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7/24/2019 Unidad 1 Numeros Complejos 1.1 Definicio
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ALGEBRA LINEAL UNIDAD 1. NUMEROS COMPLEJOS
UNIDAD 1 NUMEROS COMPLEJOS
1.1 DEFINICIN Y ORIGEN DE LOS NMEROS COMPLEJOS
La primera referencia conocida a race c!adrada de n"mero ne#a$i%o pro%iene de&$ra'a(o de &o ma$em)$ico #rie#o* como +er,n de A&e(andra en e& i#&o I an$e de
Cri$o* como re!&$ado de !na impoi'&e ecci,n de !na pir)mide. Lo comp&e(o e-icieron m) pa$en$e en e& Si#&o /I* c!ando &a '"0!eda de f,rm!&a 0!e dieran &arace eac$a de &o po&inomio de #rado 2 3 4 f!eron encon$rada por ma$em)$icoi$a&iano como 5ar$a#&ia* Cardano.
A!n0!e ,&o e$a'an in$ereado en &a race rea&e de e$e $ipo de ec!acione* eencon$ra'an con &a neceidad de &idiar con race de n"mero ne#a$i%o. E& $6rminoima#inario para e$a can$idade f!e ac!7ado por Decar$e en e& Si#&o /II 3 e$) ende!o. La ei$encia de n"mero comp&e(o no f!e comp&e$amen$e acep$ada -a$a &am) a'a(o mencionada in$erpre$aci,n #eom6$rica 0!e f!e decri$a por 8ee& en 19::*redec!'ier$a a!no a7o dep!6 3 pop!&ari;ada por Ga!. La imp&emen$aci,n m)forma&* con pare de n"mero rea&e f!e dada en e& Si#&o I.
Lo ae'ri$a de &o i#&oXV3XVI* a& '!car !na o&!ci,n para a!na ec!acione
de e#!ndo #rado* por e(emp&o x2+1=0 , e encon$raron con x=1 .
Afirma'an 0!e &a ec!acione no $enan o&!ci,n* 3a 0!e no -a3 nin#"n n"mero rea& c!3oc!adrado ea !n n"mero ne#a$i%o. E$e -ec-o imp&ica'a &a con%eniencia de !e eprearemo como= x=610. i2 =35.i
Se &&ama n"mero comp&e(o a $oda eprei,n de &a forma z=a+b .i donde a 3 b
on n"mero rea&e? ie &a !nidad &&amada ima#inaria* definida por &a ec!acione :
1
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ALGEBRA LINEAL UNIDAD 1. NUMEROS COMPLEJOS
i=1 o i2=1 ; a e &a part ra! 3 " e &a part #$a%#&ar#a de& n"mero
comp&e(o.
Si a = 'e& n"mero comp&e(o ' + b.i = b.i,e !n n"mero ima#inario p!ro? i b '* eo'$iene e& n"mero rea&
a +'.i = a
Do n"mero comp&e(o on i#!a&e i: (a + b.i) = (c + d.i) a = c; b = d e decir* i on
i#!a&e ! par$e rea&e e ima#inaria por eparado.
Un n"mero comp&e(o e i#!a& a cero i= a + b.i ='a = 0; b =0
Ejercicios 1.1
1)
Graficamenteel afijo del numerocomplejo
z1+z
2
2=
x1+x
2
2+i
y1+y
2
2
representael punto medio del vector queuneel origen conel afijo
del numerocomplejo z1+z
2
los puntosde laforma Az1+z
2son los puntos dela recta
z1+ z
2=(1 )z
1+ z
2=z
1+ (z2z1 )
es decir, larectaque pasa por z1y cuyo vector director es z
2z
1
*)
2
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ALGEBRA LINEAL UNIDAD 1. NUMEROS COMPLEJOS
z3z
1
z2z1=z
3z
1eiarg (z3z1)
z2z
1eiarg (z3z1)=e
3i
z1z
2
z3z2=z
1z
2eiarg (z1z2)
z3z
2eiarg (z3z1)
=e
3i
Ya +,
arg (z3z1)=arg (z2z1 )+
3
arg (z3z2 )+
3=arg(z1z2)
Por !o ta&to
z3z
1
z2z1=
z1z
2
z3z2! z
32z
1z
3z
2z
3+z
2z
1=z
22z
12+z
1z
2!
! z1
2+z22+z
32=z1z2+z1z3+z2z3
-)
3
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ALGEBRA LINEAL UNIDAD 1. NUMEROS COMPLEJOS
Lo a&%,!o +, /or$a& * !a0o 0 ,& tr#a&%,!o +,#!atro o& 0
3
ra0#a& !,%o a2 +,# a3a&4ar
2+
3=
2
3. Por !o ta&to 5o$o ,&o 0 !o
* 3rt#5 z1=1=e2i , t#& +,
z2=e2i e
2i
3 =e2i
3 =cos2
3+isen
2
3=12+ 3
2i
z3=e2i e
2i
3 e2i
3 =e4i
3 =cos4
3+isen
4
3=12+ 3
2i
So& !o otro 0o. E& /or$a "#&o$#5a
(1,0 )(12 , 32) ,(12 ,32)
1.2 OPERACIONES @UNDAMEN5ALES CON NMEROS COMPLEJOS.
ADICCIN
Dado &o comp&e(o
Z1 = (a;b) y Z2 = (c ;d). S 0/#&Z1 + Z2 = (a; b) + (c; d) = (a +c; b+ d)
SUS6RACCIN
Se o'$iene !mando a& min!endo e& op!e$o de& !$raendo:
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ALGEBRA LINEAL UNIDAD 1. NUMEROS COMPLEJOS
Z1 + (-22) = (a; b) + (-c ; d) = (a c ; b-d)
MUL6IPLICACIN
Dado &o comp&e(o
Z1 = (a ; b) y Z2 = (c ; d), se define Z1 * Z2 = (a*c-b*d; a*d + b*c)
PO6ENCIACIN
La po$enciaci,n de !n n!mero comp&e(o con po$encia na$!ra&* e re!e&%e como !nam!&$ip&icaci,n rei$erada: Zn = (a ; b)n = (a ;b)1.(a ; b)2 (a ; b)naociado de a dopare &o pare ordenado.
FORMA 7INOMICA
La forma Binomica de !n n!mero comp&e(o e= Z = a + bi
OPERACIONES DE NMEROS COMPLEJOS EN SU FORMA 7INOMICA:
La !ma 3 diferencia de n!mero comp&e(o e rea&i;a !mando 3 re$ando par$e rea&een$re i 3 par$e ima#inaria en$re i.
+(a +bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d) i
-(a +bi) - (c + di) = (a-c) + (b-d) i
MUL6IPLICACIN CON NMEROS COMPLEJOSE& prod!c$o de &o n"mero comp&e(o e rea&i;a ap&icando &a propiedad di$ri'!$i%a de&prod!c$o repec$o de &a !ma 3 $eniendo en c!en$a 0!e i2 = -1 (a + bi) (c + di) = (ac-bd) + (ad + bc) i
DI8ISIN CON NMEROS COMPLEJOS
E& cocien$e de n"mero comp&e(o e -ace raciona&i;ando e& denominador? e$o e*m!&$ip&icando n!merador 3 denominador por e& con(!#ado de e$e.
a+bic+di
=( a+bi ) (cdi )(c+di ) (cdi )
=(ac+bd) (bcad ) i
c2+d2
=ac+bd
c2+d2
+bdadi
c2+d2
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ALGEBRA LINEAL UNIDAD 1. NUMEROS COMPLEJOS
(3+2 i)+87i=(37)+(2 ii)=4+ i
(5+3 i )+{ (1+2 i )+ (75 i )}
(5+3 i )+{ (1+7 )+ (2i5 i )}
(5+3 i )+ (63 i )
(5+6 )+(3 i3 i )
11
E9r5#5#o:
1)
2 i2
1
(3+2i ) (1+2 i )(12i ) (1+2 i )
=3+6 i+2 i+4 i2
3+8i41+4
=15+8
5i
6
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ALGEBRA LINEAL UNIDAD 1. NUMEROS COMPLEJOS
*)
(2+3 i) (22 i )=(2+3 i )2+(2+3 i ) (2 i)
4+6 i4 i+6 i2
A%r,pa&0o !o $#$o tr$#&o 2 ap!#5a&0o !a prop#0a0 i2=1 o"t&$o
4+6 i4 i+6
10+2i
-)
1i ](8+4 i)"
[(8+4 i)(1+ i)] " [(1i)(1+i)]
[8+4 i+8i+4 i2 ]" [1i+ii2 ]
+(4+12 i) " (2 )
2+6 i
7
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ALGEBRA LINEAL UNIDAD 1. NUMEROS COMPLEJOS
1.- PO6ENCIAS DE I
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ALGEBRA LINEAL UNIDAD 1. NUMEROS COMPLEJOS
8ALOR A7SOLU6OE& %a&or a'o&!$o* m,d!&o o ma#ni$!d de !n n"mero comp&e(o ; %iene dado por &ai#!ien$e eprei,n= Si penamo en ; como !n p!n$o en e& p&ano? podemo %er* por e&$eorema de Pi$)#ora* 0!e e& %a&or a'o&!$o de !n n"mero comp&e(o coincide con &adi$ancia e!c&dea dede e& ori#en de& p&ano. Si e& comp&e(o e$) ecri$o en forma po&ar ;
r ei* en$once ; r. Podemo compro'ar con faci&idad e$a $re impor$an$epropiedade de& %a&or a'o&!$o para c!a&0!ier comp&e(o ; 3 F. Por definici,n* &a f!nci,ndi$ancia 0!eda como i#!e d;* FH ; F 3 no pro%ee de !n epacio m6$rico con &ocomp&e(o #racia a& 0!e e p!ede -a'&ar de &mi$e 3 con$in!idad. La !ma* &a re$a* &am!&$ip&icaci,n 3 &a di%ii,n de comp&e(o on operacione con$in!a. Si no e dice &ocon$rario* e a!me 0!e 6$a e &a m6$rica !ada en &o n"mero comp&e(o.
zzz=a2+b2
E(ercicio 1.41H
i4 5 i2=i2=1
i22=
i22=1
2)
i4 6 i3=i3=1
i27
=
i27=i
9
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ALGEBRA LINEAL UNIDAD 1. NUMEROS COMPLEJOS
)
z1=5+5 i seencuentraen el1cuadrante
|z1|=25+25=50=52
a=arg tg55=45#
z2=44 i ( seencuentra en el4 cuadrante )
|z2|=16+16=32=42
a=arg tg4
4=45#=315#
z3=(12 +32 i)(seencuentraen el2 cuadrante)
|z3|= 14 + 34=1=1
a=arctg (32 : 12 )=60 # !120 #
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ALGEBRA LINEAL UNIDAD 1. NUMEROS COMPLEJOS
z
z215
z
33
propiedaddel modulo z=
4215
13
215
29
415415 26 56
526
|z|=
!or "ro"iedad de# ar$%&en'o
arg z=6.45#+15.315 #3.120 #
arg z=4095 # $lo que esiguala11vueltas y 135 #
z=234256
(cos135#+sen135 # i )=234256
(22 + 22 i)=234
56 +
234
56
i
11
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ALGEBRA LINEAL UNIDAD 1. NUMEROS COMPLEJOS
1.= FORMA POLAR Y E>PONENCIAL DE UN NMERO COMPLEJO.
FORMA POLAR
E& prod!c$o de do n"mero comp&e(o diferen$e de cero e$) dado en &a forma po&ar por e&prod!c$o de ! %a&ore a'o&!$o 3 &a !ma de ! ar#!men$o. E& cocien$e de don"mero comp&e(o diferen$e de cero e$) dado por e& cocien$e de ! %a&ore a'o&!$o3 &a diferencia de ! ar#!men$o.
ARGUMEN6O DE UN NMERO COMPLEJO
E& ar#!men$o de !n n"mero comp&e(o e e& )n#!&o 0!e forma e& %ec$or con e& e(e rea&. Sedei#na porar$( ).
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ALGEBRA LINEAL UNIDAD 1. NUMEROS COMPLEJOS
a=arc tgb
a
{+ba
=
+b+a
=a
180 #a
b
a=180 #+a
b+a
=360 #a
FORMA E>PONENCIAL
A %ece* 3 por imp&e comodidad e prefiere $ra'a(ar con &a forma $ri#onom6$rica en %e;de con &a forma 'inomica= Sea !n n"mero comp&e(o c!a&0!iera ! repreen$aci,n prdraepereare de &a i#!ien$e manera=
z=x+iy=% (cos& )=% e i&
@orma @orma @orma Binomica $ri#onome$rica eponencia&
Do&0{x={x=p cos&y=p sen&
Y
%sen&2
%cos&2+
%=|z|=x2+y2!
Y tan&=y
x
E(ercicio 1.
1H
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ALGEBRA LINEAL UNIDAD 1. NUMEROS COMPLEJOS
sea z1=1+cosx+isenx=1+
eix+eix
2+i
eixeix
2 i =
1+e2 ix+12e
ix +
e2 ix12e
ix =1+eix
z1=1+cosxisenx=1+ e
ix
+eix
2ie
ix
eix
2 i =
1+e2 ix+12e
ix
e2ix12e
ix =1+eix
z1
z1
n=( 1+eix
1+eix )n=( eix (1+eix )( eix+1 )) n=e inx
por lo tanto z=
*)
se tieneque
z+1
2=2cos t ! z2+1=2z cost !22(2cost)z+1=0!
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ALGEBRA LINEAL UNIDAD 1. NUMEROS COMPLEJOS
2cos4co s2 t4=cost co s2t1=costisent
! z=1
2
porlo tanto , z
n
=cosnt isent . por otro lado,
1
2=
1
cost isent=
cost isent
co s2
t+se n2t=cos sent!
1
zn=costnsentn
'a expresionque nos piden simplificar sera
zn+
1
zn=cosnt isen nt+cosnt isennt!zn+
1
zn=2cos nt
-)
1+i={m=12+12=2
(=arc tan1=
4}=24
1.? 6EOREMA DE DE MOI8RE PO6ENCIAS Y E>6RACCIN DE RA@CES DE UNNMERO COMPLEJO.
6EOREMA DE DEMOI8RE Y PO6ENCIAS
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ALGEBRA LINEAL UNIDAD 1. NUMEROS COMPLEJOS
Repreen$aci,n po&ar de !n n"mero comp&e(o
Donde &a form!&a e !a c!andoz=)=r (cos(+isen()
En e$e caoz
2=r2 (cos2(+isen( ) ,2
z3=z z2 .
2(+isen2(cos .
r (cos(+isen() r2
r3(cos3(+ isen3()
En #enera&* para c!a&0!ier o$ro proi$i%o K.
z*=r*(cos*(+isen*() .
a e$o e &e conoce como 5eorema de DeMoi%re ap&ica'&e a mimo a &a po$encia den"mero comp&e(o
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ALGEBRA LINEAL UNIDAD 1. NUMEROS COMPLEJOS
RA@CES DE UN NMERO COMPLEJO
Dado !n n"mero comp&e(o 0!e e define $a& 0!e i21. U$i&i;ando e$a no$aci,n podemopenar en i como &a ra; c!adrada de 1* pero no$amo 0!e $am'i6n $enemo i2H2i21*a 0!e iH e $am'i6n !na ra; c!adrada de 1. Seme(an$emen$e a &o n"mero rea&e*decimo 0!e &a ra; c!adrada principa& de 1 e i* o* en #enera&* i e c!a&0!ier n"mero
rea& poi$i%o* en$once en &a ra; c!adrada principa& de e c!mp&e &a i#!ien$e i#!a&dad=
x=1x=i x
e decir* &a ra; c!adrada de !n n"mero ne#a$i%o e neceariamen$e ima#inario. Eo e
de'ido a 0!e i2=1 ,por &o 0!e en$once=
ix2=i2x2=(1)x=x
Si e deea encon$rar &a ra; de !n n"mero ima#inario e poi'&e demo$rar &a i#!a&dad
ix=x2 ix2Por &o ar#!men$o dado* i no p!ede er ni poi$i%o ni ne#a$i%o. E$o crea !n pro'&ema=para e& n"mero comp&e(o ;* no podemo definir para er &a ra; c!adrada poi$i%a de .
Para cada n"mero comp&e(o diferen$e a cero ; ei$en eac$o do n"mero 8 $a&e0!e F2 . Por e(emp&o* &a race c!adrada de i on=
i=22
(1+i ) 2.
i=2
2(1+i ) .
La definici,n #enera& de e$) in$rod!ciendo e& i#!ien$e p!n$o de rama= i = r ei erepreen$ado en coordenada po&are con Q * dep!6 fi(amo e& %a&or principa&
a=
z=r ei
2
A definido* &a f!nci,n de &a ra; e -o&omorfa en $oda par$e ecep$o en &o n"merorea&e no poi$i%o* donde no e inc&!o con$in!a. La an$edic-a erie de 5a3&or para
17
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ALGEBRA LINEAL UNIDAD 1. NUMEROS COMPLEJOS
1+x i#!e iendo %)&ida para e& re$o de &o n"mero comp&e(o con 1.
En #enera&* para !n n"mero comp&e(o epreado en forma rec$an#!&ar* e o'$iene=
x+iy=|x+iy|+x
2
|x+ iy|x2
Donde |x+iy|=x2+y2 e& %a&or a'o&!$o o m,d!&o de& n"mero comp&e(oH* 3 e& i#no de
&a par$e ima#inaria de &a ra; coincide con e& i#no de &a par$e ima#inaria de& radicando.
E(ercicio 1.
calculando sumodulo y suargumento
r=|z|=1+3=2
=arg (z )=arctg 31
=3
se tieneque sus raices sextas son
z*=62 z
3+2*r
6
*=0,1,2,3,4,5
'as raices nenesimas dela unidad son dela forma:
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ALGEBRA LINEAL UNIDAD 1. NUMEROS COMPLEJOS
z*=ei2 *
n *=0,1,+ . , n1
porlo tanto ,
*=0
n1
z*=*=0
n1
ei2 *
n =1+ei2
n +ei4
n +++ei 2
n1n
Esta es la suma de los nprimeros trminos de una progresin
geomtrica de razn e2
ni
y primer trmino 1 es decir
*=0
n1
z*=1e2i
1e2
n i=0
4H
Coniderando a-ora e& prod!c$o
*=0
n1
z*=1ei2
n ei4
n +ei2
n1n
=e(0+i2 n +i
4
n+++i2n1
n)=e
2
ni
*=0
n1
*
como,*=0
n1
*=n (n1 )
2
setiene
19
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ALGEBRA LINEAL UNIDAD 1. NUMEROS COMPLEJOS
1 sin par1 sinimpar
z*=e
(n+1)i=
*=0
n1
1. ECUACIONES POLINMICAS.
Lo n"mero comp&e(o !r#en an$e &a impoi'i&idad de -a&&ar $oda &a o&!cione de &aec!acione po&in,mica de $ipo
anxn+an1xn1+ +a1x+aa=0
Dado &o %a&ore apropiado de &o coeficien$e anaa0 * e$a ec!aci,n $endr) n
o&!cione rea&e i 0!e permi$ir)n reecri'ir e& po&inomio de &a i#!ien$e forma=(xsn ) (xsn1 ) (xs1 )=0
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ALGEBRA LINEAL UNIDAD 1. NUMEROS COMPLEJOS
Sin em'ar#o* ec!acione inc&!o $an enci&&a como 2 1 T deafan e$a re#&a* 3a0!e ! o&!ci,n* 0!e $e,ricamen$e %endra dada por
x1,2=1
0!e no ei$e en e& campo de &o rea&e 3a 0!e &a ra; c!adrada no e$) definida para
ar#!men$o ne#a$i%o.
Lo n"mero comp&e(o in em'ar#o permi$en amp&iar a"n m) e& concep$o de
7/24/2019 Unidad 1 Numeros Complejos 1.1 Definicio
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ALGEBRA LINEAL UNIDAD 1. NUMEROS COMPLEJOS
1.
seaz=a+bi debemosencontrar a y b de formaque:
abi2+( a+bi )(abi )+9=0a+bi2+2
a2b2+2abi+2a22b24 abi+2bi+9=0
(3a23b2+9 )+i (2ab+2b )=0{3a23b2+9=0
2ab+2b=0
b -0, entonces a=+1,y sustituyendo en la primeraecuacion
3b212! b=2
los numeros complejos son :
z1=+1+2i z
2=+12 i
2.
a sea (z )=a0+a1z+++anzn
an -0,entonces como suscoeficientes sonreales
22
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ALGEBRA LINEAL UNIDAD 1. NUMEROS COMPLEJOS
(z )=a0+a
1z+++anz
n=(a0+a1z++ anzn )=(z ) luego ,
(23 i )=(23 i )=1i=1+i
benel caso deque los coeficientesde (z )no sean todosreales no sedetermina el valor de (abi )co
2+3 i2=i (4+12i9 )=i (5+12 i )=125 i(2+3i )=i
23 i2=i (412i9 )=i (512i )=125 i(23i )=i
4.
sean z1
, z2
lasraices . expresandolas en forma exponencial seran
z1=%1 e&i
z2=%2 e&i
Como
(zz1 ) (zz2)=z2(z1+z2)z+z1z2=z
2+ (a+bi )z+( c+di)
Se c!mp&e 0!e
z1z
2=c+di y z
1+z
2=(a+bi ) . por lo tanto ,
23
7/24/2019 Unidad 1 Numeros Complejos 1.1 Definicio
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ALGEBRA LINEAL UNIDAD 1. NUMEROS COMPLEJOS
z1z2=c+d i !%1+%2 e2&i=c+di
z1+z2=(%1+%2 ) e&i
z1+z2( a+bi ) {! (%1+%2 ) e
&i
=abi
L!e#o*
%1%
2cos2&=c
%1%
2cos2&=d
%2
1+%
cos&=a
De donde*
tg2&=d
ctg&=
b
a
De re&acionar &a $an#en$e de& an#!&o do'&e con &a $an#en$e eencon$rara &a rer&acion en$re &o coeficien$e como
tg2&=sen2&
cos2&=
2 sen&cos&
cos2
&sen 2 &=
2tg&
1tg 2 &
En$once
d
c=2
ba
1b2
a2
=2 ab
a2b2
La re&aci,n '!cada e
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d
c=2
ab
a2b2
si a2
- b2
E(ercicio
1z=1+3 i
25
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32
12+
|z|=
a=arc tg +3+1
=60#
z=260
2! "i#isin
z1=12
135#z2=345 #
z1
z2=
12135 #
345 #=( 123) .135 #45 #=490#
3! $aices
3
8,30# !{ /odulode las raices !r=
38! r=3
23=2
Argumentos! a=30#+360# *
3!{
*=0! a0=
30#+360# 03
=10#
*=1! a1=
30#+360# 13
=130#
*=2! a2=
30#+360# 23
=250#
soluciones ! z0=210# , z1=2130 # , z2=2250 #
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