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Triângulos
DEFINIÇÃO
Do latim - triangulu, é
um polígono de três lados
e três ângulos. Os três
ângulos de um triângulo
são designados por três
letras maiúsculas A, B e C
e os lados opostos a eles,
pelas mesmas três letras,
minúsculas a, b e c.
ELEMENTOS
1. A mediana (do latim -
mediana) de um triângulo
é o segmento de reta que
une um vértice ao ponto médio do lado oposto.
2. A ceviana de um
triângulo é o segmento de
reta com um extremo num
vértice e o outro extremo
na reta que contém o lado oposto.
3. O incentro de um
triângulo é o ponto de
encontro das três
bissetrizes do triângulo. É
também o centro da
circunferência inscrita no triângulo.
4. O baricentro (do grego - baros "peso", do latim - centrum "centro de
gravidade") de um triângulo é também chamado de centro de gravidade ou
centróide. É o ponto de encontro das três medianas de um triângulo. É também o
ponto que divide cada mediana do triângulo em duas partes: um terço a contar do lado e dois terços a contar do vértice.
5. O circuncentro de um triângulo (de circun + centro) é o ponto de encontro das
mediatrizes dos lados do triângulo. O circuncentro pode ser interno ou externo ao triângulo. É também o centro da circunferência circunscrita ao triângulo.
6. O ortocentro de um triângulo é o ponto de encontro das três alturas do
triângulo. O ortocentro pode ser interno ou externo ao triângulo.
CLASSIFICAÇÃO PELOS ÂNGULOS
1. Acutângulo é o
triângulo que tem todos os ângulos agudos.
2. Eqüiângulo é o
triângulo que possui os
seus três ângulos
congruentes. Um triângulo
eqüiângulo também é um triângulo eqüilátero.
3. Obtusângulo é o
triângulo que possui um
ângulo obtuso.
4. Retângulo é o triângulo
que possui um ângulo
reto. Veja a demonstração do teorema de Pitágoras.
CLASSIFICAÇÃO PELOS
LADOS
1. Eqüilátero é o triângulo que possui seus três lados congruentes, ou seja,
iguais. Um triângulo eqüilátero também é um triângulo eqüiângulo
2. Escaleno é o triângulo que não possui os seus tres lados congruentes.
3. Isósceles é o triângulo que possui dois lados e os dois ângulos adjacentes à
base congruentes.
TRIÂNGULO INSCRITO EM TRIÃNGULO
Ortico é um triângulo cujos vértices A'B'C' são os pontos resultantes da
interseção das alturas de um outro triângulo ABC com suas respectivas bases (pés das alturas). Portanto ele se encontra inscrito dentro de um outro triângulo.
Atividade I : Assista ao video sobre triângulos.
http://tvescola.mec.gov.br/tve/video/mao-na-forma-dialogo-geometrico
Atividade II
1. Diga se é possível construir um triângulo com lados cujas medidas são:
a) a = 8 cm, b = 6 cm e c = 5 cm
b) a = 10 cm, b = 10 cm e c = 8 cm
c) a = 5 cm, b = 2 cm e c = 3 cm
d) a = 5,4 cm, b = 1 cm e c = 3,5 cm
e) a = 6,5 cm, b = 4,5 cm e c = 5 cm
2. Classifique os triângulos abaixo:
QUANTO AOS LADOS QUANTO AOS ÂNGULOS
( ) Equilátero ( ) Acutângulo
( ) Isósceles ( ) Obtusângulo
( ) Escaleno ( ) Retângulo
QUANTO AOS LADOS QUANTO AOS ÂNGULOS
( ) Equilátero ( ) Acutângulo
( ) Isósceles ( ) Obtusângulo
( ) Escaleno ( ) Retângulo
3. Determine o valor dos termos desconhecidos nos triângulos abaixo:
b) 4x – 40º
x + 20º x
a) 52º
85º x
x
c) d)
4. Na figura abaixo. Determine os segmentos que representam, mediana, bissetriz
e altura, sabendo que BP = PC e BÂN = NÂC.
A AH =
AN =
B H N P C
AP =
5. Na figura, med B = 40º, med C= 60º. Se D é o incentro do triângulo ABC, então
x vale:
A
B C
a) 40º b) 120º c) 130º d) 150º e) 100º
6. No triângulo ABC abaixo, AM é a mediana. Determine o perímetro desse triângulo.
A
2,5
B 1,9 cm M C
3x – 16º
4x + 22º 2x + 6º
60º
x
y 26º
30º
3,5 cm cm
x
20°
7. Na figura abaixo, AH é altura, calcule x e y:
A
B H C
8. Na figura abaixo, AD é bissetriz. Calcule a e b:
A
B D C
9. Determine o valor de x, sabendo que AD e BC são bissetrizes dos ângulos
indicados. E
C
A B
10. Determine o valor de x de cada figura abaixo:
a) b)
x y
30º 50º
a b
30º 50º
x
2x
3x
40º
130º
x 120º
5 cm
30º 50º
3 cm
11. Na congruência de triângulos, estudamos quatro casos, são eles: L.L.L., L.A.L.,
A.L.A. e L.A.AO. Indique o caso de congruência nos pares de triângulos abaixo:
a) c) 5 cm
3 cm
3 cm
4 cm
b) d) 4cm
3 cm 100º
4 cm
4 cm
100º
3 cm
30º
120º
4 cm
30º
120º
3 cm 4 cm
30º
40
40º
12. Quais os possíveis casos de congruência para o par de triângulos abaixo?
30
a) LLL; LAL; ALA
b) LAL; LAAo; LLL
c) LAAo; LAL; ALA
d) AA; LAL; LAAo
e) AA; LAAo; LLL
13. Na figura, o ABC é congruente ao EDC. Determine o caso de congruência e o valor de x e y.
2
30 30º
40º 40
15 23
3y +
2x – 3
QUADRILÁTEROS
Um quadrilátero é um polígono de quatro lados. Pode ser dito
que é porção do plano limitada por uma poligonal fechada,
B A Lados:
AB
BC
CD AD
C
Vértices:
A
B
C
D
Diagonais:
AC
BD
D
Algumas Propriedades dos quadriláteros
1. A soma dos seus ângulos internos é 360°.
2. A soma dos seus ângulos externos é 360°.
Classificação dos Quadriláteros
a) Paralelogramo
Chama-se paralelogramo o quadrilátero que possui lados paralelos dois a dois (lados opostos paralelos).
Propriedades dos Paralelogramos
• Seus lados e seus ângulos opostos são congruentes.
• Suas diagonais se cortam no ponto médio.
Classificação dos paralelogramos
QUADRADO
1. No quadrado
•As diagonais são iguais e perpendiculares nos seus pontos médios.
•Todos os ângulos interno são retos.
•Seus lados são iguais.
•O quadrado pose ser inscrito numa circunferência de raio igual a sua
semi diagonal.
RETÂNGULO
LOSANGO
PARALELOGRAMO
No retângulo
• As diagonais são oblíquas, iguais e se cortam
nos seus pontos médios.
•Todos os ângulos interno são retos.
•Seus lados opostos são iguais.
•O retângulo pose ser inscrito numa circunferência de raio igual a
sua metade da diagonal.
No losango
• As diagonais são diferentes, perpendiculares, se cortam nos seus
pontos médios e são bissetrizes dos ângulos internos.
•Nenhum ângulo interno é reto.
•Seus lados são iguais.
•Não é inscritível.
No paralelogramo
• As diagonais são diferentes, oblíquas e se cortam nos seus pontos
médios.
•Nenhum ângulo interno é reto.
•Seus lados opostos são iguais.
•Não é inscritível.
b) Trapézio
Chama-se trapézio o quadrilátero que possui somente dois lados opostos paralelos
e estes recebem a denominação de bases do trapézio.
Trapézio Retângulo:
Trapézio Isósceles
Apresenta dois
ângulos de 90°
Os lados opostos não paralelos são congruentes
As diagonais são congruentes
Os ângulos de uma mesma base são congruentes
Trapézio Escaleno
Os lados opostos não
paralelos, não são
congruentes
Atividade I: Assista o vídeo
sobre quadriláteros.
http://tvescola.mec.gov.br/tve/video/mao-na-forma-quadrado-cubo-e-cia
Desenhar um quadrado de
diagonal = 65 mm
Atividade II
Desenhar um quadrado
de lado = 40 mm
Desenhar uma circunferência de diâmetro igual a
diagonal e inscrever o quadrado nesta circunferência.
Desenhar perpendiculares pelos extremos do lado
e sobre estas marcar o valor do lado. (não usar
esquadros nas construções).
Desenhar um quadrado sabendo
que a somo da diagonal e do lado
é igual a 55 mm Desenhar um retângulo conhecendo os dois lados, simultaneamente 40
mm e 20 mm.
C
•Desenhar quadrado de lado AB qualquer:
•Acrescentar, sobre a mesma reta suporte da
diagonal e a partir de seu extremo, o valor do lado
obtendo o ponto C:
•Unir o ponto C ao Ponto B:
•Marcar, a partir do ponto A e sobre a reta suporte
da diagonal, o valor 55 mm (diagonal + lado do
quadrado que se quer desenhar) obtendo o ponto
D;
•Pelo ponto D traçar uma paralela ao segmento BC
obtendo o ponto E;
•AE é o lado do quadrado proposto.
A
B
•Desenhar um dos lados, por exemplo AB, e por
um dos extremos levantar uma perpendicular;
•Sobre a perpendicular marcar o valor do outro
lado obtendo o ponto C;
•O segmento AC é o diâmetro da circunferência
que inscreve o retângulo.
Desenhar o losango de diagonal =
50 mm e lado = 30 mm
•Desenhar uma reta e sobre ela marcar 50 mm
(diagonal do losango;)
•Centrar o compasso nos seus extremos e traçar
arcos de raio = 30 mm (lado do losango);
•As intersecções dos arcos são os dois outros
vértices do quadrilátero.
Desenhar o trapézio retângulo de
bases 50 e 20 mm, sabendo que sua
altura é 30 mm.
•Desenhar uma reta e sobre ela marcar 50 mm
(base maior);
•Por um de seus extremos levantar uma
perpendicular de 30 mm (altura);
•Pelo extremo da perpendicular traçar uma paralela
a base;
•Sobre esta paralela marcar 20 mm (base menor).
Desenhar o trapézio isósceles com os seguintes dados:
Base maior = 50 mm; Base menor = 30 mm e Altura = 30 mm.
Desenhar uma reta e sobre ela marcar 50 mm (base maior);
•Por um de seus extremos levantar uma perpendicular de 30 mm (altura);
•Pelo extremo da perpendicular traçar uma paralela a base;
•Sobre esta paralela marcar 20 mm (base menor).
Foram apesentados alguns modelos que podem ser usados em sala de aula, com vídeos,
exercícios tradicionais e construção de figuras com instrumentos geométricos. Em grupo
produza um texto informando como vocês imaginam poder utilizar essas ferramentas na sua
prática profissional.
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