uputstvo

Kratka Mathematica radionica

Jelena Hadi-PuriMatematiki fakultet, Beograd

ta je Wolfram Alpha? ta je Mathematica?

Wolphram Alpha (www.wolframalpha.com) je on-line servis koji daje odgovore na Vaa pitanja, za razliku od recimo Google-a, koji e izbaciti listu Web stranica na kojima se pojavljuje uneta frazaProjekat je razvijen od strane Stivena Wolframa,

poznatog matematiara koji je za ovaj projekat dobio niz priznanja. Ovaj answer-engine, kako ga mnogi definiu, za proraune koristi raniji Wolframov proizvod koji se zove

Mathematica (1986-...)

ta je pretraga znanja? ta je raunanje znanja?

Pretraga znanja na Wolfram maini se odvija zapravo putem kompleksnog raunanja znanja.

Unesite pojam orange unutar Google pretraivaa i unutar Wolfram Alpha maine

Pokretanje Mathematica-e Mi emo koristiti Mathematica Browser

Plugin i imaemo mogunost da koristimo i Wolfram mainu koja rauna znanje i da koristimo Matehematica notebooks i Mathematika CDF (Computable Document Format).

Mathematica komponente i moduli Front End (=user interface) Kernel (=programska pozadina) Front End alje podatke na obradu Kernelu samo ako mu se kae

da tako uini: +Mathematica belenica (notebook) je datoteka (uobiajena ekstenzija imena datoteke je .nb) koja se sastoji od niza elija (cell). elije sadre raznovrsne tipove informacija (matematike izraze, grafiku, tekst) koje je ili uneo korisnik ili ih je proizvela Mathematica kao rezultat nekog rauna. Svaka elija je oznaena uglatom zagradom na desnoj strani belenice. Tri vrste elija koje emo najee susretati su:Input (koja sadri izvrne Mathematica komande), Output (koja sadri rezultate izvravanja tih komandi), Text (koja obino sadri komentare rauna)Case-sensitive!!! Imena ugraenih funkcija, konstanti i slino poinju

velikim slovom i nikad ne sadre blank-ove.

Osnovne raunske operacije aritmetike operacije: +, -, *, /, ^, ! Oprez: mnoenje moete pisati kao * ili

stavljanjem praznog mesta (blank) izmeu faktora.

Za grupisanje operacija tj. odreivanje redosleda izvoenja koriste se obine zagrade.

2 3 2 36^10022!(2 3) (6 / 7 1 / 3!)^22 / 3

Dodatne napomene Mathematica pokuava raunati egzaktno.

Budui da 2/3 nije isto to i 0,66667 (ili koja druga numerika aproksimacija), rezultat deljenja 2 sa 3 dae kao 2/3. S druge strane, ako je neki od operanada decimalan broj, Mathematica podrazumeva da nije egzaktan te rauna s decimalnim aproksimacijama.

2. / 3

ta je rezultat rada? Zato?(3)^1 / 3(3.)^1 / 3(3)^(1. / 3)3.2*^45.^(1/7.) in base 2

Broj decimala u rezultatu elimo li rezultat nekog izraza dobiti kao decimalan broj

koristimo funkciju N[izraz], s tim da je rezultat izraunat na tanost raunarskog sistema. Ukoliko je izraz egzaktan broj tj. nije ve raunat aproksimacijama unutar raunarskog sistema, moemo ga dobiti na tanost od n cifara naredbom N[izraz, n].

N[4 / 6]4. / 6N[4 / 6, 16]N[4. / 6, 50](5)^121N[%]

Helpelimo li dobiti kratak opis funkcije, koristimo naredbu ?

?Nelimo li popis svih funkcija koje u imenu sadre neki niz znakova, moemo ga dobiti naredbom ?.Ako iza ? unesemo tano ime funkcije, dobiemo kratko uputstvo za njeno koritenje.? Sin

Upotreba konstantiBaza prirodnog logaritma je E, imaginarnajedinica je I, pi je Pi.E^(5)Pi/2E^(0.5)N[E, 30]Exp[5.](3 + I) / (4 I)

Rad sa kompleksnim brojevima((3+4i)/5)^10

Re((1/5 (3+4 i))^10) vs Im((1/5 (3+4 i))^10)

Funkcije

Argumenti realnih funkcija moraju biti decimalni brojevi, ako elimo dobiti rezultat u obliku decimalnog broja.

Vrste brojeva u Mathematica-i su Integer (celi brojevi), Real (decimalni brojevi), Rational (razlomci), Complex (kompleksni brojevi oblika x + I y)

Ime funkcije poinje velikim poetnim slovom i esto je slino uobiajenom matematikom imenu funkcije. (Ipak, treba paziti. Npr. Log je prirodni logaritam (ln=loge), a dekadni logaritam (log10) se dobije kao Log [10, ]

Argument funkcije se navodi u uglastim zagradama. Upotreba zagrada u Mathematici je vrlo stroga.

ta je rezultat rada? Zato?Sin[2]Sin[2.]N[Sin[2], 20]Cos[Pi / 4]Sqrt[16]1+ArcTan[1] FactorInteger[1234567890] N[Log[Sinh[Pi E] / 2, 10]]Ako elimo logaritam od neega s bazom apiemo Log[izraz ,a ]

Poruke o greci Ako se ogreimo o matematika ili sintaksna pravila,

Mathematica e nam uzvratiti porukom o greci1/0sin[2.3]

Ovo drugo strogo gledano nije greka (jer moda mislimo na neku funkciju koja se zove sin(x), a koja nema veze sa sinusom Sin), ali Mathematica nas upozorava da smo moda hteli sinus koji, kao i sve ugraene funkcije treba pisati s velikim poetnim slovom.

Malo zabavePSY curve

Malo zabavebulldog curve

Malo zabaveinternet users all countries per capita

Malo zabavearea of an ovalcardioidcardioid vs limaonmethane vs ethanecompare area of Russia and Plutocompare 7^7/4^9 and pi7^2 days vs 6 weekssummary of decay modes of Higgs particle

Simboliki raun Imena koje dajemo varijablama i funkcijama ne smeju

poinjati brojem i ne smeju biti rezervisana imena. a = 1.5

b = 3.5a / baba b

Primer upita: a = 1.5 b = 3.5 a/b Mogue je ne samo numerike vrednosti, nego i itave

izraze cuvati u varijablama.izraz1 = (x + y)^2izraz2 = (a + b)^2

Malo zabavesolve a/b = 0

a/b > 0

4th digit of abs((3+i)/(4-i))minimize x^4-xminimize sin(2*x) -3

Mathematica resava domace zadatke

4x^2-5xy+2y^2=4

Iskazni raun&& oznaava logiku operaciju i|| logiku operaciju ili=> oznaava implikaciju, ekvivalencijup&&(q||r)NOT c||(a&&b)xor (a, xor (b,c)) vs nand (a, nand (b,c))

Skupovi i Veneovi dijagramicomplement je komplement skupa, intersect presek skupova, union unija skupova

(complement c) intersect (a union b)

Malo zabave: astrofizika1 billion years after the big bang4am in Serbia in Jerusalem42nd day of winterconvert 10! seconds to weeksblack hole 10 solar masses1 joule second500m asteroid impact 20 km/s

Algebarski izrazi Mathematica algebarske izraze pokuava

zadrati u faktorizovanom obliku, smatrajui ga najjednostavnijim.

(3 x + 2 y)^8Expand[(3 x + 2 y)^8]Na primer, Expand[(x+y)^2(3x-y)^3] daje

Funkcije za manipulacijualgebarskih formula

Simplify, Expand, Factor,Cancel, Together, Apart ...Simplify[(x^2-1)/(x^2-2x+1)]

Sta je rezultat rada? Zasto?(x^2-1)/(x-1)>=0asymptotes of x^3/(x^2-1)

Funkcije za manipulacijualgebarskih formula

Derivacija, integracija

Tangentne pravetangent line to (x^2-1)/(x^2-2 x+1) at x = 1/pi

Resavanje domaceg tj. step by step analiza resenja

Sumiranje, limesi

Limit[Sum[1/k,{k,1,n}]-Log[n], n->Infinity]Sum[Cos[j],{j,1,10}]

Sum[k,{k,1,100}]limit (1/n) as n->infinitylimit (1/n) as n->0limit (1+1/n)^n as n->infinitylimit ((exp(x)-1)/x) as x->0

Zadatak za samostalan radProuite upotrebu funkcije Sum za sumiranje matematikih redova i izraunajte:

Zadatak za samostalan radNaite prve izvode funkcija:

Odreeni integralOdredimo odreeni integral funkcije (4x^2-9)^(1/2) /x^3 na [4,10].

Zadatak za samostalan radOdredite odreene integrale sledecih funkcija:

Zadatak za samostalan radNaite limese sledeih funkcija kad x->

Jednostrani limes

Zadatak za samostalan radMolarni toplinski kapacitet dvoatomnog idealnog plina konstantnog volumena opisan je formulom

Odredite molarni toplinski kapacitet pri jako visokim i pri jako niskim temperaturama.

Reenje

Crtanje grafova realnih funkcija jedne promenljive

Plot[Abs[Exp[-x*x]-0.5],{x,-2,2}]

Crtanje grafova realnih funkcija jedne promenljive

Sloeniji primer crtanja grafika funkcije

Primer upotrebe grafikog poljahttp://reference.wolfram.com/mathe

matica/ref/GraphicsGrid.html

Zadatak za samostalan radNacrtajte grafove sledeih funkcija koristei bar po jednu opciju. Sami procenite razumne domene

Apsolutna vrednost broja x se dobija naredbom Abs[x]

Primer crtanja grafika funkcije koja je zadata tabelarno

plot table (-5^k mod 12) for k = 1 to 100

Primer crtanja grafika periodicnefunkcije

Clear[g]g[x_]:= x /; 0

Primer crtanja grafika periodicnefunkcije

Clear[f]f[x_]:=-x^2+2 /; x

Argumenti funkcija u matematiciFunkcije u Mathematici mogu imati bilo koji broj argumenata Petnica[x_,xmax_]:=(x-xmax)^2/xmaxSada moete koristiti funkciju Petnica" kao bilo koju funkciju u matematici! 2+Petnica[x,3.5]Redefiniimo funkciju Petnica sa argumentom x_maxPetnica[x_,x_max]:=(x-xmax)^4

Provera definicije funkcije

?PetnicaOdziv sistema jeGlobal`Petnica

Time smo prebrisali staru funkciju Petnica i pripisali joj novu vrednost!

Clear[Petnica]

Definicije funkcija koje uestvuju u algebarskim izrazima

Pri izraunavanju i programiranju, mnoge delove sloenih izraza piemo vie puta, to moe postati zamorno - stoga moemo definisati funkcije koje skrauju posao! Umesto da piemo(x+1)(x+2)(x+3) uradimo

Odziv sistema je

Nastavak

Odziv sistema je:

Definiimo funkciju

Upotrebimo funkciju za raunanje proizvoda

Rezultat je izraz

Vielinijske definicije funkcijaMoete imati vie linija u svojim funkcijama u Mathematici, ali ih odvojajte taka-zarezima Uvedimo naredbu za dobijanje koeficijenta polinoma

Pogledajmo definiciju funkcije kucanjem naredbe

Odziv sistema je

Rezultat koji dobijate od je koeficijent koji se nalazi uz clan x^i u proizvodu(x + 1) (x + 2) ... (x + n). Primer je naredba:

Odziv sistema je

Presek funkcije sa osama Ox, Oyintercepts (x^2-1)/(x^2-2 x+1)

Malo zabavecontinuum hypothesis

F=5 Newtons, t=8 seconds

momentum m=12kg, v=30m/s

a 2.1kg block slides down an inclined plane

ball on incline for 10 seconds

Arhimedova spiralaU Arhimedovoj spirali, svaki okret spirale jena istoj udaljenosti od prethodnog okreta. Kriva je zapravo deo take koja se kree odcentralne take du spoljanjeg zrakajednolinom brzinom, dok zrak rotira okopola konstantnom ugaonom brzinom.

Vai primeri

Pitanja?