UJIAN AKHIR SEMESTER METODE NUMERIS Iistiarto.staff.ugm.ac.id/docs/metnum/Penyelesaian Soal UAS...

ProdiSarjanaTeknikSipilDTSLFTUGM

PenyelesaianSoalUASMetodeNumerisI2017 hlm.1dari8

Istiarto–http://istiarto.staff.ugm

.ac.id/–istiarto@

ugm.ac.id

UJIANAKHIRSEMESTERMETODENUMERISI

DR.IR.ISTIARTO,M.ENG.|KAMIS,8JUNI2017|OPENBOOK|150MENIT

PETUNJUK1. Saudaratidakbolehmenggunakankomputeruntukmengerjakansoalujianini.2. Tuliskanurutan/cara/formulayangSaudarapakaiuntukmendapatkanjawaban.

Janganhanyamenuliskantabelangkajawaban.

SOAL1[CP:A.1,A.2,A.3,K.1;BOBOTNILAI:25%]Tabeldangambardibawahiniadalahelevasimukatanahdisuatutebing.Jarak,x[m] 10.3 15.4 21.7Elevasi,z[m] 172.0 171.2 168.2

Caridantemukankurvapolinomialkuadratik(second-orderpolynomial)melewatiketigatitikdatatersebutdenganmetode(a)interpolasiLagrangedan(b)interpolasiNewton.Buattabelsepertidibawahiniberdasarkankurvapolinomialtersebut.Jarak,x[m] Elevasi,z[m]

(MetodeLagrange)Elevasi,z[m](MetodeNewton)

10.3 172.0 172.013.15 … …16 … …18.85 … …21.7 168.2 168.2

PENYELESAIANPolinomialkuadratikyangmerupakankurvaparabolikmelewatiketigatitikdatapadasoalini,denganmemakaimetodeLagrange,dinyatakandalampersamaanberikut:𝑧 = 𝑓$ 𝑥 = 𝐿' 𝑥 𝑓 𝑥' + 𝐿) 𝑥 𝑓 𝑥) + 𝐿$ 𝑥 𝑓 𝑥$

168168.5169

169.5170

170.5171

171.5172

172.5

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

Elevasi,z[m]

Jarak,x [m]

ProdiSarjanaTeknikSipilDTSLFTUGM

hlm.2dari8 PenyelesaianSoalUASMetodeNumerisI2017

Istiarto–http://istiarto.staff.ugm

.ac.id/–istiarto@

ugm.ac.id

𝑧 = 𝑓$ 𝑥 =𝑥 − 𝑥)𝑥' − 𝑥)

𝑥 − 𝑥$𝑥' − 𝑥$

𝑓 𝑥' +𝑥 − 𝑥'𝑥) − 𝑥'

𝑥 − 𝑥$𝑥) − 𝑥$

𝑓 𝑥) +𝑥 − 𝑥'𝑥$ − 𝑥'

𝑥 − 𝑥)𝑥$ − 𝑥)

𝑓 𝑥$

𝑧 = 𝑓$ 𝑥 =𝑥 − 15.4

10.3 − 15.4𝑥 − 21.7

10.3 − 21.7172 +

𝑥 − 10.315.4 − 10.3

𝑥 − 21.715.4 − 21.7

171.2

+𝑥 − 10.3

21.7 − 10.3𝑥 − 15.4

21.7 − 15.4168.2

JikamemakaimetodeNewton,makapersamaankuadratikyangmelewatiketigatitikdatapadasoaliniadalah:𝑧 = 𝑓$ 𝑥 = 𝑏' + 𝑏) 𝑥 − 𝑥' + 𝑏$ 𝑥 − 𝑥' 𝑥 − 𝑥)

𝑏' = 𝑓 𝑥'

𝑏) = 𝑓 𝑥), 𝑥' =𝑓 𝑥) − 𝑓 𝑥'

𝑥) − 𝑥'

𝑏$ = 𝑓 𝑥$, 𝑥), 𝑥' =𝑓 𝑥$, 𝑥) − 𝑓 𝑥), 𝑥'

𝑥$ − 𝑥'=

1𝑥$ − 𝑥'

𝑓 𝑥$ − 𝑓 𝑥)𝑥$ − 𝑥)

−𝑓 𝑥) − 𝑓 𝑥'

𝑥) − 𝑥'

Koefisienb0,b1,danb2dapatdiperolehdenganhitungantabulasidibawahini.

i x z=f(xi)Langkahhitungan ke-1 ke-2

0 10.3 172 -0.1569 -0.0280 ®b0,b1,b21 15.4 171.2 -0.4762 2 21.7 168.2

Dengandemikian,persamaankuadratikyangmelewatiketigatitikdataadalah:𝑧 = 𝑓$ 𝑥 = 172 − 0.1569 𝑥 − 10.3 − 0.0280 𝑥 − 10.3 𝑥 − 15.4

Denganduapersamaanpolinomialkuadratiktersebut,makatabelpadasoaldapatdilengkapimenjadisebagaiberikut:

Jarak,x[m] Elevasi,z[m](MetodeLagrange)

Elevasi,z[m](MetodeNewton)

10.3 172.0 172.013.15 171.7 171.716 171.0 171.018.85 169.8 169.821.7 168.2 168.2

SOAL2[CP:A.1,A.2,A.3,K.1;BOBOTNILAI:25%]TebingpadaSoal1akandipotongmengikutigarislurusyangmenghubungkantitik(10.3,172.0)ketitik(21.7,168.2).GunakantabelhasilinterpolasipadaSoal1beserta(a)metodeintegrasiKuadraturGaussdan(b)metodeintegrasiSimpson1/3untukmenghitungdanmenemukanvolumegaliantanah.

PENYELESAIANProfilmukatanahditebingpadaSoal1dapatdigambardenganmemakaipersamaanpolinomialyangmerupakankurvainterpolasiketigatitikdatamukatanah.Gambarberikutiniadalahhasilplotkurvainterpolasimelewatiketigatitikdata.Garisputus-putuspadagambaradalahprofilmukatanahsetelahtebingdipotong.Volumegaliantanahadalahvolumetanahdiantaraprofilmukatanahawaldanprofilmukatanahsetelahtebingdipotong.Jikalebartebingtegaklurusbidanggambaradalah1meter,makavolume

ProdiSarjanaTeknikSipilDTSLFTUGM

PenyelesaianSoalUASMetodeNumerisI2017 hlm.3dari8

Istiarto–http://istiarto.staff.ugm

.ac.id/–istiarto@

ugm.ac.id

tanahgaliandapatdiketahuidenganmenghitungselisihluasdibawahprofilmukatanahawaldanluasdibawahprofilmukatanahsetelahpemotongantebing.Luasdibawahprofilmukatanahdihitungdengancaraintegrasinumeris.

IntegrasiNumerisMetodeKuadraturGauss.Dalammetodeini,variabelxdiubahmenjadivariabelxd.Hubungankeduavariabeladalahsebagaiberikut:

𝑥 =𝑏 + 𝑎 + 𝑏 − 𝑎 𝑥9

2

d𝑥 =𝑏 − 𝑎2

d𝑥9

Dalamhubungandiatas,adanbadalahbatasintegrasi,yaitua=10.3danb=21.7.DenganmemakaipersamaankuadratikyangdiperolehdariinterpolasimetodeNewton,makaluasdibawahprofilmukatanahtebingdihitungdenganintegrasinumerisberikut:

𝑥 =21.7 + 10.3 + 21.7 − 10.3 𝑥9

2= 16 + 5.7𝑥9

d𝑥 =𝑏 − 𝑎2

d𝑥9 = 5.7d𝑥9

172 − 0.1569 𝑥 − 10.3 − 0.0280 𝑥 − 10.3 𝑥 − 15.4 d𝑥$).<

)'.=

= 172 − 0.1569 16 + 5.7𝑥9 − 10.3)

>)

− 0.0280 16 + 5.7𝑥9 − 10.3 16 + 5.7𝑥9 − 15.4 5.7d𝑥9

= 𝑓 𝑥9 = −1 3 + 𝑓 𝑥9 = 1 3 = 979.2801 + 966.7759

= 1946.0560[m$]

Luastanahdibawahprofilmukatanahsetelahdipotongdapatdihitungdenganmudahkarenabentukbangunprofiltanahtersebutadalahtrapesium.

168

168.5

169

169.5

170

170.5

171

171.5

172

172.5

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

Elevasi,z[m]

Jarak,x [m]

mukatanahawal

ProdiSarjanaTeknikSipilDTSLFTUGM

hlm.4dari8 PenyelesaianSoalUASMetodeNumerisI2017

Istiarto–http://istiarto.staff.ugm

.ac.id/–istiarto@

ugm.ac.id

Luastrapesium = 21.7 − 10.3 172 + 168.2 2 = 1939.14[m$]

Dengandemikian,volumegaliantanahpersatuanlebartegaklurusbidanggambaradalah:Vol. = 1946.0560 − 1939.14 = 6.9160[m=/m]

IntegrasiNumerisMetodeSimpson1/3.Tabelkoordinattitik-titikpadapenyelesaianSoal1memiliki5titikberjarakseragam.MetodeintegrasiSimpson1/3dapatditerapkanuntukmenghitungluasdibawahprofilmukatanahtebing.MenurutmetodeSimpson1/3,luasatauintegraldibawahkurvaadalah:

𝐼 = 𝑓 𝑥P

Q

d𝑥 =𝑏 − 𝑎6

𝑓 𝑎 + 4𝑓𝑎 + 𝑏2

+ 𝑓 𝑏 =∆𝑥3

𝑓 𝑎 + 4𝑓𝑎 + 𝑏2

+ 𝑓 𝑏

Hitungandisajikanpadatabeldibawahini.i x f(x) Dx I0 10.3 172.0 1 13.15 171.7 2.85 978.44332 16 171.0 3 18.85 169.8 2.85 967.61334 21.7 168.2 1946.0566

Volumegaliantanahpersatuanlebartegaklurusbidanggambaradalah:Vol. = 1946.0566 − 1939.14 = 6.9166[m=/m]

SOAL3[CP:A.1,A.2,A.3,K.1;BOBOTNILAI:25%]Kecepatanlajukeretaapidalam8detikpertamasejaksaatmulaibergerakdariposisiberhentidinyatakandenganpersamaanmatematisdibawahini:

𝑣 =d𝑥d𝑡

= 5𝑒'.VW − 0.8𝑥

Dalampersamaantersebut,vadalahkecepatanlajukeretaapidalamsatuanmeterperdetik,tadalahwaktudalamselang0s.d.8detik,danxadalahjarakdarititikawaldalamsatuanmeter.Hitunglahposisikeretaapidarititikawal(x[m])setiapselang2detik(t=0,2,4,6,8[s])denganmenggunakan(a)metodeRalston(2nd-orderRunge-Kutta)dan(b)metodepoligon(modifiedHeun).

PENYELESAIANPersamaankecepatanlajukeretaapimerupakanpersamaandiferensialbiasa(ODE),fungsiwaktudanjarak:

𝑣 =d𝑥d𝑡

= 𝑓 𝑡, 𝑥 = 5𝑒'.VW − 0.8𝑥(padasaatawal:𝑡 = 0, keretaberhenti:𝑥 = 0)

PersamaantersebutdapatdiselesaikansecaranumerisuntukmendapatkanjaraksebagaifungsiwaktudenganmenggunakanantaralainmetodeRalstonataumetodepoligon.MetodeRalston.MetodeinitermasuksalahsatumetodeRunge-Kuttaordeduadengannilai𝑎$ = 2 3,sehingga𝑎) = 1 3dan𝑝) = 𝑞)) = 3 4.Dengannilai-nilaiini,makapersamaandiferensialdiatasdiselesaikanuntukmendapatkanjarakxsebagaiberikut:

𝑥bc) = 𝑥b + 𝜙bℎ = 𝑥b +)=𝑘) +

$=𝑘$ ℎ

ProdiSarjanaTeknikSipilDTSLFTUGM

PenyelesaianSoalUASMetodeNumerisI2017 hlm.5dari8

Istiarto–http://istiarto.staff.ugm

.ac.id/–istiarto@

ugm.ac.id

𝑘) = 𝑓 𝑡b, 𝑥b

𝑘$ = 𝑓 𝑡b +=gℎ, 𝑥b +

=gℎ𝑘)

Dalampersamaandiatas,hadalahlangkahhitung,yaituselangwaktuhitung,ℎ = ∆𝑡 =1detik.TabeldibawahinimenyajikanlangkahhitunganpenyelesaianpersamaandiferensialdenganmetodeRalston.i ti xi k1 ti+¾h xi+¾hk1 k2 fi xi+10 0 0 5 1.5 7.50 4.59 4.72 9.451 2 9.45 6.03 3.5 18.50 13.97 11.33 32.102 4 32.10 11.26 5.5 49.00 39.02 29.76 91.633 6 91.63 27.12 7.5 132.32 106.75 80.21 252.054 8 252.05

Metodepoligon.Persamaandiferensialbiasakecepatanlajukeretaapidiselesaikanuntukjaraksebagaifungsiwaktudalamduatahapmengikutipersamaanberikut:

𝑥bchi = 𝑥b + 𝜙bℎ2= 𝑥b + 𝑓 𝑡b, 𝑥b

ℎ2= 𝑥b + 𝑣b

ℎ2

𝑥bc) = 𝑥b + 𝜙bchiℎ = 𝑥b + 𝑓 𝑡bchi, 𝑥bchi ℎ = 𝑥b + 𝑣bchiℎ

Hitungandisajikandalamtabeldibawahini.i ti xi vi ti+½ xi+½ vi+½ xi+10 0 0 5 1 5 4.24 8.491 2 8.49 6.80 3 15.29 10.18 28.842 4 28.84 13.87 5 42.71 26.74 82.333 6 82.33 34.57 7 116.89 72.06 226.454 8 226.45

SOAL4[CP:A.1,A.2,A.3,K.1;BOBOTNILAI:25%]Suatupersamaandiferensialparsialeliptik(PersamaanLaplace)yangmenggambarkandistribusienergipotensialdinyatakandalambentukdibawahini:

𝜕$𝜙𝜕𝑥$

+𝜕$𝜙𝜕𝑦$

= 0

Dalampersamaantersebutfadalahtinggienergipotensialdalamsatuanmeter,xdanyadalahkoordinatdalamsatuanmeter.Persamaandiatasberlakudi0£x£3dan0£y£3.Gunakanteknikpenyelesaianbedahingga(finitedifferenceapproximation)untukmenghitungtinggienergipotensialdisetiapselangDx=Dy=1[m]apabiladiketahuisyaratbatas:f(0,y)=20[m],f(3,y)=40[m],f(x,0)=30[m],f(x,3)=60[m].

f=20[m

]

y[m] f=60[m]

f=40[m

]

0 1 2

2

3

1

30 x[m]

f=30[m]

ProdiSarjanaTeknikSipilDTSLFTUGM

hlm.6dari8 PenyelesaianSoalUASMetodeNumerisI2017

Istiarto–http://istiarto.staff.ugm

.ac.id/–istiarto@

ugm.ac.id

PENYELESAIANTinggipotensialdihitungdi4titikhitung,yaitu𝜙),), 𝜙$,), 𝜙),$, 𝜙$,$(lihatgambar).Denganteknikbedahingga(finitedifferenceapproximation),disetiaptitikdapatdisusunpersamaanyangmengaitkantinggipotensialdisuatutitikdengantinggipotensialdikeempattitiktetangganya.

20 + 𝜙$,) + 30 + 𝜙),$ − 4𝜙),) = 0

𝜙),) + 40 + 30 + 𝜙$,$ − 4𝜙$,) = 0

20 + 𝜙$,$ + 𝜙),) + 60 − 4𝜙),$ = 0

𝜙),$ + 40 + 𝜙$,) + 60 − 4𝜙$,$ = 0

Denganpengaturanletaksuku-sukupadapersamaandiatas,makadiperoleh4persamaanaljabardibawahini:−4𝜙),) + 𝜙$,) + 𝜙),$ + 0𝜙$,$ = −50

𝜙),) − 4𝜙$,) + 0𝜙),$ + 𝜙$,$ = −70

𝜙),) + 0𝜙$,) − 4𝜙),$ + 𝜙$,$ = −80

0𝜙),) + 𝜙$,) + 𝜙),$ − 4𝜙$,$ = −100

Keempatpersamaandiatasdapatdituliskandalambentukmatriks.

−4 1 1 01 −4 0 11 0 −4 10 1 1 −4

𝜙),)𝜙$,)𝜙),$𝜙$,$

=

−50−70−80−100

EmpatpersamandiatasdapatdiselesaikandenganberbagaimetodepenyelesaianpersamaanaljabaryangtelahSaudarapelajaripadapertemuansebelumUTS.Diujian,Saudaradapatmemakaimetodeiteratif,misalmetodeJacobi,Gauss-Seidel,atauSOR.DibawahinidisajikantabelhitunganiterasimetodeJacobi.

iterasi,n f1,1 f2,1 f1,2 f2,2 Dmaks0 0 0 0 0 -1 12.5 17.5 20 25 252 21.875 26.875 29.375 34.375 9.375⋮ 19 31.250 36.250 38.750 43.750 7.15´10-0520 31.250 36.250 38.750 43.750 3.58´10-05

DalamhitunganiterasimetodeJacobi,setiappersamaandituliskandalambentuk:

𝜙),)mc) =−50 − 𝜙$,)m − 𝜙$,)m

−4=50 + 𝜙$,)m + 𝜙$,)m

4

𝜙$,)mc) =−70 − 𝜙),)m − 𝜙$,$m

−4=70 + 𝜙),)m + 𝜙$,$m

4

𝜙),$mc) =−80 − 𝜙),)m − 𝜙$,$m

−4=80 + 𝜙),)m + 𝜙$,$m

4

𝜙$,$mc) =−100 − 𝜙$,)m − 𝜙),$m

−4=100 + 𝜙$,)m + 𝜙),$m

4

f=20[m

]

0 1 2 3 x[m]0

1

2

3y[m]

f=40[m

]

f=60[m]

f=30[m]

ProdiSarjanaTeknikSipilDTSLFTUGM

PenyelesaianSoalUASMetodeNumerisI2017 hlm.7dari8

Istiarto–http://istiarto.staff.ugm

.ac.id/–istiarto@

ugm.ac.id

Padaawaliterasi,tinggipotensialdisetiaptitikhitungdiberinilainol,𝜙b,n' = 0.Setelah20kaliiterasi,diperolehhitungankonvergenkenilai-nilaitinggipotensidisetiaptitik,yaitu𝜙),) = 31.25 m , 𝜙$,) = 36.25 m , 𝜙),$ = 38.75 m , 𝜙$,$ = 43.75 m .Dalamujian,Saudarabolehhanyamelakukanhitungansampai2atau3kaliiterasi.

-o0o-

ProdiSarjanaTeknikSipilDTSLFTUGM

hlm.8dari8 PenyelesaianSoalUASMetodeNumerisI2017

Istiarto–http://istiarto.staff.ugm

.ac.id/–istiarto@

ugm.ac.id