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IntroductionThéorème générique
Premier Modéle : ajout proportionnelDeuxième Modèle : ajout anti-proportionnel
Un TLCPerspective
Urnes de Pólya non équilibrées
Rafik Aguech Selmi Olfa
Faculté des Sciences de Monastir
18 mars 2014
R. Aguech, O. Selmi Urnes de Pólya non équilibrées
IntroductionThéorème générique
Premier Modéle : ajout proportionnelDeuxième Modèle : ajout anti-proportionnel
Un TLCPerspective
Plan de la présentation
1 Introduction
2 Théorème générique
3 Premier Modéle : ajout proportionnel
4 Deuxième Modèle : ajout anti-proportionnel
5 Un TLC
6 Perspective
R. Aguech, O. Selmi Urnes de Pólya non équilibrées
IntroductionThéorème générique
Premier Modéle : ajout proportionnelDeuxième Modèle : ajout anti-proportionnel
Un TLCPerspective
Plan de la présentation
1 Introduction
2 Théorème générique
3 Premier Modéle : ajout proportionnel
4 Deuxième Modèle : ajout anti-proportionnel
5 Un TLC
6 Perspective
R. Aguech, O. Selmi Urnes de Pólya non équilibrées
IntroductionThéorème générique
Premier Modéle : ajout proportionnelDeuxième Modèle : ajout anti-proportionnel
Un TLCPerspective
Modéle générale :
une urne qui contient initialement W0 boules blanches et B0 boules noires.
Soient (m, a, b) ∈ N∗2, a 6= b, W0 + B0 > m et α ∈ (0, 1).
Tirage simultané de m boules : l boules blanches et m− l boules noires.
Remettre les boules tirées dans l’urne
Ajouter, en plus, a“αl + (1− α)(m− l)
”boules blanches et
b“(1− α)l + α(m− l)
”boules noires.
Itérer cette opération...
Notations :Wn le nombre de boules blanches dans l’urne aprés n tirages.
Tn le nombre de boules totales dans l’urne aprés n tirages.
Zn = WnTn
la proportion de boules blanches dans l’urne aprés n tirages.
R. Aguech, O. Selmi Urnes de Pólya non équilibrées
IntroductionThéorème générique
Premier Modéle : ajout proportionnelDeuxième Modèle : ajout anti-proportionnel
Un TLCPerspective
Modéle générale :
une urne qui contient initialement W0 boules blanches et B0 boules noires.
Soient (m, a, b) ∈ N∗2, a 6= b, W0 + B0 > m et α ∈ (0, 1).
Tirage simultané de m boules : l boules blanches et m− l boules noires.
Remettre les boules tirées dans l’urne
Ajouter, en plus, a“αl + (1− α)(m− l)
”boules blanches et
b“(1− α)l + α(m− l)
”boules noires.
Itérer cette opération...
Notations :Wn le nombre de boules blanches dans l’urne aprés n tirages.
Tn le nombre de boules totales dans l’urne aprés n tirages.
Zn = WnTn
la proportion de boules blanches dans l’urne aprés n tirages.
R. Aguech, O. Selmi Urnes de Pólya non équilibrées
IntroductionThéorème générique
Premier Modéle : ajout proportionnelDeuxième Modèle : ajout anti-proportionnel
Un TLCPerspective
Modéle générale :
une urne qui contient initialement W0 boules blanches et B0 boules noires.
Soient (m, a, b) ∈ N∗2, a 6= b, W0 + B0 > m et α ∈ (0, 1).
Tirage simultané de m boules : l boules blanches et m− l boules noires.
Remettre les boules tirées dans l’urne
Ajouter, en plus, a“αl + (1− α)(m− l)
”boules blanches et
b“(1− α)l + α(m− l)
”boules noires.
Itérer cette opération...
Notations :Wn le nombre de boules blanches dans l’urne aprés n tirages.
Tn le nombre de boules totales dans l’urne aprés n tirages.
Zn = WnTn
la proportion de boules blanches dans l’urne aprés n tirages.
R. Aguech, O. Selmi Urnes de Pólya non équilibrées
IntroductionThéorème générique
Premier Modéle : ajout proportionnelDeuxième Modèle : ajout anti-proportionnel
Un TLCPerspective
Modéle générale :
une urne qui contient initialement W0 boules blanches et B0 boules noires.
Soient (m, a, b) ∈ N∗2, a 6= b, W0 + B0 > m et α ∈ (0, 1).
Tirage simultané de m boules : l boules blanches et m− l boules noires.
Remettre les boules tirées dans l’urne
Ajouter, en plus, a“αl + (1− α)(m− l)
”boules blanches et
b“(1− α)l + α(m− l)
”boules noires.
Itérer cette opération...
Notations :Wn le nombre de boules blanches dans l’urne aprés n tirages.
Tn le nombre de boules totales dans l’urne aprés n tirages.
Zn = WnTn
la proportion de boules blanches dans l’urne aprés n tirages.
R. Aguech, O. Selmi Urnes de Pólya non équilibrées
IntroductionThéorème générique
Premier Modéle : ajout proportionnelDeuxième Modèle : ajout anti-proportionnel
Un TLCPerspective
Modéle générale :
une urne qui contient initialement W0 boules blanches et B0 boules noires.
Soient (m, a, b) ∈ N∗2, a 6= b, W0 + B0 > m et α ∈ (0, 1).
Tirage simultané de m boules : l boules blanches et m− l boules noires.
Remettre les boules tirées dans l’urne
Ajouter, en plus, a“αl + (1− α)(m− l)
”boules blanches et
b“(1− α)l + α(m− l)
”boules noires.
Itérer cette opération...
Notations :Wn le nombre de boules blanches dans l’urne aprés n tirages.
Tn le nombre de boules totales dans l’urne aprés n tirages.
Zn = WnTn
la proportion de boules blanches dans l’urne aprés n tirages.
R. Aguech, O. Selmi Urnes de Pólya non équilibrées
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Premier Modéle : ajout proportionnelDeuxième Modèle : ajout anti-proportionnel
Un TLCPerspective
Modéle générale :
une urne qui contient initialement W0 boules blanches et B0 boules noires.
Soient (m, a, b) ∈ N∗2, a 6= b, W0 + B0 > m et α ∈ (0, 1).
Tirage simultané de m boules : l boules blanches et m− l boules noires.
Remettre les boules tirées dans l’urne
Ajouter, en plus, a“αl + (1− α)(m− l)
”boules blanches et
b“(1− α)l + α(m− l)
”boules noires.
Itérer cette opération...
Notations :Wn le nombre de boules blanches dans l’urne aprés n tirages.
Tn le nombre de boules totales dans l’urne aprés n tirages.
Zn = WnTn
la proportion de boules blanches dans l’urne aprés n tirages.
R. Aguech, O. Selmi Urnes de Pólya non équilibrées
IntroductionThéorème générique
Premier Modéle : ajout proportionnelDeuxième Modèle : ajout anti-proportionnel
Un TLCPerspective
Modéle générale :
une urne qui contient initialement W0 boules blanches et B0 boules noires.
Soient (m, a, b) ∈ N∗2, a 6= b, W0 + B0 > m et α ∈ (0, 1).
Tirage simultané de m boules : l boules blanches et m− l boules noires.
Remettre les boules tirées dans l’urne
Ajouter, en plus, a“αl + (1− α)(m− l)
”boules blanches et
b“(1− α)l + α(m− l)
”boules noires.
Itérer cette opération...
Notations :Wn le nombre de boules blanches dans l’urne aprés n tirages.
Tn le nombre de boules totales dans l’urne aprés n tirages.
Zn = WnTn
la proportion de boules blanches dans l’urne aprés n tirages.
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IntroductionThéorème générique
Premier Modéle : ajout proportionnelDeuxième Modèle : ajout anti-proportionnel
Un TLCPerspective
Modéle générale :
une urne qui contient initialement W0 boules blanches et B0 boules noires.
Soient (m, a, b) ∈ N∗2, a 6= b, W0 + B0 > m et α ∈ (0, 1).
Tirage simultané de m boules : l boules blanches et m− l boules noires.
Remettre les boules tirées dans l’urne
Ajouter, en plus, a“αl + (1− α)(m− l)
”boules blanches et
b“(1− α)l + α(m− l)
”boules noires.
Itérer cette opération...
Notations :Wn le nombre de boules blanches dans l’urne aprés n tirages.
Tn le nombre de boules totales dans l’urne aprés n tirages.
Zn = WnTn
la proportion de boules blanches dans l’urne aprés n tirages.
R. Aguech, O. Selmi Urnes de Pólya non équilibrées
IntroductionThéorème générique
Premier Modéle : ajout proportionnelDeuxième Modèle : ajout anti-proportionnel
Un TLCPerspective
Plan de la présentation
1 Introduction
2 Théorème générique
3 Premier Modéle : ajout proportionnel
4 Deuxième Modèle : ajout anti-proportionnel
5 Un TLC
6 Perspective
R. Aguech, O. Selmi Urnes de Pólya non équilibrées
IntroductionThéorème générique
Premier Modéle : ajout proportionnelDeuxième Modèle : ajout anti-proportionnel
Un TLCPerspective
Espace filtré :“Ω, F , (Fn)n≥0, P
”. Algorithme stocastique :
Zn+1 = Zn + γn+1
“h(Zn) + ∆Mn+1 + rn+1
”
h : Rd −→ Rd continue, localement liptchitzienne.
(∆Mn)n un (Fn)n différence de martingale.
(rn)n (Fn)n adapté.
(γn) suite positive (Fn)n adaptée.
Théorème (M. Duflo 1997)
Si Pn γn = +∞,
Pn γ2
n <∞, η : point fixe stable de h.
rnp.s−→
n−→∞0, supn E
h∆M2
n+1/Fn
i< +∞ ps,
alorsZn
p.s−→n−→∞
η.
R. Aguech, O. Selmi Urnes de Pólya non équilibrées
IntroductionThéorème générique
Premier Modéle : ajout proportionnelDeuxième Modèle : ajout anti-proportionnel
Un TLCPerspective
Espace filtré :“Ω, F , (Fn)n≥0, P
”. Algorithme stocastique :
Zn+1 = Zn + γn+1
“h(Zn) + ∆Mn+1 + rn+1
”
h : Rd −→ Rd continue, localement liptchitzienne.
(∆Mn)n un (Fn)n différence de martingale.
(rn)n (Fn)n adapté.
(γn) suite positive (Fn)n adaptée.
Théorème (M. Duflo 1997)
Si Pn γn = +∞,
Pn γ2
n <∞, η : point fixe stable de h.
rnp.s−→
n−→∞0, supn E
h∆M2
n+1/Fn
i< +∞ ps,
alorsZn
p.s−→n−→∞
η.
R. Aguech, O. Selmi Urnes de Pólya non équilibrées
IntroductionThéorème générique
Premier Modéle : ajout proportionnelDeuxième Modèle : ajout anti-proportionnel
Un TLCPerspective
Espace filtré :“Ω, F , (Fn)n≥0, P
”. Algorithme stocastique :
Zn+1 = Zn + γn+1
“h(Zn) + ∆Mn+1 + rn+1
”
h : Rd −→ Rd continue, localement liptchitzienne.
(∆Mn)n un (Fn)n différence de martingale.
(rn)n (Fn)n adapté.
(γn) suite positive (Fn)n adaptée.
Théorème (M. Duflo 1997)
Si Pn γn = +∞,
Pn γ2
n <∞, η : point fixe stable de h.
rnp.s−→
n−→∞0, supn E
h∆M2
n+1/Fn
i< +∞ ps,
alorsZn
p.s−→n−→∞
η.
R. Aguech, O. Selmi Urnes de Pólya non équilibrées
IntroductionThéorème générique
Premier Modéle : ajout proportionnelDeuxième Modèle : ajout anti-proportionnel
Un TLCPerspective
Espace filtré :“Ω, F , (Fn)n≥0, P
”. Algorithme stocastique :
Zn+1 = Zn + γn+1
“h(Zn) + ∆Mn+1 + rn+1
”
h : Rd −→ Rd continue, localement liptchitzienne.
(∆Mn)n un (Fn)n différence de martingale.
(rn)n (Fn)n adapté.
(γn) suite positive (Fn)n adaptée.
Théorème (M. Duflo 1997)
Si Pn γn = +∞,
Pn γ2
n <∞, η : point fixe stable de h.
rnp.s−→
n−→∞0, supn E
h∆M2
n+1/Fn
i< +∞ ps,
alorsZn
p.s−→n−→∞
η.
R. Aguech, O. Selmi Urnes de Pólya non équilibrées
IntroductionThéorème générique
Premier Modéle : ajout proportionnelDeuxième Modèle : ajout anti-proportionnel
Un TLCPerspective
Plan de la présentation
1 Introduction
2 Théorème générique
3 Premier Modéle : ajout proportionnel
4 Deuxième Modèle : ajout anti-proportionnel
5 Un TLC
6 Perspective
R. Aguech, O. Selmi Urnes de Pólya non équilibrées
IntroductionThéorème générique
Premier Modéle : ajout proportionnelDeuxième Modèle : ajout anti-proportionnel
Un TLCPerspective
Modéle
On suppose que α = 1.
Au tirage n : ξn boules blanches et m− ξn boules noires.
Remettre les boules tirées dans l’urne
Ajouter, en plus, aξn boules blanches et b(m− ξn) boules noires.
Itérer cette opération...
ξn+1L=H(Tn, m, Wn).
Evolution de l’urne
Wn+1 = Wn + aξn+1
Tn+1 = Tn + bmn + (a− b)ξn+1
R. Aguech, O. Selmi Urnes de Pólya non équilibrées
IntroductionThéorème générique
Premier Modéle : ajout proportionnelDeuxième Modèle : ajout anti-proportionnel
Un TLCPerspective
Modéle
On suppose que α = 1.
Au tirage n : ξn boules blanches et m− ξn boules noires.
Remettre les boules tirées dans l’urne
Ajouter, en plus, aξn boules blanches et b(m− ξn) boules noires.
Itérer cette opération...
ξn+1L=H(Tn, m, Wn).
Evolution de l’urne
Wn+1 = Wn + aξn+1
Tn+1 = Tn + bmn + (a− b)ξn+1
R. Aguech, O. Selmi Urnes de Pólya non équilibrées
IntroductionThéorème générique
Premier Modéle : ajout proportionnelDeuxième Modèle : ajout anti-proportionnel
Un TLCPerspective
Modéle
On suppose que α = 1.
Au tirage n : ξn boules blanches et m− ξn boules noires.
Remettre les boules tirées dans l’urne
Ajouter, en plus, aξn boules blanches et b(m− ξn) boules noires.
Itérer cette opération...
ξn+1L=H(Tn, m, Wn).
Evolution de l’urne
Wn+1 = Wn + aξn+1
Tn+1 = Tn + bmn + (a− b)ξn+1
R. Aguech, O. Selmi Urnes de Pólya non équilibrées
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Premier Modéle : ajout proportionnelDeuxième Modèle : ajout anti-proportionnel
Un TLCPerspective
Modéle
On suppose que α = 1.
Au tirage n : ξn boules blanches et m− ξn boules noires.
Remettre les boules tirées dans l’urne
Ajouter, en plus, aξn boules blanches et b(m− ξn) boules noires.
Itérer cette opération...
ξn+1L=H(Tn, m, Wn).
Evolution de l’urne
Wn+1 = Wn + aξn+1
Tn+1 = Tn + bmn + (a− b)ξn+1
R. Aguech, O. Selmi Urnes de Pólya non équilibrées
IntroductionThéorème générique
Premier Modéle : ajout proportionnelDeuxième Modèle : ajout anti-proportionnel
Un TLCPerspective
Modéle
On suppose que α = 1.
Au tirage n : ξn boules blanches et m− ξn boules noires.
Remettre les boules tirées dans l’urne
Ajouter, en plus, aξn boules blanches et b(m− ξn) boules noires.
Itérer cette opération...
ξn+1L=H(Tn, m, Wn).
Evolution de l’urne
Wn+1 = Wn + aξn+1
Tn+1 = Tn + bmn + (a− b)ξn+1
R. Aguech, O. Selmi Urnes de Pólya non équilibrées
IntroductionThéorème générique
Premier Modéle : ajout proportionnelDeuxième Modèle : ajout anti-proportionnel
Un TLCPerspective
Modéle
On suppose que α = 1.
Au tirage n : ξn boules blanches et m− ξn boules noires.
Remettre les boules tirées dans l’urne
Ajouter, en plus, aξn boules blanches et b(m− ξn) boules noires.
Itérer cette opération...
ξn+1L=H(Tn, m, Wn).
Evolution de l’urne
Wn+1 = Wn + aξn+1
Tn+1 = Tn + bmn + (a− b)ξn+1
R. Aguech, O. Selmi Urnes de Pólya non équilibrées
IntroductionThéorème générique
Premier Modéle : ajout proportionnelDeuxième Modèle : ajout anti-proportionnel
Un TLCPerspective
Modéle
On suppose que α = 1.
Au tirage n : ξn boules blanches et m− ξn boules noires.
Remettre les boules tirées dans l’urne
Ajouter, en plus, aξn boules blanches et b(m− ξn) boules noires.
Itérer cette opération...
ξn+1L=H(Tn, m, Wn).
Evolution de l’urne
Wn+1 = Wn + aξn+1
Tn+1 = Tn + bmn + (a− b)ξn+1
R. Aguech, O. Selmi Urnes de Pólya non équilibrées
IntroductionThéorème générique
Premier Modéle : ajout proportionnelDeuxième Modèle : ajout anti-proportionnel
Un TLCPerspective
Modéle
On suppose que α = 1.
Au tirage n : ξn boules blanches et m− ξn boules noires.
Remettre les boules tirées dans l’urne
Ajouter, en plus, aξn boules blanches et b(m− ξn) boules noires.
Itérer cette opération...
ξn+1L=H(Tn, m, Wn).
Evolution de l’urne
Wn+1 = Wn + aξn+1
Tn+1 = Tn + bmn + (a− b)ξn+1
R. Aguech, O. Selmi Urnes de Pólya non équilibrées
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Premier Modéle : ajout proportionnelDeuxième Modèle : ajout anti-proportionnel
Un TLCPerspective
Historique
a = b, Chen et Kuba (2011) :
Expressions exactes de moments d’ordre 1 et 2 de Wn
structures des moments d’ordre supérieures
Urne de Friedman : le cas m = 1.Urne de Polya originale : m = a = b = 1.
R. Aguech, O. Selmi Urnes de Pólya non équilibrées
IntroductionThéorème générique
Premier Modéle : ajout proportionnelDeuxième Modèle : ajout anti-proportionnel
Un TLCPerspective
Historique
a = b, Chen et Kuba (2011) :
Expressions exactes de moments d’ordre 1 et 2 de Wn
structures des moments d’ordre supérieures
Urne de Friedman : le cas m = 1.Urne de Polya originale : m = a = b = 1.
R. Aguech, O. Selmi Urnes de Pólya non équilibrées
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Premier Modéle : ajout proportionnelDeuxième Modèle : ajout anti-proportionnel
Un TLCPerspective
Historique
a = b, Chen et Kuba (2011) :
Expressions exactes de moments d’ordre 1 et 2 de Wn
structures des moments d’ordre supérieures
Urne de Friedman : le cas m = 1.Urne de Polya originale : m = a = b = 1.
R. Aguech, O. Selmi Urnes de Pólya non équilibrées
IntroductionThéorème générique
Premier Modéle : ajout proportionnelDeuxième Modèle : ajout anti-proportionnel
Un TLCPerspective
Historique
a = b, Chen et Kuba (2011) :
Expressions exactes de moments d’ordre 1 et 2 de Wn
structures des moments d’ordre supérieures
Urne de Friedman : le cas m = 1.Urne de Polya originale : m = a = b = 1.
R. Aguech, O. Selmi Urnes de Pólya non équilibrées
IntroductionThéorème générique
Premier Modéle : ajout proportionnelDeuxième Modèle : ajout anti-proportionnel
Un TLCPerspective
Algorithme stochastique en Zn
Soient
Yn+1 =“
a− (a− b)Zn
”ξn+1 − bmZn
g(x) = m(b− a)x(x− 1)
γn =1Tn
∆Mn+1 = Yn+1 − E[Yn+1]
Zn+1 − Zn = γn+1g(Zn) + γn+1∆Mn+1
g est continue liptchitzienne. Xn
γn = +∞
Xn
γ2n < ∞
supnEh∆M2
n+1/Fn
i< 4m2(2a + b)2 <∞.
R. Aguech, O. Selmi Urnes de Pólya non équilibrées
IntroductionThéorème générique
Premier Modéle : ajout proportionnelDeuxième Modèle : ajout anti-proportionnel
Un TLCPerspective
Algorithme stochastique en Zn
Soient
Yn+1 =“
a− (a− b)Zn
”ξn+1 − bmZn
g(x) = m(b− a)x(x− 1)
γn =1Tn
∆Mn+1 = Yn+1 − E[Yn+1]
Zn+1 − Zn = γn+1g(Zn) + γn+1∆Mn+1
g est continue liptchitzienne. Xn
γn = +∞
Xn
γ2n < ∞
supnEh∆M2
n+1/Fn
i< 4m2(2a + b)2 <∞.
R. Aguech, O. Selmi Urnes de Pólya non équilibrées
IntroductionThéorème générique
Premier Modéle : ajout proportionnelDeuxième Modèle : ajout anti-proportionnel
Un TLCPerspective
Théorème
Soit Zn = WnTn
. On a
Si a < b, Zn converge presque sûrement vers 0.
Si a > b, Zn converge presque sûrement vers 1.
R. Aguech, O. Selmi Urnes de Pólya non équilibrées
IntroductionThéorème générique
Premier Modéle : ajout proportionnelDeuxième Modèle : ajout anti-proportionnel
Un TLCPerspective
Théorème
Soit Zn = WnTn
. On a
Si a < b, Zn converge presque sûrement vers 0.
Si a > b, Zn converge presque sûrement vers 1.
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IntroductionThéorème générique
Premier Modéle : ajout proportionnelDeuxième Modèle : ajout anti-proportionnel
Un TLCPerspective
proposition
On a, presque surement
Si a < b, Wnn
p.s−→n−→∞
0 et Tnn
p.s−→n−→∞
bm.
Si a > b, Wnn
p.s−→n−→∞
am et Tnn
p.s−→n−→∞
am.
Idée de la preuve
Wn = W0 + anX
k=1
ξk
= W0 + anX
k=1
“ξk − E(ξk/Fk−1)
”+ a
nXk=1
mWk−1
Tk−1
Tn = T0 + bmn + (a− b)nX
k=1
“ξk − m
Wk−1
Tk−1
”+ m(a− b)
nXk=1
Wk−1
Tk−1
1n
nXk=1
“ξk − E(ξk/Fk−1)
”p.s−→
n−→∞0 ⇐= Martingale
R. Aguech, O. Selmi Urnes de Pólya non équilibrées
IntroductionThéorème générique
Premier Modéle : ajout proportionnelDeuxième Modèle : ajout anti-proportionnel
Un TLCPerspective
proposition
On a, presque surement
Si a < b, Wnn
p.s−→n−→∞
0 et Tnn
p.s−→n−→∞
bm.
Si a > b, Wnn
p.s−→n−→∞
am et Tnn
p.s−→n−→∞
am.
Idée de la preuve
Wn = W0 + anX
k=1
ξk
= W0 + anX
k=1
“ξk − E(ξk/Fk−1)
”+ a
nXk=1
mWk−1
Tk−1
Tn = T0 + bmn + (a− b)nX
k=1
“ξk − m
Wk−1
Tk−1
”+ m(a− b)
nXk=1
Wk−1
Tk−1
1n
nXk=1
“ξk − E(ξk/Fk−1)
”p.s−→
n−→∞0 ⇐= Martingale
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IntroductionThéorème générique
Premier Modéle : ajout proportionnelDeuxième Modèle : ajout anti-proportionnel
Un TLCPerspective
proposition
On a, presque surement
Si a < b, Wnn
p.s−→n−→∞
0 et Tnn
p.s−→n−→∞
bm.
Si a > b, Wnn
p.s−→n−→∞
am et Tnn
p.s−→n−→∞
am.
Idée de la preuve
Wn = W0 + anX
k=1
ξk
= W0 + anX
k=1
“ξk − E(ξk/Fk−1)
”+ a
nXk=1
mWk−1
Tk−1
Tn = T0 + bmn + (a− b)nX
k=1
“ξk − m
Wk−1
Tk−1
”+ m(a− b)
nXk=1
Wk−1
Tk−1
1n
nXk=1
“ξk − E(ξk/Fk−1)
”p.s−→
n−→∞0 ⇐= Martingale
R. Aguech, O. Selmi Urnes de Pólya non équilibrées
IntroductionThéorème générique
Premier Modéle : ajout proportionnelDeuxième Modèle : ajout anti-proportionnel
Un TLCPerspective
proposition
On a, presque surement
Si a < b, Wnn
p.s−→n−→∞
0 et Tnn
p.s−→n−→∞
bm.
Si a > b, Wnn
p.s−→n−→∞
am et Tnn
p.s−→n−→∞
am.
Idée de la preuve
Wn = W0 + anX
k=1
ξk
= W0 + anX
k=1
“ξk − E(ξk/Fk−1)
”+ a
nXk=1
mWk−1
Tk−1
Tn = T0 + bmn + (a− b)nX
k=1
“ξk − m
Wk−1
Tk−1
”+ m(a− b)
nXk=1
Wk−1
Tk−1
1n
nXk=1
“ξk − E(ξk/Fk−1)
”p.s−→
n−→∞0 ⇐= Martingale
R. Aguech, O. Selmi Urnes de Pólya non équilibrées
IntroductionThéorème générique
Premier Modéle : ajout proportionnelDeuxième Modèle : ajout anti-proportionnel
Un TLCPerspective
Plan de la présentation
1 Introduction
2 Théorème générique
3 Premier Modéle : ajout proportionnel
4 Deuxième Modèle : ajout anti-proportionnel
5 Un TLC
6 Perspective
R. Aguech, O. Selmi Urnes de Pólya non équilibrées
IntroductionThéorème générique
Premier Modéle : ajout proportionnelDeuxième Modèle : ajout anti-proportionnel
Un TLCPerspective
Modèle
α = 0. L’urne évolue selon la règle suivante :“Wn+1, Bn+1
”=
“Wn, Bn
”+
“a(m− ξn+1), bξn+1
”.
R. Aguech, O. Selmi Urnes de Pólya non équilibrées
IntroductionThéorème générique
Premier Modéle : ajout proportionnelDeuxième Modèle : ajout anti-proportionnel
Un TLCPerspective
Histotique :
a = b, Kuba, Hosam et Panholzer (2013)
Valeurs exactes de l’espérance et de la variance de Wn
Un TLC en Wn.
R. Aguech, O. Selmi Urnes de Pólya non équilibrées
IntroductionThéorème générique
Premier Modéle : ajout proportionnelDeuxième Modèle : ajout anti-proportionnel
Un TLCPerspective
Histotique :
a = b, Kuba, Hosam et Panholzer (2013)
Valeurs exactes de l’espérance et de la variance de Wn
Un TLC en Wn.
R. Aguech, O. Selmi Urnes de Pólya non équilibrées
IntroductionThéorème générique
Premier Modéle : ajout proportionnelDeuxième Modèle : ajout anti-proportionnel
Un TLCPerspective
Thórème
Soit Zn = WnTn
.
Znp.s−→
n−→∞
a−√
aba− b
Wn
np.s−→
n−→∞
ama− b
(√
ab− b)
Tn
np.s−→
n−→∞m√
ab
Remarques
Résultats indépendants de W0, B0
R. Aguech, O. Selmi Urnes de Pólya non équilibrées
IntroductionThéorème générique
Premier Modéle : ajout proportionnelDeuxième Modèle : ajout anti-proportionnel
Un TLCPerspective
Thórème
Soit Zn = WnTn
.
Znp.s−→
n−→∞
a−√
aba− b
Wn
np.s−→
n−→∞
ama− b
(√
ab− b)
Tn
np.s−→
n−→∞m√
ab
Remarques
Résultats indépendants de W0, B0
R. Aguech, O. Selmi Urnes de Pólya non équilibrées
IntroductionThéorème générique
Premier Modéle : ajout proportionnelDeuxième Modèle : ajout anti-proportionnel
Un TLCPerspective
Preuve
On a
Zn+1 − Zn =1
Tn+1
ham + (a− b)ξn+1Zn − aξn+1 − amZn
i=
1Tn+1
hYn+1
iE
“Yn+1/Fn
”= m(a− b)Z2
n − 2amZn + am
Zn+1 − Zn =1
Tn+1h(Zn) +
1Tn+1
“Yn+1 − E[Yn+1]
”
h(x) = m(a− b)x2 − 2amx + am
γn =1Tn
, ∆Mn+1 = Yn+1 − E[Yn+1], rn = 0.
Théorème générique =⇒ pour conclure.
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IntroductionThéorème générique
Premier Modéle : ajout proportionnelDeuxième Modèle : ajout anti-proportionnel
Un TLCPerspective
Preuve
On a
Zn+1 − Zn =1
Tn+1
ham + (a− b)ξn+1Zn − aξn+1 − amZn
i=
1Tn+1
hYn+1
iE
“Yn+1/Fn
”= m(a− b)Z2
n − 2amZn + am
Zn+1 − Zn =1
Tn+1h(Zn) +
1Tn+1
“Yn+1 − E[Yn+1]
”
h(x) = m(a− b)x2 − 2amx + am
γn =1Tn
, ∆Mn+1 = Yn+1 − E[Yn+1], rn = 0.
Théorème générique =⇒ pour conclure.
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IntroductionThéorème générique
Premier Modéle : ajout proportionnelDeuxième Modèle : ajout anti-proportionnel
Un TLCPerspective
Preuve
On a
Zn+1 − Zn =1
Tn+1
ham + (a− b)ξn+1Zn − aξn+1 − amZn
i=
1Tn+1
hYn+1
iE
“Yn+1/Fn
”= m(a− b)Z2
n − 2amZn + am
Zn+1 − Zn =1
Tn+1h(Zn) +
1Tn+1
“Yn+1 − E[Yn+1]
”
h(x) = m(a− b)x2 − 2amx + am
γn =1Tn
, ∆Mn+1 = Yn+1 − E[Yn+1], rn = 0.
Théorème générique =⇒ pour conclure.
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IntroductionThéorème générique
Premier Modéle : ajout proportionnelDeuxième Modèle : ajout anti-proportionnel
Un TLCPerspective
Preuve
On a
Zn+1 − Zn =1
Tn+1
ham + (a− b)ξn+1Zn − aξn+1 − amZn
i=
1Tn+1
hYn+1
iE
“Yn+1/Fn
”= m(a− b)Z2
n − 2amZn + am
Zn+1 − Zn =1
Tn+1h(Zn) +
1Tn+1
“Yn+1 − E[Yn+1]
”
h(x) = m(a− b)x2 − 2amx + am
γn =1Tn
, ∆Mn+1 = Yn+1 − E[Yn+1], rn = 0.
Théorème générique =⇒ pour conclure.
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IntroductionThéorème générique
Premier Modéle : ajout proportionnelDeuxième Modèle : ajout anti-proportionnel
Un TLCPerspective
Preuve
On a
Zn+1 − Zn =1
Tn+1
ham + (a− b)ξn+1Zn − aξn+1 − amZn
i=
1Tn+1
hYn+1
iE
“Yn+1/Fn
”= m(a− b)Z2
n − 2amZn + am
Zn+1 − Zn =1
Tn+1h(Zn) +
1Tn+1
“Yn+1 − E[Yn+1]
”
h(x) = m(a− b)x2 − 2amx + am
γn =1Tn
, ∆Mn+1 = Yn+1 − E[Yn+1], rn = 0.
Théorème générique =⇒ pour conclure.
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IntroductionThéorème générique
Premier Modéle : ajout proportionnelDeuxième Modèle : ajout anti-proportionnel
Un TLCPerspective
Moments de Wn
Proposition
Soient λ = ama−b (
√ab− b) et x1 = a−
√ab
a−b . On a, lorsque n tend vers +∞
E[Wn] = λn + o(n)
Var[Wn] = a2m2(1− x21)n2 + o(n2).
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IntroductionThéorème générique
Premier Modéle : ajout proportionnelDeuxième Modèle : ajout anti-proportionnel
Un TLCPerspective
Plan de la présentation
1 Introduction
2 Théorème générique
3 Premier Modéle : ajout proportionnel
4 Deuxième Modèle : ajout anti-proportionnel
5 Un TLC
6 Perspective
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IntroductionThéorème générique
Premier Modéle : ajout proportionnelDeuxième Modèle : ajout anti-proportionnel
Un TLCPerspective
Théorème de Lindeberg
Théorème
(Mn, Fn)n≥0 une martingale centrée, (vn)n une suite croissante positive. On supposeque, ∀ ε > 0
1v2
n
Pnk=1 E
h∆M2
k I∆Mk
vn>ε
/Fk−1
iP−→
n−→∞0
1v2
n
Pnk=1 E
h∆M2
k /Fk−1
iP−→
n−→∞Z,
alors Mnvn
converge en loi vers la variable aléatoire de fonction caractéristique donnée
par Eh
exp“−Zt2
2
”i.
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IntroductionThéorème générique
Premier Modéle : ajout proportionnelDeuxième Modèle : ajout anti-proportionnel
Un TLCPerspective
Soient
ϕn =nY
k=1
Tk
Tk − am
λn =“ nX
k=1
ϕ2k
” 12
Nn = ϕn−1Wn − amn−1Xk=1
ϕk
“Nn − E[Nn], Fn
”n
martingale centrée.
Conditions de Lindeberg vérifiées =⇒
Théorème
Nn − E[Nn]
λn
L−→n−→∞
N“
0, a2mx1(1− x1)”
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IntroductionThéorème générique
Premier Modéle : ajout proportionnelDeuxième Modèle : ajout anti-proportionnel
Un TLCPerspective
Soient
ϕn =nY
k=1
Tk
Tk − am
λn =“ nX
k=1
ϕ2k
” 12
Nn = ϕn−1Wn − amn−1Xk=1
ϕk
“Nn − E[Nn], Fn
”n
martingale centrée.
Conditions de Lindeberg vérifiées =⇒
Théorème
Nn − E[Nn]
λn
L−→n−→∞
N“
0, a2mx1(1− x1)”
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IntroductionThéorème générique
Premier Modéle : ajout proportionnelDeuxième Modèle : ajout anti-proportionnel
Un TLCPerspective
Soient
ϕn =nY
k=1
Tk
Tk − am
λn =“ nX
k=1
ϕ2k
” 12
Nn = ϕn−1Wn − amn−1Xk=1
ϕk
“Nn − E[Nn], Fn
”n
martingale centrée.
Conditions de Lindeberg vérifiées =⇒
Théorème
Nn − E[Nn]
λn
L−→n−→∞
N“
0, a2mx1(1− x1)”
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IntroductionThéorème générique
Premier Modéle : ajout proportionnelDeuxième Modèle : ajout anti-proportionnel
Un TLCPerspective
Un TLC en (ξn)n
Mn =Pn
k=1
“ξk − m Wk−1
Tk−1
”⇐= Martingale centrée.
Conditions de Lindeberg :
Eh∆M2
n/Fn−1
i= m
Wn−1
Tn−1
“1−
Wn−1
Tn−1
” Tn−1 − mTn−1 − 1
ps−→n−→∞
mx1(1− x1)
Vn =1n
nXk=1
Eh∆M2
k /Fk−1
ips−→
n−→∞mx1(1− x1)
Théorème
On a1√
n
nXk=1
“ξk − m
Wk−1
Tk−1
”L−→
n−→∞N
“0, mx1(1− x1)
”
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IntroductionThéorème générique
Premier Modéle : ajout proportionnelDeuxième Modèle : ajout anti-proportionnel
Un TLCPerspective
Un TLC en (ξn)n
Mn =Pn
k=1
“ξk − m Wk−1
Tk−1
”⇐= Martingale centrée.
Conditions de Lindeberg :
Eh∆M2
n/Fn−1
i= m
Wn−1
Tn−1
“1−
Wn−1
Tn−1
” Tn−1 − mTn−1 − 1
ps−→n−→∞
mx1(1− x1)
Vn =1n
nXk=1
Eh∆M2
k /Fk−1
ips−→
n−→∞mx1(1− x1)
Théorème
On a1√
n
nXk=1
“ξk − m
Wk−1
Tk−1
”L−→
n−→∞N
“0, mx1(1− x1)
”
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IntroductionThéorème générique
Premier Modéle : ajout proportionnelDeuxième Modèle : ajout anti-proportionnel
Un TLCPerspective
Un TLC en (ξn)n
Mn =Pn
k=1
“ξk − m Wk−1
Tk−1
”⇐= Martingale centrée.
Conditions de Lindeberg :
Eh∆M2
n/Fn−1
i= m
Wn−1
Tn−1
“1−
Wn−1
Tn−1
” Tn−1 − mTn−1 − 1
ps−→n−→∞
mx1(1− x1)
Vn =1n
nXk=1
Eh∆M2
k /Fk−1
ips−→
n−→∞mx1(1− x1)
Théorème
On a1√
n
nXk=1
“ξk − m
Wk−1
Tk−1
”L−→
n−→∞N
“0, mx1(1− x1)
”
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IntroductionThéorème générique
Premier Modéle : ajout proportionnelDeuxième Modèle : ajout anti-proportionnel
Un TLCPerspective
Un TLC en (ξn)n
Mn =Pn
k=1
“ξk − m Wk−1
Tk−1
”⇐= Martingale centrée.
Conditions de Lindeberg :
Eh∆M2
n/Fn−1
i= m
Wn−1
Tn−1
“1−
Wn−1
Tn−1
” Tn−1 − mTn−1 − 1
ps−→n−→∞
mx1(1− x1)
Vn =1n
nXk=1
Eh∆M2
k /Fk−1
ips−→
n−→∞mx1(1− x1)
Théorème
On a1√
n
nXk=1
“ξk − m
Wk−1
Tk−1
”L−→
n−→∞N
“0, mx1(1− x1)
”
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IntroductionThéorème générique
Premier Modéle : ajout proportionnelDeuxième Modèle : ajout anti-proportionnel
Un TLCPerspective
faible dépendance
la dépendance entre les deux familles ( WkTk
)k≤n et ( WlTl
)l≥n+m devient faible lorsque mtend vers +∞.
Proposition
On a1√
n
nXk=1
h Wk−1
Tk−1− E
“ Wk−1
Tk−1
”iP−→
n−→∞0
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Premier Modéle : ajout proportionnelDeuxième Modèle : ajout anti-proportionnel
Un TLCPerspective
faible dépendance
la dépendance entre les deux familles ( WkTk
)k≤n et ( WlTl
)l≥n+m devient faible lorsque mtend vers +∞.
Proposition
On a1√
n
nXk=1
h Wk−1
Tk−1− E
“ Wk−1
Tk−1
”iP−→
n−→∞0
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IntroductionThéorème générique
Premier Modéle : ajout proportionnelDeuxième Modèle : ajout anti-proportionnel
Un TLCPerspective
Un TLC en (Wn)n
On a
1√
n
“Wn − E[Wn]
”=
am√
n
nXk=1
“E
h Wk−1
Tk−1
i−
Wk−1
Tk−1
”−
a√
n
nXk=1
“ξk − m
Wk−1
Tk−1
”
Théorème
On a1√
n
“Wn − E[Wn]
”L−→
n−→∞N
“0, a2mx1(1− x1)
”
R. Aguech, O. Selmi Urnes de Pólya non équilibrées
IntroductionThéorème générique
Premier Modéle : ajout proportionnelDeuxième Modèle : ajout anti-proportionnel
Un TLCPerspective
Un TLC en (Wn)n
On a
1√
n
“Wn − E[Wn]
”=
am√
n
nXk=1
“E
h Wk−1
Tk−1
i−
Wk−1
Tk−1
”−
a√
n
nXk=1
“ξk − m
Wk−1
Tk−1
”
Théorème
On a1√
n
“Wn − E[Wn]
”L−→
n−→∞N
“0, a2mx1(1− x1)
”
R. Aguech, O. Selmi Urnes de Pólya non équilibrées
IntroductionThéorème générique
Premier Modéle : ajout proportionnelDeuxième Modèle : ajout anti-proportionnel
Un TLCPerspective
Plan de la présentation
1 Introduction
2 Théorème générique
3 Premier Modéle : ajout proportionnel
4 Deuxième Modèle : ajout anti-proportionnel
5 Un TLC
6 Perspective
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IntroductionThéorème générique
Premier Modéle : ajout proportionnelDeuxième Modèle : ajout anti-proportionnel
Un TLCPerspective
Rendre m aléatoire ! ! ! ! !
m fixe, a = b mais aléatoire.
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Premier Modéle : ajout proportionnelDeuxième Modèle : ajout anti-proportionnel
Un TLCPerspective
Rendre m aléatoire ! ! ! ! !
m fixe, a = b mais aléatoire.
R. Aguech, O. Selmi Urnes de Pólya non équilibrées
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Premier Modéle : ajout proportionnelDeuxième Modèle : ajout anti-proportionnel
Un TLCPerspective
MERCI
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