View
228
Download
4
Category
Preview:
Citation preview
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Teoria preferencji i jej alternatywy
Dariusz ZawiszaInstytut Matematyki UJ
10 maj 2012
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Racjonalność
Racjonalny decydent:I rzetelnie pozyskuje informacje i właściwie je interpretuje -decydent zna możliwe konsekwencje swoich decyzji,
I na podstawie dostępnych informacji porządkuje projekty,działania i inwestycje w celu maksymalizacji własnych korzyści.
I jest wolny od obciążeń emocjonalnych i norm etycznych.
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Teoria oczekiwanej użyteczności
Zastosowania
Teoria dualna i jej zastosowania
Pozostałe teorie wyboru
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Oznaczenia
(Ω,F ,P) - przestrzeń probablistyczna,
X - zbiór zmiennych losowych przyjmujących wartości w odcinku[0, 1] (zmienne opisujące wyniki różnych loterii lub zyski zinwestycji),
SX (z) := P(X > z) - funkcja przeżycia,
- relacja preferencji określona na zbiorze X porządkująca losowekorzyści z różnych inwestycji.
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Aksjomaty Morgensterna i von Neumanna (1944)
EU1 Jeśli X i Y mają te same rozkłady, to X Y i Y X .EU2 Relacja jest zwrotna przechodnia i spójna i.EU3 Relacja jest ciągła ze względu na zbieżnośc w L1: dla
dowolnych X ,Y ∈ X , X Y istnieje ε > 0 takie, że jeśli‖X − V ‖L1 < ε ‖Y − Z‖L1 < ε, to V Z .
EU4 Monotoniczność: jeśli SX ≤ SY , to X Y .EU5 Niezależność: jeśli α ∈ [0, 1] i Z ∈ X , to
X Y =⇒ αSX + (1− α)SZ αSY + (1− α)SZ .
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Aksjomaty Morgensterna i von Neumanna (1944)
EU1 Jeśli X i Y mają te same rozkłady, to X Y i Y X .
EU2 Relacja jest zwrotna przechodnia i spójna i.EU3 Relacja jest ciągła ze względu na zbieżnośc w L1: dla
dowolnych X ,Y ∈ X , X Y istnieje ε > 0 takie, że jeśli‖X − V ‖L1 < ε ‖Y − Z‖L1 < ε, to V Z .
EU4 Monotoniczność: jeśli SX ≤ SY , to X Y .EU5 Niezależność: jeśli α ∈ [0, 1] i Z ∈ X , to
X Y =⇒ αSX + (1− α)SZ αSY + (1− α)SZ .
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Aksjomaty Morgensterna i von Neumanna (1944)
EU1 Jeśli X i Y mają te same rozkłady, to X Y i Y X .EU2 Relacja jest zwrotna przechodnia i spójna i.
EU3 Relacja jest ciągła ze względu na zbieżnośc w L1: dladowolnych X ,Y ∈ X , X Y istnieje ε > 0 takie, że jeśli‖X − V ‖L1 < ε ‖Y − Z‖L1 < ε, to V Z .
EU4 Monotoniczność: jeśli SX ≤ SY , to X Y .EU5 Niezależność: jeśli α ∈ [0, 1] i Z ∈ X , to
X Y =⇒ αSX + (1− α)SZ αSY + (1− α)SZ .
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Aksjomaty Morgensterna i von Neumanna (1944)
EU1 Jeśli X i Y mają te same rozkłady, to X Y i Y X .EU2 Relacja jest zwrotna przechodnia i spójna i.EU3 Relacja jest ciągła ze względu na zbieżnośc w L1: dla
dowolnych X ,Y ∈ X , X Y istnieje ε > 0 takie, że jeśli‖X − V ‖L1 < ε ‖Y − Z‖L1 < ε, to V Z .
EU4 Monotoniczność: jeśli SX ≤ SY , to X Y .EU5 Niezależność: jeśli α ∈ [0, 1] i Z ∈ X , to
X Y =⇒ αSX + (1− α)SZ αSY + (1− α)SZ .
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Aksjomaty Morgensterna i von Neumanna (1944)
EU1 Jeśli X i Y mają te same rozkłady, to X Y i Y X .EU2 Relacja jest zwrotna przechodnia i spójna i.EU3 Relacja jest ciągła ze względu na zbieżnośc w L1: dla
dowolnych X ,Y ∈ X , X Y istnieje ε > 0 takie, że jeśli‖X − V ‖L1 < ε ‖Y − Z‖L1 < ε, to V Z .
EU4 Monotoniczność: jeśli SX ≤ SY , to X Y .
EU5 Niezależność: jeśli α ∈ [0, 1] i Z ∈ X , to
X Y =⇒ αSX + (1− α)SZ αSY + (1− α)SZ .
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Aksjomaty Morgensterna i von Neumanna (1944)
EU1 Jeśli X i Y mają te same rozkłady, to X Y i Y X .EU2 Relacja jest zwrotna przechodnia i spójna i.EU3 Relacja jest ciągła ze względu na zbieżnośc w L1: dla
dowolnych X ,Y ∈ X , X Y istnieje ε > 0 takie, że jeśli‖X − V ‖L1 < ε ‖Y − Z‖L1 < ε, to V Z .
EU4 Monotoniczność: jeśli SX ≤ SY , to X Y .EU5 Niezależność: jeśli α ∈ [0, 1] i Z ∈ X , to
X Y =⇒ αSX + (1− α)SZ αSY + (1− α)SZ .
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Twierdzenie o reprezentacji
TwierdzenieAksjomaty EU1 - EU5 są spełnione wtedy i tylko wtedy gdy istniejefunkcja u ciągła i niemalejąca na [0,1] taka, że
X Y ⇔ Eu(X ) ≤ Eu(Y ).
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Funkcja u powinna być funkcją wklęsłą (malejące przyrostyposiadają interpretację ekonomiczną).
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
I Dla decydenta z wklęsłą funkcją użyteczności
Eu(X ) ≤ u(EX ).
I Powiemy, że takiego decydenta cechuje awersja do ryzyka.
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
I Dla decydenta z wklęsłą funkcją użyteczności
Eu(X ) ≤ u(EX ).
I Powiemy, że takiego decydenta cechuje awersja do ryzyka.
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Funkcja użyteczności przykłady
I Funkcja HARA
u(x) =
xγγ , dla γ 6= 0, γ < 1,ln x , dla γ = 0.
I funkcja CARA
u(x) = 1− e−γx , γ > 0.
I funkcja kwadratowa
u(x) = ax − 12bx2, a, b > 0.
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Wybór najlepszej strategii finansowej
rs - stopa zwrotu z pewnej akcji (zmienna losowa),
w - procentowa wartość kapitału zainwestowanego w akcje,
r - stopa procentowa na lokacie,
rw := wrs + (1− w)r stopa zwtotu z całego portfela (zmiennalosowa),
Ile powinno wynosić w?
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Wybór najlepszej strategii finansowej
rs - stopa zwrotu z pewnej akcji (zmienna losowa),
w - procentowa wartość kapitału zainwestowanego w akcje,
r - stopa procentowa na lokacie,
rw := wrs + (1− w)r stopa zwtotu z całego portfela (zmiennalosowa),
Ile powinno wynosić w?
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Optymalna strategia c. d.
Odpowiedź:w∗ ∈ argmaxEu(rw ).
Warunek konieczny istnienia maksimum:
E[(rs − r)u′(rw )] = 0.
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Optymalna strategia c. d.
Odpowiedź:w∗ ∈ argmaxEu(rw ).
Warunek konieczny istnienia maksimum:
E[(rs − r)u′(rw )] = 0.
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Model Markowitza
H. Markowitz [1952](Nagroda Nobla w 1990 ) zaproponowałoptymalizację portfela za pomocą maksymalizacji funkcji
L(w) := Erw −θ
2Var(rw ), θ > 0 - parametr awersji do ryzyka .
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Równoważnik pewności
DefinicjaRównoważnikiem pewności nazywamy taką wielkość zysku, jakąmożna uzyskać bez ryzyka, a której użyteczność jest równaoczekiwanej użyteczności X . Innymi słowy równoważnik pewnościCX zmiennej losowej X spełnia warunek
u(CX ) = Eu(X ).
Korzystając z rozwinięcia Taylora
Eu(X ) ≈ u(EX ) +12u′′(EX )Var(X ),
Eu(X ) ≈ u(CX ) ' u(EX ) + u′(EX )(CX − EX ).
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Stąd
Cx ≈ EX +12u′′(EX )
u′(EX )Var(X ).
DefinicjaNiech u będzie dwukrotnie różniczkowalną funkcją użyteczności.Wtedy
α(x) := −u”(x)u′(x)
nazywana jest współczynnikiem bezwzględnej awersji do ryzykaArrowa-Pratta.
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Stąd
Cx ≈ EX +12u′′(EX )
u′(EX )Var(X ).
DefinicjaNiech u będzie dwukrotnie różniczkowalną funkcją użyteczności.Wtedy
α(x) := −u”(x)u′(x)
nazywana jest współczynnikiem bezwzględnej awersji do ryzykaArrowa-Pratta.
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Składka ubezpieczeniowaw - majątek ubezpieczyciela,
X - strata spowodowana wypłatą ubezpieczenia,
H - składka ubezpieczeniowa,
Zakład ubezpieczeń powinien ustalić składkę H tak, aby
u(w) ≤ Eu(w − X + H).
Minimalny poziom składki powinien spełniać równanie
u(w) = Eu(w − X + H).
czyliw ≤ E(w − X + H)
iEX ≤ H.
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Krytyka
I Nie można aksjomatyzować zachowań: ludzie pod wpływemstresu i strachu mogą podejmować decyzje inne od„racjonalnych”.
I H. Simon (Nagroda Nobla 1978) zwraca uwagę, żenapotykając różnorodne ograniczenia czasowe i technologiczneludzie nie są w stanie uzyskać i przetworzyć wszystkichinformacji istotnych dla danego problemu.
I Krytyka aksjomatów (najmocniej aksjomatu niezależności):eksperymenty socjologiczne i psychologiczne nie potwierdziłyzachowań zgodnych z teorią oczekiwanej użyteczności(paradoks Allaisa, paradoks Ellsberga)
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Dual theory of choice
Yaari [1987] zmienił aksjomat niezależności otrzymującreprezentację liczbową relacji preferencji postaci.
X Y ⇔∫ 10g(P(X > x)
)dx ≤
∫ 10g(P(Y > x)
)dx .
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Całka Choqueta
I Centralne miejsce w powyższej reprezentacji zajmuje całka∫ +∞
0g(P(X > x)
)dx .
I Jeśli g(x) = x , to∫ +∞
0g(P(X > x)
)dx =
∫ +∞
0P(X > x)dx = EX .
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Całka Choqueta
I Centralne miejsce w powyższej reprezentacji zajmuje całka∫ +∞
0g(P(X > x)
)dx .
I Jeśli g(x) = x , to∫ +∞
0g(P(X > x)
)dx =
∫ +∞
0P(X > x)dx = EX .
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Całka Choqueta dla zmiennych dyskretnychZmienna X przyjmuje wartości w zbiorze dyskretnymx0, x1, . . . , xn.0 = x0 ≤ x1 ≤ x2 ≤ . . . ≤ xn .P(X = xi ) = pi ,
s(xi ) := P(x > xi ) =∑nk=i+1 pk ,
s(xn) = 0, s(xk−1)− s(xk) = pk ,
g(0) = 0, g(1) = 1
∫ +∞
0g(P(X > x))dx =
n−1∑k=0
g(s(xk)
)(xk+1 − xk)
=n∑k=1
xk[g(s(xk−1)
)− g
(s(xk)
)].
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Zdeformowane miary ryzyka-definicja
X - zmienna losowa reprezentująca stratę, lub płatności, którepowinny zostać dokonane.
DefinicjaZdeformowaną miarą ryzyka (distortion risk measure) wyznaczonąprzez funkcję rosnącą g (g(0) = 0, g(1) = 1), nazywamyfunkcjonał
ρg (X ) =
∫ 0−∞
[g(P(X > x))− 1]dx +
∫ +∞
0g(P(X > x))dx .
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
WłasnościI Monotoniczność
Jeśli X ≤ Y , to ρg (X ) ≤ ρg (Y ).
I Dodatnia jednorodność
ρg (λX ) = λρg (X ), dla λ > 0.
I Niezmienniczość względem przesunięcia
ρg (X − c) = ρg (X )− c, dla c ∈ R.
I Subaddytywność (dla wklęsłej funkcji g)
ρg (X + Y ) ≤ ρg (X ) + ρg (Y ).
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
WłasnościI Monotoniczność
Jeśli X ≤ Y , to ρg (X ) ≤ ρg (Y ).
I Dodatnia jednorodność
ρg (λX ) = λρg (X ), dla λ > 0.
I Niezmienniczość względem przesunięcia
ρg (X − c) = ρg (X )− c, dla c ∈ R.
I Subaddytywność (dla wklęsłej funkcji g)
ρg (X + Y ) ≤ ρg (X ) + ρg (Y ).
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
WłasnościI Monotoniczność
Jeśli X ≤ Y , to ρg (X ) ≤ ρg (Y ).
I Dodatnia jednorodność
ρg (λX ) = λρg (X ), dla λ > 0.
I Niezmienniczość względem przesunięcia
ρg (X − c) = ρg (X )− c, dla c ∈ R.
I Subaddytywność (dla wklęsłej funkcji g)
ρg (X + Y ) ≤ ρg (X ) + ρg (Y ).
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
WłasnościI Monotoniczność
Jeśli X ≤ Y , to ρg (X ) ≤ ρg (Y ).
I Dodatnia jednorodność
ρg (λX ) = λρg (X ), dla λ > 0.
I Niezmienniczość względem przesunięcia
ρg (X − c) = ρg (X )− c, dla c ∈ R.
I Subaddytywność (dla wklęsłej funkcji g)
ρg (X + Y ) ≤ ρg (X ) + ρg (Y ).
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Przykłady
I VaR (Value at Risk) (dla rozkładów ciągłych)
VaRα(X ) = supx |P(X > x) ≥ α = ρgα(X ),
gα(x) =
0, jeśli 0 ≤ x < α,
1, jeśli α ≤ x ≤ 1.
I CVaR (Conditional Value at Risk) (dla rozkładów ciągłych)
CVaRα(X ) = E(X |X > VaRα(X )),
gα(x) = min(xα, 1).
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Przykłady
I VaR (Value at Risk) (dla rozkładów ciągłych)
VaRα(X ) = supx |P(X > x) ≥ α = ρgα(X ),
gα(x) =
0, jeśli 0 ≤ x < α,
1, jeśli α ≤ x ≤ 1.
I CVaR (Conditional Value at Risk) (dla rozkładów ciągłych)
CVaRα(X ) = E(X |X > VaRα(X )),
gα(x) = min(xα, 1).
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Przykłady c. d.
I Potęgowa funkcja deformująca
gα(x) = xα, 0 < α < 1.
I Deformująca funkcja Giniego
gα(x) = (1+ α)x − αx2, 0 < α < 1.
I Deformacja Wanga
gWα (x) = Φ[Φ−1(x) + α],
gdzie Φ jest dystrybuantą standardowego rozkładunormalnego.
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Przykłady c. d.
I Potęgowa funkcja deformująca
gα(x) = xα, 0 < α < 1.
I Deformująca funkcja Giniego
gα(x) = (1+ α)x − αx2, 0 < α < 1.
I Deformacja Wanga
gWα (x) = Φ[Φ−1(x) + α],
gdzie Φ jest dystrybuantą standardowego rozkładunormalnego.
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Przykłady c. d.
I Potęgowa funkcja deformująca
gα(x) = xα, 0 < α < 1.
I Deformująca funkcja Giniego
gα(x) = (1+ α)x − αx2, 0 < α < 1.
I Deformacja Wanga
gWα (x) = Φ[Φ−1(x) + α],
gdzie Φ jest dystrybuantą standardowego rozkładunormalnego.
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Przykłady c. d.
I Potęgowa funkcja deformująca
gα(x) = xα, 0 < α < 1.
I Deformująca funkcja Giniego
gα(x) = (1+ α)x − αx2, 0 < α < 1.
I Deformacja Wanga
gWα (x) = Φ[Φ−1(x) + α],
gdzie Φ jest dystrybuantą standardowego rozkładunormalnego.
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Rank dependent expected utility theory
I Preferencje wyznaczone za pomocą funkcjonału
X →∫ +∞
0g[P(u(X ) > x
)]dx .
I Dla zmiennych przyjmujących wartości dyskretne∫ +∞
0g[P(u(X ) > x
)]dx =
n∑k=1
u(xk)[g(s(xk−1)
)−g(s(xk)
)].
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Rank dependent expected utility theory
I Preferencje wyznaczone za pomocą funkcjonału
X →∫ +∞
0g[P(u(X ) > x
)]dx .
I Dla zmiennych przyjmujących wartości dyskretne∫ +∞
0g[P(u(X ) > x
)]dx =
n∑k=1
u(xk)[g(s(xk−1)
)−g(s(xk)
)].
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Teoria perspektyw
Eksperymenty wykonane przez Kahnemana (Nagroda Nobla w2002 r) i Tversky’ego [1979] wykazały, że
I Ludzie oceniają dostępne im alternatywy ze względu napewien punkt odniesienia, którego umiejscowienie zależy odich aktualnego bogactwa, przeszłych doświadczeń, etc.
I Funkcja użyteczności (tu nazwana funkcją oceny) jest wklęsładla prognoz pozytywnych i wypukła dla prognoz negatywnych.
I Ludzie bardzo rzadkie zdarzenia traktują jako niemożliwe aniektóre zdarzenia uznane jako wysoce prawdopodobnetraktują jak pewne.
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Teoria perspektyw
Eksperymenty wykonane przez Kahnemana (Nagroda Nobla w2002 r) i Tversky’ego [1979] wykazały, że
I Ludzie oceniają dostępne im alternatywy ze względu napewien punkt odniesienia, którego umiejscowienie zależy odich aktualnego bogactwa, przeszłych doświadczeń, etc.
I Funkcja użyteczności (tu nazwana funkcją oceny) jest wklęsładla prognoz pozytywnych i wypukła dla prognoz negatywnych.
I Ludzie bardzo rzadkie zdarzenia traktują jako niemożliwe aniektóre zdarzenia uznane jako wysoce prawdopodobnetraktują jak pewne.
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Teoria perspektyw
Eksperymenty wykonane przez Kahnemana (Nagroda Nobla w2002 r) i Tversky’ego [1979] wykazały, że
I Ludzie oceniają dostępne im alternatywy ze względu napewien punkt odniesienia, którego umiejscowienie zależy odich aktualnego bogactwa, przeszłych doświadczeń, etc.
I Funkcja użyteczności (tu nazwana funkcją oceny) jest wklęsładla prognoz pozytywnych i wypukła dla prognoz negatywnych.
I Ludzie bardzo rzadkie zdarzenia traktują jako niemożliwe aniektóre zdarzenia uznane jako wysoce prawdopodobnetraktują jak pewne.
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Teoria perspektyw
Eksperymenty wykonane przez Kahnemana (Nagroda Nobla w2002 r) i Tversky’ego [1979] wykazały, że
I Ludzie oceniają dostępne im alternatywy ze względu napewien punkt odniesienia, którego umiejscowienie zależy odich aktualnego bogactwa, przeszłych doświadczeń, etc.
I Funkcja użyteczności (tu nazwana funkcją oceny) jest wklęsładla prognoz pozytywnych i wypukła dla prognoz negatywnych.
I Ludzie bardzo rzadkie zdarzenia traktują jako niemożliwe aniektóre zdarzenia uznane jako wysoce prawdopodobnetraktują jak pewne.
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Teoria perspektyw c. d.Kierując się przedstawionymi przesłankami ustalono, że preferencjepowinny być oparte na funkcjonale
X =⇒ V+[(X − L)+]− V−[(X − L)−], gdzie
V+(X ) =
∫ +∞
0g+[P(u+(X ) > x
)]dx ,
V−(X ) =
∫ +∞
0g−[P(u−(X ) > x
)]dx ,
u+, u− są wklęsłymi i rosnącymi funkcjami na R+,
g+ wklęsła na [0, 1], g+(0) = 0, g+(1) = 1, g+(p) ≥ p,
g− wklęsła na [0, 1], g−(0) = 0, g−(1) = 1.Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Maxmin choice
Q - zbiór prawdopodobieństw wyznaczających zakres błędupopełnionego przy konstrukcji modelu.
Gilboa i Schmeidler [1989] zaproponowali relację opartą okryterium najgorszego możliwego scenariusza
X Y ⇐⇒ infQ∈Q
EQu(X ) ≤ infQ∈Q
EQu(Y ),
gdzie u jest funkcją użyteczności.
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Funkcja kary
Macheroni et al. [2006] zaproponowali aksjomatykę dla relacji
X Y ⇐⇒ infQ∈Q
EQ[u(X )−α(Q|P)
]≤ infQ∈Q
EQ[u(Y )−α(Q|P)
],
gdzie α(Q|P) określa „odległość” dwóch prawdopodobieństw.
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Literatura I
Gilboa I, Schmeidler D. Maxmin expected utility with
non-unique prior. J Math Econ 18 (1989), 141–153
Kahneman, D. and Tversky, A., (1979): Prospect theory: an
analysis of decision under risk, Econometrica, 47, 263-291.
Maccheroni,Fabio; Marinacci, Massimo; Rustchini, Aldo
Ambiguity aversion, Robustness, and Variational
Representation of Preferences Econometrica, Vol. 74, No. 6 (
2006), 1447-1498
Markowitz H. (1952) Portfolio selection. J Finance 7: 77–91
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Literatura II
von Neumann, John; Morgenstern, Oskar Theory of Games
and Economic Behavior. Princeton University Press, Princeton,
New Jersey, 1944
Yaari, Menahem E. The dual theory of choice under risk.
Econometrica 55 (1987), no. 1, 95–115.
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Teoria oczekiwanej użyteczności Zastosowania Teoria dualna i jej zastosowania Pozostałe teorie wyboru
Dziękuję za uwagę.
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ
Teoria preferencji i jej alternatywy
Recommended