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Republica Bolivariana De Venezuela.
Ministerio Del Poder Popular Para La Educación.
I.NC. SIMÓN BOLÍVAR
INTEGRANTES:
GIMMY RONDON C.I: 14.384.248
BETILDA RIVAS C.I: 9.475.320
KEITER CASTRO C.I: 19.111.111
PROFESOR:
ANTONIO GÓMEZ.
INTRODUCCION
Las curvas cónicas, fueron estudiadas por matemáticos de la escuela Griega hace mucho
tiempo. Se dice que Menaechmus fue el que descubrió las secciones cónicas y que fue el primero
en enseñar que las parábolas, hipérbolas y elipses eran obtenidas al cortar un cono en un plano no
paralelo a su base.
Menaechmus realizó sus descubrimientos de las secciones cónicas cuando él trataba de
resolver un problema de duplicar un cubo. Apollonius de Perga fue otro matemático que estudio las
cónicas. Poco se sabe de su vida pero su trabajo tuvo una gran influencia en el estudio de las
matemáticas. Apollonius escribió libros que introdujeron términos que hasta hoy son conocidos
como parábola, hipérbola y elipse.
Este griego nació en donde en aquel entonces se llamaba Prega, Mauritania, que ahora es,
Antalya, Turquía. Perga era el centro de cultura ese tiempo, donde se encontraban todos los sabios
y científicos. En sus tiempos de juventud Apollonius fue Alejandría donde estudio con los
seguidores de Euclid, donde luego se convertiría en maestro. Luego de estar varios años en
Alejandría, el matemático se mudó a Pergamum, que ahora es la ciudad de Bergama, en la
provincia de Izmir en Turquía. Pergamum era una ciudad antigua, situada a 25 km. de mar Aegan.
Los libros que escribió este griego, son algunas de las pocas fuentes de información sobre la vida
de éste. Se supo, gracias a sus libros, que él tenía un hijo, que tenía el mismo nombre. Apollonius
escribió cónicas en ocho libros, de los cuales solo sobrevivieron los primeros cuatro en griego. Sin
embargo en árabe sobrevivieron los primeros 7 libros de los ocho.
Apollonius describió las cónicas como las curvas formadas cuando un plano intercepta la
superficie de un Se denomina Cónica, a cada una de las curvas planas que se obtienen al cortar
una superficie cónica por un plano que no pasa por su vértice. El tipo de curva que se obtiene
depende del ángulo a de la superficie cónica y del ángulo ß que forma el plano P con el eje e.
Si ß > a entonces el plano corta a todas las generatrices de la superficie cónica y, por tanto, se
obtiene una curva cerrada. Si ß = a se obtiene una curva abierta. A continuación se exponen con
más detalle los distintos casos que se pueden dar según los valores que
tome ß.Si ß = 90º la intersección del plano con la superficie cónica es una circunferencia.
Definición de cónicas:
Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a la intersección de un cono circular
recto de dos hojas con un plano que no pasa por su vértice.
Se clasifican en tres tipos: elipse, parábola e hipérbola, Las cónicas son curvas planas
obtenidas mediante la intersección de un cono con un plano. El ángulo que forman el plano y el eje
del cono, comparado con el ángulo que forman el eje y la generatriz del cono determina las
distintas clases de cónicas. En la escena siguiente se clarifica esta idea.
Las cuatro curvas: círculos, elipses, parábolas e hipérbolas. Se llaman secciones cónicas
porque se pueden formar mediante la intersección de un cono circular recto con un plano. Si el
plano es perpendicular al eje del cono, la intersección resultante es un círculo. Si el plano está
ligeramente inclinado, el resultado es una elipse. Si el plano es paralelo al costado (un elemento)
del cono, se produce una parábola. Si el plano corta ambas extensiones del cono, produce una
hipérbola.
Definición de circunferencia:
Es el conjunto de puntos que están en un mismo plano y que equidistan de otro
punto del mismo plano llamado centro. La circunferencia y el círculo están íntimamente
ligados que los elementos de uno corresponden al otro.
Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia:
Centro, el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia;
Radio, el segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia;
Diámetro, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia (necesariamente
pasa por el centro);
Cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; las cuerdas de longitud
máxima son los diámetros;
Recta secante, la que corta a la circunferencia en dos puntos;
Recta tangente, la que toca a la circunferencia en un sólo punto;
Punto de tangencia, el de contacto de la tangente con la circunferencia;
arco, el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia;
Semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un
diámetro.
Ejemplos de circunferencia
1) Calcular la longitud de una rueda de 90 cm de diámetro.
2) Calcular el área del cuadrado inscrito en una circunferencia de longitud 18.84 cm.
Definición de ecuaciones:
Las Ecuaciones son igualdades en las que se tiene una o más incógnitas, es decir,
tenemos uno o más números que no conocemos su valor dentro de las operaciones descritas en la
igualdad.
La definición formal de ecuación es la siguiente: "Una ecuación es una comparación,
mediante un signo de igual, de dos expresiones algebraicas". Estas expresiones algebraicas son la
representación escrita de operaciones aritméticas entre números (si conocemos su valor numérico)
y variables o incógnitas (no conocemos su valor numérico).
Las ecuaciones se clasifican por el grado de sus términos y por la cantidad de incógnitas
diferentes que presentan. Esta clasificación obedece a la forma en cómo se resuelven los
diferentes tipos de ecuaciones.
Ejemplos de ecuaciones
1) 1
Despejamos la incógnita
2)
3)
Definición de graficas:
Graficas o gráficos se entiende a la representación de datos, casi siempre numéricos,
aunque también pueden ser figuras o signos, a través de líneas superficies o símbolos para
determinar la relación que estos mantienen entre sí.
En tanto, puede darse que sea un conjunto de puntos, los cuales se plasmarán en
coordenadas cartesianas y que servirán para analizar el comportamiento de un proceso
determinado o bien un conjunto de signos o elementos que nos permitan descifrar o interpretar
algún fenómeno, entre otras cuestiones
Nos podremos encontrar con diferentes tipos de gráficas, entre las más comunes y
corrientes se cuentan: las numéricas, usadas para representar el comportamiento o la distribución
de los datos cuantitativos de una población. Este tipo de gráfica se manifiesta a través de
imágenes visuales. Por su lado, las lineales, representarán los valores en dos ejes cartesianos
ortogonales entre sí. Más que nada este tipo de gráfica se recomienda a la hora de tener que
representar series a través del tiempo, porque permite mostrar valores máximos y mínimos de una
cuestión.
Otro tipo son las gráficas de barras, que se usarán cuando se quiera resaltar la
representación de porcentajes que remiten a un total. Las barras lo que permiten es la
representación de frecuencias y pueden diagramarse en sentido horizontal o vertical,
generalmente, para representar las gráficas de barras se usan las llamadas hojas de cálculo.
Luego están las gráficas circulares que permitirán observar aquellas distribuciones internas
de datos que representan un hecho, también en forma de porcentajes sobre un total. De acuerdo al
interés de lo que se quiera destacar, lo que se hace es separar el sector correspondiente al mayor
o al menor valor. Y finalmente, los histogramas, otro tipo de gráficas muy comunes, que se usarán
cuando se quiera representar muestras agrupadas en intervalos. Se forma por rectángulos unidos
unos a otros, cuyos vértices de la base deberán coincidir con los límites de los intervalos.
También se puede decir que las graficas o los gráficos son las denominaciones de la
representación de datos, generalmente numéricos, mediante recursos gráficos (líneas, vectores,
superficies o símbolos) para que se manifieste visualmente la relación que guardan entre sí como
también se puede decir que pueden ser un conjunto de puntos, que se plasman en coordenadas
cartesianas, y sirven para analizar el comportamiento de un proceso, o un conjunto de elementos o
signos que permiten la interpretación de un fenómeno. La representación gráfica permite
establecer valores que no han sido obtenidos experimentalmente, sino mediante
la interpolación (lectura entre puntos) y la extrapolación (valores fuera del intervalo experimental)
Ejemplos de graficas:
Gráfica Circular Gráficas de Barra: Son convenientes para enseñar
Comparaciones
Gráficas de Línea: Las gráficas de líneas se usan para representar grandes cantidades de datos que tienen lugar durante un período continuado de tiempo.
Trazamos la gráfica y verificamos otro punto por donde pasa la línea.
Verificamos el nuevo punto y encontramos que el par (2, 0) es una solución.
1 2 3 4 5 6 78 9-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
123456789
-1-2-3-4-5-6-7-8-9
(-4, 3)
(0, 1)
(4, -1)
(2, 0)
?
Definición de parábola:
La parábola es una sección cónica provocada al cortar un cono recto con un plano paralelo
a la directriz, en otras palabras, es una curva abierta simétrica respecto de un eje, que cuenta con
un solo foco y que resultará entonces de cortar un cono circular recto por un plano paralelo a una
de sus generatrices.
Se puede definir parábola al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan
de un punto fijo, llamado foco, y de una recta fija llamada directriz.
La distancia entre el foco y la directriz de una parábola recibe el nombre de parámetro
de la parábola (suele denotarse por p). Dada una parábola, se llama eje de la misma la recta
que contiene al foco y es perpendicular a la directriz.
Se llama vértice de la parábola al punto donde ésta corta a su eje. Para simplificar la
parábola, se supondrá que el vértice es el origen de coordenadas y que el foco se encuentra
en el semieje positivo de abscisas.
Además los elementos de una parábola son:
Eje de simetría o eje focal: Es la recta con respecto a la cual una rama de la parábola se
refleja en la otra.
El vértice: Es el punto de intersección entre parábola y su eje de simetría.
La directriz: Es la recta perpendicular al eje de simetría tal que la distancia de el vértice a la
directriz es igual a la distancia de el vértice al foco, es decir el vértice es el punto medio del
segmento.
El foco: Es el punto sobre el eje de simetría que está separado del el vértice por una distancia
igual a la que se separa el vértice de la directriz.
El lado recto: Es la cuerda perpendicular al eje de simetría de la parábola que pasa por el foco.
Su longitud es 4 veces la distancia del vértice al foco.
Ejemplos de parábolas
1) Trazar la gráfica y hallar la ecuación canónica, el vértice, el foco y la directriz de la
parábola cuya ecuación es
Solución
Para hallar la ecuación canónica debemos completar el cuadrado en a. De la ecuación de la
parábola tenemos que
De donde obtenemos que y el vértice , por lo tanto, la parábola abre hacia la
derecha y tiene el foco en , la recta directriz es
2) Trazar la gráfica y hallar la ecuación canónica de la parábola con vértice en y foco
en .
Solución
Dado que el vértice y el foco tienen igual abscisa el eje de la parábola es vertical, además
abre hacia abajo y , entonces la ecuación está dada por:
La directriz es
Definición de ecuación de la parábola:
Con el advenimiento de la geometría analítica se inició un estudio de las formas
geométricas basado en ecuaciones y coordenadas.
Una parábola cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el eje de
las ordenadas, tiene una ecuación de la forma y=ax2 donde el parámetro a especifica la
escala de la parábola, incorrectamente descrita como la forma de la parábola, ya que como se
dijo antes, todas las parábolas tienen la misma forma. Cuando el parámetro es positivo, la
parábola se abre «hacia arriba» y cuando es negativo se abre «hacia abajo».
Tomando nuevamente la definición de parábola como sección de un cono recto de
forma paralela a la directriz, sea V un punto en el eje y sea QV perpendicular al eje.
(QV corresponde al valor x en la versión analítica y PV al valor y). Considerando la sección
circular que pasa por Q y es paralela a la base del cono, obtenemos H, K paralelos a B y C.
Por el teorema de potencia de un punto:
.
Al ser PM paralela a AC, los triángulos HVP, HKA y BCA son semejantes y así:
.
Usando nuevamente los paralelismos:
.
Despejando HV y VK para sustituir en la fórmula de QV² resulta en
.
Pero el valor de es una constante pues no depende de la posición de V, por lo
que haciendo
Arroja la expresión moderna y=ax².
Aplicando una sustitución de coordenadas podemos obtener ahora la ecuación de una
parábola vertical para cualquier posición de su vértice.
La ecuación de una parábola cuyo eje es vertical y su vértice es (u,v) tiene la forma (y-v)=a(x-u)2,
Agrupando los términos y reordenando se obtiene una forma equivalente:
La ecuación de una parábola cuyo eje es vertical es de la forma .
Si la parábola es horizontal, se obtienen ecuaciones similares pero
intercambiando y por x y viceversa. Así tendríamos:
La ecuación de una parábola cuyo eje es horizontal es de la forma .
Parábolas verticales, con ecuaciones de la
forma y=ax²+bx+c.
Ecuación general de una parábola
Hasta ahora se han descrito parábolas con sus ejes paralelos a alguno de los ejes de
coordenadas. De esta forma las fórmulas son funciones de x ó de y. Pero una parábola puede
tener su eje inclinado con respecto a un par de ejes de coordenadas ortogonales.
La expresión algebraica que describe una parábola que ocupe cualquier posición en un plano es:
si y sólo si
y los coeficientes a y c no pueden ser simultáneamente nulos
Mediante traslaciones y rotaciones es posible hallar un sistema de referencia en el que la
ecuación anterior se exprese mediante una fórmula algebraica de la forma
, donde a es distinto de cero.
Definición de elipse:
Se entiende por elipse a aquellas formas geométricas que están formadas por curvas
planas resultantes de la intersección entre una forma cónica y un plano. La elipse no es un círculo
si no que se compone de dos trazos perpendiculares entre sí de los cuales uno es mayor y otro
menor (por lo general el trazo vertical es el menor ya que la elipse suele ser más extensa horizontal
que verticalmente). La conjunción de estos dos trazos es el centro de la elipse y con ellos se forma
el eje central de la elipse.
Una de las características de la elipse es que si trazamos dos puntos cualesquiera en
alguno de los dos trazos mencionados, la unión de los mismos en el perímetro de la elipse siempre
forma una figura cónica o triangular. Dependiendo de donde se tracen estos puntos, las líneas
podrán ser mayores o menores o incluso iguales si son trazadas a similar distancia del perímetro.
En algunos casos, las elipses pueden ser la proyección de la perspectiva de los círculos.
La elipse también aparece descrita normalmente como una curva más suavizada, lo cual la
diferencia de los círculos o semicírculos. Sin embargo, esto no significa que sus ejes sean
asimétricos si no que, para mantener la forma de elipse, siempre se debe mantener la proporción
distante entre el trazo mayor y el menor.
Elementos de la elipse
Focos: Son los puntos fijos F y F'.
Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.
Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF'.
Centro: Es el punto de intersección de los ejes.
Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los
focos: PF y PF'.
Distancia focal: Es el segmento de longitud 2c, c es el valor de
la semidistancia focal.
Vértices: Son los puntos de intersección de la el ipse con los ejes: A, A', B y B'.
Eje mayor: Es el segmento de longitud 2a, a es el valor del semieje mayor.
Eje menor: Es el segmento de longitud 2b, b es el valor del semieje menor.
Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor.
Centro de simetría: Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de
intersección de los ejes de simetría.
Ejemplos de la elipse
1) Hallar la ecuación canónica de la elipse
Trazar su gráfica identificando los vértices, los focos, el centro y la
excentricidad.
Solución
Para hallar la ecuación canónica debemos completar el cuadrado de la expresión en
ambas variables e
De donde obtenemos que el centro es , el valor de ( es la longitud mayor, esto nos dice que la elipse es vertical), el valor de y el valor de está dado por:
Y así, los focos están dados por y los vértices por . Por
último, la excentricidad es
La gráfica se muestra en la siguiente figura
2) Hallar la ecuación canónica de la elipse con vértices en y eje menor de longitud .
Solución
Como la longitud del eje menor es de unidades, entonces . Como los
vértices están en y , entonces el centro está en , el eje mayor de la elipse es vertical y .Con lo cual:
Por último, la excentricidad es y la ecuación canónica es:
Los focos están en . La gráfica de la elipse se muestra en la próxima imagen:
Definición de hipérbola:
Una hipérbola es una curva abierta de dos ramas, producida por la intersección
de un cono circular recto y un plano que corta las dos secciones del cono. La
Hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias
a dos puntos fijos, llamados focos es constante. Una hipérbola es el conjunto de
puntas del plano cuya distancia a dos puntos fijos tiene una diferencia constante. Con
esto queremos decir que tomamos la diferencia de la distancia mayor menos la
distancia menor. Los dos puntos fijos se llaman focos de la hipérbola. El punto medio
entre los dos focos se llama Centro de la hipérbola. La hipérbola es el lugar
geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a los puntos fijos llamados
focos es constante.
La fórmula matemática de la hipérbola, centrada en el origen de coordenadas
es
Componentes de la hipérbola
Focos: Son los puntos fijos F y F'.
Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.
Eje secundario o imaginario: Es la mediatriz del segmento .
Centro: Es el punto de intersección de los ejes.
Vértices: Los puntos A y A' son los puntos de intersección de la hipérbola con el eje
focal.
Los puntos B y B' se obtienen como intersección del eje imaginario con la
circunferencia que tiene por centro uno de los vértices y de radio c.
Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la hipérbola a los
focos: PF y PF'.
Distancia focal: Es el segmento de longitud 2c.
Eje mayor: Es el segmento de longitud 2a.
Eje menor: Es el segmento de longitud 2b.
Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario.
Asíntotas: Son las rectas de ecuaciones:
Relación entre los semiejes:
Ejemplos de la hipérbola
1) Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F(4, 0), de vértice A(2, 0) y de centro C(0, 0).
2) Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F(0, 5), de vértice A(0, 3) y de centro C(0, 0).
Ecuación de la hipérbola
Si el centro de la hipérbola es C(x0, y0) y el eje principal es paralelo a OX, los focos tienen de coordenadas (x0+c, y0) y F'(x0− c, y0). Y la ecuación de la hipérbola será:
3) Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F (7, 2), de vértice A (5,2) y de centro C (3, 2).
Ecuación de la hipérbola de eje vertical
Si el centro de la hipérbola C(x0, y0) y el eje principal es paralelo a OY, los focos tienen de coordenadas(x0, y0+c) y F'(x0, y0− c). Y la ecuación de la hipérbola será:
4) Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F (7, 2), de vértice A (5,2) y de centro C (3, 2).
Ecuación de la hipérbola de eje vertical
Si el centro de la hipérbola C(x0, y0) y el eje principal es paralelo a OY, los focos tienen de coordenadas(x0, y0+c) y F'(x0, y0− c). Y la ecuación de la hipérbola será:
CONCLUSIONES
En este trabajo hemos podido ampliar nuestros conocimientos acerca de las
secciones cónicas, conocer mejor las cónicas, como por ejemplo Elipse (Son figuras
geométricas cerradas, formadas por segmentos de recta); Hipérbola, Lugar geométrico de
todos los puntos para las cuales la diferencia de las distancias a dos puntos fijos, llamados
focos es constante. Una parábola es una línea que se puede ajustar, en un espacio
bidimensional y en relación a sistema de coordenadas orto normales, con la relación
y=a.x²+b, o la aplicación de una transformación que represente un giro, a dicha relación.
Las curvas cónicas se empezaron a estudiar hace miles de años, mucha gente
destinó su vida en entender y descifrar el porqué y como de las cónicas.
Las curvas cónicas: elipse, círculo, hipérbola y parábola, han sido de mucha
importancia en la vida del ser humano, ya que gracias a ellas, su han podido desarrollar
diferentes aparatos, artefactos y cosas, con el fin de beneficiar, y facilitar la vida del ser
humano.
En este trabajo hemos podido aprender en qué consiste y qué conceptos son los
que abarca la palabra CÓNICAS.
Aprendimos también que hay cuatro tipo de cónicas, que son la hipérbola, parábola
y elipse; todas son de mucha importancia en nuestra vida porque tiene diferentes
aplicaciones prácticas.
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