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Departamento de Matemática Aplicada
MATEMATICAS I. Curso 2011-12
Grado en Ingeniería Química
Trabajos dirigidos
①Una varilla de longitud 2 cm tiene una densidad lineal de masa que depende de la posición
según la fórmula 2( ) 2x x x .
a) Dibuja la gráfica de la función de densidad.
b) Calcula a qué distancia x la densidad tiene un máximo.
2
2 2 2
2
2 2 2(1 ) 1( ) 2 '( ) ;
2 2 2 2 2
1'( ) 0 0 1 0 1
2
x x xx x x x
x x x x x x
xx x x
x x
2
2
22
11( 2 ) .(1 )
1 2''( ) 1
22
xx x x
x x xx MÁXIMO x
x xx x
c) Calcula su masa, es decir:
2
0( )m x dx
2 2 22 2 2
0 0 0
22
0
22
0
( ) 2 ( 1 2 ) 1. ( 2 1) 1.
( 1) 1. 1}
1 .
m x x x dx x x dx x x dx
I x dx u x
I u du
Aplicando las propiedades de la integración de funciones irracionales reciprocas llegamos al
siguiente resultado:
21(( 1 ) ( ))
2m u u arcsen u
Ahora realizamos un cambio de base, ya que tenemos en vez de en x , lo tenemos en u .Si
teníamos que x era 0 y 2. Como tenemos que 1u x ; obtenemos que:
1 2 1 1
1 0 1 1
u x u u
u x u u
Para acabar sustituimos los nuevos límites con u :
2 2
0 0
1 1[(1 1 1 (1))] [ 1 1 ( 1 ) ( 1))]
2 2
1 1( ) ( )
2 2 2 2 4 4 2
arcsen arcsen
d) Calcula su centro de gravedad, es decir:
2
0
1. ( )Gx x p x dx
m
1
22
0
2 2 12 2 2
10 0 1
12
( 1)
1(2 1) 1 ( 1) 1 1
1
1 1
G
I
x x x x dxm
u x
u xI x x x x x x u
x u
Lim y
1 1 1 12 2 2 2 4 2
11 1 1 1
12
1 1 1 12 2 2
1 1 1 11
0
( 1) 1 1 1 1
1 ( ) 1 02 2 2 2
I u u u u u u u u
uu u u u
1 2. . 12 2
Gxm
e) Calcula el momento de inercia respecto al origen de coordenadas, es decir: 2
2
00
( )I x p x dx
f) Calcula su momento de inercia respecto al centro de gravedad, es decir: 2
2
1 20
( , ) ( ) ( )GP t t x x p x dx
2 2 2
2 2 2 2 2
0 0 0
12
2 1 1 1 12 2 2 2 2 4 2 2
0 1 1 1 11
12
1
( 1) ( ) ( 1) 2 ( 1) (2 1) 1 1
( 1) 1 1 ( )2
1 10
2 2 2
GI x p x x x x x x x u x
ux u u u u u u u
u
② La densidad de probabilidad de que un suceso ocurra en un tiempo t sigue una ley
empírica dada por 2( ) tp t Kt e . La probabilidad de que el suceso ocurra en algún momento
en el intervalo 1 2( , )t t viene dada por:
2
11 2( , ) ( )
t
tP t t p x dx
a) Sabiendo que el suceso va a ocurrir en algún momento, calcula el valor de K .
(Entonces la probabilidad (0, )P debe valer 1).
1
2
2 2
0
1 1
2
2
2 .(0, ) 2
(0, ) 2 ( )
2 2 2lim[ ( )] (2 ' ) 1 0 1 ;
t t t
t t
I
t t t
t t
t t t
t t t tt
u t du t dtP Kt e t Ke k te dt
dv e dt v e
u t du dtI te dt I te e
dv e v e
P Kt e K te e
t tK xL H K K K K
e e e e
b) Dibuja la gráfica de la densidad de probabilidad entre 0 y 100.
③Para cada par de condiciones siguientes, encuentra y dibuja una función que las cumpla:
a) 2'( ) 6 5f x x y (1) 3f
23
2
3 3
3
6( ) 6 5 5
3
( ) 2 5 3 (1) 2 5 3
2 5 3 6
2 5 6 0
xf x x x
f x x x K f x x K
K K
x x
Gráfica:
b) '( ) ( ) 1f x sen x y (1) 3f
( ) ( ) 1 ( ) cos( )
cos( ) ; (0) 1;1 cos(0) 1 1
( ) cos( ) 1 0
f x sen x sen x dx dx x x K
x x K f K K
f x x x
c) 2
'( )1
xf x
x
y (2) 1f
2 2 2
2 2
2
1 ( 1) 1 ( 1)
( 1)
( 1) ( 1)
1 11 0 1
0 1
1 1 1ln | 1|
1 ( 1) 1
x x A B
x x x x
A x B Ax A Bx
x x
A AA B A B A B
B A B
x Kx x x
1 1(2) ln | 1| 1 ln |1| 1
1 1f x K K
x
0 1 1
2
K
K
1( ) ln | 1| 2 0
1f x x
x
④ Dada una función ( )y f x , continua en todo , se puede descomponer en dos partes,
( )P x e ( )I x , simétricas, par e impar respectivamente, de manera que ( ) ( ) ( )f x P x I x .
Para ello basta tomar ( ) ( )
2
f x f xI
, y
( ) ( )( )
2
f x f xP x
. Para la función
( ) cos( 1)f x x ,
a) Dibuja la función.
b) Calcula y dibuja sus partes par e impar.
IMPAR PAR
( ) ( )( )
2
f x f xI x
( ) ( )( )
2
f x f xP x
cos( 1) cos( 1)( )
2
x xI x
cos( 1) cos( 1)( )
2
x xP x
c) Calcula la integral 3
3
( )f x dx
3 3 3
33 3( ) cos( 1) ( 1) (4) (2) 0,209354f x x sen x sen sen
d) Calcula la integral 3
0
2 ( )P x dx
3 3 3 3
3 3 3 3
3 3
3 3
cos( 1) cos( 1)2 cos( 1) cos( 1) cos( 1) cos( 1)
2
( 1) ( 1) 0,3049
x xx x x x
sen x sen x
Repita los cálculos anteriores para la función 2( ) cos( 1) 1g x x x . Como no se puede
obtener una expresión de la integral, haz una evaluación numérica de la misma.
2( ) cos( 1) 1g x x x
2 2
2 2
[cos( 1) 1] [cos ( ) 1 1]( )
2
[cos( 1) 1] [cos ( ) 1 1]( )
2
x x x xP x
x x x xI x
Evaluación Numérica
-5 0,8705
-4 0,1057
-3 0,1204
-2 0,8394
-1 1,5403
0 1,5403
1 0,8394
2 0,1204
3 0,1057
4 0,8705
5 1,7548
⑤ Dada la función 2
1
1y
x
,
a) Calcula sus puntos críticos. 0
2
2 2
2 2 2
2 2 2 4
0( 1) 2 (1)'( ) 0 2 0 0 .
( 1)
2 2( 1) 4 ( 1)2'( ) ''( ) . 0
( 1) ( 1)
x xy x x x Pto Crítico
x
x x x x xy x y x MÁXIMO x
x x
b) ¿En qué puntos tiene la recta tangente a la curva su pendiente máxima?
Recta tangente a la curva '( ) ( )y x z x
2 2
2 2 2 2
2 2 2 4
2( )
( 1)
2 2( 1) 8 ( 1)( ) '( ) 0
( 1) ( 1)
xz x
x
x x x xz x z x MAX MIN
x x
2 2 4 2
4 2 4 2
14 2
2
8 ( 1) 2( 2 1)
8 8 2 4 2
1
6 4 2 3
1
x x x x
x x x x
xx x
x
c) Dibuja la gráfica y las rectas tangentes en dichos puntos.
Calcula en que puntos es máxima pendiente de la tangente a la función ( )y sen x .
( )
'( ) cos( ) ( )
'( ) cos( )
cos( ) 0
(0) .2
y sen x
y x x P x Pendiente
P x x
x
x arcsen Pto Maximo
⑥ La cantidad de luz que llega a una superficie es proporcional a la intensidad de la fuente
luminosa, inversamente proporcional al cuadrado de la distancia de la distancia desde dicha
fuente a la superficie, y proporcional al seno de ángulo de incidencia de la luz (ángulo que
forma el rayo con la horizontal. Se tiene una estancia cilíndrica de radio 5 m y altura otros 5 m.
Determina a que distancia se ha de colocar el foco de luz para que las esquinas reciban la
máxima iluminación.
⑦El cometa Halley sigue una trayectoria alrededor del Sol dada por la ecuación en
coordenadas polares
0,5716( )
1 0,968cos( )r
.
a) Dibuja la gráfica en coordenadas polares de la trayectoria.
b) Calcula el máximo y el mínimo del radio.
1
2
0,5716 0(1 0,968cos( )) 0,968sin( )( ) '( ) 0
1 0,968cos( ) (1 0,968cos( ))
0,968sin( )'( ) 0 sin( ) 0 sin 0 0
(1 0,968cos( ))
r r
r
2
4
0,968sin( )''( )
(1 0,968cos( ))
( 0,968cos( ) (1 0,968cos( )) (0,968sin( ) (0,968sin( )''( )
(1 0,968cos( ))
r
r Maximo
( ) 0,29r
c) Sabiendo que cos( )x r , calcula dx
d
cos( )cos( )
0,5716 0,5716cos( ) 0,5716sin( )0,5904
cos( ) 1 0,968cos( ) 1 0,968cos( ) 0,968sin( )
xx r r
x dx dxx
d d
⑧ La ecuación de estado de Van der Waals viene dada por: 2
2
nRT anp
V b V
Calcula los valores de los parámetros a y b de la ecuación anterior sabiendo que la tangente a
la isoterma en el puntico ( , , )c c cp T V debe ser horizontal y además un punto de inflexión.
Aplicando lo anterior dibuja la isoterma correspondiente a la temperatura crítica de un mol de
agua cuyos parámetros son ( 218,3cp atm, 0,056cV l y 647,4cT ºK ) .
2
2
2 3
2
2 3 3
20
( )
2 60 .
( )
T
T
nRT anp
V b V
dp RT aHorizontal
dV V b V
d y RT aPto Inflexión
d x V b V
32
3 4
3 2
2 3 2 3
20
1 2 6 4( )6 6 4 2 6 3
2 62 6( ) ( )0( )( )
2 2 80 27 8
( ) (2 ) 27 27
RT a
VV bV b V V b V b
RT a V V b
V b VV b V
RT a RT a ab RT b a T
V b V b b bR
2 2 2 2
2 2
8 8
827 27
( ) 3 2 54 9
1
27 27
Ra Ra
RT a a Ra abR bRp p pV b V b b b V b R b
a ap p
b b
Segunda Parte:
0,0560,056 3 0,056 0,1866
3cV b b
2218,3 218,3 (218,3).(27.(0,1866)) 1099,83 1099,83
27c
aP a a
b
⑨ La ecuación de la recta que mejor aproxima a una función ( )y f x en el punto 0x se
puede obtener tomando una recta genérica ( )r x mx n y exigiendo que ambas funciones y
sus derivadas sean iguales en dicho punto. De ésta manera se obtiene: '(0) (0)r f r n y
'(0) '(0)f r m , siendo por tanto la recta que buscamos '(0) (0)r f x f , es decir, la
recta tangente en 0x .
De manera análoga se puede proceder para obtener un polinomio de cualquier grado que
aproxime a una función en 0x . Realiza los mismos cálculos para obtener los coeficientes de
la parábola (polinomio de segundo grado) que mejor ajuste a la función en 0x .
Aplica lo anterior para obtener la recta y la parábola que mejor aproximen a la función 27 log( 3)y x x en el punto 0x .
( )y f x 0x
2
2
( )
(0) (0)
'(0) '(0)
''(0) ''(0)? 2
''(0) '(0) (0)tg
p x ax bx c
f r c
f r ax b b
f r a
R f x f x f
2
2
20
0
( ) 7 log( 3)
1'( ) 14 log( 3) [7 ]log
3
log 1''( ) 14log( 3) [14 ] log [14 ]
3 ( 3)
(0) log3
'(0) 0
log3 125''(0) 14log3 log3 6,62
9 9
y x x x
y x x x x ex
ey x x x e x
x x
y
y
y
2
2
( ) 2
(0) 13,25 log3
tg
tg
R x ax bx c
R x
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