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Trabalho realizado pelos Alunos 12º ano TCC / TM
Escola Secundária de Avelar Brotero
Valor justo de uma aposta
TOTOLOTO
• O jogo
1º Prémio : acertar nos 6 números sorteados
2º Prémio : acertar em 5 números sorteados e no suplementar
3º Prémio : acertar em 5 números sorteados
4º Prémio : acertar em 4 números sorteados
5º Prémio : acertar em 3 números sorteados
• Recolha de Dados
1º prémio 2º prémio 3º prémio 4º prémio 5º prémio
124524675$ 5399894$ 265568$ 1676$ 264$
60684631$ 1137242$ 113724$ 2351$ 230$
115001786$ 1597247$ 141395$ 1974$ 210$
56333566$ 2816678$ 173156$ 2954$ 235$
119958403$ 2596583$ 124969$ 2682$ 226$
117204740$ 1039034$ 78714$ 1645$ 188$
239218933$ 5289320$ 223492$ 2954$ 226$
18785595$ 612573$ 68063$ 1488$ 174$
242342725$ 5357627$ 212416$ 3104$ 238$
122757689$ 1278727$ 177054$ 2773$ 240$
• Tratamento de Dados
Média dos prémios :
1º Prémio : ...... 121 681 274 $
2º Prémio : ...... 2 712 492 $
3º Prémio : ...... 157 855 $
4º Prémio : ...... 2 360 $
5º Prémio : ...... 223 $
• Matematização
ii px
O valor esperado é dado pela soma dos produtos de cada prémio pela correspondente probabilidade,
seja x1 o 1º prémio e p1 a respectiva probabilidade de sair
x2 o 2º prémio e p2 a respectiva probabilidade de sair
... ... ... ... x5 o 5º prémio e p5 a respectiva probabilidade de sair
x1 p1 + x2 p2 + x3 p3 + x4 p4 + x5 p5
é a média ou valor esperado desta distribuição.
Lei de Laplace
“ Numa experiência aleatória em que os casos elementares têm igual possibilidade de se realizar, a probabilidade de um acontecimento se concretizar é
dada pelo quociente entre o número de casos favoráveis e o número de possíveis.”
Combinações possíveis de 6 números de 49
23456444546474849
649
C
13983816 6
49 C
Probabilidade de acertar em cada um dos prémios
1º Prémio
649
1
C p(1º prémio) =
p(1º prémio) = 13983816
1
p(1º prémio) 0,00000007151123842
2º Prémio
A estrutura de cada chave é da seguinte forma C C C C C S
Tomemos, como exemplo, a seguinte chave 1, 2, 3, 4, 5 e 6.
De quantas maneiras podemos obter 5 resultados?
{1, 2, 3, 4, 5 }, {1, 2, 3, 4, 6 }, {1, 2, 3, 5, 6 }, {1, 2, 4, 5, 6 }, {1, 3, 4, 5, 6 }, {2, 3, 4, 5, 6 }
Temos, portanto, 6 casos favoráveis.
Assim, o número de chaves favoráveis é dado por 1 .
2º Prémio
2º Prémio
p(2º prémio) = 1
649
56
C
C
p(2º prémio) = 13983816
6
p(2º prémio) 0,0000004290674305
3º Prémio
A estrutura de cada chave é da seguinte forma C C C C C E
142C
Assim, o número de casos favoráveis é 252, dado por
56 C
142C = 6 42
3º Prémio
p(3º prémio) =
649
142
56
C
CC
p(3º prémio) = 13983816
426
p(3º prémio) = 0,00001802083208
4º Prémio
A estrutura de cada chave é da seguinte forma C C C C E E.
243
46 CC O número de casos favoráveis é 13545, dado por
4º Prémio
p(4º prémio) = 6
492
43 4
6
C
CC
p(4º prémio) =
13983816
13545
p(4º prémio) = 0,0009686197244
5º Prémio
As chaves têm a seguinte estrutura C C C E E E
O número de casos favoráveis é 13545, dado por 343
36 CC
5º Prémio
p(5º prémio) = 6
493
43 3
6
C
CC
p(5º prémio) = 13983816
246820
p(5º prémio) = 0,0176504039
Tabela de Distribuição
1º prémio 2º prémio 3º prémio 4º prémio 5º prémio
xi valor
do prémio
121681274$ 2712492$
157855$ 2360$ 223$
pi prob. 0,0000000715
0,0000004291
0,0000180208 0,0009686197 0,0176504039
ii pxx
Média da distribuição :
x = 121681274 0,0000000715 + 2712492 0,0000004291 + 157855 0,0000180208 + 2360 0,0009686197 + 223 0,0176504039
x 19$00
Conclusão
Verificámos que a probabilidade de obter um bom prémio é muito reduzida, 1º prémio: temos 1 hipótese para 13983816 2º prémio: temos 1 hipótese para 2330636
´ 3º prémio: temos 1 hipótese para 55491
4º prémio: temos 1 hipótese para 1032
5º prémio: temos 1 hipótese para 57
...e no entanto o jogo continua.
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