View
212
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Ing. Oscar Galvez Página 1
TEORÍA DE CIRCUITOS II
4 Año – Ingeniería Electrónica – F.R.T. U.T.N.
Filtros Eléctricos
(colaboración del alumno Esteban Aredez)
Concepto: Un filtro de onda eléctrica es un cuadripolo selectivo que transmite
libremente ondas eléctricas que cuentan con frecuencias dentro de una o más bandas
y que atenúan ondas eléctricas que poseen otras frecuencias.
Filtro ideal: Es aquel filtro que transmitirá libremente en la banda de transmisión libre y
que atenuará en forma abrupta las frecuencias que se encuentran en la banda de
atenuación. Un filtro ideal esta compuesto internamente por un elemento reactivo,
inductores y capacitores únicamente, debido a que si tiene una R el filtro disipara
indudablemente algo de energía que se desea para la carga. El filtro ideal por lo tanto
no disipa energía.
Distintos Tipos:
Pasa Bajo
Pasa Alto
Ing. Oscar Galvez Página 3
Diseño por perdida por inserción
Una manera de diseñar un filtro es el de convenir una perdida apropiada por inserción
Si V2 es el voltaje en las terminales de la carga con el filtro, y Vo es el voltaje entre las
terminales de la carga antes de insertar el filtro, con E ctte:
Razón de V de inserción
Para aproximarse a un filtro ideal V2/V0 debería ser 1 en bandas de transmisión libre y
tan pequeña como sea posible en banda de transmisión.
Para diseñar este filtro V2/V0 debe ser consideradas una función de transferencia de
variable compleja S
E
V2
Rl Filtro
rg
Ing. Oscar Galvez Página 4
En las graficas pueden verse intuitivamente que los polos de este arreglo en el plano S,
soportaran la superficie de manera que V2/V0 será aproximadamente constante, dentro
de la banda discada de Tx o sea de 0 a ωc (frecuencia de corte) y que los ---- sobre el
eje jω empujaran la función hacia abajo como se desea para altas frecuencias.
Diseño por Atenuación de Impedancia
Si se tiene un filtro que termina en impedancia característica Z0 , las perdidas de voltaje
por inserción son iguales a la atenuación α del filtro
En la figura se traza IV2/V1I para un filtro de pasa bajo su magnitud es constante, un 1
alo largo de la banda de transmisión donde V2 debería ser igual a V1 y en la banda de
atenuación V2 disminuye hasta cero.
Como sabemos los circuitos físicos reales, están compuestos por R, L, C y el
comportamiento de los circuitos pueden ser descriptos por funciones racionales. La
característica del filtro ideal puede aproximarse pero no obtenerse por arreglos de
polos y ceros. Sin embargo, encontramos que la figura anterior puede obtenerse
exactamente, si suponemos que el filtro termina en una impedancia de imagen Z0 que
varia con la frecuencia. Esta suposición no es físicamente posible. Esta podría
obtenerse únicamente si las frecuencias fueran aplicadas una a la vez, cambiando la
impedancia terminal para que correspondiese.
Los filtros no operan de esta manera haciendo esta suposición de terminación en
impedancia imagen, veremos que realmente nos aproximamos a la situación deseada.
Ing. Oscar Galvez Página 5
a a
a
b
c
Parámetros Tx
Las características deseadas para el filtro pasa bajo puede obtenerse tanto de un
cuadripolo T o un cuadripolo π, estipulando que la impedancia terminal es igual a la
impedancia imagen de dicha red. Para demostrar esto debemos tener en cuenta las
características de transmisión de dichos cuadripolos los cuales deben ser pasivos
simétricos y bilaterales.
Si a dibujado una red de dos puertos simétrica, la cual está caracterizada por las
funciones A, B, C, D, como es simétrica D=A. Los parámetros de este cuadripolo son:
Todas son funciones de “s”
El valor de Z0 puede encontrarse en función de A, B, C que caracterizan la red
dividiendo miembro a miembro las ecuaciones anteriores tenemos que:
Dividiendo numerador y denominador por I’2
Como Ze=Zc(Z de carga)=Zo (Z caract.)
+ V1 -
+ V1 -
+ V2 -
+ V2 -
I1
I1
I`2
I`2
c d
b
Ing. Oscar Galvez Página 6
Impedancia caract. De un cuadripolo positivo, bilateral y simétrico
Esta es la impedancia imagen expresada en función de B y C pero usualmente se la
escribe en función de Zicc y Zica (imp. De entrada en circuito abierto y en corto circuito),
que son parámetros calculables desde las terminales de estrada.
Como D=A
Sustituyendo esta ultima en la expresión para la impedancia caract. Zo nos queda:
La impedancia caract. En un filtro eléctrico tiene como finalidad permitir la máxima
transferencia de energía.
Ing. Oscar Galvez Página 7
Trabajando con el recíproco de V2/V1 o sea V1/V2 que es la función de transferencias
inversa, ya que es común cuando se conectan cuadripolos de transmisión en cascada
(filtro).
Y como Z2=Zo tenemos que I2=V2/Zo reemplazando
Como el determinante de los parámetros de transmisión del cuadripolo positivo bilateral
es:
Despejando y considerando A=D
reemplazando
Ing. Oscar Galvez Página 8
Introduciendo una nueva contante arbitraria γ que la definimos como:
este nuevo parámetro γ es complejo y hace que la relación V1/V2 sea muy simple. γ
recibe el nombre de constante de propagación
+j
Podemos relacionar las funciones de propagación con las impedancias de entrada en
corto circuito y circuito abierto para ver como se combina con la impedancia imagen
para darnos el comportamiento de estos parámetros en la banda de trasmisión libre,
como en la de atenuación.
Esta fórmula nos sirve para estudiar la propagación de la señal en función de sus
impedancias Zecc y Zeca
Podemos hacer un estudio más detallado:
Ing. Oscar Galvez Página 9
Ahora teniendo en cuenta los cuatro casos posibles que pueden presentar los circuitos
puramente reactivos podemos construir una tabla y ver cómo influyen sobre la
impedancia imagen y la función de propagación determinar las frecuencias de
transmisión libre y atenuación
C
Casos
Z
Zeca
Z
Zecc
1
1
j
Xa
-
jXb
2
2
-
jXa
j
Xb
2
3
j
Xa
j
Xb
3
4
-
jXa
-
jXb
Donde Xa y Xb son números reales positivos
Analisis de los casos 1, 2 (distinto signo)(la impedancia caract. Es una resistencia pura)
Demuestra que senhα.coshα=0 puesto que es porque con α=0 la atenuación será nula
si Zo es una resistencia pura.
Ing. Oscar Galvez Página 10
Analisis del caso 3, 4 (igual signo)
la impedancia Zo es una impedancia pura
alRetanh
senβcosβ=0 por lo tanto senhα.conhα debe ser mayor que cero y tiene que haber
atenuación, esto sucede cuando Zo es una reactancia pura.
Del análisis cualitativo anterior podemos concluir que la impedancia imagen de
cualquier cuadripolo reactivo es real para la frecuencia de la banda de transmisión, e
imaginario para frecuencias de la banda de atenuación.
Esto puede deducirse debido a que la función de propagación es imaginaria para
reactancias de distinto signo lo cual me indica que α=0 (no hay atenuación) pero si
desfasaje entre la señal de entrada y salida. Pero cuando la función de propagación es
real, existen una gran atenuación de la señal y la contante de fase β=0, esta se da para
reactancias de igual signo-
Esto es válido para cuadripolos de cualquier forma. Si las redes son puramente
reactivas las Zeca y Zecc deben ser puramente imaginarias. Ambas pueden ser tanto
imaginarias positivas o negativas, dependiendo de la frecuencia.
Con este criterio desarrollado nos disponemos a esbozar en forma aproximada las
curvas de reactancia de Zecc y Zeca para filtros escaleras LC.
Ing. Oscar Galvez Página 11
Para tal propósito hacemos variar la frecuencia y observamos cómo cambian las
reactancias de capacidades o inductivas según aumente la frecuencia.
Al variar la frecuencia puede variar el valor y carácter de Zeca y Zecc. Dentro de una
gama de frecuencias Zo puede ser una resistencia pura, mientras que dentro de otra
gama ella puede ser una reactancia pura.
Ing. Oscar Galvez Página 12
Como vemos las zonas donde las impedancias de entrada de circuito abierto y
cortocircuito son del mismo signo, la que implica una impedancia imagen imaginaria
forman la banda de frecuencia de atenuación.
De igual modo las reactancias de distinto signo, la que implica una impedancia imagen
real, forman la banda de transmisión libre.
Se define frecuencia crítica, a la frecuencia donde la curva de reactancia cambia de
signo.
Frecuencia de corte: es la frecuencia que limita una banda de otra.
Como trabajan los filtros: (colaboración del alumno Aparicio Armando Lorenzo) en la
banda de atenuación los filtros no absorben potencia, actúan reteniendo la potencia, se
buscan admitir potencia en sus terminales de entrada.
Si consideramos que una fuente está conectada a través de un filtro a una carga de
impedancia imagen a la frecuencia de la banda de transmisión libre, la potencia entra al
filtro y pasa a través de él a la carga, la fuente, alimentando a las terminales de entrada
del filtro, de resistencia pura (o casi pura).
En la banda de atenuación, la potencia no puede entrar al filtro, la fuente de reactancia
pura (o casi pura)
Aunque puede haber, tanto corriente como voltaje, existe potencia (o muy poca) que
entre al filtro por que la corriente y el voltaje están fuera de fase.
Si Zo es una resistencia pura, el filtro absorbe potencia de un generador, dado que los
elementos del filtro no pueden absorber potencia alguna, toda la potencia de entrada
debe ser transferida a la carga.
Si Zo de un filtro es una reactancia pura, ella no absorbe potencia alguna del generador
y la tensión y la corriente guardan una diferencia de fase de 90°.
Ing. Oscar Galvez Página 13
Filtros de red inversa: (secciones K constante)
Vamos a tener presente que tanto en la red T como en la II la reactancia total en serie
como en línea se llamara Xa. Y la reactancia en paralelo de la línea a línea se llamara
Xb (los elementos en paralelo de la II se combinan en paralelo para hacerlos igual a
Xb).
½ Xa ½ Xa
Xb
Xa
2Xb 2Xb
Si calculamos la impedancia imagen para el filtro T.
Zecc=1/2 Xa+1/2 XaXb=1/4 Xa+1/2 XaXb+1/2 XaXb=1/4 Xa+XaXb
1/2Xa+Xb ½ Xa+Xb ½ Xa+Xb
2 2
Zecc=1/4 Za+ZaZb
1/2Za+Zby
Zeca=1/2+Za+Zb
La impedancia imagen de la red T es:
2
Zecc*Zca=1/4Za + ZaZb
2
ZoT= 1/4 Za + ZaZb =
2
ZoT= -(XaXb +1/4 Xa)
La impedancia imagen de la red II podemos calcularla a partir de la impedancia imagen
para la red T, debido a la siguiente relación reciproca.
ZoT*ZoII = Z =-XaXb => ZoII = -XaXb
Y ZoT
Ing. Oscar Galvez Página 14
Pasa bajo
Las figuras muestran una sección T y otra II para las cuales
C
1/2 L 1/2 L
2
Xa=wL
Xb= - 1
wcK=Za*Zb
1/2 C
L
1/2 C
Xa,Xb varían de una manera inversa con la frecuencia. Estos filtros reciben el nombre
de K constante si se define
Ing. Oscar Galvez Página 15
- 4 X b = 4 / w c
X a = W L
X
fP a s o f ea t e n u a c i o n
Podemos calcular K para las secciones T y II y encontrar que k es constante o sea
independiente de la frecuencia.
2
K=ZaZb= - XaXb = wL 1/wc = Lc
El valor de la frecuencia de corte es:
Xa = -4Xb
WcL= 4 1/wcC => Wc=4/LC2
Wc=2II fc
2IIfc = 2 => fc = 1
II Lc Lc
Las impedancias imagen de la red T es:
ZoT = wL 1 -1/4 w L 2 2
wc= L - w L
c 4
2 2
Es interesante demostrar que la inversa para ZaaT es circular, elevando al cuadrado la
ecuación anterior.
ZoT = L - 1 w L .. K= L , Wo= 4 => 1 = Lc 4 c
W o c 4
Ing. Oscar Galvez Página 16
Dividiendo ambos miembros para K y reacomodando nos queda
ZoT= k - w L => ZoT = k - w K
Wc C W c
2 2 2 2 2
2
22
2
ecuación de circunferencia
IIpasa alto
IIpasa bajo
Tp a s a b a jo
Tpasa alto
Wo W
Zo
L /C
La impedancia imagen de la red II se encuentra:
Esta se ha trazado como la curva en la parte superior izquierda. Puesto que K es
constante ZoII crece cuando ZoT decrece.
Si reemplazamos esta última ecuación en la ecuación de la circunferencia para la
impedancia imagen de la red T obtenemos:
w Wc
K
Zo II +
22
= 1
Pasa alto
Intercambiando las inductancias y capacitancias en los filtros anteriores obtenemos
también filtros de red inversa que pero paso alto
Ing. Oscar Galvez Página 17
Donde:
2 C
L
2 C
C
2 L 2 L
atenuacion t ra n s m is io n
X a = - 1 /w c
- 4 X b = - 4 w L
f
x
Para comprobar si son de red inversa tenemos:
K = Za Zb = - Xa Xb = 1 wL = Lwc c
2
Ing. Oscar Galvez Página 18
La frecuencia de corte es:
Xa = - 4Xb
- 1 = - 4wcL => W0 = 1
W0c 4Lc
W0 = 1 => fc= 1
Lc2 LCII 4
. ..
Wc=2 fcII
Las impedancias de imagen de las secciones de pasa alto, se encuentran de la
siguiente manera.
Para la sección T
ZoT= wL 1 - 1
wc 4w c 22=
L 1
4 w c c 2 2
Para la sección II
ZoII = K / Zot2
Resolviendo para hallar la ecuación del circulo nos queda para la red T y II
Wcw
ZoTk
+=1 Wc
w+
K
Zo=1
22 2 2
Como podemos observar en las ecuaciones para la impedancia imagen tanto de una
red T como una II esta cambia de real a imaginaria según varia la frecuencia, dándonos
las bandas de atenuación y de frecuencia de transmisión libre
Desventajas de los filtros de Red inversa
Comparando un filtro de red inversa con uno ideal observamos que:
1) Un filtro ideal no tiene atenuación en la banda de transmisión libre, en este
aspecto un filtro de red teóricamente ideal.
Ing. Oscar Galvez Página 19
2) Un filtro ideal tiene atenuación infinita en la banda de atenuación.
El filtro de red inversa no la tiene, más bien tiene baja atenuación cerca de la
frecuencia de corte.
3) Un filtro ideal tiene la misma impedancia imagen para todas las frecuencias
dentro de la banda de transmisión libre. La impedancia imagen de un filtro de red
inversa no es constante pero cae a cero o va al infinito en el corte.
4) Un filtro ideal tiene un desplazamiento de fase en la banda de transmisión libre
proporcional a la frecuencia. El filtro de red inversa no la tiene.
Las desventajas más seria es la baja atenuación cerca del corte y la variación de la
impedancia imagen.
Secciones derivadas m
La sección de red inversa no tiene suficiente atenuación a frecuencias cercanas al
corte. Esto puede mejorarse conectando algunas secciones en cascadas, si y solo si
tienen idénticas funciones de impedancia imagen.
Con las impedancias imagen adecuadamente, dos secciones de K constante tienen el
doble de atenuación que una. Entonces puede multiplicarse por dos, tres, o mas
conectando secciones adicionales en cascada.
Pero si una vez de conectarse un número determinado de secciones de K constante en
cascada, pudiera conectase en cascada en alguna otra sección que tuviera mejores
características de atenuación, para esto el requerimiento necesario para que esta
sección pueda conectarse en cascada en una sección K constante es que tenga la
misma impedancia imagen.
Si una sección T de K constante tiene elementos Xak y Xbk, su impedancia imagen es:
ZoT = - ( Xak Xbk) +1/4 Xak )
2
Ing. Oscar Galvez Página 20
Alguna otra sección T aunque no sea K constante, tendrá la misma impedancia imagen
si tiene los elementos Xa y Xb, que satisfagan la relación:
Xa Xb + 1/4 Xa = Xak Xbk + 1/4 Xak 22
Donde Xa no necesariamente es igual a Xak, digamos que están relacionados por
factor m, o sea:
Xa=mXak
Para encontrar el valor de Xb, reemplazamos Xa=mXak en la ecuación (1) y
resolvemos:
mXak Xb + 1/4 m Xak = Xak Xbk + 1/4 Xak22
mXak Xb = Xak Xbk + 1/4 Xak - 1/4 m Xax 2 22
mXak Xb = Xak Xbk +1/4 Xak ( 1-m )22
Xb = Xbk + Xak ( 1 - m )
m 4m
2
Estas secciones que tienen la misma impedancia imagen que la red K constante para
todas las frecuencias se llaman:
“Secciones derivadas m”, y la sección K constante desde la cual se inicio la derivación
se llama “Prototipo”.
Todas las secciones derivadas m con el mismo prototipo tienen la misma impedancia
imagen y pueden conectarse en cascada con la sección prototipo o con cualquier otra
de ellas.
Para que sea físicamente realizable m, debe ser un número real positivo entre 0 y 1.
Ing. Oscar Galvez Página 21
Secciones T prototipos y derivada m
½ Xak ½ Xak
Xak
½ mXak ½ m Xak
Xbk
m
Xbk=(1-m)2
4m
Xb
Derivada m
Ejemplo para una sección pasa bajo
CK
1 / 2 LK 1 / 2 LK
CK
1 / 2 LA=1 / 2 M LK 1 / 2 LA= 1 / 2 MLK
LB=((1-M*) / 4M) LK
Ing. Oscar Galvez Página 22
Una sección II derivada m, es también físicamente realizable con la misma restricción.
Para una sección II, la impedancia imagen es:
Zo = K
Z o T
II 2
Por lo tanto la impedancia imagen de la sección derivada m y la impedancia imagen del
prototipo K constante se acoplan a todas las frecuencias si se cumple que:
Xa Xb =Xak Xbk
XaXb+1/4 Xa Xak Xbk+1/4 Xak
2 22 2
22
Hacemos arbitrariamente Xb=Xbk/m
Después de sustituir y resolviendo para Xa =
1=
1 + 1 ( 1-m )
Xa mXa Xbk 4m
2
Sección II prototipo y derivada m
Xak
2Xbk 2Xbk
4m Xbk
1-m2
m Xak
2Xbk 2Xbk
m m
Recommended