View
228
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
L/O/G/O
KOMBINATORIK
Selasa, 22 Nopember 2016
By :
ILHAM SAIFUDIN
www.themegallery.com
BAB 4. KOMBINATORIK
1.1 Pendahuluan
1.2 Kaidah Dasar Menghitung
1.3 Permutasi
1.4 Kombinasi
1.5 Permutasi dan Kombinasi bentuk Umum
1.6 Kombinasi dengan pengulangan
1.7 Koefisien Binomial
www.themegallery.com
Kombinatorik merupakan studi tentang pengaturan objek-objek, yaitu
pemasangan, pengelompokan, pengurutan, pemilihan, atau
penempatan objek-objek dengan karakteristik tertentu.
Contoh:
1. Berapa banyak cara menyusun nomor kendaraan bermotor yang
terdiri atas dua huruf dan diikuti 4 angka ?
2. Berapa angka yang muncul pada pelemparan dadu ?
3. Berapa banyak kemungkinan 5 susunan huruf jika didalam
susunan tersebut tidak boleh ada huruf yang berulang ?
1.1 Pendahuluan
www.themegallery.com
1.2 Kaidah Dasar menghitung
1 Kaidah Perkalian (rule of product)
Percobaan 1 : a
Percobaan 2 : b
Hasil percobaan 1 dan percobaan 2 : a x b
Untuk 𝑛 percobaan dengan 𝑎𝑖 , maka berlaku :
𝑎1 × 𝑎2 ×⋯× 𝑎𝑛
2 Kaidah Penjumlahan (rule of sum)
Percobaan 1 : a
Percobaan 2 : b
Hasil percobaan 1 atau percobaan 2 : a + b
Untuk 𝑛 percobaan dengan 𝑎𝑖 , maka berlaku :
𝑎1 + 𝑎2 +⋯+ 𝑎𝑛
www.themegallery.com
1.2 Kaidah Dasar menghitung
Contoh:
1 Diketahui bit biner hanya 0 dan 1. Tentukan banyak string
biner jika:
a. Panjang string 4 bit
b. Panjang string 7 bit
Jawab:
a. 2 × 2 × 2 × 2 = 24 = 16 buah
b. 27 = 128 buah
2 Diketahui mahasiswa TI yang menempuh matdis yaitu
mahasiswa laki-laki sebanyak 30 dan perempuan
sebanyak 10. Dua orang mahasiswa akan diikutkan
lomba KTI. Berapa banyak cara memilih 2 perwakilan
tersebut ?
Jawab:
30 × 10 = 300
www.themegallery.com
1.3 Permutasi
Permutasi adalah jumlah urutan berbeda dari pengaturan objek-
objek.
Permutasi merupakan bentuk khusus aplikasi kaidah perkalian.
Misalkan jumlah objek adalah 𝑛, maka
Urutan pertama dipilih 𝑛 objek
Urutan kedua dipilih 𝑛 − 1 objek
Urutan ketiga dipilih 𝑛 − 2 objek
Urutan terakhir dipilih dari 1 objek tersisa
Sehingga permutasi dari 𝑛 objek adalah
𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2 … 1 = 𝑛!
www.themegallery.com
1.3 Permutasi
Contoh:
1 Berapa banyak kata yang terbentuk dari kata “KOMPUTER” ?
Jawab :
𝑃 8,8 = 8! = 40.320 kata
2 Berapa cara mengurutkan nama 45 orang mahasiswa?
Jawab :
𝑃 45,45 = 45! kata
www.themegallery.com
BAB I. PENDAHULUAN
1.3.1 Permutasi 𝒓 dari 𝒏 elemen
Definisi
Permutasi r dari n elemen adalah jumlah kemungkinan
urutan r buah elemen yang dipilih dari n buah elemen,
dengan 𝑟 ≤ 𝑛, yang dalam hal ini, pada setiap
kemungkinan urutan tidak ada elemen yang sama,
𝑃 𝑛, 𝑟 = 𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2 … 𝑛 − 𝑟 − 1 =𝑛!
𝑛 − 𝑟 !
www.themegallery.com
BAB I. PENDAHULUAN
1.3.1 Permutasi 𝒓 dari 𝒏 elemen
Berapakah jumlah kemungkinan dapat membentuk 4
angka dari 5 angka yaitu 1,2,3,4,5, jika:
-Boleh ada pengulangan angka
-Tidak boleh ada pengulangan angka
Jawab :
-Menggunakan kaidah perkalian:
5 5 5 5 = 54 = 625
-Dengan kaidah perkalian: (5)(4)(3)(2)=120 buah
-Dengan rumus permutasi:
𝑃 5,4 =5!
5 − 4 != 120
Contoh:
www.themegallery.com
BAB I. PENDAHULUAN
1.3.1 Permutasi 𝒓 dari 𝒏 elemen Bola
Wadah
Ada enam buah bola yang berbeda warna dan 3 buah wadah.
Masing-masing kotak hanya boleh diisi 1 buah bola. Berapa
jumlah urutan berbeda yang mungkin dibuat dari penempatan
bola ke dalam wadah terdebut?
Jawab:
Jumlah urutan berbeda dari penempatan bola =(6)(5)(4)=120
Maka jumlah urutan berbeda dari penempatan bola dengan 𝑛
buah bola dan 𝑟 buah kotak (𝑟 ≤ 𝑛) : 𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2 … (𝑛 − (𝑟 − 1))
www.themegallery.com
1.4 Kombinasi
Bentuk khusus dari permutasi adalah kombinasi. Jika
permutasi, urutan kemunculan diperhitungkan. Sedangkan
kombinasi, urutan kemunculan diabaikan.
Secara umum dapat dirumuskan :
𝐶 𝑛, 𝑟 =𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2 …(𝑛 − (𝑟 − 1))
𝑟!=
𝑛!
𝑟! 𝑛 − 𝑟 !
𝐶(𝑛, 𝑟) sering dibaca “𝑛 diambil 𝑟” artinya 𝑟 objek diambil dari 𝑛
buah objek.
Definisi. Kombinasi 𝑟 elemen dari 𝑛 elemen, atau 𝐶(𝑛, 𝑟) adalah
jumlah pemilihan yang tidak terurut 𝑟 elemet yang diambil dari
𝑛 buah elemen.
www.themegallery.com
1.5 Permuatasi dan Kombinasi Bentuk umum
Contoh:
Misalkan ada 𝑛 buah bola yang tidak seluruhnya berbeda warna
(jadi, ada beberapa bola yang berwarna sama).
𝑛1 bola diantaranya berwarna 1,
𝑛2 bola diantaranya berwarna 2,
𝑛𝑘 bola diantaranya berwarna k dan 𝑛1 + 𝑛2…+ 𝑛𝑘 = 𝑛
Berapa jumlah cara pengaturan 𝑛 buah bola ke dalam kotak-kotak
tersebut (tiap kotak maksimal 1 buah bola)?
Jika 𝑛 buah bola itu dianggap berbeda semua, maka jumlah cara
pengaturan 𝑛 buah bola ke dalam 𝑛 buah kotak adalah 𝑃 𝑛, 𝑛 = 𝑛!
www.themegallery.com
1.5 Permuatasi dan Kombinasi Bentuk umum
Rumus:
Permutasi n buah bola yang mana 𝑛1 diantaranya berwarna 1, 𝑛2 bola
berwarna 2,..., 𝑛𝑘 bola berwarna 𝑘 adalah
𝑃 𝑛; 𝑛1, 𝑛2, … , 𝑛𝑘 =𝑃(𝑛, 𝑛)
𝑛1! 𝑛2! …𝑛𝑘!=
𝑛!
𝑛1! 𝑛2! …𝑛𝑘!
Jumlah cara pengaturan seluruh bola ke dalam kotak :
𝐶 𝑛; 𝑛1, 𝑛2, … , 𝑛𝑘 = 𝐶 𝑛, 𝑛1 𝐶 𝑛 − 𝑛1, 𝑛2 𝐶 𝑛 − 𝑛1−𝑛2, 𝑛3 … 𝐶(𝑛 − 𝑛1 −𝑛2 −⋯− 𝑛𝑘−1, 𝑛𝑘)
=𝑛!
𝑛1!(𝑛−𝑛1)!
(𝑛−𝑛1)!
𝑛2!(𝑛−𝑛1−𝑛2)!…
(𝑛−𝑛1−𝑛2−⋯−𝑛𝑘−1)!
𝑛𝑘!(𝑛−𝑛1−𝑛2−⋯−𝑛𝑘−1−𝑛𝑘)!
=𝑛!
𝑛1!𝑛2!…𝑛𝑘!
Sehingga
𝑃 𝑛; 𝑛1, 𝑛2, … , 𝑛𝑘 = 𝐶 𝑛; 𝑛1, 𝑛2, … , 𝑛𝑘 =𝑛!
𝑛1! 𝑛2! … 𝑛𝑘!
www.themegallery.com
1.5 Permuatasi dan Kombinasi Bentuk umum
Contoh:
Berapa banyak kata yang dapat dibentuk dengan menggunakan huruf-huruf
dari kata “MISSISSIPPI” ?
Jawab :
𝑆 = *𝑀, 𝐼, 𝑆, 𝑆, 𝐼, 𝑆, 𝑆, 𝐼, 𝑃, 𝑃, 𝐼+ Huruf 𝑀 = 1 buah
Huruf 𝐼 = 4 buah
Huruf 𝑆 = 4 buah
Huruf 𝑃 = 2 buah
𝑛 = 1 + 4 + 4 + 2 = 11 = |𝑆|, maka
Jumlah string= 𝑃(11; 1,4,4,2) =11!
1!4!4!2!= 34650
www.themegallery.com
1.6 Kombinasi dengan pengulangan
Misalnya terdapat 𝑟 buah bola yang semua warnanya sama dengan 𝑛 buah
kotak.
I. Masing-masing kotak hanya boleh diisi paling banyak satu buah bola.
Jumlah memasukkan bola : 𝐶(𝑛, 𝑟). II. Masing-masing kotak boleh lebih dari satu buah bola (tidak ada
pembatan jumlah bola ). Jumlah cara memasukkan bola:
𝐶 𝑛 + 𝑟 − 1, 𝑟 = 𝐶(𝑛 + 𝑟 − 1, 𝑛 − 1)
www.themegallery.com
1.6 Kombinasi dengan pengulangan
1. Pada persamaan 𝑥1+ 𝑥2+ 𝑥3 = 10, 𝑥𝑖 adalah bilangan bulat > 0.
berapakah jumlah kemungkinan solusinya?
Jawab :
Analogi 𝑟 = 10 diibaratkan bola dan dimasukkan ke dalam 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 atau
3 buah kotak berarti 𝑛 = 3.
Misalkan :
𝑥1 = 3
𝑥2 = 3
𝑥3 = 4
Maka 𝑥1 +𝑥2 + 𝑥3 = 3 + 3 + 4 = 10
Sehingga ada 𝐶(𝑛 + 𝑟 − 1, 𝑟) = 𝐶(3 + 10 − 1,10) = 𝐶(12,10) =66
Contoh:
www.themegallery.com
1.6 Koefisien Binomial
(𝑥 + 𝑦)𝑛= 𝐶 𝑛, 0 𝑥𝑛 + 𝐶 𝑛, 1 𝑥𝑛−1𝑦1 +⋯+ 𝐶 𝑛, 𝑘 𝑥𝑛−𝑘𝑦𝑘 +⋯+ 𝐶 𝑛, 𝑛 𝑦𝑛
= 𝐶(𝑛, 𝑘)𝑥𝑛−𝑘𝑦𝑘𝑛𝑘=0
Koefisien untuk 𝑥𝑛−𝑘𝑥𝑘 adalah c(n,k). Bilangan C(n,k) disebut koefisien
binomial.
Bentuk umum:
www.themegallery.com
1.6 Koefisien Binomial
Tentukan penjabaran dari (2x−1) 4 dan tentukan suku ketiganya!
Jawab:
Misalkan 𝑎 = 2𝑥 dan 𝑏 = (−1) Maka:
(𝑎 + 𝑏)4= 𝐶 4,0 𝑎4 + 𝐶 4,1 𝑎3𝑏1 + 𝐶 4,2 𝑎2𝑏2 + 𝐶 4,3 𝑎1𝑏3 + 𝐶 4,4 𝑏4 (𝑎 + 𝑏)4= 1𝑎4 + 4𝑎3𝑏1 + 6𝑎2𝑏2 + 4𝑎1𝑏3 + 1𝑏4
(𝑎 + 𝑏)4= 16𝑥4 − 32𝑥3 + 24𝑥2 − 8𝑥 + 1
Suku ketiga dari (2x−1) 4 adalah
𝐶 4,2 𝑎2𝑏2 = 6𝑎2𝑏2 = 24𝑥2
Contoh:
www.themegallery.com
Recommended