Thay hoa bài 1

VÍ DỤ ÁP DỤNG

Ôn thi Cao học năm 2010Môn Giải tích cơ bản

PGS.TS Lê Hoàn Hóa

Khoa Toán-Tin học, Đại học Sư Phạm TP HCM

http://math.hcmup.edu.vn

Ngày 16 tháng 12 năm 2009

PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học

VÍ DỤ ÁP DỤNG

Bài1: Giới hạn của dãy số

1. Định nghĩa

2.Định lý cơ bản

3.Các giới hạn cơ bản

4.Ví dụ

PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học

VÍ DỤ ÁP DỤNG

Bài1: Giới hạn của dãy số

1. Định nghĩa

2.Định lý cơ bản

3.Các giới hạn cơ bản

4.Ví dụ

PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học

VÍ DỤ ÁP DỤNG

Bài1: Giới hạn của dãy số

1. Định nghĩa

2.Định lý cơ bản

3.Các giới hạn cơ bản

4.Ví dụ

PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học

VÍ DỤ ÁP DỤNG

Bài1: Giới hạn của dãy số

1. Định nghĩa

2.Định lý cơ bản

3.Các giới hạn cơ bản

4.Ví dụ

PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học

VÍ DỤ ÁP DỤNG

Bài1: Giới hạn của dãy số

1. Định nghĩa

2.Định lý cơ bản

3.Các giới hạn cơ bản

4.Ví dụ

PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học

VÍ DỤ ÁP DỤNG

Bài1: Giới hạn của dãy số

1. Định nghĩa

2.Định lý cơ bản

3.Các giới hạn cơ bản

4.Ví dụ

PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học

VÍ DỤ ÁP DỤNG

1. Các định nghĩa

Cho (xn)n là dãy số thực. Ta có

Dãy (xn)n hội tụ về x (x hữu hạn) khi n → ∞, kí hiệulim

n→∞xn = x hay lim xn = xnếu với mọi 𝜖 > 0, tồn tại số tự

nhiên n0 ∈ N sao cho với n ≥ n0 thì |xn − x | < 𝜖.lim xn = x

⇐⇒ ∀𝜖 > 0, ∃n0 ∈ N : ∀n ≥ n0 =⇒ |xn−x | < 𝜖 ⇐⇒ lim|xn − x | = 0

Dãy (xn)n tiến ra +∞ (theo thứ tự −∞) nếu với mọi A ∈ R ,tồn tại n0 ∈ N sao cho với mọi n ≥ n0 thì xn > A (theo thứtự xn < A).Dãy (xn)n phân kỳ không có lim xn hoặc lim xn = +∞ hoặclim xn = −∞.Như vây với một dãy (xn)n chỉ có hai trường hợp : hoặc (xn)nhội tụ hoặc (xn)n phân kỳPGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học

VÍ DỤ ÁP DỤNG

1. Các định nghĩa

Cho (xn)n là dãy số thực. Ta có

Dãy (xn)n hội tụ về x (x hữu hạn) khi n → ∞, kí hiệulim

n→∞xn = x hay lim xn = xnếu với mọi 𝜖 > 0, tồn tại số tự

nhiên n0 ∈ N sao cho với n ≥ n0 thì |xn − x | < 𝜖.lim xn = x

⇐⇒ ∀𝜖 > 0, ∃n0 ∈ N : ∀n ≥ n0 =⇒ |xn−x | < 𝜖 ⇐⇒ lim|xn − x | = 0

Dãy (xn)n tiến ra +∞ (theo thứ tự −∞) nếu với mọi A ∈ R ,tồn tại n0 ∈ N sao cho với mọi n ≥ n0 thì xn > A (theo thứtự xn < A).Dãy (xn)n phân kỳ không có lim xn hoặc lim xn = +∞ hoặclim xn = −∞.Như vây với một dãy (xn)n chỉ có hai trường hợp : hoặc (xn)nhội tụ hoặc (xn)n phân kỳPGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học

VÍ DỤ ÁP DỤNG

1. Các định nghĩa

Cho (xn)n là dãy số thực. Ta có

Dãy (xn)n hội tụ về x (x hữu hạn) khi n → ∞, kí hiệulim

n→∞xn = x hay lim xn = xnếu với mọi 𝜖 > 0, tồn tại số tự

nhiên n0 ∈ N sao cho với n ≥ n0 thì |xn − x | < 𝜖.lim xn = x

⇐⇒ ∀𝜖 > 0, ∃n0 ∈ N : ∀n ≥ n0 =⇒ |xn−x | < 𝜖 ⇐⇒ lim|xn − x | = 0

Dãy (xn)n tiến ra +∞ (theo thứ tự −∞) nếu với mọi A ∈ R ,tồn tại n0 ∈ N sao cho với mọi n ≥ n0 thì xn > A (theo thứtự xn < A).Dãy (xn)n phân kỳ không có lim xn hoặc lim xn = +∞ hoặclim xn = −∞.Như vây với một dãy (xn)n chỉ có hai trường hợp : hoặc (xn)nhội tụ hoặc (xn)n phân kỳPGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học

VÍ DỤ ÁP DỤNG

1. Các định nghĩa

Cho (xn)n là dãy số thực. Ta có

Dãy (xn)n hội tụ về x (x hữu hạn) khi n → ∞, kí hiệulim

n→∞xn = x hay lim xn = xnếu với mọi 𝜖 > 0, tồn tại số tự

nhiên n0 ∈ N sao cho với n ≥ n0 thì |xn − x | < 𝜖.lim xn = x

⇐⇒ ∀𝜖 > 0, ∃n0 ∈ N : ∀n ≥ n0 =⇒ |xn−x | < 𝜖 ⇐⇒ lim|xn − x | = 0

Dãy (xn)n tiến ra +∞ (theo thứ tự −∞) nếu với mọi A ∈ R ,tồn tại n0 ∈ N sao cho với mọi n ≥ n0 thì xn > A (theo thứtự xn < A).Dãy (xn)n phân kỳ không có lim xn hoặc lim xn = +∞ hoặclim xn = −∞.Như vây với một dãy (xn)n chỉ có hai trường hợp : hoặc (xn)nhội tụ hoặc (xn)n phân kỳPGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học

VÍ DỤ ÁP DỤNG

1. Các định nghĩa

Cho (xn)n là dãy số thực. Ta có

Dãy (xn)n hội tụ về x (x hữu hạn) khi n → ∞, kí hiệulim

n→∞xn = x hay lim xn = xnếu với mọi 𝜖 > 0, tồn tại số tự

nhiên n0 ∈ N sao cho với n ≥ n0 thì |xn − x | < 𝜖.lim xn = x

⇐⇒ ∀𝜖 > 0, ∃n0 ∈ N : ∀n ≥ n0 =⇒ |xn−x | < 𝜖 ⇐⇒ lim|xn − x | = 0

Dãy (xn)n tiến ra +∞ (theo thứ tự −∞) nếu với mọi A ∈ R ,tồn tại n0 ∈ N sao cho với mọi n ≥ n0 thì xn > A (theo thứtự xn < A).Dãy (xn)n phân kỳ không có lim xn hoặc lim xn = +∞ hoặclim xn = −∞.Như vây với một dãy (xn)n chỉ có hai trường hợp : hoặc (xn)nhội tụ hoặc (xn)n phân kỳPGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học

VÍ DỤ ÁP DỤNG

2. Các định lý cơ bản

1 Nếu(xn)n là dãy tăng, bị chặn trên và a = sup{xn} thìlim xn = a. Nếu (xn)n là dãy giảm bị chặn dưới và b = inf{xn}thì lim xn = b.

2 Giới hạn kẹp :Giả sử : an ≤ xn ≤ bn, ∀n ≥ n0 vàlim an = lim bn = a. Khi đó lim xn = a.

3 Tiêu chuẩn Cauchy :(xn)n hội tụ

⇐⇒ ∀𝜖 > 0,∃n0 ∈ N : ∀n ≥ n0, ∀p ∈ N =⇒ |xn+p − xn| < 𝜖

PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học

VÍ DỤ ÁP DỤNG

2. Các định lý cơ bản

1 Nếu(xn)n là dãy tăng, bị chặn trên và a = sup{xn} thìlim xn = a. Nếu (xn)n là dãy giảm bị chặn dưới và b = inf{xn}thì lim xn = b.

2 Giới hạn kẹp :Giả sử : an ≤ xn ≤ bn, ∀n ≥ n0 vàlim an = lim bn = a. Khi đó lim xn = a.

3 Tiêu chuẩn Cauchy :(xn)n hội tụ

⇐⇒ ∀𝜖 > 0,∃n0 ∈ N : ∀n ≥ n0, ∀p ∈ N =⇒ |xn+p − xn| < 𝜖

PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học

VÍ DỤ ÁP DỤNG

2. Các định lý cơ bản

1 Nếu(xn)n là dãy tăng, bị chặn trên và a = sup{xn} thìlim xn = a. Nếu (xn)n là dãy giảm bị chặn dưới và b = inf{xn}thì lim xn = b.

2 Giới hạn kẹp :Giả sử : an ≤ xn ≤ bn, ∀n ≥ n0 vàlim an = lim bn = a. Khi đó lim xn = a.

3 Tiêu chuẩn Cauchy :(xn)n hội tụ

⇐⇒ ∀𝜖 > 0,∃n0 ∈ N : ∀n ≥ n0, ∀p ∈ N =⇒ |xn+p − xn| < 𝜖

PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học

VÍ DỤ ÁP DỤNG

2. Các định lý cơ bản

1 Nếu(xn)n là dãy tăng, bị chặn trên và a = sup{xn} thìlim xn = a. Nếu (xn)n là dãy giảm bị chặn dưới và b = inf{xn}thì lim xn = b.

2 Giới hạn kẹp :Giả sử : an ≤ xn ≤ bn, ∀n ≥ n0 vàlim an = lim bn = a. Khi đó lim xn = a.

3 Tiêu chuẩn Cauchy :(xn)n hội tụ

⇐⇒ ∀𝜖 > 0,∃n0 ∈ N : ∀n ≥ n0, ∀p ∈ N =⇒ |xn+p − xn| < 𝜖

PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học

VÍ DỤ ÁP DỤNG

3. Các giới hạn cơ bản

1

lim1

n𝛼= 0, ∀𝛼 > 0

2

lim qn = 0,∀q, |q| < 1

3

lim n√

a = 1, ∀a > 0

4

lim n√

np = 1, ∀p ≥ 0

PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học

VÍ DỤ ÁP DỤNG

3. Các giới hạn cơ bản

1

lim1

n𝛼= 0, ∀𝛼 > 0

2

lim qn = 0,∀q, |q| < 1

3

lim n√

a = 1, ∀a > 0

4

lim n√

np = 1, ∀p ≥ 0

PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học

VÍ DỤ ÁP DỤNG

3. Các giới hạn cơ bản

1

lim1

n𝛼= 0, ∀𝛼 > 0

2

lim qn = 0,∀q, |q| < 1

3

lim n√

a = 1, ∀a > 0

4

lim n√

np = 1, ∀p ≥ 0

PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học

VÍ DỤ ÁP DỤNG

3. Các giới hạn cơ bản

1

lim1

n𝛼= 0, ∀𝛼 > 0

2

lim qn = 0,∀q, |q| < 1

3

lim n√

a = 1, ∀a > 0

4

lim n√

np = 1, ∀p ≥ 0

PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học

VÍ DỤ ÁP DỤNG

3. Các giới hạn cơ bản

1

lim1

n𝛼= 0, ∀𝛼 > 0

2

lim qn = 0,∀q, |q| < 1

3

lim n√

a = 1, ∀a > 0

4

lim n√

np = 1, ∀p ≥ 0

PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học

VÍ DỤ ÁP DỤNG

3. Các giới hạn cơ bản

1

lim1

n𝛼= 0, ∀𝛼 > 0

2

lim qn = 0,∀q, |q| < 1

3

lim n√

a = 1, ∀a > 0

4

lim n√

np = 1, ∀p ≥ 0

PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học

VÍ DỤ ÁP DỤNG

3. Các giới hạn cơ bản

5

limnp

(1 + a)n= 0, ∀a > 0,∀p

6

limnp

en= 0, ∀p

7

lim(1 +1

n)n = e

PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học

VÍ DỤ ÁP DỤNG

3. Các giới hạn cơ bản

5

limnp

(1 + a)n= 0, ∀a > 0,∀p

6

limnp

en= 0, ∀p

7

lim(1 +1

n)n = e

PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học

VÍ DỤ ÁP DỤNG

3. Các giới hạn cơ bản

5

limnp

(1 + a)n= 0, ∀a > 0,∀p

6

limnp

en= 0, ∀p

7

lim(1 +1

n)n = e

PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học

VÍ DỤ ÁP DỤNG

3. Các giới hạn cơ bản

5

limnp

(1 + a)n= 0, ∀a > 0,∀p

6

limnp

en= 0, ∀p

7

lim(1 +1

n)n = e

PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học

VÍ DỤ ÁP DỤNG

3. Các giới hạn cơ bản

5

limnp

(1 + a)n= 0, ∀a > 0,∀p

6

limnp

en= 0, ∀p

7

lim(1 +1

n)n = e

PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học

VÍ DỤ ÁP DỤNG

3. Các giới hạn cơ bản

8

lim(1 − 1

n)n = e−1

9

limlnp n

n𝛼= 0, ∀𝛼 > 0,∀p

10lim

nn√

n= e

PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học

VÍ DỤ ÁP DỤNG

3. Các giới hạn cơ bản

8

lim(1 − 1

n)n = e−1

9

limlnp n

n𝛼= 0, ∀𝛼 > 0,∀p

10lim

nn√

n= e

PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học

VÍ DỤ ÁP DỤNG

3. Các giới hạn cơ bản

8

lim(1 − 1

n)n = e−1

9

limlnp n

n𝛼= 0, ∀𝛼 > 0,∀p

10lim

nn√

n= e

PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học

VÍ DỤ ÁP DỤNG

3. Các giới hạn cơ bản

8

lim(1 − 1

n)n = e−1

9

limlnp n

n𝛼= 0, ∀𝛼 > 0,∀p

10lim

nn√

n= e

PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học

VÍ DỤ ÁP DỤNG

Ví dụ 1

Với a>0 cho (xn)n = (1 + an )

n, (yn)n = (1 + an )

n+1n ∈ N

1 Chứng minh (xn)n là dãy tăng, (yn)n là dãy giảm

2 Chứng minh: (xn)n, (yn)n hội tụ và lim xn = lim yn. Đặtlim xn = lim yn=ea

PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học

VÍ DỤ ÁP DỤNG

Ví dụ 1

Giải :1. Trước tiên ta chứng minh: Với𝛼 ≥ −1, (1 + 𝛼)n ≥ 1 + n𝛼,∀n ∈ NBất đẳng thức đúng với n = 1. Giả sử đúng đến n.Khi đó, do 1 + 𝛼 ≥ 0 :(1 + 𝛼)n+1 = (1 + 𝛼)n(1 + 𝛼)≥ (1 + n𝛼)(1 + 𝛼) = 1 + (n + 1)𝛼+ 𝛼2 ≥ 1 + (n + 1)𝛼Ta có , với mọi n ∈ N :

xn+1

xn=

(1+ an+1

)n+1

(1+ an)n = (1 + a

n+1)(1+ a

n+1

1+ an)n

= (1 + an+1)[1 − a

(n+1)(n+a) ]n

≥ (1 + an+1)[1 − na

(n+1)(n+a) ] = 1+ a2

(n+1)2(n+a)> 1

Vậy (xn)n là dãy tăngPGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học

VÍ DỤ ÁP DỤNG

Ví dụ 1

Giải :1. Trước tiên ta chứng minh: Với𝛼 ≥ −1, (1 + 𝛼)n ≥ 1 + n𝛼,∀n ∈ NBất đẳng thức đúng với n = 1. Giả sử đúng đến n.Khi đó, do 1 + 𝛼 ≥ 0 :(1 + 𝛼)n+1 = (1 + 𝛼)n(1 + 𝛼)≥ (1 + n𝛼)(1 + 𝛼) = 1 + (n + 1)𝛼+ 𝛼2 ≥ 1 + (n + 1)𝛼Ta có , với mọi n ∈ N :

xn+1

xn=

(1+ an+1

)n+1

(1+ an)n = (1 + a

n+1)(1+ a

n+1

1+ an)n

= (1 + an+1)[1 − a

(n+1)(n+a) ]n

≥ (1 + an+1)[1 − na

(n+1)(n+a) ] = 1+ a2

(n+1)2(n+a)> 1

Vậy (xn)n là dãy tăngPGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học

VÍ DỤ ÁP DỤNG

Ví dụ 1

Giải :1. Trước tiên ta chứng minh: Với𝛼 ≥ −1, (1 + 𝛼)n ≥ 1 + n𝛼,∀n ∈ NBất đẳng thức đúng với n = 1. Giả sử đúng đến n.Khi đó, do 1 + 𝛼 ≥ 0 :(1 + 𝛼)n+1 = (1 + 𝛼)n(1 + 𝛼)≥ (1 + n𝛼)(1 + 𝛼) = 1 + (n + 1)𝛼+ 𝛼2 ≥ 1 + (n + 1)𝛼Ta có , với mọi n ∈ N :

xn+1

xn=

(1+ an+1

)n+1

(1+ an)n = (1 + a

n+1)(1+ a

n+1

1+ an)n

= (1 + an+1)[1 − a

(n+1)(n+a) ]n

≥ (1 + an+1)[1 − na

(n+1)(n+a) ] = 1+ a2

(n+1)2(n+a)> 1

Vậy (xn)n là dãy tăngPGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học

VÍ DỤ ÁP DỤNG

Ví dụ 1

Tuơng tự :

yn

yn+1=

(1+ an)n+1

(1+ an+4

)n+2 = (1 + an+1)

−1[1 + a(1+a+n)n ]

n+1

≥ (1 − aa+n+1)[1 + (n+1)a

n(n+a+1) ] ≥ 1 + (n+1)an(n+1+a)2

> 1

Vậy (yn)n là dãy giảm.2. Ta có : (1 + a) = x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ xn ≤ yn ≤ ... ≤ y1 = (1 + a)2

Vậy (xn)n là dãy tăng và bị chăn trên ; (yn)n là dãy giảm và bịchặn dưới, chúng hội tụ.Đặt lim xn = lim yn = lim(1 + a

n )n = ea

PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học

VÍ DỤ ÁP DỤNG

Ví dụ 1

Tuơng tự :

yn

yn+1=

(1+ an)n+1

(1+ an+4

)n+2 = (1 + an+1)

−1[1 + a(1+a+n)n ]

n+1

≥ (1 − aa+n+1)[1 + (n+1)a

n(n+a+1) ] ≥ 1 + (n+1)an(n+1+a)2

> 1

Vậy (yn)n là dãy giảm.2. Ta có : (1 + a) = x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ xn ≤ yn ≤ ... ≤ y1 = (1 + a)2

Vậy (xn)n là dãy tăng và bị chăn trên ; (yn)n là dãy giảm và bịchặn dưới, chúng hội tụ.Đặt lim xn = lim yn = lim(1 + a

n )n = ea

PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học

VÍ DỤ ÁP DỤNG

ví dụ 2

Cho (xn)n xác định bởi: x1 =√

2, xn+1 =√

2 + xn, ∀n ∈ N. Chứngminh (xn)n là dãy tăng, bị chặn trên. Tính lim xn

PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học

VÍ DỤ ÁP DỤNG

Ví dụ 2

Giải :Ta có (xn)n ≥ 0,∀n ∈ N và

xn+1 − xn =√

2 + xn − xn = 2+xn−x2n√

2+xn+xn

2 + xn − x2n ≥ 0 ⇔ −2 ≤ xn ≤ 2,∀n ∈ N

Bằng quy nạp, ta có (xn) =√

2 < 2. Giả sử xn ≤ 2. Khi đóxn+1 =

√2 + xn ≤ 2

Vậy(xn)n là dãy tăng , bị chặn trên nên (xn)n hội tụ.Đặt x = lim xn.Từ đẳng thức x(n + 1) =

√2 + xn,∀n ∈ N , cho n → ∞ta

có:x =√

2 + x hay x2 − x − 2 = 0.Vậy x=2

PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học

VÍ DỤ ÁP DỤNG

Ví dụ 2

Giải :Ta có (xn)n ≥ 0,∀n ∈ N và

xn+1 − xn =√

2 + xn − xn = 2+xn−x2n√

2+xn+xn

2 + xn − x2n ≥ 0 ⇔ −2 ≤ xn ≤ 2,∀n ∈ N

Bằng quy nạp, ta có (xn) =√

2 < 2. Giả sử xn ≤ 2. Khi đóxn+1 =

√2 + xn ≤ 2

Vậy(xn)n là dãy tăng , bị chặn trên nên (xn)n hội tụ.Đặt x = lim xn.Từ đẳng thức x(n + 1) =

√2 + xn,∀n ∈ N , cho n → ∞ta

có:x =√

2 + x hay x2 − x − 2 = 0.Vậy x=2

PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học

VÍ DỤ ÁP DỤNG

Ví dụ 2

Giải :Ta có (xn)n ≥ 0,∀n ∈ N và

xn+1 − xn =√

2 + xn − xn = 2+xn−x2n√

2+xn+xn

2 + xn − x2n ≥ 0 ⇔ −2 ≤ xn ≤ 2,∀n ∈ N

Bằng quy nạp, ta có (xn) =√

2 < 2. Giả sử xn ≤ 2. Khi đóxn+1 =

√2 + xn ≤ 2

Vậy(xn)n là dãy tăng , bị chặn trên nên (xn)n hội tụ.Đặt x = lim xn.Từ đẳng thức x(n + 1) =

√2 + xn,∀n ∈ N , cho n → ∞ta

có:x =√

2 + x hay x2 − x − 2 = 0.Vậy x=2

PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học

VÍ DỤ ÁP DỤNG

Ví dụ 2

Giải :Ta có (xn)n ≥ 0,∀n ∈ N và

xn+1 − xn =√

2 + xn − xn = 2+xn−x2n√

2+xn+xn

2 + xn − x2n ≥ 0 ⇔ −2 ≤ xn ≤ 2,∀n ∈ N

Bằng quy nạp, ta có (xn) =√

2 < 2. Giả sử xn ≤ 2. Khi đóxn+1 =

√2 + xn ≤ 2

Vậy(xn)n là dãy tăng , bị chặn trên nên (xn)n hội tụ.Đặt x = lim xn.Từ đẳng thức x(n + 1) =

√2 + xn,∀n ∈ N , cho n → ∞ta

có:x =√

2 + x hay x2 − x − 2 = 0.Vậy x=2

PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học

VÍ DỤ ÁP DỤNG

ví dụ 3

Tính

lim3n+1 + 2n

3n + 2n

Giải :

lim3n+1 + 2n

3n + 2n= lim

3n+1[1 + (23)

n+1]

3n[1 + (23)

n]= 3

PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học

VÍ DỤ ÁP DỤNG

ví dụ 3

Tính

lim3n+1 + 2n

3n + 2n

Giải :

lim3n+1 + 2n

3n + 2n= lim

3n+1[1 + (23)

n+1]

3n[1 + (23)

n]= 3

PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học

VÍ DỤ ÁP DỤNG

ví dụ 4

Tính lim n√

an + bn + cn, a, b, c > 0.Giải :

Giả sử a = max{a,b, c}. Ta có :

a ≤ n√

an + bn + cn = an

√︂1 + (

b

a)n + (

c

a)n ≤ a

n√

3

Vậy lim n√

an + bn + cn = max{a,b, c}

PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học

VÍ DỤ ÁP DỤNG

ví dụ 4

Tính lim n√

an + bn + cn, a, b, c > 0.Giải :

Giả sử a = max{a,b, c}. Ta có :

a ≤ n√

an + bn + cn = an

√︂1 + (

b

a)n + (

c

a)n ≤ a

n√

3

Vậy lim n√

an + bn + cn = max{a,b, c}

PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học

VÍ DỤ ÁP DỤNG

ví dụ 5

Tính lim n√

n2.2n + 3n

Giải :Do lim n2

( 32)n

= 0 nên có n0 sao cho n2

( 32)n

< 1, ∀n ≥ n0

Với n ≥ n0, ta có

3 ≤ n√︀

n22n + 3n = 3 n

√︃1 +

n2

(32)

n≤ 3

n√

2

Do định lý giới hạn kẹplim n

√n2.2n + 3n = 3

PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học

VÍ DỤ ÁP DỤNG

ví dụ 5

Tính lim n√

n2.2n + 3n

Giải :Do lim n2

( 32)n

= 0 nên có n0 sao cho n2

( 32)n

< 1, ∀n ≥ n0

Với n ≥ n0, ta có

3 ≤ n√︀

n22n + 3n = 3 n

√︃1 +

n2

(32)

n≤ 3

n√

2

Do định lý giới hạn kẹplim n

√n2.2n + 3n = 3

PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học

VÍ DỤ ÁP DỤNG

ví dụ 6

Tínhlim sin(𝜋

√︀n2 + 1)

Giải :Ta có

0 ≤ | sin(𝜋√

n2 + 1)| = | sin𝜋(√

n2 + 1 − n)| = | sin( 𝜋√n2+1+n

)|≤ 𝜋√

n2+1+n

Vậy lim sin(𝜋√

n2 + 1) = 0

PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học

VÍ DỤ ÁP DỤNG

ví dụ 6

Tínhlim sin(𝜋

√︀n2 + 1)

Giải :Ta có

0 ≤ | sin(𝜋√

n2 + 1)| = | sin𝜋(√

n2 + 1 − n)| = | sin( 𝜋√n2+1+n

)|≤ 𝜋√

n2+1+n

Vậy lim sin(𝜋√

n2 + 1) = 0

PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học

VÍ DỤ ÁP DỤNG

BÀI TẬP

Tính các giới hạn sau:

1 lim√

n2 + 5 −√

n2 + 3

2 lim n sin nn2+1

3 lim an−bn

an+bn ,∀a, b > 0

4 lim nqn, |q| < 1

5 lim frac2nn!( HD: 2n

n! =2.2...2.2

1.2....(n−1).n ≤ 4n )

6 lim n2

n!

7 Chứng minh : 12 + 22 + ...+ n2 = n(n+1)(2n+1)6

Tính 12+22+...+n2

n3

PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học

VÍ DỤ ÁP DỤNG

BÀI TẬP

Tính các giới hạn sau:

1 Tính lim n( n√

e − 1)HD : Dùng thí dụ (1) có bất đẳng thức :(1 + 1

n )n < e < (1 − 1

n−1)n, ∀n

2 Cho (xn)n định bởi : x1 =√

a, xn+1 =√

a + xn, ∀n(a > 0)Xét tính đơn điệu của (xn)n và tính lim xn .(nếu có)

3 Tính lim fracn2√

n

HD:n

2√

n = exp[−√

n ln 2(1 − ln n√n ln 2

)]

Do lim lnn√n ln 2

= 0 nên lim ln n −√

n ln 2 = −∞. Suy ra với

mọi A > 0, có n0 ∈ N sao cho với n ≥ n0 thì n2√

n ≤ e−A. Vậylim n

2√

n = 0

PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học