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MotivacionTipos de codigos

Conclusiones

Codificacion y decodificacion de los codigos cıclicosComparativa con otros codigos

Cruz Enrique Borges Hernandez

Universidad de Cantabria

7 de marzo de 2005

Cruz Enrique Borges Hernandez Codificacion y decodificacion de los codigos cıclicos

Conclusiones

Contenido

1 Motivacion

2 Tipos de codigosCodificacionDecodificacion

3 Conclusiones

Conclusiones

Contenido

1 Motivacion

3 Conclusiones

Conclusiones

Contenido

1 Motivacion

3 Conclusiones

Conclusiones

Necesidad de codigos correctores de errores

Desarrollo de un nuevo sistema de comunicacion

¿Podemos crear un codigo que subsane los errores?

Facil de codificarFacil de decodificarCapacidad correctora suficiente

Conclusiones

Facil de codificar

Facil de decodificarCapacidad correctora suficiente

Conclusiones

Facil de codificarFacil de decodificar

Capacidad correctora suficiente

Conclusiones

CodificacionDecodificacion

CodificacionCodigos en bloque

Un codigo en bloque es una aplicacion inyectiva:

C :⋃k∈N

Ak → Bn

Codigos en bloque

Excesivamente costoso

Desconocemos ladistancia mınima

Diccionario:

0 0000 4 11001 1001 5 01012 1010 6 01103 0011 7 1111

Mensaje Codigo3572 ⇒ 0011 0101 1111 1010

Conclusiones

C :⋃k∈N

Ak → Bn

Codigos en bloque

Diccionario

Diccionario:

0 0000 4 11001 1001 5 01012 1010 6 01103 0011 7 1111

Mensaje Codigo3572 ⇒ 0011 0101 1111 1010

Conclusiones

C :⋃k∈N

Ak → Bn

Codigos en bloque

Diccionario

Diccionario:

0 0000 4 11001 1001 5 01012 1010 6 01103 0011 7 1111

Mensaje Codigo3572 ⇒ 0011 0101 1111 1010

Conclusiones

C :⋃k∈N

Ak → Bn

Codigos en bloque

Diccionario

Diccionario:

0 0000 4 11001 1001 5 01012 1010 6 01103 0011 7 1111

Mensaje Codigo3572 ⇒ 0011 0101 1111 1010

Conclusiones

C :⋃k∈N

Ak → Bn

Codigos en bloque

Diccionario

Diccionario:

0 0000 4 11001 1001 5 01012 1010 6 01103 0011 7 1111

Mensaje Codigo3572 ⇒ 0011 0101 1111 1010

Conclusiones

CodificacionCodigos lineales

Sea Kq un cuerpo de q elementos. Llamaremos codigo lineal delongitud k a un subespacio vectorial C de Kn

q con dim C = k.

Codigos lineales

g11 . . . g1n...

...gk1 . . . gkn

Codificacion

(a1, . . . , ak)

g11 . . . g1n...

...gk1 . . . gkn

= (c0, . . . , cn)

Conclusiones

q con dim C = k.

Codigos lineales

Matriz Generatriz

g11 . . . g1n...

...gk1 . . . gkn

Codificacion

(a1, . . . , ak)

g11 . . . g1n...

...gk1 . . . gkn

= (c0, . . . , cn)

Conclusiones

q con dim C = k.

Codigos lineales

Matriz Generatriz

g11 . . . g1n...

...gk1 . . . gkn

Codificacion

(a1, . . . , ak)

g11 . . . g1n...

...gk1 . . . gkn

= (c0, . . . , cn)

Conclusiones

q con dim C = k.

Codigos lineales

Matriz Generatriz

g11 . . . g1n...

...gk1 . . . gkn

Codificacion

(a1, . . . , ak)

g11 . . . g1n...

...gk1 . . . gkn

= (c0, . . . , cn)

Conclusiones

q con dim C = k.

Codigos lineales

Matriz Generatriz

g11 . . . g1n...

...gk1 . . . gkn

Codificacion

(a1, . . . , ak)

g11 . . . g1n...

...gk1 . . . gkn

= (c0, . . . , cn)

Conclusiones

CodificacionCodigos cıclicos

Sea Kq un cuerpo de q elementos y S un codigo lineal de longitudn. C es un codigo cıclico si y solo si (c0, . . . , cn − 1) ∈ C entonces(cn−1, c0, . . . , cn−2) ∈ C .

Codigos cıclicos

Codificacion

(a1, . . . , ak) G = (c0, . . . , cn)

g0 g1 . . . gn−k 0 . . . 00 g0 . . . gn−k−1 gn−k . . . 0...

.... . .

......

. . . 00 0 . . . g0 g1 . . . gn−k

Conclusiones

Codigos cıclicos

Matriz Generatriz

Codificacion

(a1, . . . , ak) G = (c0, . . . , cn)

g0 g1 . . . gn−k 0 . . . 00 g0 . . . gn−k−1 gn−k . . . 0...

.... . .

......

. . . 00 0 . . . g0 g1 . . . gn−k

Conclusiones

Codigos cıclicos

Matriz Generatriz

Codificacion

(a1, . . . , ak) G = (c0, . . . , cn)

g0 g1 . . . gn−k 0 . . . 00 g0 . . . gn−k−1 gn−k . . . 0...

.... . .

......

. . . 00 0 . . . g0 g1 . . . gn−k

Conclusiones

Codigos cıclicos

Matriz Generatriz

Codificacion

(a1, . . . , ak) G = (c0, . . . , cn)

g0 g1 . . . gn−k 0 . . . 00 g0 . . . gn−k−1 gn−k . . . 0...

.... . .

......

. . . 00 0 . . . g0 g1 . . . gn−k

Conclusiones

DecodificacionCodigos en bloque

Codigos en bloque

Distancia mınima

Diccionario:

0 0000 4 11001 1001 5 01012 1010 6 01103 0011 7 1111

Recibido 1011 0101 1101 1010

Corregimos → 0011 0101 1111 1010Decodificamos → 3572

Conclusiones

Codigos en bloque

Distancia mınima

Diccionario:

0 0000 4 11001 1001 5 01012 1010 6 01103 0011 7 1111

Recibido 1011 0101 1101 1010

Conclusiones

Codigos en bloque

Distancia mınima

Diccionario:

0 0000 4 11001 1001 5 01012 1010 6 01103 0011 7 1111

Recibido 1011 0101 1101 1010

Conclusiones

Codigos en bloque

Distancia mınima

Diccionario:

0 0000 4 11001 1001 5 01012 1010 6 01103 0011 7 1111

Recibido 1011 0101 1101 1010Corregimos → 0011 0101 1111 1010

Decodificamos → 3572

Conclusiones

Codigos en bloque

Distancia mınima

Diccionario:

0 0000 4 11001 1001 5 01012 1010 6 01103 0011 7 1111

Recibido 1011 0101 1101 1010Corregimos → 0011 0101 1111 1010Decodificamos → 3572

Conclusiones

DecodificacionAlgoritmo del lıder

Decodificamos por mınima distancia

Matriz de control H!!!! GHt = 0 !!!!

El sındrome caracteriza el error (lıder) cometido e!!!! s(y) = s(e) = Hy !!!!

Decodificamos haciendo la resta:y − e

Conclusiones

DecodificacionAlgoritmo del Lıder en codigos lineales

Sındrome / Lıder

000 0000000 110 0001000100 1000000 101 0000100010 0100000 011 0000010001 0010000 111 0000001

Recibido 0011111 1111111 1101111 0000000

s(0011111) = 110→ Lıder 0001000→ 0011111− 0001000 = 0010111

s(1111111) = 000→ Lıder 0000000→ 1111111− 0000000 = 1111111

s(1101111) = 001→ Lıder 0010000→ 1101111− 0010000 = 1111111

s(0000000) = 000→ Lıder 0000000→ 0000000− 0000000 = 0000000

Conclusiones

Sındrome / Lıder

000 0000000 110 0001000100 1000000 101 0000100010 0100000 011 0000010001 0010000 111 0000001

Recibido 0011111 1111111 1101111 0000000

s(0011111) = 110→ Lıder 0001000→ 0011111− 0001000 = 0010111

s(1111111) = 000→ Lıder 0000000→ 1111111− 0000000 = 1111111

s(1101111) = 001→ Lıder 0010000→ 1101111− 0010000 = 1111111

s(0000000) = 000→ Lıder 0000000→ 0000000− 0000000 = 0000000

Conclusiones

Sındrome / Lıder

000 0000000 110 0001000100 1000000 101 0000100010 0100000 011 0000010001 0010000 111 0000001

Recibido 0011111 1111111 1101111 0000000

s(0011111) = 110

→ Lıder 0001000→ 0011111− 0001000 = 0010111

s(1111111) = 000

→ Lıder 0000000→ 1111111− 0000000 = 1111111

s(1101111) = 001

→ Lıder 0010000→ 1101111− 0010000 = 1111111

s(0000000) = 000

→ Lıder 0000000→ 0000000− 0000000 = 0000000

Conclusiones

Sındrome / Lıder

000 0000000 110 0001000100 1000000 101 0000100010 0100000 011 0000010001 0010000 111 0000001

Recibido 0011111 1111111 1101111 0000000

s(0011111) = 110→ Lıder 0001000

→ 0011111− 0001000 = 0010111

s(1111111) = 000→ Lıder 0000000

→ 1111111− 0000000 = 1111111

s(1101111) = 001→ Lıder 0010000

→ 1101111− 0010000 = 1111111

s(0000000) = 000→ Lıder 0000000

→ 0000000− 0000000 = 0000000

Conclusiones

Sındrome / Lıder

000 0000000 110 0001000100 1000000 101 0000100010 0100000 011 0000010001 0010000 111 0000001

Recibido 0011111 1111111 1101111 0000000

s(0011111) = 110→ Lıder 0001000→ 0011111− 0001000 = 0010111

s(1111111) = 000→ Lıder 0000000→ 1111111− 0000000 = 1111111

s(1101111) = 001→ Lıder 0010000→ 1101111− 0010000 = 1111111

s(0000000) = 000→ Lıder 0000000→ 0000000− 0000000 = 0000000

Conclusiones

DecodificacionAlgoritmo del Lıder en codigos cıclicos

Sındrome Lıder

100 0000001

Recibido 0101011 1001011 1100011 0000000

0101011 1001011 1100011 0000000

s(0101011) =101 X s(1001011) =000 X s(1100011) =011 X s(0000000) =000 X

s(1010101) =001 X s(1100101) =000 X s(1110001) =110 X s(0000000) =000 X

s(1101010) =010 X s(1110010) =000 X s(1111000) =111 X s(0000000) =000 X

s(0110101) =100 ] s(0111001) =000 X s(0111100) =101 X s(0000000) =000 X

s(0011010) =000 X s(1011100) =000 X s(0011110) =001 X s(0000000) =000 X

s(0001101) =000 X s(0101110) =000 X s(0001111) =010 X s(0000000) =000 X

s(1000110) =000 X s(0010111) =000 X s(1000111) =100 ] s(0000000) =000 X

0100011 1001011 0100011 0000000

Conclusiones

Sındrome Lıder

100 0000001

Recibido 0101011 1001011 1100011 0000000

0101011 1001011 1100011 0000000

s(0101011) =101 X s(1001011) =000 X s(1100011) =011 X s(0000000) =000 X

s(1010101) =001 X s(1100101) =000 X s(1110001) =110 X s(0000000) =000 X

s(1101010) =010 X s(1110010) =000 X s(1111000) =111 X s(0000000) =000 X

s(0110101) =100 ] s(0111001) =000 X s(0111100) =101 X s(0000000) =000 X

s(0011010) =000 X s(1011100) =000 X s(0011110) =001 X s(0000000) =000 X

s(0001101) =000 X s(0101110) =000 X s(0001111) =010 X s(0000000) =000 X

s(1000110) =000 X s(0010111) =000 X s(1000111) =100 ] s(0000000) =000 X

0100011 1001011 0100011 0000000

Conclusiones

Sındrome Lıder

100 0000001

Recibido 0101011 1001011 1100011 0000000

0101011 1001011 1100011 0000000

s(0101011) =101 X s(1001011) =000 X s(1100011) =011 X s(0000000) =000 X

s(1010101) =001 X s(1100101) =000 X s(1110001) =110 X s(0000000) =000 X

s(1101010) =010 X s(1110010) =000 X s(1111000) =111 X s(0000000) =000 X

s(0110101) =100 ] s(0111001) =000 X s(0111100) =101 X s(0000000) =000 X

s(0011010) =000 X s(1011100) =000 X s(0011110) =001 X s(0000000) =000 X

s(0001101) =000 X s(0101110) =000 X s(0001111) =010 X s(0000000) =000 X

s(1000110) =000 X s(0010111) =000 X s(1000111) =100 ] s(0000000) =000 X

0100011 1001011 0100011 0000000

Conclusiones

Sındrome Lıder

100 0000001

Recibido 0101011 1001011 1100011 0000000

0101011 1001011 1100011 0000000

s(0101011) =101 X s(1001011) =000 X s(1100011) =011 X s(0000000) =000 X

s(1010101) =001 X s(1100101) =000 X s(1110001) =110 X s(0000000) =000 X

s(1101010) =010 X s(1110010) =000 X s(1111000) =111 X s(0000000) =000 X

s(0110101) =100 ] s(0111001) =000 X s(0111100) =101 X s(0000000) =000 X

s(0011010) =000 X s(1011100) =000 X s(0011110) =001 X s(0000000) =000 X

s(0001101) =000 X s(0101110) =000 X s(0001111) =010 X s(0000000) =000 X

s(1000110) =000 X s(0010111) =000 X s(1000111) =100 ] s(0000000) =000 X

0100011 1001011 0100011 0000000

Conclusiones

Sındrome Lıder

100 0000001

Recibido 0101011 1001011 1100011 0000000

0101011 1001011 1100011 0000000

s(0101011) =101 X s(1001011) =000 X s(1100011) =011 X s(0000000) =000 X

s(1010101) =001 X s(1100101) =000 X s(1110001) =110 X s(0000000) =000 X

s(1101010) =010 X s(1110010) =000 X s(1111000) =111 X s(0000000) =000 X

s(0110101) =100 ] s(0111001) =000 X s(0111100) =101 X s(0000000) =000 X

s(0011010) =000 X s(1011100) =000 X s(0011110) =001 X s(0000000) =000 X

s(0001101) =000 X s(0101110) =000 X s(0001111) =010 X s(0000000) =000 X

s(1000110) =000 X s(0010111) =000 X s(1000111) =100 ] s(0000000) =000 X

0100011 1001011 0100011 0000000

Conclusiones

Sındrome Lıder

100 0000001

Recibido 0101011 1001011 1100011 0000000

0101011 1001011 1100011 0000000

s(0101011) =101 X s(1001011) =000 X s(1100011) =011 X s(0000000) =000 X

s(1010101) =001 X s(1100101) =000 X s(1110001) =110 X s(0000000) =000 X

s(1101010) =010 X s(1110010) =000 X s(1111000) =111 X s(0000000) =000 X

s(0110101) =100 ] s(0111001) =000 X s(0111100) =101 X s(0000000) =000 X

s(0011010) =000 X s(1011100) =000 X s(0011110) =001 X s(0000000) =000 X

s(0001101) =000 X s(0101110) =000 X s(0001111) =010 X s(0000000) =000 X

s(1000110) =000 X s(0010111) =000 X s(1000111) =100 ] s(0000000) =000 X

0100011 1001011 0100011 0000000

Conclusiones

Sındrome Lıder

100 0000001

Recibido 0101011 1001011 1100011 0000000

0101011 1001011 1100011 0000000

s(0101011) =101 X s(1001011) =000 X s(1100011) =011 X s(0000000) =000 X

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Conclusiones

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Conclusiones

Numero de operaciones aceptable

Espacio en memoria desproporcionado en caso lineal

Seguimos con el inconveniente de no conocer la distanciamınima a priori

Calcular la distancia mınima de un codigo es muy costoso

Codigos BCH, Reed-Solomon, etc.

Conclusiones

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