TOÁN RỜI RẠC (DISCRETE...

TOÁN RỜI RẠC

(DISCRETE MATHEMATICS)

Bùi Thị Thủy

Đặng Xuân Thọ

Support

TS. Đặng Xuân Thọ

Mobile: 091.2629.383

Email: thodx@hnue.edu.vn

Website: http://fit.hnue.edu.vn/~thodx/

Toán rời rạc - ĐHSPHN

2

NỘI DUNG

Chương 1. Logic mệnh đề

Chương 2. Lý thuyết tập hợp

Chương 3. Một số công thức tổ hợp

Chương 4. Suy luận và kiểm chứng chương trình

Chương 5. Đại số Boole và cấu trúc mạch logic

Chương 6. Thuật toán

Chương 7. Lý thuyết đồ thị

Toán Rời Rạc - ĐHSPHN

3

Chương 5. Đại Số Boole & Cấu Trúc

Mạch Logic

Giúp tính toán các biểu thứ logic trên bảng giá

trị chân lý 0 và 1 cho ra đời một ngành toán

học mới là đại số Boole.

Biểu thức Boole và hàm Boole

Xác định biểu thức Boole của hàm Boole

Sơ đồ mạch logic

Toán Rời Rạc - ĐHSPHN

4

Biểu thức Boole và hàm Boole

Toán Rời Rạc - ĐHSPHN

5

Biểu thức Boole & hàm Boole

Định nghĩa. Đại số Boole là một tập hợp B với 3

phép toán: phép lấy phần bù (-), phép lấy tổng Boole

(+), và phép nhân (). Tập hợp B có 2 phần tử đặc

biệt là 0 và 1 sao cho các đẳng thức sau thỏa mãn:

b.1 = b + 0 = b, bB (luật đồng nhất)

b + 𝑏 = 1; b.𝑏 = 0, bB (luật bù)

(x + y) + z = x + (y + z); (x.y).z = x.(y.z) (kết hợp)

x + y = y + x; x.y = y.x (giao hoán)

x.(y + z) = x.y + x.z; (x.y) + z = (x + z). (y + z)

(phân phối)

Toán Rời Rạc - ĐHSPHN

6

Biểu thức Boole & hàm Boole

Thứ tự thực hiện của các phép tính của đại số

Boole như sau:

Lấy phần bù > Phép lấy tích > Phép lấy tổng

Khi có các dấu ngoặc, thực hiện theo thứ tự

thông thường là ngoặc trong cùng được thực

hiện trước.

Phép lấy phần bù, phép nhân, và phép tổng

của đại số Boole tương ứng với các toán tử

logic: phần bù, ⋀, và ⋁.

Toán Rời Rạc - ĐHSPHN

7

Các hằng đẳng thức của đại số Boole

8

0

1

Các hằng đẳng thức của đại số Boole

(1 )x x y Ví dụ: Tính giá trị của

Ta có:

( .1 . )

( . )

( ) .

1 .

1

x x x y

x x x y

x x x y

x y

(1 )x x y

Toán Rời Rạc - ĐHSPHN

9

Biểu thức Boole & hàm Boole

Một hàm số Boole F với n biến x1, x2, …, xn

được kí hiệu F(x1, x2, …, xn) là một ánh xạ

f : {0, 1}n {0, 1}

Hàm Boole có thể được mô tả bằng lời hoặc

dùng bảng tương tự bảng logic toán.

Ví dụ: hàm F(x,y) sau x y F(x,y)

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0 Toán Rời Rạc - ĐHSPHN

10

Biểu thức boole & hàm boole

Hai hàm boole F(x1,x2,…,xn) và G(x1,x2,…,xn)

là hai hàm Boole bằng nhau nếu

F(x1, x2, …, xn) = G(x1, x2, …, xn)

cho mọi giá trị của các biến.

Toán Rời Rạc - ĐHSPHN

11

Xác định biểu thức Boole của hàm Boole

Toán Rời Rạc - ĐHSPHN

12

Xác định biểu thức Boole của hàm Boole

Quy tắc 1: Khai triển các bảng thành

các bảng sơ cấp

x1 x2 F(x1,x2)

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

x1 x2 F1(x1,x2)

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

x1 x2 F2(x1,x2)

1 1 0

1 0 0

0 1 0

0 0 1 𝐹 𝑥1, 𝑥2 = 𝐹1 𝑥1, 𝑥2 + 𝐹2(𝑥1, 𝑥2)

13

Xác định biểu thức Boole của hàm Boole

Quy tắc 1

Nếu hàm F(x1, x2, …, xn) nhận duy nhất giá trị 1

tại (a1,a2, …,an) và 0 tại mọi giá trị khác của (x1,x2, …, xn) thì ta có:

F(x1, x2, …, xn) = y1y2…yn

quy ước: yi = xi nếu ai = 1

yi = 𝑥𝑖 nếu ai = 0

Toán Rời Rạc - ĐHSPHN

14

Xác định biểu thức Boole của hàm Boole

Quy tắc 1

Ví dụ:

x1 x2 F1(x1,x2)

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

x1 x2 F2(x1,x2)

1 1 0

1 0 0

0 1 0

0 0 1

𝐹 𝑥1, 𝑥2 = 𝑥1𝑥2+𝑥1 𝑥2

𝐹1 𝑥1, 𝑥2 = 𝑥1𝑥2

𝐹2 𝑥1, 𝑥2 = 𝑥1 𝑥2

Toán Rời Rạc - ĐHSPHN

15

Xác định biểu thức Boole của hàm Boole

Quy tắc 2: Khai triển các bảng thành

các bảng sơ cấp

x1 x2 F(x1,x2)

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

x1 x2 G1(x1,x2)

1 1 1

1 0 0

0 1 1

0 0 1

x1 x2 G2(x1,x2)

1 1 1

1 0 1

0 1 0

0 0 1 𝐹 𝑥1, 𝑥2 = 𝐺1 𝑥1, 𝑥2 × 𝐺2(𝑥1, 𝑥2)

= ×

16

Xác định biểu thức Boole của hàm Boole

Quy tắc 2

Nếu hàm F(x1, x2, …, xn) nhận duy nhất giá trị 0

tại (a1,a2, …,an) và 1 tại mọi giá trị khác của (x1,x2, …, xn) thì ta có:

F(x1, x2, …, xn) = y1 + y2 + …+ yn

quy ước: yi = 𝑥𝑖 nếu ai = 1

yi = xi nếu ai = 0

Toán Rời Rạc - ĐHSPHN

17

Xác định biểu thức Boole của hàm Boole

Quy tắc 2

Ví dụ:

x1 x2 G1(x1,x2)

1 1 1

1 0 0

0 1 1

0 0 1

x1 x2 G2(x1,x2)

1 1 1

1 0 1

0 1 0

0 0 1

𝐹 𝑥1, 𝑥2 = (𝑥1 + 𝑥2)(𝑥1+ 𝑥2 )

𝐺1 𝑥1, 𝑥2 = 𝑥1 + 𝑥2

𝐺2 𝑥1, 𝑥2 = 𝑥1 + 𝑥2

Toán Rời Rạc - ĐHSPHN

18

Luyện tập

Tìm các hàm chỉ nhận giá trị 1 tại giá trị sau:

a) (x, y, z) = (0, 0, 1)

b) (x, y, z) = (0, 1, 1)

c) (x, y, z) = (0, 1, 0)

Tìm các hàm chỉ nhận giá trị 0 tại giá trị sau:

a) (x, y, z) = (0, 0, 1)

b) (x, y, z) = (0, 1, 1)

c) (x, y, z) = (0, 0, 0)

Toán Rời Rạc - ĐHSPHN

19

Sơ đồ mạch logic

Toán Rời Rạc - ĐHSPHN

20

Các cổng logic cơ bản

Các mạch chúng ta nghiên cứu ở đây không

có khả năng nhớ, nghĩa là giá trị của nó chỉ

phụ thuộc vào giá trị đầu vào mà không phụ

thuộc vào trạng thái của mạch lúc đó.

Các mạch như vậy gọi là các mạch tổ hợp.

Các phần tử cơ bản của các mạch được gọi là

các cổng.

Toán Rời Rạc - ĐHSPHN

21

Các cổng logic cơ bản

Cổng NOT

Cổng OR

Cổng AND

x x

x

y

x y

x

y

xy

Toán Rời Rạc - ĐHSPHN

22

Tổ hợp các cổng và thiết kế mạch

Khi lập tổ hợp các mạch phức hợp, ta sử dụng

các cổng cơ bản.

Có thể dùng chung đầu vào cho các cổng.

Ví dụ: 𝑥𝑦 + 𝑥 𝑦

xy

xy

x

yxy

xy xy

Toán Rời Rạc - ĐHSPHN

23

Luyện tập

Dựng các mạch có đầu ra là các hàm Boole

sau:

a) 𝑥 + 𝑦

b) 𝑥 𝑦

c) 𝑥 + 𝑥 + 𝑦

d) 𝑥𝑦𝑧 + 𝑥

e) 𝑥 + 𝑦 + 𝑦 + 𝑥 + 𝑧

Toán Rời Rạc - ĐHSPHN

24

THANK YOU!