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-1- Prof. Simón Lyon
Unidad de aprendizaje 3
Trigonometría
La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia la relación entre los lados y ángulos de los triángulos.
Ángulos: ángulo es la porción del plano comprendida entre dos semirrectas con un origen común llamado vértice
Existen distintas manera de nombrar los ángulos:
Sistemas de medidas de ángulos
1) Sistema sexagesimal: mide los ángulos en unidades llamadas grados, dividiendo la circunferencia en 360°.
Un radian es el ángulo que se forma
cuando la longitud del arco barrido es igual
a la longitud del radio. Si el arco es igual al
radio entonces 𝛼 = 1 radian
En el sistema sexagesimal, el ángulo que abarca la circunferencia completa mide 360º, por lo que se puede establecer la ya vista relación entre grados y radianes:
1 vuelta completa = 360º = 2 · π radianes
-2- Prof. Simón Lyon
Un grado sexagesimal equivale a 60minutos (´)y un minuto equivale a 60 segundos (´´), es decir, 1° = 60´ u 1´ = 60´´
Ejemplo
Para expresar el ángulo 47,325° en grados minutos y segundos se procede:
A) Determinan los grados que corresponden a la parte entera 47° B) Luego los minutos multiplicando la parte decimal por 60, la parte entera que resulta de la multiplicación serán los minutos: 0.325 * 60 = 19,5 : los minutos 19
C) Se determinan los segundos multiplicando la nueva parte decimal por 60: 0.5 * 60 = 30: los segundos serian 30
Por lo tanto el ángulo 47,325° se expresa como 47°19´30´´
2) Sistema radian (circular) : mide los ángulos en unidades llamadas radianes.
Conversión de ángulos a otros sistemas
1) Del sistema sexagesimal al sistema radian
360° = 2𝜋 rad
180° = 𝜋 rad 1° = 𝜋
180 rad
Ejemplo: Expresar 215° a radian
a) Como 1° = 𝜋
180 rad, entonces 215° = 215 (
𝜋
180) rad
c = Hipotenusa
b = cateto adyacente
a =cateto opuesto
-3- Prof. Simón Lyon
Simplificado 215° = 43
36 𝜋 rad
2) Del sistema radian y sexagesimal
180° = 𝜋 rad 1 rad = 180°
𝜋
Ejemplo: pasar 3
4𝜋 rad a grados
Como 1rad = 180°
𝜋 entonces
3
4 𝜋 rad =
3
4 𝜋 rad .
180°
𝜋 =
3
4 .180 = 135 °
Actividad I
1) Convertir los siguientes ángulos a grados, minutos y segundos
a) 44,01 º b) 132,4567 º c) 29,9656° d) 109,9550°
2) Convertir los siguientes ángulos a grados.
a) 98°22´45´´ b) 45°30´30´´ c) 102°43´12´´ d) 80,35´ 3) Pasar a radianes los siguientes ángulos
a) 120° b) 45° c)12° d)5° e) 325° f) 225° g) 6° h)36°
4) Pasar a grados los siguientes ángulos
a)𝜋
6 b)
𝜋
4 c)
2𝜋
3 d)
14𝜋
3 e)
7𝜋
4 f)
3𝜋
18
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los
tres lados de un triángulo rectángulo. Es decir, la comparación por su cociente de sus
tres lados a, b y c.
sea α uno de los ángulos agudos del triángulo rectángulo. El seno de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto (a) y
la hipotenusa (c).
El coseno se define como la razón entre el cateto contiguo o cateto
adyacente (b) y la hipotenusa (c).
La tangente es la razón entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o
cateto adyacente (b).
-4- Prof. Simón Lyon
Razones trigonométricas inversas
A partir de las razones del seno, coseno y tangente se pueden definir las razones
inversas.
Cosecante de α:
Secante de α:
Cotangente de α:
Actividad II
1) Hallar seno, coseno y tangente del ángulo indicado en cada triángulo
a) c) e)
b) d) f)
2) En un triángulo rectángulo el sen α = 3
4 . calcular las razones trigonométricas
inversas
3) Un triángulo rectángulo es isósceles y su hipotenusa vales 7 2. Calcula las
razones trigonométricas de cualquiera de sus ángulos.
4) El cateto opuesto a α y la hipotenusa de un triángulo valen 2 5 y 5
respectivamente. Calcula las razones trigonométricas del ángulo β , sabiendo
que β es de α.
Unidad de aprendizaje 4
Razones trigonométricas para ángulos de 30°, 45° y 60°
-5- Prof. Simón Lyon
Ejemplo
Calcular todos los lados del siguiente triangulo
Como se tiene el valor del CA aplicamos la definición de cos α
cos α = 𝐶𝐴
𝐻 despejando H =
𝐶𝐴
𝐶𝑂𝑆 𝛼 se sustituye por el valor de 30 en la tabla
H = 2 5
3
3
2
= 4 5
3 3 =
4 15
9
Aplicando la definición de tangente: tg α = 𝐶𝑂
𝐶𝐴 despejando CO = CA . TG α se
sustituye CO = 2 5
3 .
3
3 =
2 15
9 x =
𝟐 𝟏𝟓
𝟗 y =
𝟒 𝟏𝟓
𝟗
Actividad III
1) Calcula lo indicado en cada triangulo
a) B) c)
Unidad de aprendizaje 5
Círculo trigonométrico
Es aquel círculo cuyo centro coincide con el origen de coordenadas del plano cartesiano
y cuyo radio mide la unidad
Signos de las razones trigonométricas
-6- Prof. Simón Lyon
Identidades fundamentales de la trigonometría
Ejemplo:
Si Sen α = 3
2 y α ϵ I cuadrante. Calcular las otras razones trigonométricas
Aplicando: sen2α + cos2α = 1 Despejando cos α = 1 − 𝑠𝑒𝑛2𝛼
Sustituyendo cos α = 1 − ( 3
2)2 = 1 −
3
4 =
4−3
4 =
1
4 =
1
2
Aplicando la relación: tg α = 𝑠𝑒𝑛 𝛼
𝑐𝑜𝑠𝛼 sustituyendo: tg α =
3
21
2
= 2 3
2 = 3
Aplicando las fórmulas de las inversas csc α = 1
𝑠𝑒𝑛 𝛼 =
1
3
2
= 2 3
3
Sec α = 1
cos𝛼 =
11
2
= 2
Ctg α = 1
𝑡𝑔 𝛼 =
1
3= 3
3
Actividad IV
1) Halla las razones trigonométricas restante en el cuadrante dado
a) sen α = 1
2 ( α ∈ II C) d) tg α = 2 ( α ∈ III C)
b) ctg α = - 2
2 ( α ∈ II C) e) csc α = 3 ( α ∈ I C)
c) sen α =- 2 2
5 ( α ∈ III C)
2) Demuestra las siguientes identidades
A) Cos x . Tg x = Sen x B) 1−𝑆𝐸𝑁2𝛼
1−𝐶𝑂𝑆2𝛼 = 𝐶𝑡𝑔2 α c) cos α . tg α = sen α
-7- Prof. Simón Lyon
D)𝑆𝑒𝑐 𝛼+𝐶𝑜𝑠 𝛼
𝑆𝑒𝑐 𝛼 − 𝐶𝑜𝑠 𝛼 =
1+ 𝑐𝑝𝑠 2𝛼
𝑠𝑒𝑛 2𝛼
Fórmula para la suma y diferencia de ángulos
Actividad V
1) Calcula las siguientes expresiones o simplifica usando las fórmulas de sumas y
diferencias de ángulos.
A) Sen 105° B) Tg 90° C) Sen 15° D) Cos 10
Unidad de aprendizaje 6
Ley del coseno y ley del seno
Son aplicaciones trigonométricas usadas en triángulos no rectángulos. Es la relación
entre los lados y ángulos de triángulos no rectángulos (oblicuos). Simplemente,
establece que la relación de la longitud de un lado de un triángulo al seno del ángulo
opuesto a ese lado es igual para todos los lados y ángulos en un triángulo dado.
Ejemplo
-8- Prof. Simón Lyon
Ejemplo 1 (ley del coseno)
Se tiene un triángulo cuyos lados b y c miden 45 y 66 cm respectivamente y cuyo
ángulo α mide 47°. Hallar cuánto mide el lado a del triángulo.
Como queremos calcular el lado a del triángulo, aplicamos la siguiente fórmula del
teorema del coseno:
Tenemos los datos necesarios para calcular a, es decir, tenemos b, c y al ángulo α. Por
tanto, sustituyendo los datos y haciendo la raíz cuadrada obtenemos:
Ejemplo 2 (ley del seno)
En el siguiente triángulo de lados a = 8cm y b = 7cm. Calcular cuánto mide el
ángulo β sabiendo que el ángulo γ mide 45º.
Como conocemos los lados a y b y el ángulo α, aplicamos el teorema del seno:
Por tanto,
Despejamos el seno de β:
Finalmente, despejamos β utilizando la inversa del seno (arcoseno):
Luego el ángulo es
A) Ronaldo camina en line recta desde su casa
al colegio 200 m y 100 m a la cancha.
¿Cuántos metros tendrá que caminar del
colegio a la cancha? Sabiendo que en la
cancha se forma un ángulo de 40°
B) Dos niños se encuentran a 25 m de distancia
observando un avión. Tomando en cuenta los
datos suministrados en la imagen determina a
que altura se encuentra el avión.
-9- Prof. Simón Lyon
Actividad VI
1) Aplicando la ley del coseno resuelve los siguientes triángulos
A) a= 12 c= 15 b= ? β = 110° α = ? θ = ?
B) a= 18 c= 30 b= ? β = 45° α = ? θ = ?
C) a= 6 c= 12 b= 8 β = ? α = ? θ = ?
2) Aplicando la ley del coseno resuelve los siguientes triángulos
A) a= 18 c= 18 b= ? β = ? α = ? θ = 18°
B) a= 17 c=? b= 32 β = 45 α = ? θ = ?
C) a= 60m c= b= β = 50° α = 80° θ = ?
3) problemas
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