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Université d’Angers. DEUG STU2. P1 – Propagation dans les solides. 1/25. III – Propagation dans les solides. Pour étudier la propagation des ondes dans un milieu solide, il nous faut connaître les propriétés mécaniques des milieux déformables :. - PowerPoint PPT Presentation
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F
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DEUG STU2DEUG STU2P1 – Propagation dans les solidesP1 – Propagation dans les solides
III – Propagation dans les solidesIII – Propagation dans les solides
Pour étudier la propagation des ondes dans un milieu solide, il nous faut connaître les propriétés mécaniques des milieux déformables :
la propagation d’une onde génère une contrainte dynamique qui déforme localement le solide.
1 – Propagation dans un solide illimité isotrope1 – Propagation dans un solide illimité isotrope
zF
xFyF
La force s’exerçant sur une surface peut toujours se décomposer en :
- une composante normale ()
- deux composantes tangentielles (//)
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Considérons un élément de volume solide, de forme parallélépipédique rectangle :
x
y
z
yT
zy
xyyy
zTzz
xzyz
xT
yx
xx
zx
zyx TTT
,, sont les contraintes s’exerçant sur les différentes faces…
force par unité de surface (pression)
… et chacune des contraintes est repérée par 3 composantes.
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On a donc 9 composantes, notées ij, qui peuvent se regrouper sous la forme d’un tenseur :
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
tenseur des contraintes
Remarque :
Pour un élément ij, le premier indice (i) repère la direction suivant laquelle s’exerce la contrainte ; le second indice (j) indique la direction normale à la surface sur laquelle s’exerce la contrainte.
Remarque :
Les élément ii (sur la diagonale du tenseur) sont appelés contraintes normales ; les éléments ij avec ji (hors-diagonale) sont appelés contraintes tangentielles.
Remarque :
Le tenseur est toujours symétrique, donc : ij = ji
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L’application d’une contrainte provoque alors une déformation de l’élément de volume solide. Cette déformation peut également être décrite au moyen d’un tenseur :
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
tenseur des déformations
Remarque :
Le tenseur est aussi toujours symétrique, donc : ij = ji
Comme on a défini Ux la vibration d’une particule fluide dans la direction de propagation, dans un solide il nous faut définir 3 vibrations correspondant aux 3 directions de l’espace : Ux , Uy et Uz
au passage de l’onde, le solide peut se déformer dans les trois directions de l’espace.
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Le tenseur des déformations s’explicite alors en fonction de ces vibrations :
zU
yU
z
U
xU
zU
yU
z
U
y
U
x
U
yU
xU
zU
x
U
yU
xU
zzyzx
zyyyx
zxyxx
21
21
21
21
21
21
Remarque :
Les éléments diagonaux définissent les déformations d’élongation. La somme des 3 éléments diagonaux correspond alors à la dilatation :
zU
y
U
xU zyx
VVd
variation relative de volume
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Remarque :
Les éléments en dehors de la diagonale définissent les déformations qui ne sont pas dans l’axe de l’élongation : ce sont les déformations de cisaillement.
élongation cisaillement
la déformation de l’élément de volume solide est une combinaison d’élongations et de cisaillements dans les 3 dimensions de l’espace.
Les déformations résultent des contraintes appliquées. Il existe une relation entre les deux :
c loi de Hooke
où est le tenseur des constantes élastiques (caractéristiques intrinsèques du matériau).
c
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Remarque :
Le rang d’un tenseur correspond au nombre d’indices nécessaires pour identifier une de ses composantes.
ij tenseur de rang 2
ij tenseur de rang 2ij = cijkl kl tenseur de rang 4c
Le nombre d’éléments composant un tenseur de rang n est donné par : 3n
Par conséquent, on vérifie bien que ij et ij contiennent 32 = 9 composantes.
Et on trouve que cijkl contient 34 = 81 composantes !!!
zzxxzzzyxxzyzxxxzx
yzxxyzyyxxyyyxxxyx
xzxxxzxyxxxyxxxxxxxx
cccccc
ccc
Par exemple :
Mais : les propriétés de symétrie du matériau, ainsi que la symétrie des tenseurs vont permettre de diminuer considérablement le nombre de composantes indépendantes à manipuler.
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Astuce :
Afin de simplifier l’écriture de ces tenseurs et des relations qui les lient, on utilise l’astuce suivante :
au tenseur symétrique de rang 2, on associe un vecteur à 6 composantes :
zzyzxz
yzyyxy
xzxyxx
xy
xz
yz
zz
yy
xx
6
5
4
3
2
1
tenseur de rang 1
ij
On peut procéder de même pour :
zzyzxz
yzyyxy
xzxyxx
xy
xz
yz
zz
yy
xx
2
2
2
6
5
4
3
2
1
ij
tenseur de rang 1
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En notation contractée, la loi de Hooke s’exprime alors comme :
c où , = 1,2,3,4,5 ou 6.
c est donc réduit à un tenseur de rang 2 correspondant à une matrice 6x6 :
c
On a ainsi par exemple : 6465454443342241144 cccccc
Remarque :
Comme le tenseur est symétrique, c ne compte que 21 composantes indépendantes.
6
5
4
3
2
1
665646362616
565545352515
464544342414
363534332313
262524232212
161514131211
6
5
4
3
2
1
cccccc
cccccc
cccccc
cccccc
cccccc
cccccc
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Voyons comment il est possible de réduire encore le nombre de composantes indépendantes en tenant compte de la symétrie du milieu solide :
Si le milieu présente une symétrie cubique, alors il ne reste plus que 3 composantes indépendantes :
44
44
44
111212
121112
121211
00000
00000
00000
000
000
000
c
c
c
ccc
ccc
ccc
c
Si, en outre, le milieu est parfaitement isotrope,alors on doit vérifier : 12112
144 ccc
il ne reste plus que 2 composantes indépendantes :
les coefficients de Lamé
44
12
c
c
211c
00000
00000
00000
000)2(
000)2(
000)2(
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Toutes les propriétés élastiques du solides se résument donc aux deux coefficients de Lamé :
module de cisaillement (viscosité pour un fluide)
module d’incompressibilité (1/ pour un fluide)
Pour comprendre la propagation d’une onde dans le milieu solide, il nous faut alors poser les équations relatives à la dynamique du processus : cela revient à considérer le Principe Fondamental de la Dynamique sur un élément de volume.
la démarche consiste à faire le bilan des forces qui s’exercent (contraintes normales et tangentielles) et égaler la résultante au produit de la masse par l’accélération…
… après calcul, on trouve…
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accélérationcontrainte normale
contraintes tangentielles
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2
2
2
2
2
2
tU
zyx
t
U
zyx
tU
zyx
PFD
zzzyzxz
yyzyyxy
xxzxyxx
A ce stade, l’objectif est d’obtenir les équations de propagation n’impliquant que les vibrations Ux, Uy et Uz.
Pour cela, appliquons la loi de Hooke sur les composantes ij :
3211 )2( xx
xUx
xx
zUz
zz
y
Uyyy
zU
y
U
xU
xU zyxx 2
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Soit :
xUx
xx 2
On trouve de même :
y
Uyyy 2 et
zUz
zz 2
Pour les contraintes tangentielles, on a :
x
U
yU yx
xyxy 266
xU
zU zx
xzxz 255
yU
z
Uzy
yzyz 244
Avant de remplacer ces 6 composantes dans le système des 3 équations différentielles issues du PFD, posons quelques hypothèses simplificatrices…
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x
z
y
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Hypothèses simplificatrices :
On considérera une onde se propageant suivant l’axe x, et générant des vibrations uniquement suivant les directions x et y.
kyU
xU
Dans ces conditions :
0
zU
0
zy
(milieu isotrope)
(onde plane)
)cos(0 xktUU Lxx )cos(0 xktUU Tyy
onde longitudinale
onde transversale
On a alors :
z
Uy
U
xU
xU
xU zyxxx
xx 22
0 0
xUx
xx
)2( et de même :x
Uxyy
xUx
zz
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x
U
yU yx
xy
0
x
Uyxy
xU
zU zx
xz 0 0
0
yU
z
U zyyz
0 0
0
Bilan :
xUx
xx
)2( x
Uxyy
xUx
zz
x
Uyxy
0xz 0yz
2
2
2
2
2
2
tU
zyx
t
U
zyx
tU
zyx
PFD
zzzyzxz
yyzyyxy
xxzxyxx
0 0
0 0
0 00 0
2
2
2
2
)2(t
U
x
U xx
2
2
2
2
t
U
x
U yy
15/25
2
1
Tv2
1
Lv
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On a donc obtenu deux équations de propagation :
2
2
2
2
)2(t
U
x
U xx
2
2
2
2
t
U
x
U yy
onde longitudinale
onde transversale
2
2
2
2
2 tU
xU xx
2
2
2
2
t
U
x
U yy
L’onde longitudinale se propage à la vitesse :
2Lv
L’onde transversale se propage à la vitesse : Tv
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Remarque :
On peut facilement retrouver le résultat obtenu pour la vitesse de propagation dans un fluide :
le module de cisaillement s’apparente à la viscosité, donc 0
0
Tv et cvL
12
on retrouve le fait que dans un fluide seules des ondes longitudinales peuvent se propager à la vitesse 1c
Ordre de grandeur des vitesses de propagation :
Typiquement, les vitesses de propagation longitudinale sont de l’ordre de 5000 à 6000 m.s-1.
Dans tous les cas, la propagation d’ondes transversales est moins rapide que celle d’ondes longitudinales :
222)2(
T
L
vv
TL vv
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Conversion des coefficients de Lamé
On a vu que les 2 seuls coefficients de Lamé, et , peuvent décrire le comportement élastique du solide dans lequel se propage l’onde.
- le module d’Young : E
)1)(21( PP
PE
D’un point de vue pratique, il est plus fréquent d’utiliser deux autres coefficients :
- le coefficient de Poisson : P
La conversion avec les coefficients de Lamé s’effectue ainsi :
)1(2 P
E
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Expression des vitesses en fonction de E et P
et)1(2 P
TE
v
)1(22
)1)(21(2
PPP
P EE
)1)(21()21(
PP
PP EE
)1)(21()1(
PP
PE
)1)(21(
)1(
PP
PL
Ev
On peut alors remarquer que :)21()1(
2P
P
T
L
vv
le rapport des deux vitesses ne dépend que d’un seul coefficient : le coefficient de Poisson.
P0 0,25 0,3 0,49
vL/vT 21/2=1,4 31/2=1,73 3,51/2=1,87 511/2=7,14
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L
a
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2 – Propagation dans un solide de dimensions finies2 – Propagation dans un solide de dimensions finies
Définitions du module d’Young et du coefficient de Poisson
dL
da
F
On considère une tige homogène, de longueur L et d’épaisseur a.
Soumise à une force de traction F, la tige s’allonge d’une longueur dL, et son épaisseur se contracte de da.
L’allongement relatif et la contraction relative sont alors fonction du module d’Young E et du coefficient de Poisson P du matériau. On a :
SF
ELL 1d
LL
aa
P
dd
Remarque :E a la dimension d’une pression.P est sans dimension.
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Application à la propagation d’une onde en milieu fini
xF
k
On considère un barre de hauteur h et de largeur D dans laquelle se propage longitudinalement une onde de longueur d’onde .
L’analyse dynamique que l’on va effectuer n’est valable que si : Dh,
Dû à la propagation de l’onde, une tranche de cette barre est soumise, en x, à une force Fx, et en x+dx, à une force Fx+dx.
2
2
d dPFDtU
xSFFF xxxx
h
D xx x+dx
xxF d
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xx
xxx
x
xx
xU
ESF
xU
ESF
SF
ELL
dd
1dOr
2
2
d dtU
xSFF xxxx
Donc
2
2
d
dtU
xSxU
xU
ES x
x
x
xx
x
xxU
xU
xU x
x
x
xx
x d2
2
d
2
2
2
2
ddtU
xxxU
E xx
2
2
2
2
tU
ExU xx
équation de
propagation
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2
2
2
2
tU
ExU xx
On peut alors formuler la vitesse de propagation d’une onde longitudinale dans un milieu solide de dimensions finies :
2
1
lv
E
vl )1)(21(
)1(
PP
PL
Ev
On remarque que la vitesse de propagation d’une onde longitudinale est différente selon que le solide est limité ou illimité
On admettra en revanche que la vitesse de propagation d’une onde transversale est la même, que le solide soit limité ou illimité.
onde longitudinale onde transversale
milieu illimité
milieu limitéE
vl
2
LvTv
tv
Bilan :
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Selon les dimensions du solide (limité ou illimité), la vitesse de l’onde longitudinale ne dépend alors que du coefficient de Poisson :
E
vl
2
Lv)1)(21(
)1(
PP
PE
)1)(21()1(
PP
P
l
L
vv
1er cas limite : P 0
Cela signifie qu’il n’y a pratiquement pas de variation des dimensions transversales, donc pas d’effet de traction latérale la déformation locale n’a quasiment pas d’effet sur les liaisons voisines.
lL vv C’est le cas de matériaux comme l’éponge ou le liège.
2ème cas limite : P 1/2
Au contraire, toute déformation agit directement sur les liaisons voisines.
lL vv C’est le cas du caoutchouc.
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Quelques valeurs typiques :
Matériaux P vL/vl
Liège, éponge 0 1
Valeurs courantes (principales roches)
0,25-0,30 1,10-1,16
Aluminium 0,35 1,27
Laiton 0,45 1,95
Caoutchouc 0,49 4,41
25/25
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