View
224
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
8/16/2019 TKS 3248 Kuliah 14
http://slidepdf.com/reader/full/tks-3248-kuliah-14 1/51
Pengendalian Proses
Kelakuan Dinamik Proses-proses
dengan Pengendalian Umpan Balik
(Bagian 2)
8/16/2019 TKS 3248 Kuliah 14
http://slidepdf.com/reader/full/tks-3248-kuliah-14 2/51
Efek Proportional Control terhadap
respons Proses yang dikendalikan
• Pada bagian ini akan dibahas efek dari penerapan
berbagai moda pengendalian terhadap kelakuan
proses. Bagaimana kelakuan proses yang
dikendalikan dan tak dikendalikan?
• Di bagian ini akan ditelaah efek penerapan
proportional control terhadap sistem-sistem linier
order satu dan order dua, sebagai contoh kasus.
• Block diagram sistem yang ditelaah:
8/16/2019 TKS 3248 Kuliah 14
http://slidepdf.com/reader/full/tks-3248-kuliah-14 3/51
8/16/2019 TKS 3248 Kuliah 14
http://slidepdf.com/reader/full/tks-3248-kuliah-14 4/51
Proses merupakan sistem order satu
y(0) = m(0) = 0
Jadi untuk sistem tanpa pengendalian:
Persamaan model dalam domain t
untuk proses.
Persamaan model dalam domain s
untuk proses.
0
..
Ct
K m K ydt
dy p p
)(1)(1)( s s
K
sm s
K
s y p
d
p
p
1)( s
K sG
p
p
p
1)(
s
K sG
p
d
d
8/16/2019 TKS 3248 Kuliah 14
http://slidepdf.com/reader/full/tks-3248-kuliah-14 5/51
Dengan parameter:
time constant : p
static gain : a. untuk manipulasi : K p
b. untuk gangguan : K d
•
Bila sistem dikendalikan dengan pengendalianumpan balik menggunakan proportional
control, maka dipunyai closed loop response.
• atau dengan penyusunan kembali :
)(.1)(.1
.
)( s K K s
K
s y K K s
K K
s yc p p
d
sp
c p p
c p
)(1'
'
)(1'
'
)( s s
K
s y s
K
s y p
d
sp p
p
(1)
8/16/2019 TKS 3248 Kuliah 14
http://slidepdf.com/reader/full/tks-3248-kuliah-14 6/51
Dimana :
c p
p
p K K .1
'
c p
c p
p K K
K K K .1
.'
c p
d d
K K K K
.1'
K p’ dan K d ’ disebut“closed loop static gain”
8/16/2019 TKS 3248 Kuliah 14
http://slidepdf.com/reader/full/tks-3248-kuliah-14 7/51
Dengan membandingkan persamaan tentang response
sistem tanpa kendali dan sistem dengan kendali, dapat
disimpulkan :
1. Dengan pemasangan sistem pengendalian, tetap
diperoleh respons order satu terhadap perubahan set
point maupun gangguan.
2. Bila sistem dikendalikan dengan proportional control ,tetapan waktu harganya menjadi lebih kecil dibanding
bila sistem tak dikendalikan.
Berarti: close-loop response (dengan pengendalian)
lebih cepat dari open-loop response (tanpa
pengendalian).
c p
p
p K K .1'
< p
8/16/2019 TKS 3248 Kuliah 14
http://slidepdf.com/reader/full/tks-3248-kuliah-14 8/51
3. Static gain sistem yang dikendalikan lebih kecil dari
sistem yang tak dikendalikan.
Untuk memahami dengan lebih baik efek pengendalian
proporsional tersebut akan ditelaah dua kasus, masing-masing
menggunakan step-input :
• set point diubah mengikuti suatu step function (servoproblem ).
• Disturbance (gangguan) terjadi dengan pola perubahan yang
mengikuti bentuk step function (regulator problem ).
Dengan input tersebut dilihat bagaimana response sistem.
c p
c p
p K K
K K
K .1
.
'
c p
d
d K K
K K
.1'
< K p
< K d
8/16/2019 TKS 3248 Kuliah 14
http://slidepdf.com/reader/full/tks-3248-kuliah-14 9/51
Servo problem
Persamaan model dalam variabel s menjadi :
Pers. (2) merupakan bentuk response sistem terhadap perubahanset point yang berupa step function, dalam variabel s.
Bentuk response dalam domain waktu diperoleh dengan
menginversi persamaan (2) :
s s y
s
sp
1)(
0)(
0.1'
'1
.1'
'
)( s
K
s s
K
s y p
d
p
p
s s
K s y
p
p 1.
1'
')(
(2)
y(t) = K p’ .(1-e-t/ p’) (3)
8/16/2019 TKS 3248 Kuliah 14
http://slidepdf.com/reader/full/tks-3248-kuliah-14 10/51
Gambar 2 menunjukkan grafik fungsi yang diberikan di
persamaan (3)
Gambar 2
Dari persamaan (3) maupun Gambar 2 dapat dilihat
bahwa response sistem tidak menuju ke harga set point,
tetapi secara asimtotis menuju ke harga K p’ .
8/16/2019 TKS 3248 Kuliah 14
http://slidepdf.com/reader/full/tks-3248-kuliah-14 11/51
Jadi tak dapat mencapai harga set point yang baru, tetapi,
Selisih antara harga yang diinginkan (set point) dan harga yang
dapat dicapai disebut offset.
Untuk kasus pengendalian yang dikaji ini :
Offset = (set point baru) – harga akhir dari response)
Offset = 1 – K p’ =
Salah satu ciri laku proportional control adalah adanya gejala
offset.
Offset ini merupakan fungsi parameter sistem kendali K c. Makin
besar K c makin kecil offset.
t t y )(
'/1'.)( lim
p
t
t
pt e K t y
t t y )( K p’
c pc p
c p
K K K K
K K
.1
1
.1
.1
0 offset K c
8/16/2019 TKS 3248 Kuliah 14
http://slidepdf.com/reader/full/tks-3248-kuliah-14 12/51
Regulator problem
Persamaan model sistem dalam variable s :
Bentuk response sistem terhadap perubahan disturbance yang
berupa step function dalam variabel s.
Dalam domain waktu :
y(t) = K d’.(1-e-t/ p’
)
0
1)(
sp y
s s
s s K
s K s y
p
d
p
p 1.1'
'0.1'
')(
s s
K s y
p
d 1.
1'
')(
Y(t) = response sistem yang dikendalikanterhadap perubahan disturbance.
8/16/2019 TKS 3248 Kuliah 14
http://slidepdf.com/reader/full/tks-3248-kuliah-14 13/51
• Seperti halnya dengan servo problem, disini dijumpai
juga offset.
Offset = [set point] – [ ultimate value of controlled variable]• Set point = 0
• Ultimate value dari atau y(t) :
offset = 0 – K d ’ = - K d ’ = -
)( s y
'/1'lim)( pt
d t t
e K t y
c p
d
K K
K
.1
8/16/2019 TKS 3248 Kuliah 14
http://slidepdf.com/reader/full/tks-3248-kuliah-14 14/51
Gambar 3 menunjukkan grafik dari pers. (4) dan
dapat dilihat juga besarnya offset .
Memperhatikan pers. (5) tentang offset , besarnya
offset juga dipengaruhi oleh K c.
Gambar 3
0 offset K c
8/16/2019 TKS 3248 Kuliah 14
http://slidepdf.com/reader/full/tks-3248-kuliah-14 15/51
Beberapa catatan
1. Walaupun offset dapat dibuat sekecil-kecilnya bila K c dibuat
sebesar mungkin, akan tetapi untuk pengendalian secara
proportional tidak boleh dilakukan. Harga K c yangmembesar akan mengarahkan sistem ke keadaan tak stabil.
Uraian tentang kestabilan sistem ini akan diberikan
kemudian.
2. Dalam contoh yang dibahas harga Gm dan G f ditetapkan = 1.
Bila Gm = K m dan G f = K f , maka offset menjadi :
• Untuk servo problem
Offset =
• Untuk regulator problem
Offset =
m f c p
f c p
K K K K
K K K
...1
..
1
m f c p
d
K K K K
K
...1
.
8/16/2019 TKS 3248 Kuliah 14
http://slidepdf.com/reader/full/tks-3248-kuliah-14 16/51
Beberapa catatan
3. Proses-proses yang mengandung (1/s) dalam fungsi
transfernya, bila dikendalikan oleh proportionalcontroller tak memberikan offset bila dilakukan
perubahan set point, tetapi offset timbul terhadap
gangguan yang berkepanjangan menyimpang dari
tingkat gangguan nominal, misalnya step input .
Untuk memahami persoalan yang dikemukakan
di bagian (3), suatu contoh akan dibahas.
Akan ditinjau sistem pengendalian level cairan
untuk proses yang ditunjukkan di Gambar berikut.
8/16/2019 TKS 3248 Kuliah 14
http://slidepdf.com/reader/full/tks-3248-kuliah-14 17/51
8/16/2019 TKS 3248 Kuliah 14
http://slidepdf.com/reader/full/tks-3248-kuliah-14 18/51
• Neraca massa unsteady
• Neraca massa keadaan steady state
0 = F is + F ds - F os
• Pers (1) dikurangi pers. (2) :
Definisikan variabel penyimpangan :
h’(t) = h(t) - hs
Fi’(t) = Fi(t) - Fis
Fd’(t) = Fd(t) – Fds
Fo’ = Fo – Fos = 0 (karena F o konstan, selalu sama dengan F os)
od i F F F dt
t dh A
)(
osodsd isi s F F F F F F
dt
ht hd A )(
(1)
(2)
8/16/2019 TKS 3248 Kuliah 14
http://slidepdf.com/reader/full/tks-3248-kuliah-14 19/51
• Persamaan differensial dalam variabel penyimpangan :
• Transformasi Laplace terhadap persamaan (2) menghasilkan :
Fungsi transfer proses adalah :
• Bila untuk pengendalian digunakan proportional control , control
valve, dan sensor , yang mempunyai fungsi transfer :
Kendali Gc = K c
Control Valve G f = 1
Sensor Gm = 1
'')('
d i F F dt
t dh A (3)
)(')(')(' s F s F sh As d i
)('1
)('1
)(' s F
As
s F
As
sh d i (4)
As sG p
1)( (5)
8/16/2019 TKS 3248 Kuliah 14
http://slidepdf.com/reader/full/tks-3248-kuliah-14 20/51
• Maka block diagram sistem pengendalian adalah
sebagai berikut :
• Mengikuti cara yang telah dibahas terdahulu, model
dinamik sistem dengan block-diagram terdahulu,dalam variabel s adalah sebagai berikut :
)('
1
/1)('
1
1)(' s F
s K
A
K sh
s K
A sh d
c
c sp
c
(6)
8/16/2019 TKS 3248 Kuliah 14
http://slidepdf.com/reader/full/tks-3248-kuliah-14 21/51
• Bila berubah mendadak mengikuti bentuk unit
step function; dan , maka pers. (6)
menjadi :
• Dengan menggunakan final value theorem :
• sehingga offset = 0 - = - 0
)(' sh sp
sh sp
1' 0'd F
s s
K
A sh
c
1.
1
1)('
c st
K
sh sh 1
)('.lim'
c K
1
c K
1
8/16/2019 TKS 3248 Kuliah 14
http://slidepdf.com/reader/full/tks-3248-kuliah-14 22/51
• Pada umumnya, pengendalian level cairan tidak
dimaksudkan untuk menjaga agar level cairan
harganya selalu tepat sama dengan hsp, tetapidiinginkan agar level tersebut berfluktuasi
dengan batas-batas tertentu disekitar hsp.
•
Dengan memilih harga K c yang sesuai, selangharga level cairan yang dikehendaki dapat
dicapai.
•
Oleh karena itu pada umumnya dapatdisimpulkan pengendalian level permukaan
dapat dilaksanakan secara efektif
menggunakan proportional control .
8/16/2019 TKS 3248 Kuliah 14
http://slidepdf.com/reader/full/tks-3248-kuliah-14 23/51
Sistem order dua (persoalan servo)
• Fungsi transfer proses order dua mempunyai bentuk :
• Bila proses tersebut dikendalikan dan sistem
pengendalian mempunyai susunan sebagaimanaditunjukkan dalam block diagram berikut :
1...2)(
)()(
22
s s
KP
sm
s y sG p
(7)
8/16/2019 TKS 3248 Kuliah 14
http://slidepdf.com/reader/full/tks-3248-kuliah-14 24/51
• Untuk servo problem fungsi transfer sistem mempunyai
bentuk:
dimana :
)(1'.'..222)'(
'
)( s sp y s s
p K
s y
(8)
c p .K K 1ττ'
c p .K K 1
ζζ'
c p
c p
p.K K 1
.K K 'K
(9a)
(9b)
(9c)
8/16/2019 TKS 3248 Kuliah 14
http://slidepdf.com/reader/full/tks-3248-kuliah-14 25/51
• Hasil yang diperoleh menunjukkan bahwa response
lingkar tertutup (closed loop response) suatu sistem
order dua mempunyai ciri laku sebagai berikut :- Tetap berbentuk/berkelakuan sebagai sistem order
dua.
- Static gain sistem lebih kecil dari static gain proses
bila tak dikendalikan.
[ dengan kendali < tanpa kendali]
- Natural period dan damping factor sistem yang
dikendalikan lebih kecil disbanding dengan hargakedua parameter itu untuk proses tanpa sistem
pengendalian.
t t y ))((
t t y ))((
8/16/2019 TKS 3248 Kuliah 14
http://slidepdf.com/reader/full/tks-3248-kuliah-14 26/51
• Bila terhadap sistem pengendalian tersebut dilakukan
perubahan set point berupa unit step function, dan ,
maka response sistem dinyatakan oleh :
•
Bentuk response dalam variabel t akan tergantung harga ’ :
- bila ’ > 1 didapat response yang kelewat teredam
(overdamped ). (lihat pers. 11.7 Stephanopaulus)
- bila ’ = 1 didapat response yang criticallydamped ; lihat pers. 11.8
- bila ’ < 1 didapat response yang underdamped ;
lihat pers. 11.9
s s s
p K
s y 1
.1'.'..222)'(
'
)(
(10)
8/16/2019 TKS 3248 Kuliah 14
http://slidepdf.com/reader/full/tks-3248-kuliah-14 27/51
• Akan tetapi, tak tergantung dari harga bila ’ ,
static gain sistem semuanya sama.
•Juga offset tak tergantung dari ’ :
Offset =
=
• offset 0 bila K c !
c p
c p
pt t K K
K K K s y st y
.1
.')(.lim))((
t sp
t yt y )()(
c pc p
c p
K K K K
K K
.1
1
.1
.
1
8/16/2019 TKS 3248 Kuliah 14
http://slidepdf.com/reader/full/tks-3248-kuliah-14 28/51
Beberapa catatan
1. Tergantung dari besarnya harga , maka damping
coefficient sistem yang dikendalikan dapat lebih besar,sama, atau lebih
kecil dari satu
– Bila ’ > 1 response sistem sangat lamban dan tak
berosilasi
– Bila ’< 1 response sistem cepat, tetapi berosilasi.
Pengubahan harga K c dapat mempengaruhi harga ’ dan
offset. Bila K c dibesarkan, offset mengecil.
1ζ'
8/16/2019 TKS 3248 Kuliah 14
http://slidepdf.com/reader/full/tks-3248-kuliah-14 29/51
2. Offset yang kecil dan response yang cepatmerupakan hal yang dikehendaki, tetapi harus
dibayar’dengan timbulnya overshoot yang lebih
besar dan osilasi yang lebih lama.
Jadi bila K c membesar, yang mempunyai efekmenurunkan harga ’ , maka :
• Overshoot membesar (pers. 11.11
Stephanopoulus)
• Decay ratio membesar (pers. 11.12)
• Period of oscillation menurun (pers. 11.13)
Beberapa catatan
8/16/2019 TKS 3248 Kuliah 14
http://slidepdf.com/reader/full/tks-3248-kuliah-14 30/51
Gambar berikut menunjukkan efek pengubahanharga K c
Beberapa catatan
Kc1 < Kc2 < Kc3
8/16/2019 TKS 3248 Kuliah 14
http://slidepdf.com/reader/full/tks-3248-kuliah-14 31/51
Ingat kembali:
Beberapa catatan
8/16/2019 TKS 3248 Kuliah 14
http://slidepdf.com/reader/full/tks-3248-kuliah-14 32/51
•
Overshoot : A/B =
• Decay ratio : C/A =
= (overshoot)2
• Period of oscillation :
• Rise time : t r = waktu dari saat terjadinya
perubahan sampai mencapai (pertama kali) harga
akhir.
Beberapa catatan
21/
e
21/2
e
2ζ1
2.π.T
8/16/2019 TKS 3248 Kuliah 14
http://slidepdf.com/reader/full/tks-3248-kuliah-14 33/51
Beberapa catatan
• Hubungan overshoot & decay ratio terhadap
overshoot
Decay ratio
0 1.0
8/16/2019 TKS 3248 Kuliah 14
http://slidepdf.com/reader/full/tks-3248-kuliah-14 34/51
Efek Pengendalian Integral
• Akan dilakukan telaahan yang sama dengan dibagian
terdahulu, tetapi kasus yang ditinjau adalah :
– pengendalian dengan integral control
– proses yang dikendalikan merupakan proses ordersatu.
– Servo problem.
• Block diagram umum sistem pengendalian dengan
umpan balik:
8/16/2019 TKS 3248 Kuliah 14
http://slidepdf.com/reader/full/tks-3248-kuliah-14 35/51
• Untuk servo problem : , maka fungsi transfer
hubungan dengan dapat dituliskan sebagai
berikut :
0)( s
)( s y )( s y sp
)(....1
..)( s y
GGGG
GGG s y sp
mc f p
c f p
(1)
8/16/2019 TKS 3248 Kuliah 14
http://slidepdf.com/reader/full/tks-3248-kuliah-14 36/51
• Agar persoalannya menjadi lebih sederhana, ditetapkan
Gm = Gf = 1
• Bila prosesnya order satu
• Karena pengendaliannya menggunakan integral
control , maka :
1)(
s
K sG
p
p
p
s K G I
cc
1
.
(2)
(3)
(4)
8/16/2019 TKS 3248 Kuliah 14
http://slidepdf.com/reader/full/tks-3248-kuliah-14 37/51
• Substitusikan pers. (2), (3), dan (4) ke persamaan
(1); maka didapat :
atau :
Dimana :
)(1
.
!
1
1.
!)( s y
s
Kc
s
Kp
s Kc
s
Kp
s y sp
I p
I p
)(1...2
1)(
22 s y s s
s y sp
c p
pI
.K K
ττ
τ
c p p
I
.K K τ
τ
2
1
(5)
(6) (7)
8/16/2019 TKS 3248 Kuliah 14
http://slidepdf.com/reader/full/tks-3248-kuliah-14 38/51
• Bila dilakukan perubahan set point dengan
bentuk perubahan uni t step function , maka
respons sistem :
• dengan static gain :
• dan offset = 1 – 1 = 0.
s s s s y
1.
1...2
1)(
22
(8)
1)(.lim))(( s y st y
t t
8/16/2019 TKS 3248 Kuliah 14
http://slidepdf.com/reader/full/tks-3248-kuliah-14 39/51
•Memperhatikan hasil-hasil yang diperolehsebelumnya, dan mengingat hasil analisis
terhadap sistem order dua tanpa pengendalian,
serta sistem order dua yang dikendalikan dengan
proportional control , dapat dikemukakan
pernyataan berikut:
– Integral control membuat order sistem menjadi
lebih tinggi. [pers. (5) vs pers. (3)]
8/16/2019 TKS 3248 Kuliah 14
http://slidepdf.com/reader/full/tks-3248-kuliah-14 40/51
–karena dengan integral control order sistem
menjadi lebih tinggi, dan karena sistem denganorder lebih tinggi memberi response yang lebih
lamban ( sluggish), maka pengendalian integral
saja terhadap sesuatu proses akan menghasilkansistem yang lebih lamban responsnya dibanding
bila prosesnya tak dikendalikan.
–
Suatu ciri penting dari integral control adalahterjadinya peniadaaan offset .
8/16/2019 TKS 3248 Kuliah 14
http://slidepdf.com/reader/full/tks-3248-kuliah-14 41/51
Soal:Lakukan pengujian untuk menunjukkan bahwa
untuk regulator problem , suatu sistem
pengendalian dengan umpan balik yangmenggunakan integral control akan menghasilkan
pola laku yang sama dengan yang diperoleh untuk
servo problem .
8/16/2019 TKS 3248 Kuliah 14
http://slidepdf.com/reader/full/tks-3248-kuliah-14 42/51
1. Persamaan (7) menunjukkan bahwa bentuk dari response
lingkar tertutup akan tergantung dari harga I dan K c ;kombinasi harga I dan K c tersebut akan menentukan
apakah response sistem overdamped , critically damped ,
atau underdamped . Penyetelan (tuning ) harga I
dan K c
merupakan hal penting untuk integral controller .
[dibahas di bab 16 dan bab 18].
Beberapa catatan
8/16/2019 TKS 3248 Kuliah 14
http://slidepdf.com/reader/full/tks-3248-kuliah-14 43/51
2. Persamaan (7) juga menunjukkan bahwa, pada harga I
konstan, bila harga K c dibesarkan, maka mengecildengan akibat :
– Response akan berubah dari bentuk lamban dan
kelewat teredam (overdamped ) menjadi lebih lebih
cepat, tetapi underdamped dan berosilasi.
– Selain itu, overshoot dan decay ratio juga menjadi
lebih besar.
Secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa kecepatanresponse diperbaiki dengan memperbesar K c, tetapi
diimbangi dengan deviasi yang lebih tinggi dan osilasi
yang lebih lama.
Beberapa catatan
8/16/2019 TKS 3248 Kuliah 14
http://slidepdf.com/reader/full/tks-3248-kuliah-14 44/51
Gambar berikut dapat memperjelas uraian di atas
Beberapa catatan
K c1
K c2
K c3 K c1 < K c2 < K c3
y(t)
t
8/16/2019 TKS 3248 Kuliah 14
http://slidepdf.com/reader/full/tks-3248-kuliah-14 45/51
3. Dengan menurunkan harga I , seperti terlihat dari
persamaan (7), akan diperoleh efek yang sama denganyang didapat dengan memperbesar K c.
Gambar berikut memperjelas hal tersebut.
Beberapa catatan
I1
I2
I3 I1 < I2 < I3
y(t)
t
8/16/2019 TKS 3248 Kuliah 14
http://slidepdf.com/reader/full/tks-3248-kuliah-14 46/51
4. Kesimpulan-kesimpulan yang dikemukakan di (2)
dan (3) dapat dirangkum sebagai berikut :
• Dengan memperbesar tindakan integrasi dalam
pengendalian integral ( K c dibesarkan dan I
diturunkan) membuat response lingkar kendali
lebih sensitive.• Kelak akan ditunjukkan dan dibahas bahwa
tindakan membesarkan K c dan menurunkan I
tersebut cenderung untuk mengarahkan sistem ke
keadaan tak stabil.
8/16/2019 TKS 3248 Kuliah 14
http://slidepdf.com/reader/full/tks-3248-kuliah-14 47/51
Efek Tindakan Pengendalian Komposit
• Dalam menggunakan sistem pengendalian, pada umumnya pengendalian proporsional
dapat dilaksanakan secara berdiri sendiri.
Tetapi untuk tindakan integral dan derivativetak pernah dilakukan secara berdiri sendiri.
• Tindakan integral dan derivative lazimnya
dilaksanakan dalam bentuk pengendalian PI( proportional-integral ) atau PID
( proportional-integral-derivative).
1
8/16/2019 TKS 3248 Kuliah 14
http://slidepdf.com/reader/full/tks-3248-kuliah-14 48/51
Efek PI control
Kombinasi moda pengendalian proportional dan integral
memberikan efek berikut terhadap respons sistem :• order respons akan meningkat lebih tinggi (efek moda
pengendalian integral)
• offset ditiadakan (efek moda pengendalian integral)
• bila K c dibesarkan, response menjadi lebih cepat (efek moda pengendalian proportional dan integral) dan terhadap
perubahan set point akan menimbulkan osilasi lebih besar, atau
overshoot dan decay ratio yang membesar (efek moda
pengendalian integral). Harga K c yang besar menghasilkanresponse yang lebih sensitive.
• Bila I dibesarkan pada K c tetap, response akan lebih cepat
tetapi lebih berosilasi dengan overshoot dan decay ratio
membesar (efek integral mode).
s KcGc
I
11
8/16/2019 TKS 3248 Kuliah 14
http://slidepdf.com/reader/full/tks-3248-kuliah-14 49/51
HOMEWORK due to 11/06/16
8/16/2019 TKS 3248 Kuliah 14
http://slidepdf.com/reader/full/tks-3248-kuliah-14 50/51
HOMEWORK due to 11/06/16
8/16/2019 TKS 3248 Kuliah 14
http://slidepdf.com/reader/full/tks-3248-kuliah-14 51/51
prepare yourself for final exam
good luck!!!!
Recommended