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biofisica
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MECÀNICA
VECTORES Y ESCALARES
Las magnitudes que quedan bien definidas con solo un
número se llaman escalares. Algunos ejemplos de magnitudes
escalares son: el tiempo, la temperatura, la masa, la energía, el
volumen, la superficie, la longitud, etc. El número con que se
caracteriza a un escalar puede ser positivo, negativo o cero y se
indica con la unidad de medida correspondiente; por ejemplo:
Tiempo 3 hs.
temperatura 10 ºC
masa 10 kg.
energía 25 Joules
volumen 15 m3
superficie 2 m2
longitud 5 milímetros
Para poder indicar a una persona,
donde queda un determinado lugar, no basta
con decirle a que distancia esta este lugar,
además, hay que indicarle hacia dónde debe
ir.
Por ejemplo, si nos preguntan por la ubicación
de una farmacia, no alcanza que informemos que queda a tres
cuadras. Debemos indicar también para donde queda.
1
Así, podemos ver que, para dar la posición de algo, la
información no es solo la distancia sino también la dirección y el
sentido.
La dirección es la recta de acción y el sentido es hacia un extremo u
otro de la recta (señalado por la flecha en uno de los dos extremos de
la recta con la cual se representa un vector)
Ejemplo: dos autos que circulan por la misma calle van en la
misma dirección, si están en distinta mano tienen distinto sentido. En
cambio si avanzan por la misma mano tienen igual sentido.
Si nos limitamos a informar la distancia, obviamente no
alcanza; si damos la distancia y agregamos que es en esta calle en la
que estamos: “en esta calle a tres cuadras de aquí”, damos la
distancia y la dirección, tampoco alcanza, falta decir si es la izquierda
o a la derecha de donde estamos, este último dato es el sentido.
Como vimos, la posición, es una magnitud que tiene
intensidad (módulo), dirección (recta de acción) y sentido (hacia un
extremo u otro de la recta), y que puede ser representada
simbólicamente por una flecha. En los ejemplos anteriores, la
intensidad es igual a la distancia.
A este tipo de magnitudes se las conoce como vectores.
Son magnitudes vectoriales: posición, desplazamiento,
velocidad, aceleración, fuerza, campo eléctrico, etc.
2
Todas estas magnitudes, tal como vimos con la posición, se
representan con una flecha y tienen: módulo, dirección y sentido.
SUMA Y RESTA DE VECTORES
Para sumar dos vectores gráficamente, vector a más
vector b, desde el extremo de cada vector se traza una paralela al
otro, estas líneas y los vectores forman un paralelogramo, una de
cuyas diagonales (aquella que pasa por ese origen común a ambos
vectores que se suman) será el vector suma: a + b (fig.1).
Si no coinciden sus puntos de aplicación, se colocan los
vectores de modo que coincidan sus puntos de aplicación u origen
(pero que conserven sus direcciones y sentidos originales).
El punto de aplicación del vector suma coincide con el de los
vectores que sumamos (figura 1).
La otra diagonal será el vector resta. El punto de aplicación
del vector resta coincide con la punta del vector minuendo y
la punta coincide con el vector sustraendo.(figura 2)
Figura 1
a a + b
b
3
Figura 2
a a - b
b
Si se suman dos vectores que forman un ángulo muy abierto,
la suma puede ser menor que uno (o de todos) de los vectores que
sumamos. (figura 3)
Figura 3
Y puede ser cero, si los vectores que se suman son del
mismo módulo y dirección pero de sentidos opuestos.(figura 4)
Sí, tenemos a los vectores a y b, con módulos iguales IaI =
IbI , con igual dirección (recta de acción) y distinto sentido, la suma de
ambos da cero (figura 4).
Figura 4
4
a b
a + b = 0
a b
a + b = 0
a + b
a b
COMPONENTES DE UN VECTOR
La suma y la diferencia de vectores se facilitan en gran
medida cuando se utilizan las componentes del vector. Las
componentes son vectores que sumados entre si son iguales al vector
original. Descomponer un vector es calcular un par de vectores
componentes.
Para definirlas usaremos un sistema de ejes coordenados
rectangulares (cartesiano), como el representado en la figura a.
Cualquier vector que se encuentre en el plano ( x ; y ) puede
representarse como la suma de un vector paralelo al eje x y otro
paralelo al eje y.
Estos dos vectores, que designaremos en la figura 5 como Fx
y Fy, se llaman componentes vectoriales rectangulares del vector F.
Esto se expresa formalmente como:
F = Fx + Fy.
Ya que tomamos cada componente del vector con la dirección
de uno de los ejes de coordenadas, es suficiente un solo número para
describir cada una de ellas, porque conocemos la dirección (la del eje)
y el sentido por el signo*.
Así, el número Fx, aparte de un posible signo negativo, es la
magnitud de la componente vectorial Fx.
*Además, se debe señalar que Fx es positivo cuando Fx se
dirige hada el sentido positivo del eje, y es negativo cuando lo hace
en sentido opuesto.
5
Los vectores Fx y Fy se denominan componentes de F.
Si se conoce la magnitud del vector F y su dirección, dada
por el ángulo de la figura, pueden calcularse las componentes. En
virtud de las definiciones de las funciones trigonométricas tendremos:
y (1)
Fx = F. Cos. y Fy = F. Sen (2)
Como dijimos más arriba, las componentes de un vector pueden ser
positivos o negativos:
En la figura 6, la componente Nx es negativa, ya que su
sentido es opuesto al sentido positivo del eje x, y también porque el
coseno de un ángulo en el segundo cuadrante es negativo; Ny es
positiva, en la figura 6. Y en la figura 7, Lx y Ly son negativas.
6
+y
Fy F
Fig. 5
Fx +x
Tanto el módulo y la dirección como las componentes de una
cantidad vectorial pueden utilizarse para describirla, y tanto una como
otra proporcionan una descripción completa de la misma.
Las ecuaciones (1) y (2) muestran cómo se obtienen las
componentes a partir de la magnitud y la dirección (recordemos que la
dirección esta dada por el ángulo) de un vector; en la figura 5, a partir
del vector F y el ángulo , obtenemos Fx y Fy.
Por el contrario, podemos obtener el vector suma a partir de
las componentes, es decir podemos obtener F sumando Fx y Fy. La
suma se obtiene, aplicando el teorema de Pitágoras: “la hipotenusa al
7
+y
Lx fig.7
+x
L Ly
+y
N Ny
fig.6
Nx +x
cuadrado es igual a la suma del cuadrado de los catetos”, en la figura
5, obtenemos:
Además, por la definición de la tangente de un ángulo:
*
*Si observamos en el gráfico 5: F, Fx y la línea de puntos
paralela a Fy forman un triángulo rectángulo.
Donde F es la hipotenusa, dado que hacemos referencia al
ángulo , Fx es el cateto adyacente y la líneas de puntos es el
opuesto. Y esta última, es igual a Fy.
Aplicación en un ejemplo: Un chico arrastra por el piso una caja,
tirando de ella con un hilo que forma un ángulo de 37º con la
horizontal, haciendo una fuerza de 100N. ¿Cuánto valen las
componentes horizontal y vertical de la fuerza que hace el chico?
8
F=100N Fy
37º Fx
La fuerza que hace el chico sobre la caja, por medio del hilo,
es hacia arriba y hacia la derecha. Es F = 100N
Parte de la fuerza que hace es hacia la derecha, esta sería la
componente horizontal de la fuerza total Fx
Parte de la fuerza es hacia arriba, esta sería la componente
vertical de la fuerza Fy.
Si sumamos las dos componentes obtendríamos la fuerza
total que hace el chico.
Nótese que si aplicamos dos fuerzas, una horizontal y una
vertical, iguales a estas componentes, el efecto sobre la caja es
idéntico al que se produce cuando aplicamos solo la fuerza total (la
que hace el chico).
Fx = F. Cos.37º = 100N. 0,8 = 80N
y
Fy = F. Sen 37º = 100N. 0,6 = 60N
Si el enunciado nos diera como dato los valores de estas
componentes y nos pidieran cuanto vale F, aplicamos
Pitágoras:
Como F es un vector, también hay que dar su dirección, esta
se esta dada con el ángulo que forma con uno de los ejes,
en este caso consideramos el ángulo con el eje horizontal. Y
lo obtenemos aplicando:
y para obtener el ángulo: = inversa tangente de 0,75 = 37º
9
MOVIMIENTO
La mecánica trata las relaciones entre fuerza, masa y
movimiento. Vamos a analizar los métodos matemáticos que
describen el movimiento.
CINEMÁTICA.
El movimiento puede definirse como un cambio continuo
de posición respecto de un sistema de referencia.
Para poder evaluar si un cuerpo esta cambiando de posición,
lo hacemos observando si varía su “distancia” respecto de alguna
cosa.
Si en el universo solo existiera un cuerpo sería imposible
definir su movimiento porque no variaría su “distancia” respecto de
nada, en otras palabras no se podría evaluar si se mueve o no por
carecer de un punto o sistema de referencia.
Además este cambio será distinto si evaluamos el cambio
de posición desde distintos puntos o sistemas de referencia.
Siendo así:
MOVIMIENTO: ES EL CAMBIO DE POSICIÓN RESPECTO DE UN
SISTEMA DE REFERENCIA.
10
Si usamos un tren en movimiento como sistema de referencia,
un pasajero que viaja sentado no cambia su posición respecto del
tren, desde este punto de vista el pasajero no se mueve (porque no
cambia de lugar dentro del tren).
Pero si para el mismo pasajero usamos como referencia un
punto fijo a tierra, el pasajero si se mueve respecto de la tierra,
porque avanza junto con el tren.
Como podemos ver en este ejemplo:
El movimiento es relativo al sistema de referencia.
SISTEMA DE REFERENCIA
Formalmente, se usa un sistema de coordenadas cartesianas
como sistema de referencia.
Si el
movimiento es en
el espacio
(tridimensional)
necesitamos tres
ejes de coordenadas, si es un movimiento en
el plano (bidimensional) son necesarios dos
ejes de coordenadas.
Figura 8
Ejemplo: Si queremos buscar una calle que no conocemos,
en la guía, los datos que nos dan (las coordenadas) están uno en el
eje vertical y el otro en el eje horizontal, por ejemplo buscamos la
calle Siemprevivas al 500 y la información es pagina 34 ; C – 3.
11
1 2
3
4
A B C D
Con estas indicaciones encontramos una pequeña zona
(cuadrado sombreado, figura 8) donde esta lo que buscamos. Las
páginas de la guía son sistemas de referencia con dos coordenadas.
Para ubicar un punto en particular, necesitamos que las
coordenadas sean más precisas; por ejemplo, para indicar
exactamente donde queremos que pongan un clavo en la pared
(supongamos que la posición del clavo es puntual, es decir ocupa
solo un punto). Fig.9
Indicamos a cuantos metros del piso (4m) y a cuantos metros
de una pared (3m)de la habitación lo queremos.
En este caso podemos pensar que el eje horizontal coincide
con el zócalo y el vertical donde se juntan dos paredes. Al proceder
de esta forma, dimos las coordenadas en el eje x y en el eje y.
Otra forma
equivalente de indicar la
posición es con el vector
posición (dibujado en los
gráficos 9 y 10), su
módulo es igual a la
distancia entre el cero
(donde se cortan los ejes)
12
+y(m)
4
figura 9
3 +x(m)
3 metros
5 metros
3 metrosfigura 10
4 me
tros
4 m
etr
os
y el punto que queremos indicar y su dirección es el ángulo que forma
con uno de los ejes, en el ejemplo con el horizontal. Este vector es la
hipotenusa de un triángulo rectángulo (ver figura 10), cuyos catetos
son iguales a las componentes del vector posición, en este ejemplo
las distancias al piso y la pared son los módulos de las componentes:
Fx (3m) y Fy (4m).
El módulo de Fx es igual a la distancia a la pared: 3 metros y
el de Fy es igual a la distancia al piso. Como Fx y Fy forman entre sí
un ángulo de 90° (Fx tiene la dirección del eje x y Fy la del eje y)
cuando las sumamos, con la regla del paralelogramo se forma un
rectángulo, del cual la resultante (que es la suma: Fx + Fy) es una de
las diagonales la cual divide al rectángulo en dos triángulos
rectángulos. En un rectángulo los lados paralelos son iguales. En el
triángulo rayado de la figura 10, uno de los catetos es el vector Fx y el
otro cateto es igual al vector Fy, y la hipotenusa es el vector suma de
ambos, en este caso en particular el vector posición. Como estos tres
vectores forman un triángulo rectángulo, podemos calcular el módulo
del vector resultante aplicando el teorema de Pitágoras:
TRAYECTORIA Y DESPLAZAMIENTO
Si en un instante, vemos en la pared una hormiga en la
posición del clavo del ejemplo anterior ( 3m y 4m) y posteriormente la
volvemos a ver a 4m de la pared y a un metro del piso,
13
+y(m)
4 r r0
1 r
3 4figura 11
indudablemente sabemos que se movió, aunque desconocemos cual
fue el camino preciso que siguió entre estas dos posiciones.
El camino preciso que siguió, es la trayectoria que tuvo la
hormiga entre estos dos puntos.
En líneas de puntos dibujamos una de las posibles trayectorias de la
hormiga entre las dos posiciones.
Si dibujamos el vector posición para las dos posiciones, r0 y r
(figura 11) , que observamos de la hormiga y hacemos la diferencia
vectorial entre estos dos vectores definimos de esta forma un nuevo
vector:
el desplazamiento r, cuyo módulo es igual a la distancia
neta (en línea recta entre las dos posiciones) que se movió la
hormiga en la pared y su dirección y sentido es desde la
posición inicial (más temprano) hacia la final (más tarde) para
el intervalo en la que la observamos.
Siendo: r = x + y. El desplazamiento r es lo que se
mueve (cambio de lugar) en el plano, se movió hacia abajo y hacia la
derecha. Lo que se movió a la derecha ( en la dirección horizontal) es
x y lo que se movió hacia abajo (en la dirección vertical ) es y.
14
Si el movimiento solo fuera en la dirección del eje x, se
simplifica la notación y r sería igual a x, porque y valdría
cero.
Hay que tener en cuenta que el desplazamiento puede ser
igual o no a la trayectoria, pero aunque lo sea, desplazamiento y
trayectoria son conceptos diferentes.
En cuanto a la notación, si llamamos r0 al vector posición
inicial y r al posición final, la diferencia entre ambos es un cambio de
posición, siempre que queremos indicar una variación utilizaremos la
letra griega delta: .
Así el desplazamiento o cambio de posición lo escribiremos:
r. Siendo:
r = r – r0 (diferencia vectorial)
Al instante en el cual estuvo en la posición inicial lo llamamos
t subcero: t0, y al instante en cual está en la posición final: t. El tiempo
que tardo entre las dos posiciones, el intervalo, lo calculamos como la
diferencia entre t y t0 y nos queda:
t = t - t0
(el tiempo es una magnitud escalar)
Por ejemplo si salgo a las 15hs de mi casa y llego a las 16 hs. a la
facultad entonces tarde 1 hs. :
t = 16hs – 15hs = 1hs
15
En este curso se ven movimientos en una sola dimensión, es
decir movimientos rectilíneos.
Como el sistema de referencia se puede elegir arbitrariamente
(significa que no hay reglas, salvo que los ejes formen ángulos de 90º
entre sí), usaremos un solo eje superpuesto con las trayectorias
rectas, trabajaremos así con una sola coordenada.
Si tenemos una trayectoria recta de 5 metros entre dos
posiciones A y B, podemos elegir el sistema de referencia
haciendo coincidir una de las posiciones con el cero o no, es
indistinto (figura 12):
Como usamos un eje superpuesto con el movimiento, este
ocurre solo en la dirección del eje x, se simplifica la notación dado que
al no existir cambios en la dirección vertical, r es igual a x, porque
y = 0. Ejemplo: Un móvil que avanza por un camino horizontal.
Entonces, si el eje x coincide con el camino: r = x
VELOCIDAD MEDIA:
16
A B
0 5 +x(m)
x = x – x0 = 5m – 0 = 5m
figura 12
A B
0 1 6 +x(m)
x = x – x0 = 6m – 1m = 5m
A partir del vector desplazamiento x y del intervalo t,
definimos el vector velocidad media como:
Como el vector velocidad media esta definido a partir del
vector desplazamiento, tiene la misma dirección y sentido que este.
Si dibujamos una trayectoria cualquiera (figura 13), y
calculamos la velocidad media entre dos puntos de esa trayectoria,
según la definición debemos conocer el desplazamiento y el intervalo
entre esas dos posiciones.
VELOCIDAD INSTANTÁNEA.
La velocidad de una partícula en cierto instante, o en
determinado punto de su trayectoria, se denomina velocidad
instantánea.
17
B
xA B
A VM AB
Figura 13
a b
a + b = 0
Supongamos que se desea encontrar la velocidad instantánea
de la partícula en el punto A de la figura 13. La velocidad media entre
los puntos A y B está asociada al desplazamiento completo x y a
todo el intervalo t. Imaginemos que el segundo punto B se toma
cada vez más próximo al primero A, y supongamos que se calcula la
velocidad media sobre estos desplazamientos e intervalos de cada
vez más pequeños.
La velocidad instantánea en el primer punto puede definirse
en tal caso como el valor límite ( t 0) de la velocidad media cuando
el segundo punto se aproxima cada vez más al primero.
Aunque el desplazamiento se hace entonces extremadamente
pequeño (r 0), el tiempo t por el cual se divide también lo es y,
por tanto, el cociente de ambos no es necesariamente una cantidad
pequeña.
En la notación del cálculo diferencial, el valor límite de x/t,
cuando t tiende a cero, se describe de la forma dx/dt y se denomina
derivada de x respecto a t. Así, la velocidad instantánea se define de
la forma
La velocidad instantánea es por tanto, tangente a un punto de
la trayectoria. En el mismo dibujo de una trayectoria, que vimos en la
figura 13, representamos las velocidades instantáneas en las
posiciones A, B, C y D.
C
B D
18
A
Puesto que t = tf – t0 es necesariamente positivo (porque tf es
mayor que t0), v tiene el mismo signo algebraico que x. Por tanto,
una velocidad positiva indica el movimiento hacia la derecha del eje x,
si utilizamos el sistema de referencia positivo a la derecha.
Cuando el término velocidad se usa sin adjetivo (cuando no
decimos media), significa velocidad instantánea.
Unidades: En el sistema MKS, M es metros, K es kilo y S segundos.
Si medimos la distancia en metros y el tiempo en segundos, la
velocidad vendrá expresada en metros por segundo (m/s). Otras
unidades comunes de velocidad son el pie por segundo (pie . s-1), el
centímetro por segundo (cm . s-1), el kilómetro por hora (km/h).
ACELERACIÓN MEDIA E INSTANTÁNEA
Cuando la velocidad de un cuerpo varía con el tiempo, se dice
que el cuerpo tiene aceleración.
Al igual que la velocidad describe cuantitativamente la
variación del cambio de posición con el tiempo, la aceleración
describe cuantitativamente la variación de la velocidad con el tiempo.
Consideremos de nuevo el movimiento de una partícula;
supongamos que en el instante, que tomamos como inicial, ti la
19
partícula está en el punto A y tiene una velocidad (instantánea) vA, y
que en el instante tf se encuentra en el punto B con velocidad vB.
La aceleración media de la partícula al moverse de A a B se
define como la razón entre el cambio en la velocidad y el tiempo
transcurrido
La aceleración instantánea de un cuerpo, esto es, su
aceleración en cierto instante o en determinado punto de su
trayectoria, se define de manera análoga a la velocidad instantánea.
Para calcularla, usamos las velocidades instantáneas en dos puntos
tomándolos muy próximo, con un ∆x que tiende a cero y calculemos la
aceleración media , haciendo la diferencia vectorial entre las
velocidades instantáneas en dichos puntos dividido el intervalo
correspondiente, que también tiende a cero.
La aceleración instantánea se define como el valor límite de la
aceleración media cuando se toma el segundo punto considerando un
intervalo t 0:
A partir de ahora, cuando se utilice el término «aceleración»
se entenderá referido a la aceleración instantánea.
20
Cuando una partícula se mueve sobre una trayectoria curva,
la dirección de su velocidad cambia, y este cambio también es un
cambio de velocidad es decir una aceleración (que en este caso es
perpendicular al vector velocidad), porque la aceleración es el cambio
de velocidad en el tiempo y como la velocidad es un vector si cambia
su dirección (o su sentido) esto también es un cambio de velocidad o
aceleración.
Entonces: cualquier movimiento que no sea recto es
acelerado. En tanto, un movimiento recto puede ser acelerado o no.
El caso más sencillo de movimiento no recto es el movimiento
circular uniforme, en este, el módulo de la velocidad instantánea es
constante, pero como cambia de dirección punto a punto en la
trayectoria es una velocidad variada, es un movimiento acelerado. La
aceleración, también tiene un valor constante, pero es variada, porque
es un vector y cambia de dirección, siendo en toda posición
perpendicular al vector velocidad.
Unidades: Si expresamos la velocidad en metros por segundo y el
tiempo en segundos, la aceleración viene dada en metros por
segundo por segundo, es decir en metros segundo cuadrado.
= Se lee «metros por segundo cuadrado».
Si nos dicen que una aceleración es de 2 m/s2, significa que el
móvil cambia su velocidad en 2 m/s por cada segundo que pasa.
21
Por ejemplo: en t = 0 tiene una v = 2 m/s, en t = 1s su v es
igual a 4 m/s, en t = 2s su v es de 6 m/s, etc.
MOVIMIENTO RECTILÌNEO Y UNIFORME
M.R.U
En el caso particular del movimiento rectilíneo uniforme, la
velocidad es constante.
Dado que la velocidad es un vector, que sea constante
significa que siempre tiene el mismo modulo (intensidad o rapidez) el
mismo sentido y la misma dirección.
Si no es así, la velocidad cambia y sería un movimiento no
uniforme, es decir acelerado.
Como la velocidad es constante la trayectoria es recta
(siempre en la misma dirección y sentido) y coincide, en este caso,
con el desplazamiento.
En este movimiento, debido a que la velocidad es constante,
la velocidad media y la velocidad instantánea son iguales, SOLO EN
ESTE MOVIMIENTO.
VM = Vi
Entonces, por eso, podemos calcular la velocidad instantánea con la
ecuación de velocidad media:
22
De esta ecuación despejamos el desplazamiento x:
x = v. t
y como x es la diferencia vectorial entre el vector posición final y el
vector posición inicial nos queda:
x – x0 = v. t
pasamos x0 para el otro lado del igual y tenemos:
x = x0 + V. t
Esta es la ecuación horaria del MRU.
Se llama horaria porque la posición x esta en función del
tiempo t.
Tomemos una trayectoria recta (figura 14) y consideremos
que la posición inicial x0 es igual a 1 metro en t = 0 y la posición final
x es igual a 6 metros en t = 5s, el sistema de referencia queda:
Figura 14
La ecuación horaria del
MRU, matemáticamente es
la ecuación de la recta, por
tanto la representación de
posición en función del
tiempo es una recta (figura
15):
23
0 1 6 +x(m) x = x – x0 = 6m – 1m = 5m
X(m)
6
figura 15
1
5 +t(s)
x = x0 + v. t
y = c + b. x
donde x y t son las variables, x0 la ordenada al origen y v la
pendiente de la recta.
Cuando hacemos el gráfico x(t) posición en función del tiempo
para el MRU, es una recta.
Una recta tiene una sola pendiente, la pendiente representa la
única velocidad del MRU.
Si el gráfico fuera una horizontal, la pendiente es cero,
significa que el móvil representado tiene velocidad cero, al menos
para el sistema de referencia elegido. Y si no es una recta, significa
que tiene distintas velocidades (estaría acelerado).
Calculamos la velocidad, para el caso representado en la figura 15:
Como la velocidad es constante, el gráfico de velocidad en
función del tiempo no tiene pendiente es horizontal. (figura 16)
Si tiene pendiente distinta de cero (esta inclinado, por
ejemplo) la velocidad varía en función del tiempo, porque la pendiente
24
en este gráfico representa el cambio de velocidad es decir representa
a la aceleración.
Como podemos ver en la figura 16 el área debajo del gráfico de
velocidad en función del tiempo es un rectángulo. Podemos calcular el
área como base por altura:
Área = base x altura = v . t
Donde v.t no es otra cosa que el desplazamiento. Entonces,
el área debajo del gráfico de v(t) representa el desplazamiento, no las
posiciones, las cuales solo están en el gráfico x(t).
25
V(m/s)
Figura 16
1
v
+t(s) t
Problemas de ejemplo:
Problema A:
Los siguientes gráficos corresponden a distintos móviles que realizan
movimientos rectilíneos. Hallar las ecuaciones horarias y en que
instante pasaron o pasaran por la posición tomada como origen de
coordenadas.
Gráfico 1 Gráfico 2
gráfico 3 gráfico 4
Gráfico 3 Gráfico 4
x(t) x(t)
16 8
6 t(s) 4 10 t(s)
26
+x(m) +x(m)
24 20
12
6
6 t(s) 4 t(s)
- 8 - 4
Gráfico 1 :
Para calcular la velocidad debemos tener dos posiciones
cualquiera y los instantes correspondientes.
Esta velocidad es positiva porque el móvil avanza de la
posición 6 a la 24, es decir hacia el positivo.
Podemos elegir como x0 a cualquier posición de la trayectoria,
t0 es el instante en cual esta en esa posición. Ya que tenemos esta
libertad, elegimos de manera tal de hacer más sencillas las cuentas.
Como t = t – t0 es más simple elegir la posición en la cual t vale cero
como x0,
Así, t = t, porque t0 es cero, y de esta forma no trabajamos
con un binomio, en este movimiento no es tan importante pero en el
movimiento acelerado este binomio está al cuadrado con lo cual si t0
no es cero se complican los cálculos.
En este gráfico vemos que en t = 0 x = 6m, entonces
escribimos la ecuación:
x = xo + V.t
reemplazamos los datos:
x = 6m + 3m/s.t
esta es la ecuación horaria del movimiento representado en el
27
gráfico 1
La posición x = 0 es el origen de coordenadas, nos piden
calcular en que instante pasó por ella, reemplazamos en la ecuación
horaria y despejamos:
0 = 6m + 3m/s.t
Este resultado nos indica que pasó por cero dos segundos antes de
pasar por 6m. Elegimos que en la posición 6 metros t es igual a cero,
lo que ocurre antes de los 6 metros, para este sistema de referencia
temporal es tiempo negativo.
Esto es semejante a lo que ocurre dado que elegimos como
año cero la fecha del nacimiento de Cristo, todas las fechas anteriores
(antes de Cristo, AC) son negativas.
Gráfico 2
Calculamos la Velocidad:
es negativa porque se mueve del positivo al negativo del sistema de
referencia, primero está en 20 m y más tarde en 12 m
Elegimos la posición 20m como x0 con t = 0
X = 20m – 2 m/s. t
Calculamos t para x = 0:
Gráfico 3:
Calculamos la Velocidad:
28
es positiva porque se mueve del negativo al positivo del sistema de
referencia, primero está en -8 m y más tarde en 16 m
Elegimos -8m como x0 con t = 0 X = -8m + 4 m/s. t
Calculamos t para x = 0:
Gráfico 4
Calculamos la Velocidad:
es negativa porque se mueve del positivo al negativo del sistema de
referencia, primero está en 8 m y más tarde en -4 m
Elegimos 8m como x0 con t = 4s
X = 8m – 2 m/s. (t – 4s)
X = 8m – 2m/s.t + 8m
Despejamos y calculamos t para x = 0:
Si queremos tomar como x0, a la posición donde t vale cero,
tenemos que calcularla porque no está indicada en el gráfico:
X = 8m – 2 m/s. (0 – 4s) = 16 m
Escribimos la ecuación con este valor para x:
X = 16m – 2 m/s. t
29
Es la misma ecuación con otro x0. De hecho la elección de x0 es
arbitraria.
Problema B:
Un ciclista recorre una trayectoria rectilínea. La mitad la recorre con
una velocidad de 30 km/h y la otra mitad con una velocidad, también
constante de 20 km/h. Despreciar los tiempos de aceleración. a)
estimar entre que valores estará el de la velocidad media del viaje
total. b) trazar los gráficos cualitativos de posición y velocidad en
función del tiempo. c) calcular el valor de la velocidad media para todo
el camino ( ESTE VALOR NO ES LA VELOCIDAD PROMEDIO)
a. La mitad del camino lo hace con una velocidad constante de 30
km/h y la otra mitad con 20 km/h. Como las velocidades son
constantes también estos valores corresponden a las velocidades
medias de los dos tramos. La velocidad media total tendrá un
valor intermedio entre estos dos valores. Pero no es el
promedio.
b. La velocidad no cambia en un instante de un valor a otro, existe
un intervalo, un tiempo de aceleración (aceleración es el cambio
de velocidad en el tiempo). Vamos a considerar que ese tiempo
no existe como nos pide el problema.
30
+V
30
20
t1 t2
c. Tenemos que calcular la VmT (velocidad media total), conocemos
las Vm1 ( 30 km/h ) y Vm2 (20 km/h)
Planteamos:
31
a a = 5 b = 6
b
No tenemos ninguno de estos tres valores, pero podemos
reemplazarlos.
Donde tT = t1 + t2 estos tiempos, los podemos despejar de Vm1 y
Vm2.
Ahora reemplazamos:
nota: el promedio sería
ATENCIÓN: ANTES DE HACER LOS PROBLEMAS ES MUY
NECESARIO QUE SEPAS CONTESTAR EL CUESTIONARIO
SIGUIENTE.
¿Qué es una magnitud escalar? Dar ejemplos
32
¿Qué es una magnitud vectorial? Dar ejemplos
Definir: módulo, dirección y sentido.
¿Cómo se suman los vectores a = 5 y
b = 6 de la figura, gráfica y
analíticamente?
Si un vector, de módulo igual 8, forma un ángulo de 37° con la
dirección horizontal. Hallar sus componentes en las
direcciones vertical y horizontal, gráfica y analíticamente.
¿Cómo se define el movimiento?
¿Porqué es necesario el sistema de referencia?
¿Cómo se elige un sistema de referencia?
¿En que se diferencian la trayectoria y el desplazamiento?
¿Cuál es la diferencia entre velocidad media y velocidad
instantánea?
¿cuál es el ÚNICO caso en el cual son iguales?
¿Qué representa la pendiente del gráfico posición en función
del tiempo (x(t) )?
¿Qué significa que el gráfico x(t) del MRU tenga una sola
pendiente, dado que es una recta?
¿Qué representa la pendiente del gráfico velocidad en función
del tiempo (v(t) )?
¿Qué significa que el gráfico v(t) del MRU tenga una sola
pendiente, dado que es una recta?
33
¿Qué representa el área debajo del gráfico v(t)?
¿Se pueden ver representadas las posiciones del móvil en un
gráfico v(t)? ¿ y en el de posición x(t)?
Calcular, utilizando el gráfico, el desplazamiento representado
en los gráficos siguientes
Si no sabe contestar el cuestionario, o algunas de las preguntas,
es conveniente que vuelva sobre la teoría, caso contrario, no
sabrá resolver los problemas entendiendo lo que hace. Adivinar o
resolver los problemas mecánicamente es peligroso, de hecho es
su pase seguro a no aprobar. Insisto, es imprescindible saber y
entender la teoría. Si no lo logra PREGUNTEME EN CLASE
34
V(m/s)
2
t (s)
V(m/s) 3
2 4 t (s)
PROBLEMAS DE LA GUÍA MRU
1. Para comprender las nociones básicas le movimientos rectilíneos,
le proponemos que imagine la siguiente situación:
En la reparación de un camino recto está trabajando una aplanadora. En la
tabla adjunta, con el fin de describir su movimiento, se indican sus posiciones
en algunos instantes de tiempo.
T(seg) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
X(metros) 20 25 40 70 100 130 150 160 160 160 150 130
Le pedimos que:
a) represente en el sistema de ejes de la figura, los pares (tiempo; posición)
b) una los puntos con una curva suave, continua. Respecto a la descripción
del movimiento de la aplanadora, ¿qué significado físico tiene unir los puntos?
Explique.
c) Si la aplanadora se mueve sobre un camino recto, ¿cómo es posible que el
gráfico
x =x(t) sea una curva?
d) ¿Dónde estaba la aplanadora en t = 0?
e) ¿Entre 0 y 50 seg, avanzó o retrocedió?, ¿y entre 50 y 70 seg?
f) ¿ En algún instante, o en algún intervalo la aplanadora estuvo detenida?
g) ¿En qué instante comenzó a retroceder?
h) ¿Entre 0 y 70 seg se movió siempre del mismo modo, o a veces se
desplazó más rápido y a veces más lento? Justifique.
i) ¿Hubo alguna etapa en la que se desplazara distancias iguales en
intervalos iguales? Justifique.
35
j) Escriba la ecuación horaria de posición para el movimiento de la aplanadora
entre 20 y
50 seg.
k) Describa con palabras cómo varió la velocidad de la aplanadora desde t =
0 hasta t = 110seg.
l) ¿Durante qué intervalos la aplanadora aceleró (cambió su velocidad)?
m) ¿Durante cuál o cuáles de los intervalos anteriores aumentó el módulo de
su velocidad
(lo que en el lenguaje cotidiano llamamos "aceleró") y durante cuál o cuáles
frenó?
Justifique.
n) ¿Podría afirmar que en los intervalos mencionados en el ítem l el
movimiento de la aplanadora fue rectilíneo uniformemente variado? Explique.
a)
36
X (m)
160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 t(seg)
b) cuando unimos los puntos podemos ver el gráfico del movimiento
en función del tiempo.
Entre t = 0 y t = 70 segundos, encontramos dos parábolas, la
primera con la concavidad hacia arriba entre t = 0 y t = 50 segundos y
la segunda con la concavidad hacia abajo entre t = 50 segundos y t =
70 segundos.
En el tramo desde la posición 20 metros a la posición 130 metros,
la aplanadora aumenta su velocidad. (¿ya comente que hay que
saber la teoría?). Avanza hacia el positivo del eje x, por lo tanto su
velocidad es positiva, y como la concavidad es hacia arriba la
aceleración también es positiva ( ver más adelante en la explicación
de M.R.U.V). Si aceleración y velocidad tienen el mismo signo la
velocidad aumenta.
En el tramo de 130 metros a 160 metros, la velocidad sigue
siendo positiva porque avanza hacia el positivo del eje x, pero la
concavidad de la parábola es hacia abajo entonces la aceler5ación es
negativa, cuando aceleración y velocidad tienen distinto signo la
velocidad disminuye.
En un gráfico x(t), la pendiente representa la velocidad. En el
MRU, es una única pendiente porque tenemos solo una velocidad. En
el M.R.U.V, tenemos velocidades distintas en cada instante, la
velocidad esta representada por la pendiente de la recta tangente en
cada punto del gráfico (ver explicación más delante de M.R.U.V).
En los instantes t = 20, 50 y 100 segundos, representamos las
rectas tangentes al gráfico, estas representan la velocidad en estos
instantes, En t = 20 y t = 50, tienen pendiente positiva y en el instante
t = 100 pendiente negativa.
37
c) El gráfico, NO ES LA TRAYECTORIA DEL MÓVIL, es una
representación del movimiento y sus variaciones en UNA sola
dirección, la dirección del eje x, la cual, es el mencionado camino
recto.
d) En t = 0 la aplanadora estaba en x = 20 metros.
e) Entre t = 0 y t = 70 segundos, tiene velocidad positiva, ya
analizamos que avanza en el sentido positivo del eje x. Observar en el
gráfico donde está en 10,20,30,etc.
f) Entre t = 70 y t = 90 segundos, el gráfico es una recta
horizontal, por lo tanto con pendiente igual a cero. Como ya vimos la
pendiente representa la velocidad, entonces si la pendiente del gráfico
x(t) es cero la velocidad es cero. En este intervalo, estuvo detenida.
g) En t = 90 segundos, a partir de este instante la pendiente del
gráfico es negativa, por lo tanto la velocidad es negativa, avanza en el
sentido negativo de x. En t = 90 su posición es 160 metros del cero
de x, en t = 100 segundos su posición es 150 metros significa que se
acerco 10 metros al cero ( dicho de otra manera, retrocedió)
h) Moverse del mismo modo, significa con velocidad constante.
Como el gráfico en este intervalo no es una recta tenemos una
pendiente distinta para cada instante, esto significa que la velocidad
varía.
i) Entre 0 y 10 segundos, se desplaza 5 metros:
x = 25 m – 20 m = 5 m
38
Entre 10 y 20 segundos, se desplaza 15 metros:
x = 40 m – 25 m = 15 m
Entre 20 y 30 segundos, se desplaza 30 metros:
x = 70 m – 40 m = 30m
Entre 30 y 40 segundos, se desplaza 30 metros:
x = 100 m – 70 m = 30 m
Entre 40 y 50 segundos, se desplaza 30 metros:
x = 130 m – 100 m = 30m
Entre 50 y 60 segundos, se desplaza 20 metros:
x = 150 m – 130 m = 20 m
Entre 60 y 70 segundos, se desplaza 10 metros:
x = 160 m – 150 m = 10 m
Entre 90 y 70 segundos, no se desplaza: x = 160 m – 160 m = 0
Entre 100 y 90 segundos, se desplaza – 10 metros:
x = 150 m – 160 m = -10 m
Entre 100 y 110 segundos, se desplaza – 20 metros:
x = 130 m – 150 m = - 20 m
El signo negativo de los dos últimos intervalos de 10 segundos
significa que se desplazó hacia el otro lado.
j) Entre 20 y 50 segundos el movimiento es un M.R.U.V, con
aceleración positiva, su ecuación es:
x = x0 + v0.t + ½ a.t2
k) Aumentó entre t = 0 hasta t = 50 segundos. Disminuyó entre t =
50 y t = 70 segundos. Entre t = 70 y t = 90 segundos fue cero. Y entre
t = 90 y t = 110 segundos aumentó, pero avanzando hacia el lado
negativo del eje x, por eso es negativa.
l) Entre 0 y 70 segundos y entre 90 y 110 segundos.
39
m) Aumentó el módulo de su velocidad entre 0 y 50 segundos y
entre 90 y 110 segundos. Disminuyó entre 50 y 70 segundos.
n) El gráfico x(t) del M.R.U.V, es una parábola. Dado que en los
intervalos mencionados el gráfico es una parábola ( o parte de una
parábola) el movimiento es entonces un M.R.U.V.
Nota: Este Problema sería interesante verlo después de estudiar
M.R.U.V
2. Un coche recorre 160 kilómetros cada 4 horas a velocidad
constante
a)¿Cuál es su velocidad en metros por minuto? ¿Y en metros por
segundo?
b) Diga cuánto se ha desplazado en 50 segundos, en 25 minutos, y
en un día.
c) Grafique la posición en función del tiempo durante los primeros 15
minutos.
40
Su velocidad en km/h es entonces: 40 km/h.
Esto significa que recorre 40 km en una hora
1 km = 1000 m; 1 hora = 60 min = 3600 segundos
a)En metros por minuto y por segundo: 40 kilómetros son 40.000
metros, y una hora son 60 minutos o 3600 segundos.
666,67m/min ;
11,11m/s
b)El desplazamiento para el M.R.U es x = V . t entonces:
;
c)
3. Si 25 segundos después de haber visto un relámpago se
percibe el ruido del trueno ¿a qué distancia de nosotros se produjo
41
La pendiente del gráfico posición en función del tiempo representa la velocidad:
15 t(min)
X(m)
10.000
el fenómeno si la velocidad del sonido en el aire es de 344 m/seg y se
desprecia el tiempo de propagación de la luz?
El intervalo de 25 segundos, es el tiempo en el cual, el sonido
viaja hasta el lugar donde estamos con una velocidad, que
consideramos constante, de 344 m/s.
Para conocer esa distancia, basta con aplicar la ecuación de
MRU:
x = V . t
x = 344 m/s . 25 s = 8600 m
En kilómetros 8,6 Km
4. Un móvil se mueve en forma rectilínea de acuerdo al
gráfico de posición en función del tiempo x(t).
a) ¿ Con qué velocidad se desplaza?
b) ¿ Dónde se hallará a las dos horas?
a) La velocidad esta representada por la pendiente del gráfico, la
calculamos:
42
X (km)
6
10 t (seg)
b) Asumiendo que en el lapso de 2 horas no cambia su
velocidad, podemos calcular la posición x planteando:
x = x0 + v0. t
Tenemos la velocidad en metros por segundo, en la ecuación
debemos poner todo en las mismas unidades (si no, nos da
cualquier cosa) entonces pasamos las dos horas a segundos:
2 x 3600 segundos = 7200 segundos
También, era igual pasar los metros por segundo a kilómetros por
hora y multiplicar por 2 horas.
x = 0 + 0,6 m/s. 7200s = 4320 metros
5. ¿A qué hora debe pasar un automovilista por la localidad A, a
una velocidad constante de 80 km/h, si desea alcanzar a las 13
horas a otro automovilista que pasó por el mismo lugar a las 8 horas y
que mantiene una velocidad constante de 40 km/h?
El automovilista que tiene una velocidad de 40
km/h, recorre 40 km por hora, en 5 horas (entre las 8 y las 13
horas), recorre una distancia de 200 kilómetros. El otro en una
hora recorre el doble, 80 kilómetros. Entonces tarda la mitad del
tiempo en recorrer la misma distancia, tarda 2,5 horas. Por lo
tanto debe pasar por la localidad A, dos horas y media antes de
las 13 horas, debe pasar a las 10 y media.
Para hacer el planteo formal, tomamos como cero la posición de
la localidad A. Y como a las 13 horas la posición de ambos ( x ) es la
misma, podemos igualar las ecuaciones horarias de ambos y de allí
despejar el t0 del auto que va a 80 km/h, es decir el instante en el cual
estuvo en x = 0, lo que corresponde a la localidad A.
Planteamos las ecuaciones y para ambos tomamos, x0 = 0
43
X1 = 40 km/h (13h – 8h)
X2 = 80 km/h (13h – t0)
Como a las 13h, x1 = x2 , nos queda:
40 km/h (13h – 8h) = 80 km/h (13h – t0)
40km/h . 5h = 80km/h . 13h – 80 km/h . t0
80 km/h . t0 = 80km/h . 13h - 40km/h . 5h
10,5h
6. Un corredor recorre 500 metros llanos en 80 segundos, a
velocidad que puede considerarse constante durante cada tramo.
Al llegar al extremo del recorrido se detiene durante diez segundos y
retorna por el mismo camino en 100 segundos. a)¿Cuánto vale la
velocidad a la ida? ¿Cuánto vale la velocidad a la vuelta? b)Grafique
la posición del corredor desde que sale hasta que vuelve. c)¿Dónde
se hallará el corredor a los 40 segundos, a los 85 segundos y a los
125 segundos? d)Si tomamos un sistema de referencia positivo para
el sentido a la ida y tomando como cero a la posición de partida del
corredor:
44
Vida
Vvuelta +X(m)
;
El signo de las velocidades es por el sistema de referencia que se
eligió, los módulos son respectivamente 6,25 m/s y 5 m/s.
b)
Entre t = 0 y t = 80 segundos avanzó hacia el positivo del eje x,
500metros. Entre t = 80 y t = 90 segundos estuvo detenido y entre
t = 90 y t = 190 segundos avanzó hacia el negativo de x, 500 metros
x IDA = 500 m x VUELTA = -500 m
c) Como ya mostramos en el gráfico las posiciones a los 40, 85 y 125
segundos son respectivamente: 250, 500 y 325 m. Planteamos:
MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE VARIADO
M.R.U.V
45
40 80 85 90 125 190 t(s)
X(m)
500
325
250
Este movimiento se llama variado porque su velocidad cambia
instante a instante.
Cambia el módulo de la velocidad o, en determinadas
circunstancias, puede cambiar el sentido.
Si cambiara la dirección (como cuando un auto dobla en la
esquina o en una curva) no sería rectilíneo, en estos casos se trata de
otro tipo de movimiento.
De modo análogo a como definimos antes velocidad media y
velocidad instantánea, definimos también aceleración media e
instantánea.
La aceleración media vectorial, se define como la diferencia
de dos velocidades instantáneas dividido el intervalo correspondiente
y la aceleración instantánea como la derivada de este cociente con t
tendiendo a cero.
aM =
46
v1 v2
t1 t2
trayectoria
En el caso particular de este movimiento, la variación de
velocidad es uniforme, es decir la velocidad cambia siempre
igual para intervalos iguales.
Veamos un ejemplo:
En la siguiente tabla, donde tomamos intervalos de un segundo,
donde en cada instante tenemos distintos valores de velocidad
instantánea.
En: t = 0 t = 1 s t = 2 s t = 3 s t = 4 s
V = 0 V = 3 m/s V = 6 m/s V = 9 m/s V = 12 m/s
Para cualquier par de instantes, si calculamos la aceleración
media el resultado es el mismo: 3 m/s2 .
La variación de velocidad en el tiempo es siempre igual, es
decir la aceleración es siempre igual, es constante. No solo porque
tiene siempre el mismo módulo, también siempre es igual la dirección
y el sentido, recordemos que se trata de una magnitud vectorial.
47
Debido a las características del MRUV, cuando saquemos la
derivada para obtener la aceleración instantánea, el resultado también
será 3 m/s2.
Por eso en este movimiento, la aceleración instantánea se
calcula igual que la aceleración media:
ai = aM = v/t.
A partir de la ecuación de aceleración despejamos la
velocidad:
v = a. t
v – v0 = a . t
v = v0 + a . t
Esta ecuación, es lineal, en el gráfico de velocidad en función
del tiempo, que naturalmente es una recta, la pendiente representa la
aceleración.
En el gráfico representamos
un movimiento con velocidad inicial
mayor que cero (V0)y aceleración
mayor que cero. (por eso hay
pendiente distinta de cero)
Igual que en el caso del MRU,
el área en el gráfico de velocidad,
representa el desplazamiento x .
48
+V v
v0
t
Tenemos un área, que es la suma de un área rectangular y un
triángulo.
Si no cambia de velocidad, el área es solo el rectángulo,
como vimos en MRU. Como cambia de velocidad, en este ejemplo
aumentándola, en el mismo intervalo se desplaza más esto está
representado con el área del triángulo.
Entonces:
x = área del rectángulo + área del triángulo
x = base x altura +
x = V0.T + como v = a. t
reemplazamos en la ecuación
x = v0.t +
x – x0 = v0.t + ½ a.t2
despejamos x
x = x0 + v0.t + ½ a.t2
Obtuvimos la ecuación de la posición en función del tiempo x(t).
Esta ecuación es la ecuación de una parábola, el gráfico de x
en función de t es entones una parábola. Donde para cada instante y
cada posición tendremos una velocidad distinta, representada en el
gráfico por la pendiente de la recta tangente a la parábola.
49
PROBLEMAS DE EJEMPLO
( hágalos antes de mirar la solución y después de estudiar y entender
la teoría)
Problema A:
Un automóvil parte del reposo acelera durante 5 segundos con una
aceleración constante de 2 m/s2, más tarde cuando tiene una
velocidad de 20 m/s frena hasta detenerse en un intervalo de 8
segundos. Calcular cuanto se desplaza en el primer y último intervalo
de un segundo en los dos casos.
Para el intervalo de 5 segundos en los cuales acelera, la
velocidad inicial es cero.
Tomamos la posición donde comienza a moverse igual a cero y
calculamos las posiciones en 1, 4 y 5 segundos.
Para hallar el desplazamiento en los intervalos de un segundo
pedidos, hacemos la diferencia entre las posiciones en los
instantes 0 - 1 segundos y entre 4 - 5 segundos.
Planteamos la ecuación horaria de la posición:
y calculamos para cada instante
50
Ubicamos los resultados obtenidos en el gráfico de posición
Ahora calculamos los desplazamientos:
Entre 0 y 1 segundo: Entre 4 y 5 segundos:
x = 1m – 0 = 1m x = 25m – 16m = 9 m
Procedemos de forma similar para el intervalo de 8 segundos
en el cual está frenando. La velocidad inicial es 20 m/s,
sabemos que en estos 8 segundos llega a cero, con estos
datos calculamos la aceleración con la cual frena:
51
0 1 16 25
x = 1m – 0 = 1m x = 25m – 16m = 9m
X25
16
1 1 2 3 4 5 t
La pendiente de la tangente en cualquier punto del gráfico representa la velocidad para el instante que le corresponda. En este caso, t = 4s
Planteamos la ecuación horaria para calcular las posiciones
en los instantes 1, 2, 7 y 8 segundos. Tomamos la posición
igual a cero al principio del intervalo de 8 segundos.
Calculamos el desplazamiento entre los instantes 0 y 1.
x = 18,75m – 0 = 18,75m
Calculamos el desplazamiento entre los instantes 7 y 8.
x = 80m – 78,75m = 1,25 m
Ubicamos los resultados en el gráfico de posición en función del
tiempo.
52
0 18,75 78,75 80
x = 18,75m x = 1,25m
Problema B:
¿Qué velocidad traía una locomotora, que acelerando a 1 m/s2,
recorrió 20 metros en 5 segundos?
Datos: a = 1 m/s2 ; x = 20m; t = 5s
Nos están pidiendo la velocidad al comienzo del intervalo de 5
segundos en cual recorre 20 m.
Plantemos la ecuación horaria de la posición:
si la locomotora está aumentando su velocidad (lo cual no aclara el
enunciado) la velocidad la averiguamos reemplazando los datos en la
ecuación horaria de la posición, de donde despejaremos la velocidad
inicial V0:
53
X 80 78,75
18,75
1 2 3 4 5 6 7 8 t
La pendiente de la tan- -gente, en 8 seg. Vale cero, porque la velocidad en este instante es cero
si, en cambio, está disminuyendo la velocidad:
Problema C:
Un avión parte del reposo con aceleración constante y carretea 1800
metros, durante 30 segundos hasta despegar, ¿con qué velocidad
abandona la pista? Trazar un gráfico de velocidad tiempo.
Datos: x = 1800m ; t = 30 segundos ; V0 = 0
Nos piden la velocidad al final de los 1800 m. Calculamos la
aceleración planteando:
despejamos aceleración:
54
Ahora utilizamos la ecuación de velocidad:
V = V0 + a.t
V = 4 m/s2.30s = 120 m/s
Problema D:
Un tren reduce uniformemente su velocidad, desde 12 a 8 m/s, en una
distancia de 100 metros. Calcular la aceleración de frenado, y que
distancia recorrerá hasta detenerse si prosigue así.
Datos: x = 100 m ; V0 = 12 m/s ; Vf = 8m/s
Nos piden calcular la aceleración y la distancia que recorrerá
hasta llegar a cero.
Como no tenemos el tiempo y tampoco la aceleración, planteamos las
ecuaciones de la posición y la de velocidad, tenemos así un sistema
de dos ecuaciones con dos incógnitas.
despejamos a partir de estas y
obtenemos:
55
+V(m/s)
120
30 +t(s)
V = V0 + a.t
V2 = V02 + 2.a.x
Este pasaje de términos, lo podemos anotar y tenerlo en la
hoja de fórmulas para usarlo cuando nos haga falta, para no hacer
todas las veces el procedimiento.
Ahora, planteando con la ecuación que obtuvimos, averiguamos la
aceleración:
(8 m/s)2 = (12 m/s)2 + 2.a.100m
= a
Para calcular la distancia que recorre hasta detenerse, primero
averiguamos en que tiempo la velocidad se hace cero.
Planteamos :
V = V0 + a.t
Reemplazamos:
0 = 8 m/s – 0,4 m/s2.t
56
V = 12 m/s V = 8 m/s
0 100 180 x = 80m
t =
con este tiempo averiguamos la distancia en la cual la velocidad pasa
de 8 m/s a cero:
Problema E:
El gráfico representa la velocidad en función del tiempo, para un
automovilista que se detiene frente a un semáforo y luego arranca. a)
trazar los gráficos de posición y aceleración en función del tiempo. b)
¿A qué distancia del semáforo se encontraba cuando comenzó a
frenar si cuando pasa por este lo hace en el instante 10 segundos?
Observando el gráfico de velocidad, podemos ver que en el
instante t = 0 la velocidad del auto es 54 km/h y en el instante t =
5s la velocidad es cero.
Entre los instantes 5 y 8 segundos la velocidad es cero.
Y entre 8 y 13 segundos la velocidad aumenta desde cero hasta
36 km/h
A partir del instante 13 s, continúa a velocidad constante.
57
a.
Para calcular las distintas posiciones, primero tenemos que
homogeneizar las unidades pasar las velocidades a metro por
segundo o el tiempo a horas. Nos conviene la primera opción para
no trabajar con números decimales.
54 km/h
36 km/h
Averiguamos la posición en t = 5s y t = 13s. Tengamos en cuenta
que tenemos tres movimientos: un MRUV entre 0 y 5 segundos,
otro MRUV entre 8 y 13 segundos, son dos movimientos distintos
porque tienen distinta aceleración y finalmente un MRU a partir
del instante 13 segundos.
Calculamos las aceleraciones para cada intervalo:
58
+V(km/s)
54
36
5 8 13 +t(seg)
Tomando x = 0 en t = 0, nos queda
para el intervalo entre 0 y 5
segundos.
La posición inicial del intervalo siguiente (entre 8 y 13) es
37,5m
59
Distancia desde que comienza a frenar hasta que pasa por el semáforo
+x(m)
62,5 37,5
5 8 10 13 +t(s)
b) Distancia al semáforo cuando comenzó a frenar.
Comenzó a frenar en el instante que tomamos como cero, y como
ya vimos en los primeros 5 segundos recorre una distancia de
37,5 m.
Luego arranca en esa posición, en el instante 8 segundos pasa
por el semáforo 2 segundos después de partir, en t = 10
segundos.
Al calcular la posición a los 10 segundos obtenemos la distancia
requerida:
PROBLEMAS DE LA GUIA MRUV
7. Un objeto recorre 240 Km en dos horas y luego 240 Km
más en tres horas.
a) Calcule el valor de la velocidad media en las dos primeras
horas, en las tres últimas y en el recorrido total.
b) Grafique la posición en función del tiempo.
a) La definición de velocidad media vectorial (ver parte teórica)
es:
la calculamos para, los dos intervalos y para el tiempo total:
60
b) Si, tomamos como cero, la posición al comienzo del intervalo
de 5 horas. Como 240km la posición a las dos horas y como
480 la posición a las 5 horas. El gráfico que podemos hacer
es el siguiente.
Con los datos que tenemos, solo conocemos con certeza, las
posiciones a las 2 y a las 5 horas. No sabemos como fue el
movimiento en cada intervalo. Por eso, no lo podemos graficar.
Si, por ejemplo, se movió a velocidad constante en cada
tramo, el gráfico nos quedaría como vemos en la figura adjunta.
Donde, la pendiente del gráfico, en cada intervalo representa las
velocidades 120 y 80 km/h.
61
X(km)
480
240
2 5 t(h)
8. Este ejercicio le ayudará a comprender las ecuaciones
horarias y los gráficos del movimiento rectilíneo
uniformemente variado (MRUV. Utilice papel milimetrado para los
gráficos:
Un auto se desplaza en línea recta. En t = 0, pasa por un
punto ubicado a 12 m del origen del sistema de referencia
elegido, alejándose con velocidad 10 m/s. En ese instante
acelera, con aceleración constante 2 m/s2 que mantiene durante
5 segundos.
Respecto de la velocidad:
a) ¿Qué significa que la aceleración es 2m/s2?, ¿Qué
significa qué es constante?
La aceleración, es el cambio de velocidad por unidad
de tiempo. Si la aceleración es 2m/s2, significa que la velocidad
cambia 2m/s por segundo. Si un móvil parte del reposo, con esta
aceleración, un segundo después de partir tiene una velocidad de 2
m/s, dos segundos después 4m/s, tres segundos después 6m/s y así
sucesivamente. La velocidad aumenta de dos en dos por cada
segundo que pasa.
b) ¿Qué es lo que varía uniformemente en el MRUV?
En el MRU, lo que varía uniformemente, es decir siempre igual en
intervalos iguales, es el desplazamiento (x). Si tenemos un móvil
que tiene una velocidad constante de 5 m/s, esto significa que por
cada segundo que pasa, cambia de posición o avanza 5 metros. Si en
cierto instante está en la posición 0 y avanza hacia el lado positivo, un
segundo después esta en la posición 5 metros, dos segundos
62
después en la posición 10 metros, tres segundos después en la
posición 15 metros, y así sucesivamente.
c) Conociendo la velocidad en t = 0 y el valor de la
aceleración, complete las otras columnas de la tabla.
Tomando los datos del enunciado, planteamos las
ecuaciones
de velocidad y de posición para cada uno de los 5 instantes.
Planteamos las ecuaciones de velocidad y posición en
función del tiempo
V = v0 + a t
x = x0 + V0.t + ½.a .t2
V = 10m/s + 2m/s2. 1s = 12m/s
x = 12m + 10m/s.1s + ½.2m/s2 .(1s)2 = 23m
V = 10m/s + 2m/s2. 2s = 14m/s
x = 12m + 10m/s.2s + ½.2m/s2 .(2s)2 = 36m
V = 10m/s + 2m/s2. 3s = 16m/s
x = 12m + 10m/s.3s + ½.2m/s2 .(3s)2 = 51m
V = 10m/s + 2m/s2. 4s = 18m/s
x = 12m + 10m/s.4s + ½.2m/s2 .(4s)2 = 68m
V = 10m/s + 2m/s2. 5s = 20m/s
x = 12m + 10m/s.5s + ½.2m/s2 .(5s)2 = 87m
Completamos en la tabla:
t(s) V(m/s) X(m)
0 10 12
1 12 23
2 14 36
3 16 51
4 18 68
5 20 87
63
d) Grafique la velocidad del auto en función del tiempo.
V(m/s)
20
10
5 t(s)
e) ¿Cómo hubiera sido el gráfico si el auto no hubiera acelerado
Si el auto no hubiera acelerado, el gráfico sería una recta horizontal.
Dado que la pendiente del gráfico velocidad tiempo representa la
aceleración del móvil.
Aunque el problema no lo pide, contestamos el punto d y e, para el
gráfico de posición en función del tiempo.
64
X(m) 87
68
51
36 23 0 1 2 3 4 5 t(s)
Si no hubiese acelerado, el gráfico sería una recta entre la
posición 12 m y la posición 87 metros. Donde la pendiente de este
gráfico, representaría la velocidad constante entre estas dos
posiciones. En cambio, si acelera, en cada posición, la pendiente de
la recta tangente al gráfico representa la velocidad en ese instante. En
el gráfico anterior, en el instante cero, cuando está en la posición 12
metros, la velocidad es 10 m/s. La pendiente de la recta tangente en
el vértice de la parábola es cero. Lo cual significa que la velocidad es
cero, por ese motivo el vértice del gráfico no esta en la posición 12
metros, porque como ya dijimos, ahí la velocidad no es cero.
f) ¿Qué representa la pendiente en un gráfico velocidad en
función del tiempo?
Representa la aceleración
g) Escriba la ecuación horaria de velocidad para el auto.
V = v0 + a t
De lo discutido resulta que la forma general de la ecuación
horaria de velocidad para un MRUV es:
v = vi + a (t-ti)
65
Respecto de la posición:
a) ¿Se desplazará el auto lo mismo entre 0 y 1 segundo
que entre 3 y 4 segundos? Explique
No, porque entre 0 y 1 segundo las velocidades son menores que
entre 3 y 4 segundos.
b) Deduzca ( con ayuda del docente) la ecuación horaria
de posición para un MRUV.
Ver parte teórica del apunte.
La forma general de ecuación horaria de posición para un MRUV
es:
x = xi + vi(t -ti) + 1/2 a (t-ti)2
c) ¿Qué representan los dos primeros términos de esta
ecuación?
El primero, la posición en el instante ti. El segundo el desplazamiento
(x) que tendría si no hubiese acelerado.
d) Escriba la ecuación horaria de posición para el auto.
x = 12m + 10m/s.t + ½.2m/s2 .t2
Dos finales para el mismo cuento:
FINAL 1:
Si a partir de t = 5 s y hasta t = 8 s el auto deja de acelerar,
describa lo que sucederá, escriba las ecuaciones
correspondientes, complete la tabla adjunta y continúe los
T (s) V (m/s) X(m)
5 20 87
6 20 107
7 20 127
8 20 147
66
gráficos de velocidad en función del tiempo y de posición en
función del tiempo.
Si deja de acelerar en t = 5 segundos, sigue con velocidad constante,
la que tiene justo cuando deja de acelerar, 20 m/s. Y avanza 20
metros por cada segundo que pasa.
A partir del instante 5 segundos, el gráfico de posición en función del
tiempo es una recta, cuya pendiente representa los 20 m/s. Y el de
velocidad es una recta horizontal cuya pendiente representa la
aceleración, en este caso cero.
FINAL 2:
Si a partir de t = 5 s y hasta t = 8 s
el auto frena con aceleración
constante -3m/s2, describa lo que
sucederá, escriba las ecuaciones
correspondientes y continúe los
gráficos de velocidad en función del
tiempo y de posición en función del tiempo.
V = 20m/s - 3m/s2. (6s - 5s) = 17m/s
x = 87m + 20m/s. (6s - 5s) - ½.3m/s2 . (6s - 5s)2 = 108,5m
V = 20m/s - 3m/s2. (7s - 5s) = 14m/s
x = 87m + 20m/s. (7s - 5s) - ½.3m/s2 . (7s - 5s)2 = 121m
V = 20m/s - 3m/s2. (8s - 5s) = 11m/s
x = 87m + 20m/s. (8s - 5s) - ½.3m/s2 . (8s - 5s)2 = 133,5 m
T (s) V (m/s) X(m)
5 20 87
6 17 108,5
7 14 121
8 11 133,5
67
X(m)
133,5
87
5 8 t(s)
9. Un móvil que avanza con MRUV experimenta un
desplazamiento de 32m en un intervalo de 4 segundos. Si la
velocidad inicial es de 10 m/seg, calcular la aceleración a la que
estuvo sometido.
Planteamos la ecuación de M.R.U.V:
x = v. t + ½ a.t2
Conocemos x = 32 m, conocemos t = 4 segundos y la velocidad
inicial v = 10 m/s. De la ecuación despejamos la aceleración:
Como la velocidad y la aceleración tienen distinto signo, está
frenando.
10. Un automóvil debe alcanzar, partiendo del reposo, una
velocidad de 100 km/h en 10 s.
a) ¿Qué aceleración debe tener este automóvil?
b) ¿Cuál será su velocidad al cabo de 5 segundos?
c) Grafique la velocidad y la posición en función del tiempo (en
los primeros 10 segundos).
68
a) Primero pasamos a unidades iguales:
b)
b) La pendiente del gráfico de velocidad representa la
aceleración, como es constante, el gráfico es una recta (una
sola pendiente). En el caso de la posición, la ecuación de esta
69
V(m/)
27,78
10 t(s)
5 10 t(s)
X(m)
277,8
en función del tiempo es la ecuación de una parábola; en
Cada posición y en cada instante la velocidad es distinta y
esta está representada en este gráfico en la pendiente de la
recta tangente a cada punto del gráfico.(Recordar: en el
M.R.U una sola velocidad entonces una sola pendiente, el
gráfico en este vimos que era una recta). En el gráfico vemos
representadas dos rectas tangentes, en el instante cero y en
un t posterior, en t = 0 la recta es horizontal, no tiene
pendiente porque en esa posición e instante la V es cero.
11. Un subterráneo ingresa a la estación a 36 km/h. Debe detenerse
en 10 segundos.
a) ¿ Cuál debe ser su aceleración de frenado?
b) ¿Qué distancia recorre el subte en los cinco primeros
segundos, contados desde que entra a la estación?
c) ¿Qué velocidad tendrá el subte un segundo antes de
detenerse?
a) Es necesario trabajar con las mismas unidades para todas la
variables, por eso, al tener la velocidad en km/h y el tiempo
en segundos debemos cambiar una u otro. Si mezclamos
horas con segundos nos da mal. Y es más práctico pasar a
las unidades más chicas para no trabajar con decimales.
La aceleración es la variación de velocidad en el tiempo, si
tenemos un M.R.U.V, esta variación es constante (la aceleración es
constante) entonces podemos usar para este movimiento la ecuación
de aceleración media que en el M.R.U.V es igual a la aceleración
instantánea:
70
Con la denominación de final e inicial nos referimos al final y
principio del intervalo (t = tf - t0) que nos interesa.
Es importante diferenciar que t es un lapso y t es un solo
instante o sea t t, puede ocurrir en algunos casos que
numéricamente lo sean, esto es porque tomamos t0 = 0. No son lo
mismo t es una hora determinada y t es una duración
Este resultado corresponde si tomamos la velocidad, con
sentido positivo; sino sería al revés la velocidad negativa y la
aceleración positiva.
Es importante tener en cuenta que, cuando aumenta la
velocidad, la a y la v tienen igual signo y cuando disminuye es distinto.
Disminuye la velocidad Aumenta la velocidad
+a ; -V +a ; +V
-a ; +V -a ; -V
b) Tomemos X = 0 en la entrada de la estación
c) para conocer la velocidad un segundo antes de detenerse
usamos la ecuación de velocidad para el M.R.U.V:
71
12. Un móvil recorre dos tramos sucesivos. El primer tramo, de
200m, lo hace con MRU a una velocidad de 10 m/seg. El segundo
tramo lo hace con M.R.U.V duplicando su velocidad en 10 segundos
a) Calcular la velocidad media en cada tramo y en el recorrido total.
b) Graficar, para cada tramo, la aceleración, velocidad y posición en
función del tiempo.
a) Conocemos el desplazamiento x = 200m, que hace con MRU. En
el segundo tramo duplica su velocidad, entonces acelera, siendo la
velocidad inicial la que traía es decir 10 m/s
Para calcular la velocidad media de todo el recorrido
necesitamos el desplazamiento total y el tiempo total. Tenemos
entonces que calcular el tiempo del primer tramo t1 y el
desplazamiento en el segundo tramo x2.
tTOTAL = t1 + t2 = t1 + 10seg
x TOTAL = x1 + x2 = 200m + x2
72
0 200 ?
x1 = 200 m x2 = ? t1 =? t2 = 10seg.
x TOTAL
t TOTAL
En el primer tramo, despejamos t de la ecuación de posición del
MRU:
En el segundo tramo, conocemos la velocidad inicial 10 m/s y la final
dado que nos dicen que se duplica esta es 20 m/s y conocemos t2 =
10 segundos. Con estos datos y la ecuación de aceleración
calculamos:
Ahora con la ecuación de posición, calculamos el desplazamiento en
el segundo tramo:
x2 = v.t2 + ½ a.t2 2
x2 = 10 m/s. 10 seg + ½ 1 m/s2. 100 seg2 = 150 metros
En este instante, x = 350 m, si tomamos x = 0 en t = 0
Como en el primer tramo tenemos un MRU, la velocidad media en
este tramo es igual a la instantánea vM1 = 10 m/s.
En el segundo tramo, la velocidad media es:
VM2 =
Para todo el recorrido, la velocidad media es:
GRÁFICOS:
73
a(m/s)
1
20 30 t(s)
X(m)
350
200
20 30 t(s)
13. Un objeto cae desde una altura de 25 metros hasta el
piso.
a) ¿ Cuánto tiempo tarda en llegar al piso?
b) ¿A qué altura del piso se hallará a los 2 segundos?
74
V(m/s)
20
10
20 30 t(s)
c) ¿Qué velocidad tendrá en ese momento?
d) Grafique la posición y la velocidad desde que parte hasta que
llega al piso.
e) ¿Con qué velocidad debería lanzarse hacia arriba desde el
piso para llegar otra vez a hasta un altura de 25 metros?
Tiro vertical y caída libre
El movimiento de caída dentro del campo gravitatorio se
denomina caída libre. Si sube y baja con aceleración igual a g se
denomina tiro vertical, en los dos casos tenemos el mismo tipo de
movimiento.
Los movimientos llamados libres, son los que están afectados
por la aceleración de la gravedad (tiro vertical, caída libre, tiro
oblicuo). Para distancias relativamente cortas se puede tomar
esta aceleración como constante, entonces estos movimientos se
pueden estudiar como M.R.U.V. Los sistemas de referencia se
eligen arbitrariamente, podemos elegir el eje de coordenadas
vertical como x, como y o como z, es indistinto. En este trabajo
vamos a elegir el eje vertical como y. La ecuación horaria, la del
M.R.U.V, que ya vimos, queda:
(nótese que solo hay un cambio de letras, en lugar de x va y)
a) Si nos dicen “cae” significa que la velocidad inicial es
cero.
75
Vamos a tomar el sentido hacia “arriba” positivo, entonces la
aceleración g, que es hacia la tierra será negativa. Esto es SOLO por
el sistema de referencia elegido, si elegimos positivo hacia abajo,
entonces la aceleración g sería positiva.
Tomando positivo hacia arriba, y si la altura del piso la
consideramos cero, la posición inicial, la altura 25m es positiva.
Para averiguar el tiempo total, planteamos la ecuación de
posición para el MRUV, donde V0 es igual a cero. Siendo la posición
inicial y 0: 25 metros y la posición final y es igual a cero:
despejamos:
; ; 2,24s
b) Averiguamos la posición a los 2 segundos . En nuestro caso,
habiendo elegido el sistema de referencia positivo hacia
arriba, esta posición es la altura a los 2 segundos de partir.
Sí elegíamos el sistema al revés, tomando como cero la posición inicial
y positivo hacia abajo, el dato obtenido sería igual a la cantidad de
metros que cayo en 2 segundos. Es importante tener en cuenta estas
cosas para interpretar los datos que obtiene.
c) Planteamos la ecuación de Velocidad para el MRUV:
76
reemplazando:
El signo menos significa que es para abajo según la
convención que adoptamos para resolver el problema, el sistema de
referencia es positivo hacia arriba. Recordar que el signo solo indica
para que lado es. Los vectores no tienen un signo propio, el signo
surge, de que el sentido del vector coincida o no con el sentido
positivo o negativo del eje. Por ejemplo, la aceleración g, no tiene
signo. Es negativa si tomamos positivo hacia arriba, y es positiva si
tomamos positivo hacia abajo.
d) Gráficos de velocidad y posición en función del tiempo.
77
V(m/s)
22,4
2,24 t(s)
X(m)
25
5
2 2,24 t(s)
f) Como veremos a continuación la velocidad inicial, con la que
debería lanzarse para que llegue a 25 metros, debe ser la
misma que con la que llega al piso cayendo desde el reposo
desde 25 metros.
Podemos utilizar un pasaje de términos, que es útil tener a mano para
usar sin estar haciendo el despeje todas las veces, lo cual es largo y
se pierde tiempo, sobre todo en el examen.
A partir de las ecuaciones horarias:
(1) (2)
de (2) despejamos t y reemplazamos en (1)
de (2) despejamos t
y lo reemplazamos en (1)
resolviendo y reordenando:
Finalmente:
78
Vf2 = V0
2 + 2.a.x
Todos estos pasos los mostramos para que veas de donde sale y que
por lo tanto NO es otra ecuación sino un despeje.
En la altura máxima, la velocidad es cero. ¡ojo! Pero no la
aceleración, que como en todo el movimiento es g, recordemos
que esta aceleración es constante, es un MRUV. La velocidad final,
considerando solo el ascenso, es cero. Esta velocidad es la de la
máxima altura que alcanza. Porque, si nos dicen que “llegue”,
significa que justo llegue a 25m. Si a 25 metros tuviera otra velocidad,
seguiría subiendo. Cuando lea una frase como esta, donde se emplea
la palabra: llegue, lo que se nos pide es que alcance esa posición con
lo justo.
La ecuación que despejamos nos queda:
14. Un cuerpo se suelta libremente y emplea 4 segundos en recorrer
la mitad de su desplazamiento.
a) ¿Cuál es el desplazamiento total?
b) ¿Con qué velocidad pasa por la mitad de su recorrido?
79
0 = V02 – 2.g.y ; 0 = V0
2 – 2.10m/s2.25m
V02 = 500m2/s2
a) Si “se suelta”, su velocidad inicial es cero. Si cae “libremente”, su
aceleración es la de la gravedad. En 4 segundos, tomando el
sistema de referencia positivo hacia abajo, su velocidad será:
v = v0 + g.t
v(4seg) = 0 + 10 m/s2. 4 seg = 40 m/s
Conocemos las velocidades inicial y final del primer tramo,
sabemos que la aceleración es g. Planteamos:
V2 = v0 2 + 2.g.x
Despejamos x:
15. Una partícula disparada verticalmente hacia arriba está a
200 m de altura respecto del punto de lanzamiento a los 10
segundos de la partida.
a) Hallar la velocidad inicial.
b) Determinar la máxima altura que alcanzará la partícula.
a) Este movimiento es un tiro vertical. Un tiro vertical es un
M.R.U.V con aceleración constante igual a g.
Planteamos la ecuación de posición para el M.R.U.V, tomamos
positivo hacia arriba y despejamos la velocidad en el instante de
partida, el cual tomamos igual a cero:
x = x0 + v0.t – ½ g.t2
200m = v0. 10s – ½ .10 m/s2. (10s)2
80
b) El instante de altura máxima es aquel en el cual la velocidad
se hace cero. Calculamos ese instante y reemplazando en la
ecuación de posición obtenemos la altura máxima alcanzada
por el proyectil.
V = v0 – g.t
0 = 70m/s – 10 m/s2. talt.máx
talt.máx = 7 s
Si a los 7 segundos esta en la máxima altura que puede llegar
con esa velocidad inicial, entonces a los 10 segundos esta
bajando, por lo tanto la altura máxima es mayor que 200 metros.
X = 70m/s. 7s – ½ 10 m/s2. 49s2 = 245m
16. Considerando un sistema de coordenadas positivo hacia
arriba:
a) Representar velocidad en función del tiempo para un objeto
que es arrojado hacia arriba, queda pegado en el techo
durante unos instantes y luego cae.
b) Representar posición en función del tiempo para el mismo
movimiento.
Para que se pegue al techo tiene que llegar al mismo con una
velocidad distinta de cero, al chocar con este, se queda pegado.
Cuando se despega, parte con velocidad cero, y esta aumenta hacia
abajo. La pendiente del gráfico, tanto cuando sube o cuando baja,
representa la aceleración g. Consideramos despreciable el tiempo en
el cual la velocidad con que sube se hace cero al chocar.
a) V
Velocidad de partida
81
Velocidad con la que llega al techo
t intervalo en el cual queda pegado al techo Velocidad con la que llega
al piso
b)
17. Represente gráficamente aceleración en función del tiempo
para una persona que salta repetidamente sobre una cama
elástica.
La fuerza elástica, es una fuerza variable. Varía linealmente
con la posición, según la ecuación siguiente:
F = k. x
Cuando la persona toca la cama, esta fuerza vale cero, a
medida que la cama se estira la fuerza crece y cuando es
impulsado hacia arriba la fuerza elástica decrece. Siendo la
fuerza que acelera a la persona la resultante entre la fuerza
82
x la pendiente representa la velocidad con la que llega al techo Altura del techo
La pendienteRepresenta laVelocidad inicial
t intervalo en el cual queda pegado al techo
elástica y el peso. Cuando la persona no está en contacto con la
cama su aceleración es la de la gravedad.
a
a b c d e f g h i j t(s)
Diagrama de cuerpo libre, que
corresponde entre los instantes:
0 - a, c - d, e - f, y h - i
la fuerza elástica es menor que
el peso.
Diagrama de cuerpo libre
que corresponde a los intervalos:
a - c y f - h
la fuerza elástica es mayor que el peso.
En los instantes : a, c, f, y h.
La fuerza elástica y el peso tienen el
mismo valor, por lo tanto, como
tienen distinto sentido, suman cero.
En los intervalos: d – e y i – j , la aceleración es g.
La única fuerza que actúa es el peso.
83
18. El siguiente gráfico representa la velocidad de un móvil en
función del tiempo.
a) ¿Cuál son su velocidad y su posición al cabo de tres
segundos?
b) ¿Cuánto vale su aceleración?
c) ¿Volverá hasta el punto de partida? ¿Cuándo?
d) Grafique la posición en función del tiempo en los primeros 10
segundos.
84
a) Primero calculamos la aceleración:
=
= 20m/s – 6,67m/s2.3s = 0
este resultado es evidente en el gráfico, en el instante 3 seg. Se corta el eje del tiempo, lo cual indica que la velocidad es cero.
V(m/s)
20
3 t(s)
=
El área (rayado) debajo del gráfico de velocidad en función del
tiempo, representa el desplazamiento del móvil: área = b.h/2 =
20x3/2= 30m.
b)Ya la calculamos en el ítem a.
c) Si sigue con la misma aceleración después de llegar a V = 0,
la velocidad cambia de sentido, entonces vuelve. Llegaría al
punto de partida en el instante 6 segundos, tarda lo mismo
(3seg.) ida y vuelta porque tiene la misma aceleración.
Calculemos: en una ida y vuelta x = x0 o sea x = 0
; 6 s
d)
85
3 6 10 t(s)
X(m)
30
19 El gráfico representa en forma aproximada la posición en
función del tiempo para un corredor en una carrera de 100m.
Analice el gráfico y responda:
a) ¿Cuál es la velocidad máxima que desarrolla?
b) ¿ Se detiene al llegar a la meta?
c) Efectúe un gráfico aproximado de v = v(t)
a) La velocidad máxima que desarrolla, es la que tiene en el
intervalo entre 5 y 15 segundos.
La pendiente del gráfico representa la velocidad, esta es máxima
entre los instantes 5s y 15s. En este intervalo la velocidad es
constante, la podemos calcular con:
86
X(m) 100
.... 90
15
5 15 t(s)
HE
CH
O E
L DE
PÓ
SIT
O Q
UE
MA
RC
A LA
LEY
11723
TO
DO
S LO
S D
ER
EC
HO
S R
ES
ER
VA
DO
S
b) La pendiente de la tangente en la posición 100m es cero, por
lo tanto se detiene.
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
87
V(m/s)
7,5
5 15 t(s)
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