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TRAITEMENT NUMERIQUE DES IMAGES MEDICALES (II)
TOMOGRAPHIE 2D
TOMOGRAPHIE 3D
D. Mariano-Goulart
Tomographie 2D et 3D
p(s,φφφφ,z,,,,θθθθ)))) : plansp(s,φ) φ) φ) φ) : lignes
z
θφ
s
Tomographie 2D
Imagerie médicale
Modélisations analytique
algébrique
Théorème de Radon
Rétroprojection filtrée
Algorithmes itératifs
Régularisation
Artefacts
Quantification
II00
XX
II
TDM (scanner X)
n21 µ ... µ µ p +++=
Imagerie médicale
TEMP γ
I0p
a 1
a na 2
n21 a ... a a p +++=
γγγγγγγγ
9943 Tc
Imagerie médicale
Exemples TEMP γγγγγγγγ
Cations lipophiles-Tc
Diphosphonate-Tc
Imagerie médicale
Modélisation analytique (I)
i
j
s
t
f
( ) [ ] x.dθ , x s ).δxf( spθ ∫ −=r
r
( ) x.d).xf( )xf( R spθ ,x
θ
rr
r
r ∫=
==s
=
j
i x
r ( ) ( )s , θ p spθr
r =
θsin
θ cos θ
=
r( )spθr
Modélisation
( ) ( )dθ x.θ , θ p x p) (Rπ
0θ∫=
∗ = rrrr
s = i.cosθ + j.sinθ
s1
i
j
θrx
r
2121 pR f p , f R ∗=
s3
s2
Rétroprojection ou épandage
Rm :
Modélisation analytique (II)
Modélisation
Modélisation algébrique (I)
f1
f4f3
f2 p1 = r1,1 f1 + r1,2 f2
p2 = r2,3 f3 + r2,4 f4
Système linéaire de n² équations et n² inconnues
p3 = r3,1 f1 + r3,3 f3
p4 = r4,2 f2 + r4,4 f4
=
4
3
2
1
4
3
2
1
4,4 4,3 4,2 4,1
3,43,3 3,2 3,1
2,4 2,3 2,2 2,1
1,4 1,3 1,2 1,1
pppp
ffff
.
rrrrrrrrrrrrrrrr
p fR.rr
=
ri,j = % du pixel j intersecté par la projection i
Modélisation
b1 = r1.1 p1 + r3,1 p3 p1
p2
p3
p4
=
4
3
2
1
4
3
2
1
4,4 3,4 2,4 1,4
4,33,3 2,3 1,3
4,2 3,2 2,2 1,2
4,1 3,1 2,1 1,1
bbbb
pppp
.
rrrrrrrrrrrrrrrr
b pR.trr
=Rétroprojection ou épandage :
R R t↔∗
Modélisation algébrique (II)
b2 = r1.2 p1 + r4,2 p4
b3 = r2.3 p2 + r3,3 p3 b4 = r2,4 p2 + r4,4 p4
Modélisation
Projection / Rétroprojection
p fR.rr
= b pR.trr
=
f
p
b
p
Modélisation
Problème d’Hadamard bien posé
R surjectif existence de la solution
A = tRR symétrique, définie positive
Revient à minimiser l’équation normale
R injectif unicité de la solution (initialisation)
R-1 continue Mais aussi || R-1|| limitée
2pfrrr
−qpR.fA fR.R tt rrrr
===
pδ.Rfδ alors pδp )fδfR( Si 1 rrrrrr−≤+=+
Modélisation
Théorème de Radon 2D
i
j
s
t
f
=
j
i x
r
( ) x.d).xf( spθ ,x
θ
r
r
r ∫=
=s
( ) ( )∫−=
s
i.s.θθ
ds.esp σp σrr
( ) .dtds .e)xf( σps
i.s.σ
sθ,x
θ ∫ ∫−
=
=rr
rr
( ) ( ) .djdi.ej)f(i, σpi
j.sinθi.cosθi.σ.
jθ ∫ ∫
+−=r
( ) ( ) ( )θσ.f σsinθ , σ.cosθf σpθ
rr ==
θsin
θ cos θ
=
r
Théorème de Radon
i
j
s
t
f
θr
( ) ( )θσ.f σpθ
rr =
ξ1
ξ2
σ
t
θr
( )spθr s ( )σθ
pr
σ
T F
T F
R ||
f
Interprétation (I)
Théorème de Radon
Interprétation (II)
?
( )spθr ( )σθ
pr
T F
T F
||R
f
( ) ( )θσ.f σpθ
rr =
f
Théorème de Radon
Interprétation (II)
( )spθr ( )σθ
pr
T F
T F
||R
f
( ) ( )θσ.f σpθ
rr =
f
Théorème de Radon
Rétroprojection filtrée (I)
( ) ( ) ( ) ( )∫∫
+= 21 j.ξ i.ξ 2iπ
21 dξdξe ξ ,ξ fU ji,f 21
( ) ( ) ( )∫ ∫=
+∞=
−∞=
+=π
0θ
σ
σ
j.sinθ i.cosθ σ 2iπ dθ dσ σ e θ σ f ji,fr
( ) ( ) ( )∫ ∫=
+∞=
−∞=
+=π
0θ
σ
σ
j.sinθ i.cosθ σ 2iπ dθ dσ e σ p ji,f σθr
( ) [ ]( ).dθj.sinθi.cosθ abs . pTF ji,fπ
0θ
θ
1s∫
=
− += r
ξ1
ξ2ρ
θ
Rétroprojection filtrée
( ) [ ]( ).dθj.sinθi.cosθ abs . pTF ji,fπ
0θ
θ
1s∫
=
− += r
( ) ( )x )p (R xf 'rr
∗=
[ ](s) abs . pTF s) , θ( p' (s) pθ
1s
'θ
rr
r−==
( ) ( )dθ x.θ , θ p x p) (Rπ
0θ∫=
∗ = rrrr
Rétroprojection filtrée (II)
Rétroprojection filtrée
θpr
θpr abs
x
[ ] 'θθ
1s p abs . pTF rr =−
s = i.cosθ + j.sinθ
s1
s2
s3
i
j
Projections sur 180°
( ) ( )ji, )p (R ji,f '∗=
Rétroprojection filtrée (III)
Rétroprojection filtrée
2r) (kπ1 - ∆ k impair
0 k ≠ 0 pair
2r)4(1∆ k = 0
RL(k.∆r) =
2ef
r 2.∆1 mf ==
mf
( ) ( ) ( )22
m mm
x2π xf 2πcos1
πxxf 2πsin f xRL −−=
Rétroprojection filtrée (IV)
Rétroprojection filtrée
Rétroprojection filtrée (V)
Rétroprojection filtrée
f1 f2
p2
∆2
f1
f2
∆1 ∆2
r1,2
∆1 p1 = r1,1 f1 + r1,2 f2
p2 = r2,1 f1 + r2,2 f2
r1,1 r2,1
r2,2
p1
Kaczmarz
Algebraic Reconstruction Technique (I)
Algorithmes itératifs
f1
f2
∆1 ∆2
1,2
1,11 r
rωr
1nf +r
n2
n1n
ff f
rdr
1
1n1n
ω
ω d f f r
rrr+=+
1
1n
1
ω
ω , f p d r
rr−
=
12
1
n11n1n ω
ω
pp f fr
r
rr −+=+
n2 1,2
n1 1,1
n1 fr fr p +=
)pp( f f n11*n1n −+=+ R
rr
∆2
∆1 p1 = r1,1 f1 + r1,2 f2
p2 = r2,1 f1 + r2,2 f2
Algebraic Reconstruction Technique (II)
Algorithmes itératifs
0 0
0 0
0
0
0
00
45
45 - 0
4590
45 - 0 = 15 + 15 + 15
90 - 0 = 30 + 30 + 30 15 15
15 15
30
15
15
3030
45 4590
-15 -1530
60 6060-
10 10
10 10
25
25
25
2540
)pp( f f n11*n1n −+=+ R
rr
Algebraic Reconstruction Technique (III)
Algorithmes itératifs
MLEM et OSEM
Maximiser -log[Proba(p/f)]
Bruit de Poisson sur p
=
∑+
p
p
r
1 . f f
nl
l
l'i,l'
n1n *
Rrr
∑∑∑ =
==
=+ P
lN
s
nssl
lilP
lil fr
pr
r 1
1,
,
1','
1.n
if1n
if
f1
f2
∆1 ∆2
∆’2
Algorithmes itératifs
Gradient conjugué :
Minimiser
)fRp( R . aff n*nn1nrrrr
−+=+
2nn2 pfR)f(χ
rrr−=
))f(χ( R.R , )f(χ
)f(χa
n2*n2
2n2
n rrrr
rr
∇∇
∇=
)fRp(R )f(χ n*n2rrrr
−=∇
Gradient Conjugué
Algorithmes itératifs
Exemples
MLEM Gradient Conjugué
Algorithmes itératifs
Comparaison des résultats
GC 16GC 6MLEM 6 MLEM 200
Algorithmes itératifs
APPROCHE EXPERIMENTALE (I)
1
2
3
J
Pixel i : (mi, σi)Vraie valeur : ti
∑=
−=K
1i
2ii )V(mbiais∑
=
⋅=K
1i i
i
m
σ
K
100RMS%
Régularisation
APPROCHE EXPERIMENTALE (II)
D. Mariano-Goulart et al., CMIG 03; 27
∑=
−=K
1i
2ii )V(mbiais∑
=
⋅=K
1i i
i
m
σ
K
100RMS%
Régularisation
Approche intuitive (I)
f1 f2
: p1 = r1,1 f1 + r1,2 f2
: p2 = r2,1 f1 + r2,2 f2
f1
f2
∆1
∆1
∆2
∆2
Régularisation
64² = 4 096128² = 16 384256² = 65 536512² = 262 144
f1
f2
∆1
∆2
f1 f2
: p1 = r1,1 f1 + r1,2 f2
: p2 = r2,1 f1 + r2,2 f2
∆1
∆2
Régularisation
Approche intuitive (II)
Hadamard : R bijectif, R-1 continue
Mais :
( )( )
+
−≤
RδR
ppδ
RδR
R κ 1
Rκ f
fδr
r
r
r
( )min
max
λλ 1R R Rκ =−=
Régularisation
Approche théorique
Exemple
=
31332332
1111
10 9 5 79 10 6 85 6 5 77 8 7 10
=
−
30,933,122,932,1
1,15,4
12,6-9,2
10 9 5 79 10 6 85 6 5 77 8 7 10
=
−
31,132,923,131,9
1,35,2
14,67,2-
10 9 5 79 10 6 85 6 5 77 8 7 10
( ) 2984 010.0
30,289 R 30,289 3,858; 0,843; 0,010; Sp(R) ==⇒≈ κ
Régularisation
Objectifs
• Garantir la convergence de l’algorithme– Définir un critère d’arrêt
– garantir la stabilité de l’algorithme au fil des itérations
• Optimiser la régularisation en terme de :– résolution
– niveau de bruit (quantification)
• Quantification du bruit dans les coupes
Régularisation
Convergence: Critère d’arrêt
Erreur inverse (backward error) :
f
r λ
1 εj
j
max
j r
r
=
δ+=δ+
δδ=
δδ q q x A)(A /
β
q ,
α
A Max )xε( Min
q ,A
rrrr
r
r
β x α q - xA
)xε(+
= r
rrr
⇒==δ= A αet 0 q 0, βr
D. M-Goulart et al. CMIG 07
Régularisation
Convergence: Stabilité
CONDITIONNEMENT : ( )min
max1-
λλ A A Aκ ==
( )qqδ
Aκ f
fδr
r
r
r
≤
( )( )
+δ−
≤AδA
qqδ
AA
A κ 1
Aκ f
fδr
r
r
r
Régularisation
q .A r d *00rrr
==
j*j
2jj
d.A.Ad
rω rr
r
=
jjj1j d.ωffrrr
+=+
j*jj1j d.A..Aωrrrrr
−=+
j2j
21j1j1j d.
r
rrd
r
r
rrr +
++ +=
2
Cf q - fA min arg frr
∈=
Gradient conjugué
Régularisation
j*
j
2jj
d.R.Rd
rω rr
r
=2j
21jj
r
r β r
r +
=
+−
−
+−
−
=
−
−
−
−
−
−
1j
1j
j1j
1j
1j
1j
0
0
10
0
0
0
0
j
ωβ
ω1
ωβ
00
ωβ
0
0ωβ
ω1 ω
β
00ωβ
ω1
GOO
O
Matrice de Galerkine
Analyse numérique matricielle appliquée à l’art de l’ingénieur. P. Lascaux & R. Théodor (II). MASSON
Régularisation
Exploitation du spectre
Erreur sur les coupes :
Erreur sur les valeurs propres :
Nbre de conditionnement:
v λ
vω
β
)λ~
η( λ~
λλimax
λder
1i
1i
r+
+
=≤−
f
r λ
1 εj
j
max
j r
r
=
min
max
λλ N =
Régularisation
Stratégies de régularisation
Régularisation algorithmique
Utiliser un information statistique a priori
Régularisation sous contrainte
Régularisation
Régularisation algorithmique (I)
( ) ( ) j)(i,S )j',(i' ; j',i'f ji,ε kk ∈∧=
( ) ( )ji,ε ji,E kk
k ∨=
S1
S2
S5
Régularisation
( ) ( )
∧= ∨∧ kk
kkk
kγ , γ θ ϕϕ
( ) ( )
∨= ∨∧ kk
kkk
kγ , γ τ ϕϕ
τθ;δ OCA ∞∨=
δε εδ γ oo == ϕ
Régularisation algorithmique (II)
Régularisation
q .A r d *00rrr
==
j*j
2jj
d.A.Ad
rω rr
r
=
jjj1j d.ωffrrr
+=+
j*jj1j d.A..Aωrrrrr
−=+
j2j
21j1j1j d.
r
rrd
r
r
rrr +
++ +=
2
Cf q - fA min arg frr
∈=
Régularisation algorithmique (III)
Régularisation
( )j*jj1j d.R..RωrOCAr
rrr−=+ (MN 99)
D. Mariano-Goulart et al., Médecine nucléaire 1999; 23
Régularisation algorithmique (IV)
Régularisation
)f( ).f/p()p()/f( ).f/p()p/f(rrrrrrrrr
ΡΡ=ΡΡΡ=Ρ
Bayes :
[ ])f( log )f/p(logminargf~
f
rrrrr Ρ−Ρ−=
Régularisation statistique (I)
Régularisation
)f( ).f/p()p()/f( ).f/p()p/f(rrrrrrrrr
ΡΡ=ΡΡΡ=ΡStratégie de Bayes :
[ ])f( log )f/p(logminargf~
f
rrrrr Ρ−Ρ−=
Adéquation aux données régularisation
Régularisation statistique (II)
Régularisation
[ ])f( log )f/p(logminargf~
f
rrrrr Ρ−Ρ−=
Distribution de Gibbs( )∑
=−
ji,jiji, f -f.Vwβ.
K1 e)fΡ(
r
( )
+−= ∑
ji,jiji,f)f-V(fwβ f/pΡ logminargf
~ rrrr
Régularisation statistique (III)
Régularisation
∑∑∑ ∂β+
=+=
==
P
1lN
1s
nss,l
li,lP
1'li,'l fr
pr.
U .r
1.n
if1nif
MAP-EM-OSL
∑ −∂∂=∂
∈ )f(Vfki.k,i
ik
)ff(r
VwU
Régularisation statistique (IV)
Régularisation
2
CffRpmin arg frr
−=∈
Régularisation par contrainte
+−=
∈)fα.ρ(fRp min arg f
2
Cf
rrr
Remplacer : par
( )
∈ ∑i
ii
2
... ; fln f ; 2
fQf ;
2
f )fρ(
rrr
rExemples :
Régularisation
fc
( ) f.B1 fB. f −+=
pB.TF p' pB. fB. ' f ' p -1s=⇒===
à régulariser
Adéquation à p’ = R.f ’
Réf: P.Maréchal, D. M-Goulart, L. Giraud, S. Gratton. Lect. Notes Comput. Sciences.2004; 3117;64-4
FRECT (I)
Régularisation
Résolution par BFGS ou GC
( ) ( ) ( ) 221s f.B1 Rf pB.TF fE −+−= −
( )( )
2
2
qfA.
0
p*b
- f
UB-1
R
fErr
r
r−=
=
fc[ ]
=−+ 0
p * b f UB)(1 U RR 21-t
rr fB.
fB).-(1
Régularisation
FRECT (I)
Résolution par GC
– d0 = r0 = RETRO [TF-1 B TF (p)]– tR R dj = RETRO [ PRO (dj) ] + TF-1 (1-B)² TF (dj)
– Calcul et diagonalisation des matrices de Galerkine– Arrêt si erreur inverse < εεεε– Nombre de conditionnement en fonction de fc
Régularisation
FRECT (III)
Régularisation
FRECT (IV)
Résolution par BFGS (contrainte de positivité)
– BF = TF-1 B TF (p)
– Boucle HF = TF-1 (1-B)² TF (f)r = PRO(f) – BFE = (|| r ||² + || HF ||² )/2Grad(E) = RETROPRO(r) + HFBFGS [E, Grad(E)]
– Arrêt par seuil sur résidu (car convergence)
Régularisation
FRECT (V)
Régularisation
RPF
FRECT
20 % 50 %40 %30 %
Comparaison RPF-FRECT
Régularisation
GC 16GC 6MLEM 6 MLEM 200
FRECT 34 (CV)
Comparaison MLEM-GC-FRECT
Régularisation
Réponses impulsionnelles du collimateur Prise en compte dans les opérateurs R et tR
Relation fréquence-distance
Auto-atténuation Source externe ou TDM
Prise en compte dans les opérateurs R et tR
Rayonnement diffusé Soustraction de fenêtres hors du pic PE
Artefacts en SPECT
Artefacts
Kohli et al. PMB. 1998
Relation fréquence-distance
i
j
s
t
θ
ωnt −=
ω
n
s
θ
TF2Une désintégration contribue à
quand θ permet que ( )npc ,ˆ ω( ) dtj).f(i, s,pc ∫=θ
( )npc ,ˆ ω
ωnt −=
Artefacts
Déconvolution en TEMP
2
2
2
2
1)( t
i
t
t eih σ
σπ
−
=
th
p p . hp t=c
th
1p
( ) ( )nphnp nc ,ˆ).(ˆ,ˆ ωωωω
−=
( ) ( )nph
np c
n
,ˆ.)(ˆ
1,ˆ ω
ωω
ω−
=ω
n
( )npc ,ˆ ω
Edholm, Lewitt et al. Proc SPIE 1986, et IEEE-TMI, 1989
Artefacts
pd . S fd pd S fdrrrr
≤⇒=
( ) ( ) *S . pdCov . S fdCovrr
=
S = (R*R + H*H)-1 R* (TF-1 B TF)
Calculs inextricables…
Quantification
Comparaison de ROIs en TEMP
S1
A1
Pα = S1.A1
α
S1
A1
Pα = S1.A1 + (S2+S3).A2
P’α = (S1+S3)A1 + S2.A2
A2
S3
S2
Projections Sup et Inf
Quantification
S1
A1
Pα et P’α
αα’
A2∈ [min’ ; max’]
A1∈ [min ; max ]
A. Rico, O. Strauss, D. Mariano-Goulart. Fuzzy sets & Systems. 2008
Quantification intervalliste
Quantification
Tomographie 3D
Tomographie par émission de positons
Théorème de Radon 3D
Synthèse des projections manquantes
Reconstructions 3D vraies
Corrections des artefacts
Visualisation volumique
Tomographie en coïncidence 3D
ai
n21 a ... a a p +++=γγγγγγγγ
γγγγγγγγ
189 F
188 O
TEP
Exemples de TEP
Métabolisme18F DG
18F DOPA, voiePré-synaptique
Perte fonction DaT
Putamen D
18F DG18F Na
1818FF1818FF
OHOH
HOHO
OO
OHOH
HOHO
TEP
Reconstruction en TEP
• Reconstruction 2D de données 2D (septa)• Faible statistique de comptage
• Réarrangement 2D de données 3D• Algorithmes de «rebinning » (single, multi, FORE)• S/B mais approximation
• Reconstruction 3D de données 3D• S/B mais temps de calcul
• Techniques analytiques ou algébriques
TEP
Un théorème de Radon 3D…
⊥ωr
ωr
( ) ( )ξ=ξ⊥∈ξ∀rrrr
r f p ,ω ω
( ) ( )ds syf yp ,ω y S, ω ∫ ω+=ω⊥∈∀∈∀ rrr
rrrr
TF2
TF3
f
f
( ) ( ) yd ds e syf p .y i2 rrrr rr
r
r ξπ−
ωω ∫∫ ∫
⊥
ω+=ξ
( ) ( ) ( )ξ==ξ ∫∫∫ ξπ−ω
rrrr rrr f xd exf p .x i2
yr
ξr
Radon 3D
S, ω ⊂Ω∈∀r
Si Ω contient au moins un cercle équatorial de S
(ou si Ω intersecte tout cercle équatorial de S)ωr
⊥ωr
z
( ) ( )ηf η ,ω η ωP =⊥∈∀ r
r
Ω
SS. Orlov. Sov.Phys. Crystallogr., Vol 20, 3:312-4 et 4:429-433
… un peu difficile à appliquer…1- Condition d’Orlov :
Radon 3D
… plutôt difficile à appliquer…
2 - si les projections ne sont pas tronquées (projections complètes)
ωr
3 – moyennant une interpolation 3D dans le domaine des fréquences
1- Condition d’Orlov
Conditions pour une reconstruction analytique
( ) )cos,cossinsin ,sinsincos(ˆ ,ˆ 1212121 φξθξφθξθξφθξξξ −+−= fp
1- Condition d’Orlov (TEP cylindrique)
2 – Projections tronquées estimées
3 –Interpolation 3D en fréquence
Radon 3D
Problème des projections tronquées
1- Se limiter aux données complètes Reconstruction 2D avec septa
Re-arrangement* puis reconstruction 2D
2- Synthétiser des projections complètes En 3 temps :
Reconstruction 2D,
projection,
reconstruction 3D
Re-arrangement* rebinning
Projections manquantes
p(s, φφφφ, z = (zA+zB)/2, δ, δ, δ, δ= tg θ)θ)θ)θ)
Projections manquantes
Ré-arrangement 2D
Ré-arrangement exactsi invariance Tz:
p (s,φ,z,δ): TF(s,φ) puis TF(z)
( ) ( )0 , ,k ,1 p e , ,k , p 2)arctan( ik ζα+ω=δζω α−
( ) ( )δζα−ω=ζω α+ , ,k ,1 p e 0 ,,k , p 2)arcsin( ik
ωδζ=α
Problèmes : invariance en z, interpolation
Réf: M. Defrise et al. IEEE Trans Med Imaging 16:2; 145-158
Projections manquantes
Single-Slice Rebinning
DL(α)(α)(α)(α) l’ordre 0 :
P(ω,(ω,(ω,(ω,k,z,δ) δ) δ) δ) ≈≈≈≈
P(ω,(ω,(ω,(ω,k,z,0,0,0,0)θ
z
Si la source est proche de l’axe du TEP
Projections manquantes
Multi-Slice Rebinning
z
Plus précis que SSRMoins stable
Projections manquantes
Fourier Slice Rebinning (FORE)
Pas TF(z) : invariance inutileInterpolation en z seulement
( ) ( )0 , ,k , p e , ,k , p ik ζω≈δζω α−
( ) ( )0 ,k-z ,k , p ,z ,k , p ωδω≈δω
( ) ( )δωδ+ω≈ω ,kz ,k , p 0 ,z ,k , p
: ζωδ=αA l’ordre 1 sur
Réf: M. Defrise et al. IEEE Trans Med Imaging 1997. 16:2; 145-158
Projections manquantes
P(ωωωω,k,z,0) ) ) ) ≈≈≈≈ 0000
P(ω,(ω,(ω,(ω,k,z,0) ) ) ) ≈≈≈≈ Moy P(ω,(ω,(ω,(ω,k,z,δ),δ),δ),δ)
P(ω,(ω,(ω,(ω,k,z,0) ) ) ) ≈≈≈≈
Moy P(ω,(ω,(ω,(ω,k,z+(k.δδδδ/ωωωω),δ),δ),δ),δ)
k = ω.RFOV
k
ω
Fourier Slice Rebinning (FORE)
Projections manquantes
Synthèse des projections
Approximation :
F. Ben Bouallègue, et al. 2007, IEEE TMI
( ) ( )' , ,k , p e , ,k , p i δζχω=δζω ∆Φ−
( ) 2
222
' 1 ω
ζδ−δ+=χ
( ) ' , 'arctg arctg k δ>δ
ζχω
δ−ζωδ=∆Φ
( ) ( )
δω
δ−δ−ω≈δω ' ,'kz ,k , p ,z ,k , p
Algorithme itératif exact:
Projections manquantes
Modélisations de la projection
( ) )0
A(f )Adet( ,p 2
11t1
21w
ξξ
=ξξ −−)
],,[ 21 wuuA=
Reconstructions 3D
D. Mariano-Goulart & JF. Crouzet, CR Physique 2005; 6:133-137 et Comput Med Imaging Graphics 2008.
( ) ), tan sin
tan
,(ˆ |sin sin|
1 ,ˆ 2
21121 ξ
ϕθξ
θξξ
ϕθξξ −−= fpw
Optimisation de l’interpolation
( ) ) , , cos tan
tan(ˆ | sin cos |
1 ,ˆ 21
2121 ξξ
θϕξξ
ϕξξ −−= θf
θpw
Reconstructions 3D
Rétroprojection filtrée 3D
ξr
Dans les conditions d’Orlov, avec des projections non tronquées,
( ) ωd sP )xf(Ω
' ω
rrrr∫=
( ) ( ) ( ) td t-s h sP' ω
rrrrrr
r
rr ωω
ω∫⊥
= tP
( ))ξ(L
ξ
τd )τ.ξδ(
1 ξ h
Ω
ωr
r
rrrr
r ==∫
)ξ(Lr
Ω
Colsher. Phys Med Biol 25(1), 103-115, 1980
Reconstructions 3D
OSEM 3D
Même méthode qu’en 2D
Facilité pour implémenter les corrections d’artefacts
Pas de nécessité de disposer de projections complètes
Reconstructions 3D
Correction d’artefacts par traitement multimodal
Quantification en TEP
Fenêtre de détection des coïncidences
Coïncidences fortuites
Quantification en TEP
Soustraction des fortuits
• Estimation :
– Dans une LOR hors du patient– F = T(d1).T(d2).2.ττττ ∝∝∝∝ (Activité)²
• Mesure :
– Dans une fenêtre temporelle décalée
Détecteur 1À 511 keV
Détecteur 2À 511 keV
et
-et
Soustraction des fortuits
Retard
Fenêtre de détection des coïncidences
Interactions Photons-Matière
Quantification en TEP
AtténuationsPhoto-électrique
Sous-estimation des activités «profondes»
Compton 20% (2D) à 50% (3D) des détections
Médiocre résolution en énergie (15-20%)
Activité du cerveau et de la vessie
ρ EZ
k µ 3
3
PE ≈
ρ k' µC ≈
Quantification en TEP
Tomographie de transmission
µ 1
µ nµ 2
I0 I
x
∑=
=i
i0
µ IIln
x1 - p
e I I iiµ-x
0
∑=
ρ EZ
k µ 3
3
PE ≈
ρ k' µC ≈
Quantification en TEP
µ511(tissu mou)
µ511(air)
µ511(os)
Segmentation
Correction des artefacts
d’atténuation et de diffusion
Quantification en TEP
Correction de l’atténuation P.E.
Simple division par une constante f sur chaque projection
f = f1 x f2 = exp(-µµµµoxo-µµµµtmxtm-µµµµaxa)
f2 = exp(-µoxo2-µtmxtm
2-µaxa2)
xa1
f1 = exp(-µoxo1-µtmxtm
1-µaxa1) = I1/Io
Quantification en TEP
Correction du diffusé Compton
Simulation (Monte-Carlo) à partir des µµµµC à 511 keV
N1
N2
N3
Quantification en TEP
Quantification en TEP
Quantification en TEP
Qualité globale d’un TEP
( )
=++==
mLµCi f
k.FDVV
BS NECR
22
k=1 sauf si F sont mesurés (k=2)
Quantification en TEP
Fusion TEP-CT Quantification en TEP
« L’imagerie moléculaire »
IRM1H
Métabolisme18FDG
18F-DOPA, voiePré-synaptique
Perte fonction DaT
Putamen D
18F-EthylSpipérone, voiePost-synaptique
Pas d’atteinte
RD2
Hémi Parkinson cliniquement gauche
Quantification en TEP
VISUALISATION VOLUMIQUE
Visualisation 3D
Rendu volumique
vi,0 vi,1 vi,j-1 vi,jvi,z maxpi
( ) ( ) ( )∑=
= maxz
1j ji,vContrib ji,vλc ipλ
C
)]f(v)f(vv ji,ji,ji, a[ k. ]. [ s )α( ∇=r
( ) L . ji,vf dk ak )ji, v; dk ,aP(krr
n∇+=
( ) ( ) ( ) ( )( )∏−
=−=
1j
0kki,vα1 ji, v; dk ,akP ji,vα ji,vContrib
Visualisation 3D
Rendu volumique
vi,0 vi,1 vi,j-1 vi,jvi,z maxpi
( ) ( ) ( )∑=
= maxz
1j ji,vContrib ji,vλc ipλ
C
Visualisation 3D
MLEM puis MIP
TEP (FORE) TDM
Visualisation 3D
Lymphome et Hodgkin Visualisation 3D
MIP EN IRM Visualisation 3D
Merci de votre attention…
The Mathematics of Computerized Tomography.F. Natterer. 2001. SIAM.
Positron Emission Tomography. Basic Sciences and Clinical Practice.PE Valk, DL Bailey, DW Towsend, MN Maisey. 2003. Springer.
d-mariano_goulart@chu-montpellier.fr
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