6667 0 0.6667 -0.1334 0.7333 0 0.3333 0.9333 -0.1333
= 1 =
4.0000 3.0000 0.0000 0.0000 3.0000 3.3333 -1.6667 0.0000 0.0000 -1.6667 -1.3200 0.9067 0.0000 0.0000 0.9067 1.9867
* = 1 = 21112 = 222 = 3
eig() 6.8446 -2.1975 1.0844 2.2685
eig(1) -2.1975 1.0844 2.2685 6.8446
Clculo de autovalores de una matriz simtrica mediante la Factorizacin
Se trata de computar los autovalores de, matriz simtrica, mediante un mtodo basado en la factorizacin .
Mtodo 2 Sea una matriz simtrica . La convertimos en una matriz tridiagonal simtrica con los mismos autovalores, mediante el procedimiento de la seccin anterior, mtodo 1, y la denotamos por A1. Procedemos a la factorizacin de A1:
1 = 11 Definimos 2 = 11 y observemos que:
2 = 1111
Por lo que 2 es similar a 1 y es simtrica. Continuando de esta forma, procedemos a la factorizacin de 2
2 = 22
Y definimos 3 = 22 que ser similar a 2 y, por lo tanto, similar a 1. Continuando de esta forma, obtenemos una sucesin de matrices similares y simtricas 1, 2, 3, que, como 1 es tridiagonal, todas ellas lo son.
Este procedimiento lo tenemos en el siguiente teorema (que proporcionamos sin demostracin). Nos dice es que las entradas diagonales de la sucesin anterior de matrices tiende a los autovalores de la matriz A.
Teorema (Francis) Sea A1 una matriz simtrica tridiagonal y sea Am el paso emsimo en la aplicacin de la factorizacin tal como se ha descrito en el mtodo 2:
1()
2()
0 0
2()
2()
3()
0
0 3()
3()
0
()
0 0 ()
()
Entonces lim
()
= 0 y ()
converge con a un autovalor de A1.
=
Sea la matriz
TD=simetric2tridiag(A) Ejemplo 2
[Q,R]=fact_QR(TD)
. La transformamos en una matriz tridiagonal simtrica:
eig(): 2.1975 1.0844 2.2685 6.8446
eig(): 2.1975 1.0844 2.2685 6.8446
-5.0000 -4.4000 1.0000 0.0000 0 -1.8785 -0.5560 -0.8044 0 0 2.0083 -0.5237 0 0 0 1.9615
=
2 = =
6.6400 1.1271 -0.0000 0.0000 1.1271 0.2001 1.7818 0.0000 0.0000 1.7818 -0.5903 -0.8856 0.0000 -0.0000 -0.8856 1.7502
-0.8000 0.2768 0.4750 0.2403 -0.6000 -0.3691 -0.6333 -0.3204 -0.0000 0.8872 -0.4117 -0.2083 0.0000 -0.0000 -0.4515 0.8923
=
4.0000 3.0000 0.0000 0.0000 3.0000 3.3333 -1.6667 0.0000 0.0000 -1.6667 -1.3200 -0.9067 0.0000 0.0000 -0.9067 1.9867
=
4 -2 1 2 -2 3 0 -2 1 0 2 1 2 -2 1 -1
=
3 =
[, ] = fact_(2)
..
eig(): 2.1975 1.0844 2.2685 6.8446
[, ] = fact_(308)
-0.9859 0.0008 -0.1495 -0.0752 -0.1674 -0.0048 0.8806 0.4432 0.0000 -1.0000 -0.0043 -0.0022 0.0000 0.0000 -0.4496 0.8932
=
-6.7350 -1.1447 -0.2982 -0.0000 0 -1.7818 0.5818 0.8856 0 0 1.9698 -0.7831 0 0 0 1.5653
=
-1.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 -1.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000
=
-6.8446 0 0 0 0 -2.2685 0 0 0 0 2.1975 0 0 0 0 1.0844
=
6.8446 0 0 0 0 2.2685 0 0 0 0 -2.1974 0 0 0 0 1.0844
309 = =
Ahora antes de pasar al siguiente tema, te conviene hacer los ejercicios de la seccin:
Ejercicios Anlisis Matricial IX
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