Teoria da Filas - Sistema de...

Escola de Engenharia de Lorena – EEL/USPCurso de Engenharia de Produção

Prof. Fabrício Maciel Gomes

Teoria da Filas

Por quê das Filas?

Procura por um serviço maior do que a capacidade do sistema de atender ao serviço

Inviabilidade econômica

Limitação de espaço

Teoria das Filas

• A Teoria das Filas tenta através de análises matemáticas detalhadas encontrar um ponto de equilíbrio que satisfaça o cliente e seja viável economicamente para o provedor do serviço

• Exemplos de aplicação:• Fluxo de tráfego

• veículos, aeronaves, pessoas e comunicações

• Escalonamento• Pacientes em hospitais, processos em um computador e jobs em

máquinas

• Projetos de atendimentos a serviços• Bancos, correios, restaurantes fast-foods

Teoria das Filas

Servidor

Servidor

ServidorPopulaçãoFila

Clientes

Atendimento*Obs:

•Servidores, atendentes ou canais de serviços

•Cliente, transação ou entidade

Elementos de uma Fila

• Clientes e Tamanho da População• Um cliente é proveniente da população

• Quando uma população é muito grande, a chegada de um novo cliente a fila não afeta a taxa de chegada de clientes subseqüentes, taxa de chegada independente

• Quando a população é reduzida a taxa de chegada pode ser dependente• Ex: Uma mineradora que possui apenas 3 caminhões e os 3 estão

na fila

Elementos de uma Fila

• Podemos quantificar o processo de chegada através de sua taxa média de chegadas (λ) e/ou seu intervalo médio entre chegadas (IC)

• Ex: Um posto de pedágio com 5 atendentes, onde entre 7 e 8 horas da manha chegam 20 automóveis por minuto.• λ:20 veículos por minuto• IC: 3 segundos

• λ e IC são valores médios, em um dado instante diferentes valores podem ser observados

• A fim de caracterizar ainda mais uma fila podemos definir sua distribuição de freqüências• Processos com os mesmos valores médios podem apresentar grandes

variações de seu valores individuais durante o tempo observado• Processos regulares são raros

• Existe situações onde o ritmo de chegadas sofre variações durante o dia

Processos de Chegada

• Determina como é feito o atendimento aos clientes da fila

• Ex:• Observando um atendente, podemos constatar que ele

atende 6 veículos por minuto ou que gasta 10 segundos para atender um veículo

• Podemos quantificar o processo de chegada através de sua taxa média de atendimento (μ) e/ou seu tempo ou duração médio de serviços (TA)• μ = 6 clientes por minuto

• TA = 10 clientes por minuto

Processos de Atendimento

• Uma fila pode possuir um ou mais servidores para atender os clientes

• A qualidade do serviço pode ser melhorada adicionando convenientemente novos servidores ao sistema• Ex: fila de supermecado

Número de Servidores

Descreve como os clientes são escolhidos para entrar em um serviço após a fila ser formada

First-Come-First-Served (FCFS) FIFO Filas comuns onde o primeiro a chegar é o primeiro a ser atendido

Last-Come-First-Served(LCFS) LIFO Aplicado em sistemas de controle de estoque e em filas de prioridades

Filas com Prioridades Preemptivo

O cliente com maior prioridade é servido imediatamente Não-preemptivo

O cliente com maior prioridade entra na frente da fila, mas deve aguardar se algum cliente já estiver em atendimento

Filas Randômicas

Disciplina da Fila

• Tamanho Médio• Característica mais visível de uma fila

• O dimensionamento adequado desta característica possibilita um atendimento satisfatório

• Tamanho Máximo• Área destinada a espera por atendimento

• Ex: número de cadeiras em uma barbearia, tamanho do buffer, etc

• Dependendo do tamanho e da demanda um cliente pode ser recusado• Ex: central telefônica

• Deve ser projetada de forma atender a demanda

Tamanho da Fila

• Média do tempo gasto por cada cliente desde o momento em que chega na fila ao que ele é atendido

• Principal causa de irritação dos clientes

• O ideal é que não exista tempo de espera

• Ex:• Se entrarmos em uma fila com 10 pessoas à frente o tempo

de espera será igual ao somatório dos tempos de atendimento cada um dos 10 clientes ou, possivelmente, será igual a 10 vezes a duração média de atendimento

Tempo Médio de Espera

• São utilizadas para modelar diversos aspectos de uma fila• Quando afirmamos que a duração média de atendimento

é de 10 segundos não estamos dizendo que todo atendimento é de 10 segundos

• Diferentes momentos podem registrar diferentes valores• Caso fosse coletada uma grande quantidade de dados

poderíamos deduzir que existe um padrão de atendimento expresso por uma distribuição de probabilidade• É nula a probabilidade de atender um cliente em menos de 5

segundos• A probabilidade de atender um cliente em 10 segundos é de

18%• A probabilidade de atender um cliente em 25 segundos é de

0,5%

Variáveis Randômicas

Duração do Atendimento

• Cenário• Fila de um banco formada por pessoas que deseja um novo

talão de cheques• Chegada

• No período de meia hora chegaram ao sistema 12 pessoas

• Onde• Intervalo – tempo entre uma chegada e outra• Momento – instante de chegada de um novo cliente

• Definir• λ • IC

Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Intervalo 2 3 3 3 5 0 1 5 1 4 1 2

Momento 2 5 8 11 16 16 17 22 23 27 28 30

24 clientes por hora

2,5 minutos

Dinâmica de uma Fila

• Atendimento• Dados anotados para cada atendimento em minutos

• Determinar

• μ

• TA

Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Duração 1 2 1 1 3 2 1 4 2 3 1 3

30 clientes por hora

2 minutos

Dinâmica de uma Fila

• O número de canais correspondem ao número de estações de serviços paralelos que podem servir os clientes simultaneamente

• Clientes multi-canais podem ser de:• Fila única

• Fila individual

Número de Canais de Serviço

• Estágio único• O atendimento do cliente acontece de um vez só

• Barbearia, supermecado, etc

• Vários estágios• O cliente passa por vários estágios de atendimento, antes

de finalizar um serviço

• Durante o atendimento o cliente pode enfrentar diversas filas com características diversas

• Exame físico, atendimento serviço público

Estágios de Serviço

Estágios de Serviço

1.Padrão de

chegada

2.Padrão de

serviço

3.Disciplina

de filas

4.Capacidade

do sistema

5. Número de

canais de

serviço

...

6. Estágios de

serviços

n

Descrição de um Sistema de Filas

• Proposta em 1953 por Kendall

• é descrita por um série de símbolos, tais como, A/B/m/k/M• A é a distribuição de inter-chegada de dos clientes

• B é padrão de serviço de acordo com um distribuição de probabilidade para o tempo de serviço

• m é o número de canais serviços paralelos (servidores)

• k é a capacidade do sistema

• M é a disciplina de filas

• Em muitas situações só os três primeiros símbolos são utilizados, de maneira que, é assumido que o sistema tem capacidade ilimitada e possui uma disciplina FCFS

Notação de uma Fila

O símbolo G representa uma distribuição de probabilidade geral, isto é, resultados

nestes casos são aplicáveis para qualquer distribuição de probabilidade

Notação de uma Fila

• Exemplo:

M/D/2/∞/FCFS

• Processo de filas com:• tempos de inter-chegada exponencial

• tempos de serviço determinístico

• dois servidores paralelos

• capacidade ilimitada

• disciplina de fila FCFS

Notação de uma Fila

• Geralmente existem 3 tipos de respostas de interesse do sistema:• medida do tempo de espera que um cliente típico é

obrigado a esperar• Tempo gasto na fila X Tempo total no sistema

• Importância de cada tipo depende do sistema analisado. Ex: Parque de diversão x concerto de um equipamento

• medida da maneira como os clientes podem ir se acumulando• Número de clientes na fila X número de clientes no sistema

• Auxilia na definição do espaço de espera dos clientes

• medida do tempo ocioso dos servidores• Tempo em que um servidor em particular esta ocioso

• Tempo em que o sistema está desprovido de clientes

Medidas de Desempenho

• A tarefa do analista de filas é determinar as medidas apropriadas de efetividade de um dado processo, ou projetar um sistema ótimo.• Tempo de espera X ociosidade do sistema

• Tempo de espera X custos

• Cálculo do tamanho da fila de espera

• Uso de métodos analíticos como primeira alternativa e simulações onde métodos analíticos não forem suficientes

Medidas de Desempenho

SISTEMA

CLIENTE NA FILACLIENTE SENDO ATENDIDO

chegada fila atendimento saída

IC TF NF TA NA

sistema

TS NS

Estrutura do Sistema

26

- taxa de chegada

- taxa de atendimento

chegada fila atendimento saída

IC TF NF c TA NA

sistema

TS NS

IC – tempo médio entre chegadas IC=

TF - tempo médio na fila

NF – número médio de clientes na fila

TA - tempo médio de atendimento TA=

NA – número médio de clientes em atendimento

TS - tempo médio no sistema

NS – número médio de clientes no sistema

1/

1/

Estrutura do Sistema

Sistema de 1 canal, 1 fila

com população infinita

Pr( )

n

n

1

Pr( )

r

n r

Probabilidade de haver n clientes no sistema

Probabilidade de que o número de clientes

no sistema seja superior a um valor r

Sistema de 1 canal, 1 fila

com população infinita

Pr( 0)n

Pr( 0)n

Probabilidade do sistema estar ocioso

Probabilidade do sistema estar ocupado

Sistema de 1 canal, 1 fila

com população infinita

NS

2

NF

Número Médio de Clientes no Sistema

Número Médio de Clientes na Fila

Sistema de 1 canal, 1 fila

com população infinita

( 0)NF Fila

Número Médio de Clientes na Fila

1

TF

Tempo Médio de Espera na Fila por Clientes

Sistema de 1 canal, 1 fila

com população infinita

1

TS

Tempo Médio Gasto no Sistema por Clientes

Sistema de 1 canal, 1 fila

com população infinita

Relações Entre TF, TS, NF e NS

TF TF 1TF TS

NS TS NF NS

Taxa de Serviço para Mínimo Custo Total do Sistema

Unit UnitCT CE CA

* Unit

Unit

CE

CA

CT = Custo total do sistemaCEUnit = Custo de permanência unitário médio por período do cliente CAUnit = Custo de atendimento unitário médio por período do cliente

= Taxa de serviço que resulta no menor custo Total no modelo de 1 fila e 1 canal

*

Taxa de Serviço para Mínimo Custo Total do Sistema

Sistema de 1 canal, 1 fila

com população infinita

Sistema de diversos canais, 1 fila

com população infinita

1

1

1Pr( 0)

! 1 !

j SS

j

n

j S S

Probabilidade do sistema estar ocioso

Sendo:

S = número de canais de atendimento

.Pr Pr( ) Pr 0

( 1)!

S

Oc Total n S nS S

Probabilidade do todos os canais estiverem ocupados

Sistema de diversos canais, 1 fila

com população infinita

Número Médio de Clientes na Fila

.PrOc TotalNFS

NS NF

Número Médio de Clientes no Sistema

Sistema de diversos canais, 1 fila

com população infinita

1TF NF

Tempo Médio de Espera na Fila por Clientes

1TS NS

Tempo Médio de gasto no Sistema

A cabine telefônica:

as chegadas ocorrem de acordo com uma distribuiçãoexponencial com taxa de 0,1 pessoas/min;

a duração média dos telefonemas é de 3 minutos e tambémsegue uma distribuição exponencial.

a) Qual a probabilidade de uma pessoa chegar à cabine e nãoprecisar esperar?

b) Qual o tempo médio na fila?

c) Qual ritmo de chegada de pessoas determinaria um tempo médio na fila de 3 minutos?

Exercício 1

Os operários da fábrica, para realizarem as atividades diárias,

precisam recorrer ao auxílio da ferramentaria. Observou-se

que o ritmo de chegada de solicitações à ferramentaria segue

uma distribuição exponencial com ritmo de chegada de =1

solicitação/min. O ritmo de atendimento da ferramentaria

também segue uma exponencial com =12 atendimentos/min. Pergunta-se:

a) Qual a probabilidade de um operário chegar à ferramentaria e não precisar esperar?

b) Qual o tempo médio de espera do operário na fila?c) Qual o tempo médio de atendimento do operário?d) Qual o tempo médio do operário na ferramentaria?e) Quantos operários em média estão na fila?f) Quantos operários em média estão na ferramentaria?

Exercício 2

Um lava rápido automático funciona com somente uma baia. Os carros chegam

conforme uma distribuição de Poisson com um tempo médio de 8 minutos e

podem esperar num estacionamento com cinco vagas disponíveis. Se o

estacionamento estiver cheio os clientes que chegam desistem e procuram outro

lava rápido. O tempo para lavar e limpar um carro segue uma distribuição

exponencial, com uma média de sete minutos e 30 segundos. O proprietário quer

determinar o impacto das vagas limitadas sobre a perda de clientes para a

concorrência. Considerando essa situação, determine:

a) A probabilidade de que um carro que chega passe imediatamente à baia de

lavagem.

b) Tempo de espera estimado até o início do serviço.

c) Número esperado de vagas vazias no estacionamento.

d) A probabilidade de todas as vagas estarem ocupadas.

e) A taxa de utilização do servidor.

Exercício 3