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UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI PARMAUNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI PARMAUNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI PARMAUNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI PARMA
Scuola di Specializzazione per l’Insegnamento Secondario
VIII ciclo a.s. 2006-2007
Indirizzo F.I.M.
Laboratorio di Didattica della Matematica
UNITA’ DIDATTICA
LA PARABOLA
Gruppo: Lazzarini Martha
Mariani Flavia
Raschellà Raffaella
Introduzione
Scopo di questa unità didattica è introdurre la definizione e alcune proprietà notevoli della parabola,
sia attraverso la geometria sintetica sia analitica. Si userà un approccio storico sia come strumento
per stimolare l’interesse sia per mostrare l’evoluzione della matematica verso la generalizzazione e
l’economicità.
Questa unità didattica è destinata a:
Istituto scolastico: Liceo Scientifico.
Anno scolastico: Terzo.
Schema dell’unità didattica
Prerequisiti
Vedi singole fasi.
Obiettivi
Obiettivi a breve termine: definizione della parabola come sezione conica
proprietà: fuoco, lato retto, tangente
definizione della parabola come luogo geometrico
equazione della parabola in casi particolari
equazione della tangente alla parabola
Obiettivi a medio termine: coniche come curve geometriche ed equazioni analitiche
trattare un problema geometrico analiticamente
Obiettivi a lungo termine: saper confrontare geometria analitica e sintetica secondo criteri di
semplicità, economicità, generalità
Fasi dell’attività
FASE TIPOLOGIA DESCRIZIONE PREREQUISITI OBIETTIVI
1 lezione frontale (1 h)
Definizione come sezione conica e proprietà lato retto
Cono, triangoli simili, triangolo inscritto in una semicirconferenza, II teorema di Euclide, teorema di Talete
Parabola come sezione di un cono, lato retto
2 attività di gruppo (2 h)
Equazione y=ax2 da definizione precedente; proprietà della tangente per via sintetica e per via analitica
sistema cartesiano, equazione di una curva, equazione di una retta per due punti, triangoli congruenti e triangoli simili, tangente.
Equazione y=ax2, proprietà della tangente. Traduzione di un problema geometrico in analitico. Confronto metodi sintetici e analitici
3 attività di gruppo (2 h)
Lettura brano da “Lo Specchio Ustorio”. Pproprietà del fuoco
Legge della riflessione Fuoco, proprietà del fuoco. Evoluzione del linguaggio matematico nella storia
4 lezione frontale (2 h)
Definizione come luogo geometrico. Equivalenza delle due definizioni per via sintetica e analitica
Luogo geometrico. Visione completa della parabola e delle sue proprietà. Traduzione di un problema geometrico in analitico
5 lezione frontale (2 h)
Equazione generale y=ax2+bx+c ; caso di asse parallelo ad asse x; curva y=sqrt(ax+b). Equazione tangente in un punto
traslazioni in un sistema di riferimento cartesiano; luogo geometrico
equazione in diversi casi, equazione tangente generalizzabile a tutte le curve quadratiche
6 lezione frontale (1 h)
Applicazioni: specchio parabolico (mirage); disequazioni di II grado
proprietà analitiche della parabola e delle disequazioni di II grado; legge della riflessione
Applicazioni in fisica (specchi parabolici) Applicazioni in algebra (disequazioni II grado)
.
Scheda insegnante
Introduzione storica
Le tre sezioni coniche, parabola, iperbole ed ellisse, comparvero per la prima volta nel quarto secolo
a.C. nei lavori del matematico greco Menecmo che cercava di risolvere il problema della
duplicazione del cubo. Menecmo costruì le coniche come intersezione di un piano con tre tipi
differenti di cono circolare retto. Si sa che anche Euclide (300 a.C.) scrisse un libro in quattro volumi,
ora perduto, sulle sezioni coniche. Le coniche erano conosciute da circa un secolo quando Archimede
(287 a.C.-212 a.C.) calcolò l’area dell’ellisse, l’area del segmento parabolico, e il volume dei segmenti
dei solidi di rotazione delle coniche. Il terzo grande matematico dell’età d’oro della matematica
greca, Apollonio da Perga (262 a.C.-190 a.C.), scrisse un’opera in otto volumi intitolata “Coniche”, di
cui sono rimasti i primi sette. Questo libro consolidò molto del lavoro precedente sull’argomento e
aggiunse nuovi risultati sulla teoria e le proprietà di queste curve. Apollonio fu il primo ad affermare
che tutte le coniche si possono ottenere da un unico cono a doppia nappa variando l’inclinazione del
piano secante. Fu inoltre il primo a introdurre i nomi parabola, iperbole ed ellisse. Nel 320 d.C.
Pappo di Alessandria scrisse un libro in otto volumi intitolato “Collezione matematica”, dove, nel
settimo, dimostrò che il rapporto tra la distanza di ogni punto di una conica da un punto fisso (il
fuoco) e una retta (la direttrice) è una costante (l’eccentricità). Distinse quindi l’ellisse, la parabola e
l’iperbole come coniche di eccentricità rispettivamente <1, =1, >1.
La riedizione delle “Coniche” di Apollonio nel 16o secolo contribuì alla rinascita della geometria. Fu
in questo periodo che si cominciò a definire le coniche come luoghi di punti nel piano anziché sezioni
di un piano secante un cono. Per esempio, nel 1579 Guidobaldo del Monte definì l’ellisse come luogo
dei punti tali che la somma delle distanze dai due fuochi è costante. Lo sviluppo della geometria
analitica stimolò ulteriormente lo studio delle coniche. Sia Isaac Newton sia Leonard Euler estesero le
idee di Cartesio sullo studio e classificazione delle sezioni coniche. Nel 1656, il matematico inglese
John Wallis propose la prima analisi delle coniche come curve di second’ordine.
Le sezioni coniche hanno molte applicazioni. Apollonio sviluppò l’emiciclo, una specie di meridiana,
usando una superficie basata su una sezione conica su cui erano inscritte le linee delle ore.
Durante il decimo secolo i matematici indiani studiarono le proprietà ottiche degli specchi di forma
di sezioni coniche, in particolare la proprietà di uno specchio concavo ellittico di riflettere la luce o il
suono proveniente da una sorgente posta in un fuoco nell’altro fuoco, e la proprietà di uno specchio
parabolico di riflettere la luce o il suono proveniente da una sorgente posta nel fuoco in raggi
paralleli. Questo principio è applicato oggi ai fanali delle automobili o alle antenne.
Omar Khayyam (1048-1131) trovò un metodo geometrico per risolvere equazioni cubiche usando le
coniche. Mentre bisogna aspettare il 1545 perché Girolamo Cardano pubblicasse una formula
algebrica generale per risolvere le equazioni cubiche.
Le coniche sono coinvolte anche in astronomia. La prima legge di Keplero sul moto dei pianeti,
dedotta empiricamente nel 1609 dai dati osservativi raccolti negli anni precedenti, afferma che la
traiettoria di ogni pianeta è un’ellisse con il sole in uno dei fuochi. Circa 80 anni dopo, Newton
dimostrò nei suoi “Principia” che l’ellisse è la traiettoria di ogni corpo in un sistema binario legato
soggetto a una forza centrale proporzionale all’inverso del quadrato della distanza.
Teoria
In questa sezione, dopo una breve introduzione per richiamare definizioni ed equazioni che
descrivono le coniche, vengono presentate in dettaglio le dimostrazioni delle proprietà principali
della parabola (lato retto, fuoco, intersezione tangente/asse, equidistanza da fuoco e direttrice), per
via sintetica e analitica, e in entrambi i sensi, cioè dalla definizione come sezione conica si dimostra la
proprietà di equidistanza da fuoco e direttrice, e dalla definizione come luogo dei punti equidistanti
da fuoco e direttrice si dimostra che la curva è una sezione conica, in modo da dimostrare anche
l’equivalenza delle due definizioni.
Introduzione
La parabola è una curva piana introdotta storicamente come sezione di un cono opportuno, e
successivamente classificata da Apollonio insieme alle altre coniche, intese come sezioni di un cono
retto, al variare dell’inclinazione del piano che lo seziona. In particolare la parabola è generata da un
piano parallelo a una generatrice del cono.
Questa definizione è equivalente a quella moderna secondo cui la parabola è il luogo geometrico dei
punti equidistanti da un punto detto fuoco e una retta detta direttrice.
Ancora più generale, è la definizione di conica come luogo geometrico dei punti con un rapporto
costante (eccentricità e) tra distanza dal fuoco e dalla direttrice. In questo modo si classificano le
coniche come aventi e<1 (ellisse), e=1 (parabola), e>1 (iperbole)
L’introduzione della geometria analitica ha permesso di classificare le coniche attraverso la loro
equazione. Si dimostra infatti che ogni curva con un’equazione di second’ordine è una conica o
degenera in una coppia di rette. L’equazione in coordinate cartesiane nella forma più generale è:
Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F = 0
Si possono distinguere i diversi casi sfruttando gli invarianti dell’equazione:
− il grande discriminante ∆=A B D
B C E
D E F
− il piccolo discriminante δ=A B
B C
La curva degenera in una coppia di rette se e solo se ∆=0, altrimenti è un’ellisse per δ>0, una parabola
per δ=0, un’iperbole per δ<0.
Dimostrazioni sintetiche: 1. da sezione a lato retto
Consideriamo il cono di vertice A, luogo delle rette che, passanti per A, intersecano il cerchio BCDE,
posto in un piano differente da A. Un piano passante per il vertice e per il centro del cerchio
determini come sezione con il cono il triangolo ABC, ove BC è un diametro del cerchio BCDE. Un
piano parallelo alla generatrice AC, intersechi il cono in modo che D, E, H siano su una corda
perpendicolare al diametro BC. Questo piano interseca il cono nella parabola EZD.
Consideriamo ora un piano parallelo al cerchio BCDE che intersechi AB in M, AC in N e la parabola
in due punti K, K’ (di cui in Figura 1 è mostrato solo K). Sia, infine L un punto su MN tale che KL sia
parallelo a DH. Cerchiamo una relazione tra i segmenti ZL e KL, che in termini moderni, fissato un
riferimento cartesiano nel piano della parabola, con origine nel vertice Z e asse y coincidente con
l’asse della parabola, sono rispettivamente l’ordinata e l’ascissa del punto K.
Figura 1. Parabola costruita come sezione del cono di vertice A.
Dalla similitudine dei triangoli ABC, AMN e ZLM segue ML/ZL=BC/AC e MN/MA=BC/AB. Per il
parallelismo tra ZL e AN, per Talete LN/ZA=ML/MZ, da cui, per le precedenti,
ML=ZL BC/AC LN=ZA BC/AB
Essendo M, K e N su un cerchio di cui MN è un diametro, MKN è un triangolo rettangolo, quindi per
Euclide II,
KL2 = ML*LN
cioè, sostituendo le precedenti:
KL2 = ZL*ZA* BC2 /(AC*AB)
La quantità ZA* BC2 /(AC*AB) è indipendente dalla scelta del punto K ed è caratteristica invece della
parabola, dipendendo dal cono e dal piano scelto per sezionarlo. Si conviene quindi considerarla la
lunghezza di un segmento ZT, detto lato retto, che si associa alla parabola.
Il significato geometrico è mostrato in Figura 2: il rettangolo che ha per lati il lato retto e l’ordinata di
un punto della parabola è equiesteso al quadrato che ha per lato l’ascissa del punto.
Figura 2. Interpretazione geometrica della proprietà del lato retto.
Dimostrazioni sintetiche: 2. da lato retto a proprietà della tangente
Preso un punto P sulla parabola di vertice V, sia P’ la sua proiezione sull’asse. Vogliamo dimostrare
che la tangente alla parabola in P interseca l’asse in un punto O tale che VO=VP’.
Si traccia la retta che passa per i punti P e O e si dimostra che è la tangente per assurdo. Supponiamo
che la retta incontri la parabola in un secondo punto Q, e chiamiamo ℓ la lunghezza del lato retto VT,
x e y l’ascissa e l’ordinata intrinseche di P, cioè le lunghezze dei segmenti PP’ e PP’’, e ∆x e ∆y i
segmenti PH e QH, rispettivamente.
Per l’appartenenza di P e di Q alla parabola,
ℓ*y = x2 (1)
ℓ*(y+∆y) = (x+∆x)2 (2)
Figura 3. Proprietà della tangente.
Per Talete, essendo P’V=VO è anche PK=KO, quindi i due triangoli rettangoli VOK e KPP’’ sono
congruenti (gli angoli VKO e PKP’’ sono opposti al vertice), quindi VK=KP’’.
Allora per la similitudine tra PKP’’ e PHQ
∆y/∆x = 2y/x = 2x2/ℓx=2x/ℓ (3)
Sostituendo la (3) nella (2) e svolgendo i calcoli si trova
x2 + 2x∆x = x2 + 2x∆x + ∆x2 (4)
Si vede che l'uguaglianza è valida solo per ∆x=0, cioè per P e Q coincidenti.
Dimostrazioni sintetiche: 3. Proprietà del fuoco (brano di Cavalieri)
Segue una traduzione e sintesi del brano da “Lo specchio ustorio” di
Cavalieri in cui viene dimostrato che tutti i raggi paralleli all’asse
vengono riflessi in un unico punto, che dista dal vertice ¼ della
lunghezza del lato retto.
Lo specchio ustorio (proprietà del fuoco)
E’ difficilissimo sapere quali e quante siano tutte le proprietà delle sezioni
coniche, così come quelle di altri tipi di curve e figure, ma credo che si possano
conoscere almeno le principali con l’aiuto della geometria. Perciò nei seguenti
capitoli ne esamineremo qualcuna tra le più belle, che risultano anche utili, delle
quali alcune sono state già dimostrate, altre ancora non conosciute.
Cominceremo dalla Parabola.
Data la Parabola AQY di asse AV, si consideri QY, perpendicolare all’asse AV. Si
prendano su QY due punti arbitrari G e X e si traccino da essi le parallele all’asse
che intersecano la Parabola nei punti M e Z. Si considerino GM e XZ come raggi incidenti e M e Z i punti di incidenza.
Si verifica la seguente ammirabile proprietà: i raggi riflessi si incontrano in un unico punto I.
Per dimostrarlo, dimostriamo prima le seguente proprietà:
Il punto I è tale che la sua distanza dal vertice IA è la quarta parte del lato retto AT.
Questa proprietà è già stata dimostrata da altri (Vitellone nella sua ‘Prospettiva’; da Marin Ghetaldo nel libro dello
specchio Ustorio), tuttavia ne riporto la dimostrazione.
Teorema:
− IP: Si traccino le tangenti alla Parabola nei punti M e Z che intersecano il prolungamento dell’asse
rispettivamente nei punti N e O.
− IP: Siano C e P le proiezioni di M e Z sull’asse AV
− IP: Sia I l’intersezione tra il raggio riflesso da Z e l’asse AV
− TESI: IA = ¼ AT
Dimostrazione:
L’angolo XZS, è congruente all’angolo OZI per la legge della riflessione;
Ma l’angolo XZS è congruente a IOZ perché corrispondenti.
Allora, per la proprietà transitiva della congruenza, OZI ≅ IOZ
Quindi il triangolo OIZ è isoscele di base OZ
Quindi IO ≅ IZ
Inoltre, PA ≅ AO per il teorema 35 del capitolo I dei Conici di Apollonio.
Sia PAI il segmento PA + AI. Essendo PA = AO, OI = PAI
Essendo AP=AI+IP, il quadrato composto dai 4 rettangoli di lati AP e AI e dal quadrato di lato IP è congruente al
quadrato di lato OI:
4(PA•AI)+PI2=PAI2=OI2 (1)
OI = IZ perché abbiamo dimostrato che OIZ è isoscele. Quindi per Pitagora:
IP2 + PZ2 = IZ2 = OI2 (2)
Dalle (1) e (2) segue che
PZ2 = 4(PA⋅AI). (3)
D’altra parte, per definizione di lato retto,
PZ2 = AT⋅PA. (4)
Dalle (3) e (4) segue la tesi:
4(PA⋅AI) = AT⋅PA da cui
AT = 4 AI
QED
Si può dimostrare che per ogni punto sulla parabola, ad esempio M, la riflessa interseca l’asse in un punto I’ tale che
AI’ è ¼ di AT, quindi tutte le riflesse intersecano l’asse nello stesso punto I, che chiamiamo fuoco della Parabola.
Dimostrazioni sintetiche: 4. Equidistanza da fuoco e direttrice
A
I
I
P
Se si prende una retta che dista dal vertice quanto la distanza vertice-fuoco VF (Figura 4), si dimostra
con i risultati precedenti che ogni punto della parabola è equidistante da retta e fuoco.
Figura 4. Dimostrazione dell’equidistanza di ogni punto P della parabola da fuoco F e direttrice.
per la proprietà del lato retto PP’2 = VT*PP’’
per il teorema dimostrato da Cavalieri PP’2 = 4FV*PP’’ = 4FV*(FV+FP’) = 4FV2 + 4FV*FP’ (*)
per il teorema di Pitagora PF2 = FP’2 + PP’2
PH2 = (2FV+FP’)2 = FP’2 + 4FV2 + 4FV*FP’
per la (*) PF2 = PH2
QED.
Dimostrazioni sintetiche: 5. da luogo geometrico a proprietà del fuoco
In riferimento alla
Figura 5. Dimostrazione della proprietà
della riflessione a partire dalla
definizione come luogo geometrico
Figura 6. Dimostrazione della proprietà
della tangente a partire dalla definizione
come luogo geometrico
, se si dimostra che la tangente è la bisettrice di FPH, prolungando HP e considerando gli angoli
opposti al vertice KPH e α segue immediatamente che i raggi paralleli all’asse si riflettono nel fuoco.
Supponiamo che la bisettrice di FPH non sia tangente ma intersechi la parabola in Q. Allora per
l’appartenenza di Q alla parabola QF=QH’, mentre per l’appartenenza di Q alla bisettrice di FPH, che
è anche l’asse di FH perché il triangolo FPH è isoscele, QF=QH, cioè dovrebbe essere QH=QH’,
impossibile perché cateto e ipotenusa dello stesso triangolo rettangolo QHH’.
Dimostrazioni sintetiche: 6. da luogo geometrico a proprietà della tangente
Per la (5), la tangente è bisettrice di FPH. Inoltre per definizione FP=PH, quindi FPH è un triangolo
isoscele e PH è altezza e mediana.
Considerati i triangoli HPK e OKF, sono rettangoli, hanno FK=KH e FOK=KPH perché alterni interni,
quindi sono congruenti e in particolare PH=FO.
D’altronde FO=FV+VO e PH=PP’’+P’’H=VP’+VH’, inoltre VH’=FV perché il vertice è equidistante da
fuoco e direttrice, quindi VO=VP’, QED.
Figura 5. Dimostrazione della proprietà
della riflessione a partire dalla
definizione come luogo geometrico
Figura 6. Dimostrazione della proprietà
della tangente a partire dalla definizione
come luogo geometrico
Dimostrazioni sintetiche: 7. da luogo geometrico a lato retto
Dimostriamo che per ogni punto P sulla parabola definita come luogo dei punti equidistanti da fuoco
F e direttrice, vale PP’2 = PP’’*4FV; essendo la quantità 4FV indipendente dal punto scelto, possiamo
considerarla come lunghezza di un segmento associato alla parabola, il lato retto.
per il teorema di Pitagora PF2 = FP’2 + PP’2
per costruzione e per definizione PH2 = (PP’’+HP’’)2 = (PP’’+FV)2
per costruzione FP’2 = (PP’’-FV)2
per definizione della parabola PF2 = FP’2 + PP’2 = (PP’’-FV)2 + PP’2 = PH2 = (PP’’+FV)2
da cui PP’2 = PP’’*4FV
QED.
In questo modo abbiamo dimostrato l’equivalenza delle due definizioni, come luogo geometrico dei
punti equidistanti da fuoco e direttrice, e come luogo dei punti per cui il quadrato sull’ascissa è
equivalente al rettangolo costruito su ordinata e lato retto. Per dimostrare l’equivalenza tra la
definizione come luogo e come sezione conica, bisogna trovare una costruzione a partire da una delle
due definizioni precedenti, del cono di cui la parabola è sezione. Data una parabola γ su un piano Π,
si può sempre costruire un cono χ’ che abbia una generatrice parallela a Π. La sezione di questo cono
in generale non è la parabola γ, ma una parabola γ’ che si può trasformare in γ con un’omotetia,
sfruttando il fatto che tutte le parabole sono simili. Siccome le omotetie conservano il parallelismo, la
stessa omotetia trasformerà il cono χ’ nel cono χ che ha per sezione γ.
Dimostrazioni per via analitica
Alcune dimostrazioni analitiche sono rapide e dirette, altre, anche se lunghe, hanno comunque il
vantaggio di non dover cercare una dimostrazione ad hoc, ma di applicare delle tecniche note,
perché una volta trovata l’equazione della curva sfruttando una proprietà caratterizzante, si ricavano
le altre proprietà.
1. Da proprietà del lato retto (di lunghezza ℓ) a equazione:
y*ℓ=x2 da cui y=x2/ℓ
2. Da equazione a proprietà della tangente
Con riferimento alla Figura 3, si dimostra che la retta PO non può incontrare la parabola in un
punto Q distinto da P:
PO: (y-yP)/ (x-xP)= (yO-yP)/ (xO-xP) da cui, essendo O(0,-yP), y=2yP/xP * x - yP
Dovendo le coordinate di Q e di P soddisfare sia l’equazione di PO sia della parabola, y=ax2,
yQ = 2yP/xP * xQ - yP = axQ2
2axP2/xP * xQ - axP2 = axQ2
2xPxQ – xP2 = xQ2
(xP – xQ)2 = 0
verificata solo per P e Q coincidenti.
Da notare che questa dimostrazione risulta semplice solo “traducendo” analiticamente la
versione sintetica. Una dimostrazione algoritmica, che costruisse l’equazione della tangente dal
sistema tra equazione della parabola ed equazione di una retta passante per P, e cercasse di
verificare che la retta trovata (imponendo che il sistema abbia due soluzioni coincidenti) interseca
l’asse y in un punto O(0; -yP), è più complicata e ci si può perdere in lunghi calcoli se non si fanno
delle considerazioni iniziali e se non si sostituisce al momento giusto y=ax2, accorgimenti che
possono non risultare evidenti agli studenti.
Si può infatti considerare che la tangente in P a una parabola con asse coincidente con l’asse y
non può essere parallela all’asse y, quindi si può scrivere l’equazione della tangente come quella
di una retta passante per P e un punto O(0, q):
p: y=ax2
t: y = (q-yP)/xp * x + q
Mettendo a sistema e annullando il discriminante dell’equazione risolvente:
∆ = q2 + yP2 -2qyP + 4aqyP2 = 0
sostituendo yP = axP2,
∆ = q2 + yP2 +2qyP = (q+yP)2 = 0
da cui la tesi, cioè q=-yP.
3. Unicità del fuoco (come punto di intersezione con l’asse di raggi paralleli riflessi) e FV=L/4
Data la parabola di equazione y=ax2 definiamo fuoco il punto F(0,1/4a) e dimostriamo che la tangente
è bisettrice dell’angolo tra PF e la parallela all’asse y per P
Figura 5. Dimostrazione della proprietà della
riflessione a partire dalla definizione come luogo
geometrico
Figura 6. Dimostrazione della proprietà
della tangente a partire dalla definizione
come luogo geometrico
).
PF: ( )1
40
P
P P
P
yay y x x
x
−− = −
−
(4ayP - 1)x – 4axPy + xP = 0
La retta parallela all’asse y passante per P è:
x=xP x-xP=0.
La bisettrice dell’angolo FPH deve essere equidistante da queste due rette, quindi:
( )( ) P
PP
PPPxx
xaxa
xyaxxxa−=
+−
+−−
22222
22
1614
414
avendo sostituito yP=axP2. Il denominatore si può scrivere come:
( ) ( )2 22 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 24 1 16 16 1 8 4 1 4 1P P P P P Pa x a x a x a x a x a x− + = + + = + = +
quindi:
( )P
P
PPPxx
xa
xyaxxxa−=
+
+−−
14
41422
22
(scegliendo il caso col segno meno:)
( )P
P
PPP xxxa
xyaxxxa−=
++−−
−14
41422
22
( ) ( ) ( ) PPPPPP xxaxxaxyaxxxa 1414441 222222 +−+=−+−
0448 3222 =−− PPP xayaxxxa
2 22 P
P P P
P
yy ax x ax x y
x= − = −
che è l’equazione della tangente in P(xP,yP) per la (2).
4. Dalle precedenti a equidistanza da fuoco e direttrice (Figura 4):
PH2 = (y + L/4)2 = (x2/L + L/4)2 = y2 + L2/16 + x2/2
PF2 = x2 + (y – L/4)2 = y2 + L2/16 - x2/2 + x2
da cui PH2 = PF2
5. Da equidistanza a equazione (Figura 4):
Data la direttrice di equazione y=-d,
(y+d)2 = x2 + (y-d)2
y=x2/(4d)
da cui si ritrova subito, all’inverso, anche L=4d. Quindi l’equivalenza tra le due definizioni in
geometria analitica segue immediatamente dal fatto che entrambe portano allo stesso tipo di
equazione, che descrivono quindi la stessa curva.
La generalizzazione per il caso di vertice non nell’origine è banale applicando una traslazione
degli assi oppure imponendo la condizione di equidistanza a questo caso.
6. Da cono a parabola (Figura 7)
Un cono di equazione x2 + y2 – az2 = 0 viene tagliato dal piano Π di equazione z = my+b. Con
questa scelta degli assi, a=tgθ, con θ semiapertura del cono, e m=tgφ, con φ angolo tra Π e il piano
xy. Sostituendo l’equazione del piano in quella del cono si trova l’equazione della sezione conica:
x2/a2 + y2 (1/a2-m2) -2mby – b2 = 0
che dipendendo da due variabili rappresenta una curva piana. Nel caso della parabola Π è
parallelo a una delle generatrici, quindi θ+φ=π/2 da cui tgθ=cotgφ, da cui m=1/a e l’equazione si
riduce a quella di una parabola:
y = 1/(2ab)x2 – ab/2
Figura 7. Grafico cartesiano di un cono di equazione az2=x2+y2 sezionato da un piano Π di
equazione z=y/a+b.
x
y
θθθθ
φφφφ
z
ΠΠΠΠ
Descrizione dell’attività
Fase 1: Definizione come sezione conica e proprietà lato retto
Ostacoli:
• Lavorare senza un sistema di riferimento (o meglio con un sistema di riferimento implicito);
• Didattici: Non far visualizzare la parabola come una curva piana.
Scaletta
• Brevissima introduzione storica
• Richiami delle definizioni di cono, direttrice, generatrici
• Definizione di parabola come sezione conica
• Dimostrazione della proprietà del lato retto
Lezione
Facciamo un salto nella matematica greca, quando ancora non c’era il piano cartesiano.
La definizione di cono come viene data ancor oggi si deve ad Apollonio, che lavorava senza piano
cartesiano. Apollonio, dato un cerchio C ed un punto A non appartenente al piano del cerchio, definì
cono il luogo delle rette che passano per A ed intersecano il cerchio. A è il vertice del cono.
Figura 8. Parabola costruita come sezione del cono di vertice A.
Dato un cono, non necessariamente retto (Figura 8), consideriamo un piano passante per il vertice A
e per il centro del cerchio C. Questo individua un triangolo ABC la cui base BC è un diametro del
cerchio C. I due lati AB ed AC sono le generatrici del cono.
Consideriamo un ulteriore piano, parallelo alla generatrice AC, a cui appartiene la corda ED
perpendicolare al diametro BC. L’intersezione di questo piano ed il cono individua la parabola EZD.
Definiamo parabola la curva ottenuta sezionando un cono con un piano parallelo a un generatrice
del cono.
Vediamo ora in che modo possiamo descriverla per cercare di capire quali sono le sue proprietà.
Consideriamo un piano parallelo al piano a cui appartiene il cerchio C che interseca AB in M, AC in
N e la parabola nei punti K e K’ e consideriamo il punto L che si trova sulla retta MN ed è tale che il
segmento KL è parallelo a DE. Vogliamo studiare la relazione tra ZL e KL perché al variare di questo
piano il punto K descrive la parabola. (Apollonio in realtà enuncia questa relazione e la dimostra in
seguito, noi invece la ricaviamo subito)
Consideriamo il triangolo ABC. MN è parallelo ad BC e quindi il triangolo ABC è simile al triangolo
AMN. ZL è parallelo ad AN (perché ZL appartiene al piano parallelo ad AC) quindi il triangolo
AMN è simile al triangolo ZML e, per la proprietà transitiva della similitudine, il triangolo ABC è
simile al triangolo ZML e quindi (per definizione di similitudine):
ML:ZL=BC:AC
ML=ZLAC
BC⋅ .
MN:ML=AM:ZM
(per la proprietà dello scomporre, essendo MN>ML ed AM>ZM, oppure con il teorema di Talete,
come nel paragrafo di teoria)
(MN-ML):MN=(AM-ZM):AM
LN:MN=AZ:AM
LN=AZAM
MN⋅ ,
ma:
MN:AM=BC:AB
AB
BC
AM
MN =
Quindi:
LN=AZAB
BC⋅ .
Ma i punti M, N e K appartengono allo stesso cerchio di diametro MN e quindi il triangolo MNK
(inscritto alla semicirconferenza MNK) è retto e l’altezza relativa ad MN è KL, cioè KL ed MN sono
perpendicolari (perché MN è parallelo a CB, KL è parallelo a DE e DE è perpendicolare a BC per
costruzione) (quindi per il II teorema di Euclide)
ABAC
BCAZZL
AB
BCAZ
AC
BCZLLNMLKL
⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅=
22 .
A questo punto abbiamo trovato la relazione tra KL e ZL che cercavamo che dipende dalla quantità:
AZABAC
BC
⋅⋅
2
, indipendente dal punto K, ma caratteristica della parabola perché dipende dal cono e
dal piano scelto per sezionarlo, quindi possiamo vederlo come la lunghezza di un segmento ZT che
chiameremo lato retto, che ci permette di scrivere la relazione precedente come:
ZTZLKL ⋅=2 (1)
che geometricamente esprime una relazione di equiestensione tra un quadrato di lato KL ed un
rettangolo di lati il lato retto ZT e ZL.
Al variare del piano parallelo al piano del cerchio C, otteniamo che questa relazione descrive la
parabola ZED.
Il punto Z è detto vertice della parabola e la retta ZH asse della parabola.
Fase 2: Equazione y=ax2 da definizione precedente; proprietà della tangente per via sintetica e per via
analitica
Ostacoli:
• Difficoltà nel lavorare senza sistema cartesiano e nello scegliere quello opportuno, con
apparente di mancanza di dati se il riferimento scelto è generico.
• Epistemologici: dimostrazioni non costruttive.
• Didattici: misconcetti sulla tangente.
Scaletta
• Introduzione all’attività
• Lavoro di gruppo: determinare l’equazione della parabola
• Discussione collettiva dei risultati e istituzionalizzazione
• Lavoro di gruppo: dimostrazione della proprietà della tangente per via sintetica e analitica
• Confronto delle due dimostrazioni (economicità, semplicità, generalità…) e
istituzionalizzazione
Lezione
Abbiamo visto che la relazione:
ZTZLKL ⋅=2 (1)
descrive la parabola e l’abbiamo ottenuta utilizzando la geometria sintetica, come aveva fatto
Apollonio e non la geometria analitica. Ma noi oggi abbiamo il piano cartesiano quindi possiamo
determinare l’espressione analitica che descrive la parabola e lo possiamo fare sulla base di quanto
già detto.
Consegna 1: Data una parabola qualunque di lato retto ℓ, che s’ottiene intersecando un cono retto
con un piano parallelo ad una delle generatrici, determina la sua espressione analitica fissando un
opportuno sistema di riferimento cartesiano.
Rilanci:
1. Se non riescono a determinare il riferimento cartesiano opportuno, fargli notare che nello
studio teorico variava il punto K sulla parabola e di conseguenza L su MN (Figura 8), ma
c’era un punto fisso a cui abbiamo riferito tutto;
2. Se hanno ulteriori difficoltà a determinare il sistema di riferimento cartesiano opportuno,
suggerirgli di considerare l’origine in Z e come asse y l’asse della parabola MN.
Istituzionalizzazione: Determinazione dell’espressione analitica:
y=ax2
con a=1/ℓ e disegnarla.
Tornando al lavoro di Apollonio. Lui dimostra che la tangente in un punto P della parabola interseca
l’asse della parabola in un punto O tale che VO è congruente a VP’, ordinata di P (Figura 9).
Figura 9. Proprietà della tangente.
Consegna 2:
a. Un gruppo dimostrerà questa proprietà della tangente per via sintetica;
b. L’altro gruppo la dimostrerà per via analitica.
Rilanci:
a. Suggerire di procedere per assurdo. Nel caso ce ne sia bisogno suggerire di individuare
congruenze e similitudini tra i triangoli che si formano;
b. Se cominciano a determinare l’equazione della tangente col “metodo del sistema” e affogano
nei calcoli, si possono suggerire delle considerazioni che semplificano i calcoli (vedi teoria);
oppure si può suggerire di procedere per assurdo (vedi teoria)
Istituzionalizzazione: Confronto tra le due dimostrazioni. Notare che questa proprietà può essere
usata per trovare la tangente alla parabola in un punto semplicemente determinando la retta che
passa per il punto di tangenza e per il punto che interseca l’asse della parabola ad una distanza dal
vertice pari all’ordinata. Inoltre la tangente alla parabola in un punto P(xp, yp) interseca l’asse x del
sistema cartesiano precedentemente considerato nel punto (xp/2, 0).
Fase 3: Lettura brano da “Lo Specchio Ustorio” proprietà del fuoco
Ostacoli:
• Difficoltà nell’interpretare il brano e nel ricostruire la dimostrazione
Scaletta
• Lavoro di gruppo: lettura del brano
• Istituzionalizzazione: analisi del brano
• Lavoro di gruppo: stessa dimostrazione per via analitica
• Confronto delle due dimostrazioni (economicità, semplicità, generalità…) e
istituzionalizzazione
Lezione
Consegna 1: Leggere il brano tratto da “Lo Specchio Ustorio” e ricostruire la dimostrazione. Viene
consegnata la traduzione come supporto
Istituzionalizzazione: analisi del brano: far notare differenze rispetto alla matematica attuale (es
uguale invece di congruente, concetto di applicate, linguaggio prolisso invece che simbolismo
sintetico)
Consegna 2: Dimostrare la proprietà del fuoco analiticamente.
Rilanci:
1. Suggerire di determinare le coordinate del fuoco F e di dimostrare che la tangente alla
parabola nel punto P è bisettrice dell’angolo FPH che ha per lati FP e la parallela all’asse y
passante per P (interessandoci la riflessione dei raggi paralleli alla parabola);
2. Nel caso di ulteriori problemi suggerire di determinare la bisettrice e verificare che è la
tangente.
Istituzionalizzazione: Proprietà del fuoco; confronto delle due dimostrazioni: semplicità, analogie,
generalità…
Fase 4: Definizione come luogo geometrico; equivalenza delle due definizioni per via sintetica
Scaletta
• Utilizzo delle proprietà geometriche per dimostrare l’equidistanza da fuoco e direttrice
• Definizione come luogo geometrico
• Dimostrazione per via sintetica dell’equivalenza delle due definizioni
• Dimostrazione per via sintetica delle proprietà dalla definizione come luogo (vantaggio della
definizione come luogo)
• Dimostrazione per via analitica delle proprietà dalla definizione come luogo (traduzione di
un problema geometrico in algebrico)
Lezione
Abbiamo definito la parabola come una certa sezione di un cono, il fuoco come il punto sull’asse
della parabola in cui si riflettono tutti i raggi paralleli all’asse ed abbiamo anche dimostrato una
proprietà della tangente.
Ora consideriamo una retta la cui distanza dal vertice è pari alla distanza fuoco-vertice VF.
Dimostriamo per via sintetica che ogni punto della parabola è equidistante dal fuoco F e da questa
retta.
Sia P un punto qualsiasi della parabola, allora:
VP’’2=VP’*VT.
Ma nella dimostrazione di Cavalieri vista nella lezione precedente:
PP’2=4VP’*VF=4VF(P’F+VF)=4VF2+4VF*P’F.
Ma per il Teorema di Pitagora:
FP2=FP’2+PP’2=FP’2+4VF2+4VF*P’F.
Inoltre (essendo VH ≅ VF per costruzione):
PH2=(P’F+VF+VH)2=(FP’+2VF)2=FP’2+4FV2+4VF*FP’=FP2
e quindi: PH ≅ FP, cioè ogni punto della parabola è equidistante dal fuoco F e da questa retta d detta
direttrice. Siamo arrivati così alla definizione “moderna” di parabola, non più come sezione ma come
luogo geometrico:
Definizione: La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto detto
fuoco e da una retta detta direttrice.
Ovviamente le due definizioni di parabola che abbiamo dato, la prima come sezione e questa come
luogo, devono essere equivalenti. Per ora abbiamo ottenuto la definizione come luogo a partire dalla
definizione come sezione, ora vediamo il viceversa.
Consideriamo quindi un punto P della parabola definita come luogo dei punti equidistanti dal fuoco
F e dalla direttrice d, quindi:
PH2=PF2=P’F2+PP’2
(PP’’+P’’H)2=(VP’-VF)2+PP’2
(PP”+VF)2=(PP”-VF)2+PP’2
PP”2+VF2+2VF*PP”=PP”2+VF2-2PP”*VF+PP’2
PP’2=PP”*4VF
Con 4VF indipendente dal punto P scelto quindi può essere vista come lunghezza di un segmento
associato alla parabola, il lato retto. Abbiamo così ritrovato la definizione di parabola come sezione e
quindi abbiamo dimostrato l’equivalenza delle due definizioni.
A questo punto siamo sicuri che, fissando un opportuno sistema di riferimento cartesiano e
ricavando l’equazione della parabola secondo quest’ultima definizione, ritroviamo l’equazione già
ricavata con la prima definizione. Avevamo già fissato un sistema di riferimento cartesiano che aveva
l’asse y coincidente con l’asse della parabola e l’origine nel vertice, in questo caso la direttrice risulta
parallela all’asse x ed allora questo riferimento cartesiano risulta comodo anche in questo caso perché
il vertice ha coordinate V(0, 0) l’asse di simmetria ha equazione x=0 e se indichiamo con p=d(F, d)
(p ≠ 0) il fuoco ha coordinate F(0, p/2) e la direttrice ha equazione y=-p/2 e quindi se P(x, y) è un
punto qualsiasi della parabola, l’equazione della parabola applicando la definizione come luogo è:
d(P, F)=d(P, d)
−−=
−+22
22 p
yp
yx
222
22
+=
−+ py
pyx
x2+y2+4
2p-py=y2+
4
2p+py
x2-2py=0
y=p2
1x2
y=ax2 con a=p2
1
e quindi ritroviamo l’equazione della parabola e le coordinate del fuoco F(0, p/2)=(0, 1/4a),
l’equazione della direttrice è quindi: y=-1/4a ed inoltre a=1/ℓ=1/2p, cioè: ℓ=2p e quindi il lato retto è il
doppio della distanza del fuoco dalla direttrice.
Consegna: come esercizio per casa dimostrare per via sintetica e per via analitica la proprietà del
fuoco e della tangente a partire dalla definizione come luogo geometrico
Istituzionalizzazione: vantaggi della definizione come luogo nella dimostrazione delle proprietà
Fase 5: Equazione generica y=ax2+bx+c; caso di asse parallelo ad asse x; curva y=sqrt(ax+b)
Scaletta
• Equazione della parabola riferita agli assi e significato del coefficiente di secondo grado (1-2)
• Equazione generale della parabola con asse parallelo all’asse y (3)
• Equazione della tangente dal sistema e discriminante nullo (4)
• Equazione della parabola con asse parallelo all’asse x e grafico della curva di equazione
βα += xy (5)
Lezione
1. Sia F(0,d) e y = -d l’equazione della direttrice, sia P(x,y) un generico punto del piano. Esso, per
appartenere alla parabola definita come luogo dei punti, deve soddisfare alla condizione :
PF = PD.
Ovvero
x2+(y-d)2=(y+d) 2
y=1/4d x2
con d = 1/4a
2. Per capire il significato di a in relazione al grafico, si disegnino per punti le seguenti parabole:
a = + 1; a = + 3; a= -1 e si verifichi che in tutti i casi il vertice è l’origine V(0,0). Segue discussione e
istituzionalizzazione.
3. Si consideri ora una parabola con asse parallelo all’asse delle ordinate, ma vertice V di coordinate
generiche V (xo,yo) . Si operi una traslazione
+=+=
Yyy
Xxx
0
0che porti O in V in modo da ricondursi all’equazione nota (Y = aX2 )per la parabola con
V nell’origine dei nuovi assi X e Y; L’equazione della parabola nel sistema XVY
Y = aX2 diventa quindi in xOy:
y- yo = a(x- xo )2
ovvero y=ax2+bx+c con
b = -2a xo⇒ xo = - b/2a
c = a xo 2+yo ⇒ yo = -∆/(4a)
Per trovare le equazioni del fuoco nel sistema xOy basta utilizzare l’equazione della traslazione e
delle coordina di V : ricordando che in XVY il fuoco ha ordinata Y = 1/4a e che la sua ascissa è X = 0 si
ricavano le coordinate del Fuoco di una parabola con V traslato rispetto all’origine.
4. Ricerchiamo ora l’equazione generale della tangente della parabola in un punto: dato il punto
P(x0,y0) appartenete alla parabola, bisogna considerare il fascio passante per tale punto y-y0=m(x - x0).
Esso contiene le infinite rette passanti per P al variare del coefficiente angolare. Se tra queste infinite
rette vogliamo selezionare quella tangente alla parabola, basterà applicare la condizione di tangenza
ovvero imporre che i due punti di intersezione delle due curve siano coincidenti. Algebricamente
significa seguire i seguenti passaggi:
Intersecare le due curve :
−=−++=
)( 00
2
xxmyy
cbxaxy ottenendo una unica equazione di secondo grado nella
variabile x ed incognita m (che ammette quindi al massimo due soluzioni). Imporre la condizione di
tangenza ovvero che le due soluzioni siano coincidenti: basta imporre Δ = 0. Da questa condizione
verrà selezionato il valore del coefficiente angolare m della retta tangente alla parabola. Da notare
che questo metodo vale solo per le curve rappresentate da un’equazione di secondo grado.
5. Applicando la definizione di parabola come luogo geometrico nel caso in cui l’asse sia parallelo
all’asse delle ascisse e vertice in V si giunge alla seguente equazione:
x=ay2+by+c. Alla stessa equazione si arriva scambiando x con y; cioè applicando una simmetria
rispetto alla bisettrice del I e III quadrante.
Ricavando y da tale equazione si trova la forma della stessa parabola esplicitata rispetto alla variabile
y. Si consideri per semplicità il caso particolare con b =0,
ottengo βα += xy che rappresenta il ramo positivo della parabola. Abbiamo quindi scoperto che
la rappresentazione analitica di una curva di equazione βα += xy è una parabola con asse
parallelo all’asse delle ascisse.
Fase 6: Applicazioni: specchio parabolico e disequazioni di II grado
Scaletta
• Applicazioni fisiche: specchi parabolici
• Applicazioni matematiche: soluzioni disequazioni di II grado
Lezione
• Applicazioni fisiche: specchi parabolici
Immaginiamo di porre un oggetto sopra uno specchio parabolico e di coprirlo con un secondo
specchio parabolico identico ma attrezzato di un foro come in
Figura 10. L’immagine dell’oggetto sembrerà fluttuare sopra il foro (
Figura 11).
Per spiegare questo fenomeno, ricordiamo che lo specchio parabolico ha la proprietà che i raggi
uscenti dal fuoco sono riflessi nella stessa direzione dell’asse, o al contrario che tutti i raggi incidenti
sullo specchio nella stessa direzione dell’asse, convergono nel fuoco come mostrato in Figura 12.
26
Figura 10. Un maialino viene posto nel vertice
dello specchio parabolico e ricoperto da un
secondo specchio parabolico forato nel suo
vertice.
Figura 11. Apparizione dell’immagine nel
punto centrale dello specchio superiore
Figura 12. Proprietà degli specchi parabolici
Cerchiamo ora di spiegare l’effetto di Figura 11: per costruzione, il fuoco di ciascuno specchio sta nel
vertice dell’altro (Figura 13). Un oggetto posto nel vertice dello specchio A si trova dunque nel fuoco
dello specchio B per cui i raggi uscenti dall’oggetto e incidenti sullo specchio superiore B, vengono
riflessi in direzione parallela all’asse della parabola (proprietà del fuoco); incideranno sullo specchio
inferiore A e verranno a sua volta riflessi nel fuoco di A dove si compone l’immagine reale
dell’oggetto.
Figura 13. Il fuoco dello specchio A sta nel
vertice dello specchio B e viceversa.
Figura 14. L’immagine reale dell’oggetto posto
nel vertice dello specchio A si ricompone nel
fuoco dello specchio A.
• Applicazioni matematiche: soluzioni disequazioni di II grado
Utilizziamo ora le proprietà analitiche della parabola per la risoluzione delle disequazioni di II
grado. Data la disequazione 02 ≥++ cbxax osserviamo che il polinomio di secondo grado p(x)
rappresenta una parabola di equazione y=p(x), con asse parallelo all’asse delle ordinate. Risolvere la
disequazione di II grado, cioè trovare gli intervalli di x per i quali il polinomio è positivo o nullo,
equivale a individuare gli intervalli di x in cui la parabola sta sopra l’asse delle ascisse. Dobbiamo
quindi:
− disegnare la parabola cbxaxy ++= 2
− trovarne le intersezioni con l’asse delle ascisse che individuano degli intervalli
− Individuare graficamente in quali intervalli la parabola sta sopra l’asse delle ascisse.
Abbiamo in questo modo risolto la disequazione senza ricorrere alla regola mnemonica di Cartesio.
31
Sommario
Introduzione.....................................................................................................................................................2
Schema dell’unità didattica ............................................................................................................................2
Prerequisiti....................................................................................................................................................2
Obiettivi.........................................................................................................................................................2
Fasi dell’attività............................................................................................................................................3
Scheda insegnante ...........................................................................................................................................4
Introduzione storica ....................................................................................................................................4
Teoria.............................................................................................................................................................5
Introduzione.............................................................................................................................................5
Dimostrazioni sintetiche: 1. da sezione a lato retto.............................................................................6
Dimostrazioni sintetiche: 2. da lato retto a proprietà della tangente ...............................................7
Dimostrazioni sintetiche: 3. Proprietà del fuoco (brano di Cavalieri)..............................................8
Dimostrazioni sintetiche: 4. Equidistanza da fuoco e direttrice......................................................10
Dimostrazioni sintetiche: 5. da luogo geometrico a proprietà del fuoco.......................................10
Dimostrazioni sintetiche: 6. da luogo geometrico a proprietà della tangente ..............................10
Dimostrazioni sintetiche: 7. da luogo geometrico a lato retto.........................................................11
Dimostrazioni per via analitica............................................................................................................12
Descrizione dell’attività ............................................................................................................................16
Fase 1: Definizione come sezione conica e proprietà lato retto.......................................................16
Fase 2: Equazione y=ax2 da definizione precedente; proprietà della tangente per via sintetica e
per via analitica......................................................................................................................................18
Fase 3: Lettura brano da “Lo Specchio Ustorio” proprietà del fuoco.............................................20
Fase 4: Definizione come luogo geometrico; equivalenza delle due definizioni per via sintetica
..................................................................................................................................................................21
Fase 5: Equazione generica y=ax2+bx+c; caso di asse parallelo ad asse x; curva y=sqrt(ax+b)....23
Fase 6: Applicazioni: specchio parabolico e disequazioni di II grado............................................25
Scheda studente .............................................................................................................................................28
Brano tratto dallo Specchio Ustorio ........................................................................................................28
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