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FNC0376 - Fisica Moderna 2 Aula 13
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Física Moderna II - FNC376
Profa. Márcia de Almeida Rizzutto1o. Semestre de 2008
Universidade de São PauloInstituto de Física
FNC0376 - Fisica Moderna 2 Aula 13
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Átomo Transição E1 → E2 no íon
Como resultado temos a excitação de um estado iônico com energia E1. Isso pode ser representado pela criação de uma vacância (ou buraco) em uma das camadas internas completas. Atenção: nesse caso, estamos assumindo que o e- tenha sido expulso do átomo, mas ele poderia ir para um estado ligado desocupado, acima da última camada. O que não pode acontecer é dele ir para um estado já ocupado por outro e- (Pauli). A desexcitação radiativa do sistema se dá quando um e- de uma camada de energia mais elevada ocupa o buraco e emite um fóton de energia hv = E1 – E2, onde E2 é a energia do estado final.
Ausência do e- ⇒ ausência de sua energia de ligação ⇒ sistema com
energia mais alta
Emissão de Raio-X
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Ionização e De-excitação
e-
n=4, Nn=3, Mn=2, Ln=1, K
K seriesL series
M series Kα
K series
Lα
L series
http://www.labdid.if.usp.br
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λmin
http://www.labdid.if.usp.br
• O fóton de menor comprimento de onda, λmin, seria emitido quando o elétron perdesse o máximo (toda) de sua energia cinética durante a colisão (K´=0).
energia inicial do eletronK = eV = hc/λmin
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Principais transições de dipolo para raios-X
Kα - transições de L KKβ - transições de M K
Lα - transições de M LLβ - transições de N L
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Principais linhas de raios-X
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.
Canal
Um átomo pode ser excitado em um processo de colisão com partículas carregadas como p, O, C, .... PIXE (Particle Induced X-ray Emission).
PIXE é muito aplicado para caracterização multi-elementar de diferentes materiais
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Cálculo das energias das transições
4)1(3
21)1(
22)1(
2][
2
0
2
2
2
0
2
2
2
0
2 −=
−+
−−=
Za
keZa
keZa
keKE α
AkeV
AkeVKEhcK &
&723.0
)(146.17.4.12
][][ ===
ααλ
A energia dos fótons envolvidos nestas transições de espectros característicos de raio-X pode ser calculado:Linha Kα (um e- da camada L (n=2) preenche o buraco da camada K (n=1)). O elétron na camada L é parcialmente escondido do núcleo pelos outros elétrons da camada K, assim vê a carga nuclear como Z-1 (carga efetiva)
n=2 n=1
Para o Mo (Z=42)
As energias dos raios-X (λ) das linhas variam de elemento para elemento, pois a energias envolvidas dependem das energias de ligações dos e- nas camadas internas (que aumentam uniformemente como aumento de Z).Uma série de medidas experimentais realizadas em 1913 e 1914 por H.G. J. Moseley das transições Kα de diferentes elementos confirmaram a validade da equação acima
)(146.17][ keVKE =α
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Moseley, 1913
( )1 2
λ≅ −C Z a
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Estatística QuânticaAbordagem estatística. Usada com sucesso na física clássica para descrever sistemas termodinâmicos. Relação entre propriedades observadas e o comportamento provável do sistema.
Sistema com N partículas em equilíbrio térmico ⇒ descrito por 6Nparâmetros (3N posições e 3N velocidades – que podem ser considerados pontos em um espaço 6D, o espaço de fase).
A medida que o no de componentes num sistema aumenta, mais complexa fica a descrição: Átomos mono eletrônicos átomos multieletrônicomoléculas sólidos dificuldade de análise
destes sistemasImagine por exemplo estudar um sistema gasoso em CNTP resolvendosimultaneamente as equações de movimento de todas as 1022 moléculas
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Gás ideal: Maxwell calculou a distribuição velocidades das moléculas de um gás. Concentrou-se nas velocidades (mais importantes que as posições – aleatórias, se não se considera a gravidade). Ele desenvolveu uma função de distribuição de velocidades, definida como:
f(v)d3vprobabilidade de se encontrar uma partícula com velocidade entre
v e v + d3v, sendo que d3v = dvxdvydvz. O fato de v ser um vetor implica em 3 condições: f(v)d3v é a probabilidade de encontrar uma partícula com vx entre vx e vx + dvx, e analogamente para vy e vz. Maxwell mostrou que essa função de distribuição pode ser escrita como:
vvvv 323
21exp)( dmCdf
−= β
sendo C uma constante, β = (kT)-1, k a constante de Boltzmann, T a temperatura do sistema e m a massa da molécula.
Referência: P. A. Tipler e R.A. Llewellyn – Física Moderna
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Podemos escrever a função de distribuição em termos das componentes da velocidade, uma vez que: v 2 = vx
2+vy2+vz
2. Assim,
vvvvvv 32223
21
21
21exp)( dmmmCdf zyx
−−−= βββ
Que, por sua vez, pode ser escrita como o produto de 3 termos:
( ) K 21exp
)()()(),,(
2xxxx
zyxzyxzyxzyx
dmCdg
dddgggdddf
vvvv
vvvvvvvvvvvv
−′=
=
β com C’ = C1/3.
A constante é determinada pela normalização (uma vez que a probabilidade de se encontrar uma partícula com velocidade entre –∞ e +∞ é 1):
( ) =
−′= ∫∫
+∞
∞−
+∞
∞−xxxx dvmvCdg 2
21exp βvv
( ) xxxx dmmdg vvvv
−
= 2
2/1
21exp
π2ββ
...
2/12/1
π21π2
=′⇒=
′=mC
mC β
β
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A utilidade das funções de distribuição está no fato de podermos calcular os valores médios das grandezas, etc. ...
( ) 021exp
π22 =
−
=== ∫∫
+∞
∞−
+∞
∞−xxxxxxxx dmmdg vvvvvvvv ββ
( )
∫
∫∫∞+
+∞
∞−
+∞
∞−
−
=
−
===
0
22
22222
21exp
π22
21exp
π2
xxx
xxxxxxxx
dmm
dmmdg
vvv
vvvvvvvv
ββ
ββA velocidade quadrática média:
vx é ímpar
( ) 30
22
41exp
adxaxx π
∫+∞
=−
mkT
mmm
xx ==
==
βββ 12
4π
π22
2/32/122 vv
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É claro que resultados análogos valem para as outras direções, uma vez que não há nada de especial com a x. Por isso podemos juntá-las e calcular a energia cinética média (translacional) da partícula:
( ) kTmkTmmmEE zyxKK 2
3321
21 222
2
=
=++=== vvv
2v
Temos que existe uma energia média de kT/2 associada a cada um dos graus de liberdade da partícula.
mkT
zyx === 222 vvv
Por isso podemos juntá-las e calcular a energia cinética média (translacional) da partícula:
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Teorema da eqüipartição da energia: em um sistema em equilíbrio a uma temperatura T, existe uma energia média de kT/2, por molécula, associada a cada termo quadrático independente na energia da molécula.Vimos a função distribuição de velocidades considerando o vetor v. Mas podemos fazer o mesmo considerando apenas o módulo das velocidades, uma vez que a distribuição depende apenas dos módulos. Queremos determinar F(v)dv que é a probabilidade de se encontrar uma partícula com o módulo da velocidade entre v e v + dv (lembrando que, agora, v varia entre 0 e ∞) a partir de f(v) (função distribuição), já conhecida. Vamos usar o conceito de espaço de fase e vamos começar com um problema análogo no espaço 3D. Suponhamos que exista uma distribuição, f(x,y,z), de partículas no espaço. Então f(x,y,z)d3r é a probabilidade de encontrar a partícula entre r e r + d3r, sendo d3r = dxdydz. Vamos agora mudar para uma distribuição F(r), tal que F(r)dr seja a probabilidade de encontrar a partícula
entre r e r + dr.
O espaço entre r e r + dr é o de uma casca esférica de raio r e espessura dr. O volume dessa casca é 4π r2dr. Assim:F(r)dr = f(x,y,z)4π r2dr. Voltando à nossa distribuição de velocidades, teremos:
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Dis
tribu
ição
de
velo
cida
des
Velocidade relativa
F(v)dv = f(v)4πv2dv. Assim, a distribuição de Maxwell de
velocidades, fica: vvvvv dmCdF 22
21expπ4)(
−= β
Velocidade mais provável, v*, ⇒ ponto em que a
derivada da distribuição é nula:mkT
m22* ==
βv
Um corolário interessante desse resultado é que a energia cinética de uma molécula que se move com a velocidade mais provável é exatamente 2/3 da energia cinética média: kTmEK == 2* *)(
21 v
Nessa distribuição (que não é mais centrada em 0), a velocidade média é:
mkT
mkTdmCdF
πβ 8
π24
21expπ4)(
0
23
0
==
−== ∫∫
∞∞
vvvvvvv
Função é máximaVeloc. quadrática média
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13,1π4
*≈=
vvAssim, a razão:
nos mostra que, em qualquer temperatura, a velocidade média é ~13% maior que a velocidade mais provável. A velocidade quadrática média é:
mkTdmCdF 3
21expπ4)(
0
24
0
22 =
−== ∫∫
∞∞
vvvvvvv β
E sua raiz quadrada (velocidade rms):
( ) 22,123
*3 rms
2/12
rms ≈=⇒==vvvv
mkT
Assim, temos também que: kTmEK 23
21 2 == v
E, finalmente, podemos calcular o desvio padrão das velocidades moleculares:
( ) *48,0π83
π83 2/12/12/1
2/122 vvvv ≈
−
=
−=−=
mkT
mkT
mkTσ
nos mostra que, em qualquer temperatura, a velocidade rms é ~22% maior que a velocidade mais provável.
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