Unidad 4 Dinamica ingenieria mecanica

UNIDAD IV

CINETICA PLANA DE LOS CUERPOS RGIDOSAcercamientoPalabras claves

La segunda ley de newton

Fuerza, aceleraciones, (la velocidad y tiempo pueden ser considerados en algunos casos)

Trabajo-energaFuerza, distancia, velocidad

Impulso-y cantidad de movimientoFuerza, tiempo, velocidad,

INTRODUCCION:

La Cintica de los cuerpos rgidos trata de las relaciones existentes entre las fuerzas que sobre ellos ejercen agentes exteriores y los correspondientes movimientos de traslacin y rotacin de dichos cuerpos.En el caso de movimiento plano de un cuerpo rgido se necesita una ecuacin ms para especificar el estado de rotacin del cuerpo. As pues, para determinar el estado de movimiento plano de un cuerpo rgido se necesitar dos ecuaciones de fuerza y una de momentos, o sus equivalentes.Es decir se estudiara las relaciones existentes entre las fuerzas que actan en un cuerpo rgido, la forma y la masa del mismo, y el movimiento producido.

Ecuaciones de movimiento de un cuerpo rgido

y F4

F1 F3 Go F2

o x

z (Fig.16.1)

Considrese un cuerpo rgido en el que actan varias fuerzas externas F1, F2, F3, (Fig. 16.1). Se puede suponer que el cuerpo se compone de un gran numero n de partculas de masa mi (i = 1, 2,, n) y que los resultados obtenidos son validos para un sistema de partculas (Fig. 16.2). Si se considera en primer lugar el movimiento del cuerpo de masa G del cuerpo con respecto al sistema de referencia newtoniano Oxyz, entonces escribimos;

F = m (16.1)

donde m es la masa del cuerpo y es la aceleracin del centro de masa G.Volviendo ahora al movimiento del cuerpo con respecto al sistema de referencia centroidal Gxyz, y escribimos;

MG = HG (16.2)

y

y

mi G x

z o x

z (Fig. 16.2)

donde HG representa la razn cambio de HG, la cantidad de movimiento angular con respecto a G del sistema de partculas que forman el cuerpo rgido. En lo que sigue. Se har referencia a HG simplemente como la cantidad de movimiento angular del cuerpo rgido con respecto a su centro de masa G. Juntas, las ecuaciones (16.1) y (16.2) expresan que el sistema de las fuerzas externas es equipolente al sistema compuesto por el vector m fijo en G y del par de momento HG (Fig. 16.3). G F4F1 m Go F3 = Go F2

(Fig.16.3)Las ecuaciones (16.1) y (16.2) son validos en el caso ms general del movimiento de un cuerpo rgido.

Cantidad de movimiento angular de un cuerpo rgido en movimiento plano

y y vimi

r G x

x

(Fig. 16.4) Considrese una placa rgida en movimiento plano. Si se supone que la placa se compone de un gran numero n de partculas Pi de masa mi, se observa que la cantidad de movimiento angular HG de la placa alrededor de su centro de masa G se puede calcular considerando los momentos con respecto a G de las cantidades de movimiento de las partculas de la placa en su movimiento con respecto a cualquiera de los sistemas de referencia Oxyz o Gxy (Fig. 16.4). Si elegimos este ultimo, escribimos:

n HG = (ri vi mi) (16.3) i=l

donde ri y vi mi denotan, respectivamente, el vector de posicin y la cantidad de movimiento lineal de la particula Pi con respecto al sistema de referencia centroidal Gxy.Pero como la particula pertenece a la placa, se tiene vi = ri, donde es la velocidad angular de la placa en el instante considerado. Escribimos:

n HG = [ri ( ri) mi] (16.4) i=l

Si se recurre a la figura 16.4, fcilmente se verifica que la expresin obtenida representa un vector de la misma direccin que (es decir, perpendicular a la placa) y de magnitud igual a ri mi. Recordando que La suma ri mi representa el momento de inercia de la placa con respecto a un eje centroidal perpendicular a la placa, se concluye que la cantidad de movimiento angular HG de la placa con respecto a su centro de masa es:

HG = (16.4)

Al diferenciar ambos miembros de la ecuacin (16.4) se obtiene:

G = = (16.5)

As pues, la razn de cambio de la cantidad de movimiento angular de la placa esta representado por un vector de la misma direccin que (esto es, perpendicular a la placa) y de magnitud .Se debe tener presente que los resultados obtenidos en esta seccin se dedujeron para una placa rgida en movimiento plano.

MOVIMIENTO PLANO DE UN CUERPO RGIDO. PRINCIPIO DE DALEMBERT

y F1 F2

Go

F3 F4

o x (Fig. 16.5)

Considrese una placa rgida de masa m que se mueve bajo la accin de varias fuerzas externas F1, F2, F3,.., contenidas en el plano de la placa (Fig. 16.5). Con la sustitucin de G de la ecuacin (16.5) en la ecuacin (16.2), y escribiendo las ecuaciones fundamentales de movimiento (16.1) y (16.2) en forma escalar, tenemos:

Fx = mx ; Fy = my ; MG = (16.6) Las ecuaciones (16.6) demuestran que la aceleracin del centro de masa G de la placa y su aceleracin angular se obtiene con facilidad una vez que se determinan la resultante de las fuerzas externas que actan sobre la placa y su momento resultante con respecto a G. Dadas las condiciones iniciales apropiadas; se obtiene entonces las coordenadas X y Y del centro de masa y la coordenada angular de la placa, mediante integracin en cualquier instante t. Por tanto, el movimiento de la placa queda definido por completo por la resultante y la resultante de momentos con respecto a G de las fuerzas externas que actan sobre ella.

Considrese, en particular, el sistema de fuerzas externas que actan sobre un cuerpo rgido (Fig. 16.6a) y el sistema de las fuerzas efectivas asociadas con las partculas que forma el cuerpo rgido (Fig. 16.6b) F2 F1(mi)ai

Go = oG F3 F4

(Fig. 16.6a) (Fig. 16.6b)

De este modo se, puede establecer que las fuerzas que las fuerzas externas que actan sobre un cuerpo rgido equivalen a las fuerzas efectivas de las diversas partculas que forman el cuerpo. Este enunciado se conoce como principio de DAlembert, en honor al matemtico francs Jean le Rond dAlembert (1717-1783), aun cuando el enunciado original de dAlembert fue escrito en una forma un poco diferente.El echo de que el sistema de fuerzas externas es equivalente al sistema de fuerzas efectivas se ha recalcado con el uso de un signo igual en la figura 16.6 y tambin en la figura 16.7, donde al utilizar los resultados obtenidos con anterioridad en esta seccin, se remplazaron las fuerzas efectivas con un vector m vinculado al centro de masa G de la placa y un par de momento . F1 m F2 Go = G . F3 F4

(Fig. 16.7a) (Fig.16.7b) TRASLACION:

F1 m F2 Go = G F3 F4

a b

(Fig. 16.8)

En el caso de un cuerpo en traslacin, la aceleracin angular de este es idntica a cero, y sus fuerzas efectivas se reducen al vector m fijo en G (fig16.8). De este modo, la resultante de las fuerzas externas que actan sobre un cuerpo rgido en traslacin pasa por el centro de masa del cuerpo, y es igual a m.

ROTACIN CENTROIDAL

F2 F1 . Go = Go F3

F4 a b

(Fig. 16.9 ) Rotacion centroidal

Cuando una placa o, ms generalmente, un cuerpo simtrico con respecto al plano de referencia, gira alrededor de un eje fijo perpendicular al plano de referencia y que pasa por su centro de masa G, se dice que el cuerpo se encuentra en rotacin centroidal. Como la aceleracin es idntica a cero, las fuerzas efectivas del cuerpo se reducen al par (Fig.16.9). Por lo tanto, las fuerzas externas que actan sobre un cuerpo en rotacin centroidal equivalen a un par de momentos .MOVIMIENTO PLANO GENERAL

Al comparar la Fig. 16.7 con las figuras 16.8 y 16.9, se observa que desde el punto de vista de la cintica, el movimiento plano ms general de un cuerpo rgido simtrico con respecto al plano de referencia puede ser reemplazado por la suma de una traslacin y una rotacin centroidal. Se debe sealar que este enunciado es ms restrictivo que el enunciado similar planteado con anterioridad desde el punto de vista de la cinemtica, puesto que ahora se requiere que se seleccione el centro de masa del cuerpo como punto de referencia.

En las ecuaciones (16.6), se observan que las dos primeras ecuaciones son idnticas a las ecuaciones de movimiento de una particula de masa m en la que actan las fuerzas dadas F1, F2, F3,, de este modo, se comprueba que el centro de masa G de un cuerpo rgido en movimiento plano se mueve como si toda la masa del cuerpo estuviera concentrada en dicho punto, y como si todas las fuerzas externas actuaran sobre el. Se recuerda que este resultado ya se obtuvo en el caso general de un sistema de partculas no necesariamente conectadas entre si, tambin se observa que el sistema, de las fuerzas externas, en general, no se reducen a un solo vector m con origen en G. Por consiguiente, en el caso general del movimiento plano de un cuerpo rgido, la resultante de las fuerzas externas que actan sobre el cuerpo no pasan por el centro de masa de este.

Por ultimo, se ve que la ltima de las ecuaciones (16.6) seguira siendo valida si el cuerpo rgido, al estar sometido a las mismas fuerzas aplicadas, no pudiera girar alrededor de un eje fijo que pasa por G. As pues, un cuerpo rgido en movimiento plano gira alrededor de su centro de masa como si este punto estuviera fijo.