TEORIA DOS CONJUNTOS Prof. Dirceu Rocha de Almeida

TEORIA DOS CONJUNTOS

Prof. Dirceu Rocha de Almeida

1. Conceitos Primitivos Um grupo ou uma coleção recebe o nome de conjunto. O

conceito de conjuntos é primitivo, isto é, não possui uma definição. 

Por exemplo: um grupo de alunos, uma coleção de figurinhas são exemplos de conjuntos. 

Conjuntos são formados por elementos. No caso dos conjuntos acima, os elementos são os alunos e as figurinhas, ou seja, estes são os produtos dos conjuntos. 

Um conjunto é representado por uma letra maiúscula e os elementos pelas letras minúsculas, porém essa representação é facultativa. 

A relação de pertinência- é usada para fazer a relação entre um elemento e um conjunto, ou seja, essa relação serve para dizer se um determinado elemento pertence ou não a um determinado conjunto. 

ExemplosSe c é um elemento do conjunto E,

escreveremos:   c ELê-se: c é elemento de E ou pertence a E. 

Se c não é um elemento de um conjunto E, escreveremos: 

c ELê-se: c não é elemento de E ou c não pertence a E.

2 – Conjunto vazioUm conjunto vazio é representado por

∅ ou { }. Obviamente, chamamos um conjunto de vazio quando ele não possuir nenhum elemento. 

Simbolizando: ∀ x : x

Exemplos: = {x|x é número natural par menor que zero} = {x|x é número natural e 5 – x = 8 }

3 - Representação de um conjunto

Pela designação de seus elementos Os elementos são colocados entre chaves, e separados por vírgula ou ponto e vírgula. Por exemplo: C = {e, j, m, o, z} – indica que o conjunto C é formado pelos elementos: e, j, m, o, z A= {2; 4; 6; 8;} – indica que o conjunto A é formado pelos elementos: 2, 4, 6, 8. V = {5; {2 ; 3 ; 7} ; {3}} – indica que o conjunto V é formado pelos elementos são: 5, {2; 3; 7} e {3} 

Pela propriedade de seus elementos Um conjunto representado pelas propriedades de seus elementos deve estabelecer uma característica que caiba para todos os elementos do conjunto. Para pertencer a este conjunto, o produto deverá ter as características estabelecidas por ele.  Assim: Os elementos x de um determinado conjunto que possuem a propriedade P é representado por:  P {x | x possui a propriedade P}

 |= “tal que”, também pode ser representado por t.q, ou por dois pontos (:) ou ainda ponto e virgula (;) 

Exemplo: Veja o conjunto abaixo: 

A = {2, 4, 6, 8, 10…} Este conjunto pode ser indicado por: A= {x | x é número natural, par e positivo} – representa a propriedade de seus elementos. Lê-se: O conjunto A é formado por qualquer valor desde que seja número natural, par e positivo. 

Obs.: O ZERO é natural e par, mas não é positivo. O Zero é neutro. Para que o Zero faça parte do conjunto, deveríamos dizer que são os pares naturais não negativos.

Pelo diagrama de Venn-Euler O diagrama de Venn-Euler representa os conjuntos através de um “círculo” ou “ linha poligonal fechada” onde os elementos estão no interior do círculo. 

exemplo: a) Se C = {h, l, n, o, s, v}, então 

h ln o

s v

C

4 - Subconjuntos Dizemos que um conjunto A é

subconjunto de outro conjunto B e representamos por A B (Lê-se A está contido em B) se todo elemento de A for também elemento de B.

Exemplo:A = {1,2,3} e B = {1,2,3,4,5,6}

Note que todo elemento de A é também elemento de B. Assim escrevemos: A B

Diagrama de Venn - Euler

123

B

4

56

A

5 – Conjunto das partes

A partir de um conjunto E é possível formar um novo conjunto constituído de todos os subconjuntos de E. O novo conjunto recebe o nome de conjunto dos subconjuntos de E, que é representado por: P(A)

Podemos simbolizar da seguinte forma:

P(A) = {x| x A}

Teoremas:

O vazio está contido em qualquer conjunto, ou seja:◦ A

Todo conjunto está contido nele próprio, isto é:◦ A A

Exemplo:Seja A = {a,b,c}

P(A) = {{a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}, }P(A) = 8 elementos, ou seja: P(A) = 2n(A)

onde n(A) indica o número de elementos do conjunto A.

6 - Igualdade  Definição

Considere D e E como dois conjuntos. D = E somente quando: D é subconjunto de E, ou E é também subconjunto de D. D = E D E e E DEm outras palavras D = E se, e somente se, possuírem os mesmos elementos.

Obs.:Considere A ≠ B, através do símbolo

tornam-se diferentes, significa que A não é subconjunto de B ou B não é subconjunto de A. A B A B ou B A.

Obs.: A ordem dos elementos não é considerada neste caso, o que vale é a característica que o elemento do conjunto possui. 

Em matemática, tudo que vem entre chaves não possui ordenação, em caso contrário teria que vir entre parênteses.

Exemplos:As duas sequencias abaixo são

iguais, determine x e y.(-2, x, 4, 6) = (-2, 7, y, 6)

Os conjuntos abaixo são iguais, determine os possíveis valores para x.{ 2, 5} = {2, x, 5}

X = 7 e y = 4

Neste caso, como não há ordenação , Temos X = 2 ou x = 5, pois, note que:{2,5} = {2,2,5} ou {2,5} = {2,5,5}

{a, b} = {b, a}, pois {a, b} ⊂ {b, a} e {b, a} ⊂ {a, b}. {6, 8} = {x, y} {x = 6 e y = 8} ou {y= 6 e x = 8}. 

{a, a, a, b} = {a, b}, pois {a, a, a, b} ⊂ {a, b} e {a, b} ⊂ {a, a, a, b} 

Como você pode ver a repetição é dispensável.

Exercícios:

1 (INFO) - Se um conjunto A possui 1024 subconjuntos, então o cardinal de A é igual a:

a) 5b) 6c) 7d) 9e)10

2. (INFO) - Sendo a e b números reais quaisquer, os números possíveis de elementos do conjunto A = {a, b, {a}, {b}, {a,b} } são:

a)2 ou 5b)3 ou 6c)1 ou 5d)2 ou 6e)4 ou 5

3. Complete os pontilhados com os sinais ou .

a) b ...... {a, b, c, d}b) {b} ...... {a, b, c, d}c) ∅ ...... {0, 1, 3, 4, 6}d) {a} ...... {{0}, {a}, b}e) ∅ ...... {x, y, ∅, m}f) {a, b} ...... {a, b, x, {a, b}}

4. Considere o conjunto P = {a, b, c, d}.a) Encontre todos os subconjuntos de P

com dois elementos.b) Encontre todos os subconjuntos de P

com três elementos.c) Quantos são, no total, os subconjuntos

de P?d) Quantos e quais são seus

subconjuntos triviais?e) Quantos são seus subconjuntos não-

triviais?

5. Um conjunto A tem um total de 256 subconjuntos.

a) Quantos deles são triviais?b) Quantos são não-triviais?c) Quantos têm pelo menos dois

elementos?d) Quantos são os elementos de A?

6. Nas sentenças abaixo, assinale com V as sentenças verdadeiras e com F as sentenças falsas.I {2} {0, 1, 2} II {5, 6, 7}III {, 4} IV 5 {3, {5, 1}, 4}V {5, 6} {5, 6, 7} Nesta ordem, a alternativa correta é:a) F, V, V, F, Fb) V, F, F, V, Fc) F, V, V, F, Vd) V, F, F, V, Ve) V, V, V, F, F

7. Considere o conjunto A = {{}, }, onde o símbolo representa o conjunto vazio. Marque a alternativa INCORRETA:

a) Ab) Ac) {{}} Ad) {{}} A

8. Seja o conjunto A = {3, {3}} e as proposições:

1. 3 A 2. {3} A 3. {3} A

Então:a) apenas 1 e 2 são verdadeiras.b) apenas 2 e 3 são verdadeiras.c) apenas 1 e 3 são verdadeiras.d) todas são verdadeiras.

9. A e B são subconjuntos de um mesmo universo. Existem elementos de A que pertencem ao conjunto B. Então pode-se afirmar:

a) A é subconjunto de B.b) B é subconjunto de A.c) A e B são disjuntos.d) nenhuma das anteriores.

Conjuntos Numéricos Por questões práticas, os números

são divididos em determinadas categorias, a partir de suas características específicas. Cada uma delas constitui um conjunto numérico especial.Naturais (N)Inteiros (Z)Racionais (Q)Irracionais (Ir)Reais (R)

1. Números naturais

A necessidade de contar deu origem ao conjunto N dos números naturais, assim definido:N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }

Trata-se de um conjunto infinito e ilimitado. Todo natural tem um sucessor natural. Se n N , seu sucessor é (n + 1). Podemos dizer, também, que o antecessor de (n + 1) é n. O natural 0 (zero) não tem antecessor.

2. Números inteiros

A operação subtração nem sempre é possível em N. Por exemplo, a diferença (3 – 5) não é definida no conjunto dos naturais. Surge aí o conceito de número inteiro negativo. A união dos naturais com os inteiros negativos constitui o conjunto Z dos números inteiros. Portanto,

Z = { ..., –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, ... }

Temos, novamente, um conjunto infinito e ilimitado. Todo inteiro tem um sucessor e um antecessor, conceitos definidos de forma análoga ao caso dos naturais.

3. Números racionais

Todo quociente (razão) entre dois números inteiros é chamado número racional.Exemplos de racionais

(inteiro)

(fracionário de termos inteiros)

(decimal exato)

(dízima periódica)

23

6

8

3

6,05

3

9

2...222,0

DefiniçãoO conjunto Q dos números

racionais pode ser definido assim:

0,, qZqepcomq

pQ

4. NÚMEROS REAIS

Existem determinados números decimais que não são exatos nem dízimas periódicas. Eles são chamados números irracionais. Como exemplos, podemos citar

= 1,7320508... 0,131131113... = 3,14159... e = 2,71828... Os irracionais mais importantes são as raízes “não

exatas” e algumas constantes especiais, como e e, de grande importância nos estudos matemáticos. A reunião dos racionais com os irracionais constitui o conjunto dos números reais. Portanto, R = Q Ir

3

Diagrama

NR

Ir

Q Z

ObservaçãoPara os conjuntos numéricos, valem as

convenções:o sinal asterisco (*) retira o zero do

conjunto; o sinal mais (+) retira os negativos do

conjunto;o sinal menos (–) retira os positivos do

conjunto.

OPERAÇÕES COM CONJUNTOS

INTERSEÇÃO DE CONJUNTOSA interseção de A e B (em símbolos:

A∩B ou B∩A) é o conjunto dos elementos do universo que pertencem ao mesmo tempo (elementos comuns) a A e a B.

INTERSEÇÃO DE CONJUNTOSNo diagrama abaixo, a região

sombreada representa o conjunto A ∩ B ou B ∩ A.

ExemplosSendo A = {2, 3, 5, 6, 8} e B = {3, 6, 7,

9}, seus únicos elementos comuns (em negrito) são 3 e 6. Portanto, A ∩ B = B ∩ A = {3, 6}.

Se P = {x / n é par} e I = {x / n é ímpar}, é claro que P e I não tem elementos comuns. Logo, P ∩ I = I ∩ P = .

Se dois conjuntos não têm nenhum elemento comum, dizemos que eles são disjuntos. Assim, os conjuntos P e I do último exemplo anterior são disjuntos.

UNIÃO OU REUNIÃO DE CONJUNTOS

A união ou reunião de A e B (em símbolos: A B ou B A) é o conjunto dos elementos do universo que pertencem a A ou a B. Incluem-se os elementos comuns a A e B.

No diagrama a seguir, a região sombreada representa o conjunto A B ou B A.

ExemplosA união dos conjuntos A={2, 3, 5, 8} e

B={3, 6, 9} é obtida reunindo-se os elementos de A e B num único conjunto. Portanto, A B=B A={2, 3, 5, 6, 8, 9}.

Sendo P={xN/n é par} e I={xN/n é ímpar},

P I = I P = N.Se A B, temos que A B = B.

DIFERENÇA DE CONJUNTOS

A diferença de dois conjuntos A e B, nesta ordem, (em símbolos: A – B) é o conjunto dos elementos do universo que pertencem a A e não pertencem a B.

Veja, no diagrama, a região sombreada, que representa o conjunto A – B.

A diferença B – A é o conjunto dos elementos do universo que pertencem a B e não pertencem a A.

ExemplosSuponhamos A={2, 3, 5, 8} e B={3, 6, 9}.

Os elementos 2, 5 e 8 são os únicos que pertencem apenas a A, logo A – B = {2, 5, 8}. Os elementos 6 e 9 são os únicos que só pertencem a B, logo B – A = {6, 9}.

 Sendo P={xN/n é par} e I={xN/n é ímpar}, P – I = P e I – P = I.

Note que, em geral, A – B ≠ B – A. No caso em que A B, A – B = .

CONJUNTO COMPLEMENTAR

Quando A B, a diferença B – A é também chamada complementar de A em relação a B (em símbolos: ). Portanto,

CA

B

ExemploSendo X = {a, b, c} e Y = {a, b, c, d,

e}, existe o complementar de X em relação a Y, porque X Y. Portanto,

= Y – X = {d, e}.O complementar de um conjunto A em

relação ao universo U pode ser representado simplesmente por

ou . Logo,

CY

X

CA

A

CONTANDO OS ELEMENTOS DE UM CONJUNTO

Convencionaremos representar por n(A) o número de elementos de um conjunto finito A. Assim, dado o conjunto A = {a, b, c}, n(A) = 3.

Dados dois conjuntos A e B, o número de elementos de A, B, A B e A ∩ B obedecem à seguinte relação:

É fácil perceber a lógica dessa relação. Observe que, no cálculo da soma n(A) + n(B), estamos considerando n(A ∩ B) duas vezes. Por isso, esse último valor deve ser subtraído daquela soma.

Note que n(X) = 6; n(Y) = 4; n(X ∩ Y) = 2. Logo,n(X Y) = n(X) + n(Y) – n(X ∩ Y) = 6 + 4 – 2 = 8

ExemploDos 80 alunos de uma sala, 36

praticam natação, 45 não fazem caminhadas e 28 fazem natação e caminhadas. Quantos apenas fazem caminhadas?

Vamos considerar, como universo, o conjunto A de todos os alunos. Contidos em A, estão os conjuntos:

N dos alunos que praticam natação;C dos que fazem caminhadas.

A partir do diagrama abaixo, podemos inserir o número de alunos em cada região. É interessante iniciarmos por (N ∩ C), onde estão os alunos que praticam os dois esportes. Pelo enunciado, n(N ∩ C) = 28.

Diagrama:

Dos 36 alunos que nadam, 28 já estão computados. Portanto, os restantes 36 – 28 = 8 praticam apenas natação. Logo, n(N – C) = 8.

Diagrama:

Dos 36 alunos que nadam, 28 já estão computados. Portanto, os restantes 36 – 28 = 8 praticam apenas natação. Logo, n(N – C) = 8.

Os 45 alunos que não fazem caminhadas estão fora do conjunto C. Desse total, 8 já estão computados. Faltam, portanto, 45 – 8 = 37, que só podem estar no conjunto .

C C)(N

Temos, até agora, 8 + 28 + 37 = 73 alunos. Se o total de alunos é 80, a diferença 80 – 73 = 7 é o número de alunos que só fazem caminhadas. Portanto, podemos concluir finalmente que n(C – N) = 7.

Assim sendo, o número de alunos que apenas fazem caminhadas é 7.

Exemplos:Numa empresa de 90 funcionários, 40 são os

que falam inglês, 49 os que falam espanhol e 32 os que falam espanhol e não falam inglês. O número de funcionários dessa empresa que não falam inglês nem espanhol é

a) 9 b) 17c) 18 d) 27

Solução

EI

90

Y

W

X Z

40 são os que falam inglês X+Y

49 os que falam espanhol Y+Z32 os que falam espanhol e não falam inglês Z = 32

I E

90

23 + 17 + 32 = 72 W = 90 – 72 = 18

321723

18

Exemplo:

Com o objetivo de analisar o consumo de três marcas A, B e C de um mesmo produto, fez-se uma pesquisa em que foram consultadas 1000 pessoas. O resultado da pesquisa encontra-se na tabela abaixo.

Analisando esses resultados, pode-se concluir que o número de pessoas que NÃO consomem nenhuma marca é

 a) 210 b) 170

c) 200 d) 370

Solução

C

A B

60300-60=240200-60=140

40

520-140-240-60=80

450-40-60-240=110400-40-60-140=160

n(AUBUC) = 160+40+110+60+140+240+80 =830Logo temos: 1000 – 830 = 170

170

Exemplos

Observe as operações a seguir, envolvendo números reais.

Das situações abaixo enumeradas, assinale a ÚNICA que NÃO ocorre em nenhum dos exemplos acima.a) Dois irracionais cuja soma é irracional.b) Dois irracionais cuja soma é racional.c) Dois racionais cuja soma é não-racional.d) Dois irracionais cujo produto é racional.

Exemplo:A seguir, são feitas várias afirmativas a respeito dos conjuntos numéricos. Assinale a única CORRETA.a) Todo real é irracional.b) Nem todo racional é real.c) Existem racionais que são inteiros.d) Não existe inteiro que seja natural.e) Toda dízima periódica é irracional.

Exemplo

Complete o quadro abaixo com os sinais ou .

ExemploDepois de n dias de férias, um estudante observa

que:

I) choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde;II) quando chove de manhã não chove à tarde;III) houve 5 tardes sem chuva;IV) houve 6 manhãs sem chuva.

Podemos afirmar então que n é igual a:

a)7b)8c)9d)10e)11

Solução:

houve 5 tardes sem chuva n – 5 manhãs com chuva

houve 6 manhãs sem chuva n – 6 tardes com chuva

quando chove de manhã não chove à tarde, então não ocorreu dias com chuvas de manhã e a tarde, logo:(n – 5) + (n – 6) = 72n – 11 = 72n = 18 conclui-se que: n = 9