View
219
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
1
MITEN VALO KULKEE?
Minkowskin avaruus:
0222222
dzdydxdtcds
ctx
valo kulkee pitkin geodeettia eli siten, että 4-ulotteinen pituus2 on
minimissään:
00 22
dxdxgdsds
”suoraviivaisuus” riippuu käyristymisestä
- tärkeää tietää, sillä lähes kaikki havaintomme tehdään valon
(sähkömagneettisen säteilyn) avulla
2
pallosymmetrinen, staattinen tähti ???g
pallosymetria käytetään pallokoordinaatteja
SCHWARZSCHILDIN METRIIKKA
3
cos
sinsin
cossin
rx
ry
rx
2222222222 sin drdrdrdrdrdl
3d pallon metriikka 2d metriikka pallon pinnalla
22
2
sin00
00
001
r
rgij
ji
ij dxdxg
r
x i
tilavuuselementti = (det gij)1/2 pallon pinta-ala = 2-ulotteinen tilavuus
2
2
0 0
22 4sinsin rddrdrrddrA
OK
4
käyristymätön (=tasainen) avaruus )sin( 222222 ddrdrdl
riippuu vain r:stä
)sin()( 2222222 ddrdrrBdl
tehdään oletus: staattisen pallosymmetrisen tähden
metriikassa neliulotteinen pituus on muotoa
)sin()()( 2222222222 ddrdrrBdtrFcds
kun r kaareva avaruus Minkowski
rrBrF kun1)(,1)(
ei gravitaatiovoimaa äärettömän kaukana
5
sijoitetaan oletus Einsteinin yhtälöihin ja ratkaistaan tuntemattomat funktiot B ja F:
...8
21
4 RgRT
c
GG
rc
GMrFrB
rc
GMrF
2
22
2
2
21
1)(/1)(
21)(
M = tähden massa, G gravitaatiovakio
pöly laskeutuu ...
6
Scwarzschildin metriikka
22
2
22
2
22
21
21
dr
rc
GM
drdt
rc
GMcds
s
s
s
rr
rr
c
GMr
2
2Schwarzschildin säde
t aika, r paikka
?????
222222 '''' drdrdtcds
paikallisesti/hetkellisesti:
aika/paikka vaihtaneet paikkaa?
(1916)
7
Kuinka suuri Schwarzschildin säde on?
G=6.6726 10-11 m3kg-1s-2
Aurinko:
Maur = 1.9889 1030 kg
Raur=6.96 108 m
rs(aur)=2.953 km << Raur
Maa
Mmaa = 5.9737 1024 kg
rs(maa)=0.89 cm
tavallisten tähtien Schwarzschildin säde
paljon pienempi kuin tähden säde
ratkaisu ei validi tähden sisällä (massaa
ei voi pitää pistemäisenä)
jotta rs > R, vaaditaan todella tiheää
ainetta
jos rs > R musta aukko
8
Schwarzschildin säteen ulkopuolella
miten valo käyttäytyy?
radiaalisessa suunnassa
02
1
21
2
22
2
22
rc
GM
drdt
rc
GMcds
02 ds
0d : ei muutosta kulmasuunnassa
)(
0)(
)(
1
1
2
2
2222
2222
rcFdt
dr
rF
drdtrFc
r
r
drdt
r
rcds
s
s
aika riippuu koordinaatista r – mutta paikallinen aika (itseisaika) on aina
Minkowskin aikaa
dtrFd
dtr
rcdc s
)(
1 2222
9
r1 r2
d1 d2
r =
dt1= dt2
1
jos etäisyydeltä r lähetään valonsäde, valon frekvenssi mitataan paikallisessa ajassa
gravitaatiopunasiirtymä
2
1
2
1
2
1
1
2
1
1
)(
)(
r
r
r
r
rF
rF
d
d
s
s
äärettömyydessä nähdään punasiirtymä )(rF
aallonpituus kasvaa frekvenssi pienenee
10
esimerkki
etäisyydeltä r = 3rs/2 lähetetään valonsäde, jonka frekvenssi on
etäisyydellä r = 2rs oleva havaitsija näkee frekvenssin
)2/3()2/3(
21
2/31
)2/3()2(
)2/3()2(
32
ss
s
s
s
s
s
s
ss rr
r
r
r
r
rrF
rFrr
äärettömyydessä oleva havaitsija näkee frekvenssin
)2/3()2/3(
1
2/31
)2/3()(
)2/3()(
31
sss
s
s
ss rr
r
r
r
rF
rFr
11
kvanttifysiikka: fotonin energia on hE
fotoni menettää energiaa kavutessaan gravitaatiopotentiaalista
1
2
1
2
2
1
2
1
1
1
)(
)(
)(
)(
r
r
r
r
rF
rF
h
h
rE
rE
s
s
äärettömyydessä etäisyydeltä r lähetetyn fotonin energia on
0)(1)(
)()(
rE
r
r
F
rFE s
kun srr
Schwarzschildin säteeltä pois kapuamiseksi on aina käytettävä kaikki energia!
ääretön punasiirtymä
12
kuinka kauan valolta kuluu kavuta etäisyydelle r?
Crrrrrr
rdrct
drrr
r
rr
rdr
r
r
drcdt
r
r
drdt
r
rcds
ss
s
s
s
s
ss
s
s
)ln(1
1
1
0
1
12
222
)ln()ln(00 000 ssss rrrrCCrrrrrrt
s
ss
rr
rrrrrct
0
0 ln
”normaali”
srr
0ln)ln( 00 ss rrrr
Schwarzschildin säteeltä pois kapuaminen kestää äärettömän kauan
13
Mitä tapahtuu valolle Schwarzschildin säteen sisäpuolella?
1
01
11
1 2
0
222
222
r
r
drcdt
dtr
rc
r
r
dr
r
r
drdt
r
rcds
s
s
ss
s
s
r s
rr
r
r
drct
0
0
0 1
rs r0
dt äärellinen
ct
valo putoaa origoon
14
jos valo putoaa origoon, ja valo kulkee nopeammin kuin massiiviset
kappaleet, kaikki kappaleet putoavat origoon
massiivisten kappaleiden liikeyhtälö monimutkaisempi kuin fotoneilla,
mutta suhteellisuusteoria antaa saman loppupäätelmän:
kaikki Schwarzschildin säteen sisäpuolella oleva aine putoaa origoon
ja vieläpä mukana putoavan kellon mukaan äärellisessä ajassa
esim. luhistuva tähti: jokainen atomi, jolle r < rs, putoaa keskustaan eli
yhteen matemaattiseen pisteeseen
singulariteetti: pisteessä tilavuus on nolla,
joten tiheys=M/V on ääretön
= MUSTA AUKKO
15
r = rs on tapahtumahorisontti: ulkopuolinen havaitsija
ei näe Schwarzschildin säteen sisäpuolelle
r < rs on ikään kuin leikattu pois näkyvästä avaruudesta,
mutta sinne voi kuitenkin mennä
paluuta ei enää ole putoaminen singulariteettiin
”reikä” avaruudessa
tapahtumahorisontin ylittäminen tapahtuu vailla dramatiikkaa!
tapahtumahorisontti ei ole mustan aukon ”pinta” vaan laskennallinen
etäisyys varsinaisesta mustasta aukosta eli singulariteetista
16
vapaalle putoajalle kaikki on paikallisesti Minkowskia:
dt
dr
r
r
dt
dr
drr
rdr
dtr
rdt
s
putoaa
putoaa
sputoaa
sputoaa
1
2
1
2
22
1
1
1
voidaan osoittaa (jos osaisimme hieman enemmän yleistä suhteellisuusteoriaa),
että kaukaisen tarkkailijan mielestä tapahtumahorisonttia kohti putoavan objektin
nopeus on 2/12/1
1
r
r
dt
dr
r
r
r
r
dt
dr s
putoaa
putoaass = äärellinen tapahtumahorisontissa
tapahtumahorisontti ylitetään mukana putoavan kellon mukaan
äärellisessä ajassa
tapahtumahorisontin sisäpuolella singulariteettiin ajaudutaan äärellisessä
ajassa mukana putoavan kellon mukaan
17
vuorovesi-ilmiö tapahtumahorisontissa
pääF
jalatFnewtonilaisittain:
2
0
0
2
0
2
0
)(
4
)()(
r
rGMr
mgrr
GM
rr
GMF
vastaa m-massaista painoa
jaloissa Maan gravitaatio-
kentässä
mr
msg
kgmm jalatpää
1
10
5
2
olet.
kgM
M
M
kgm
mrcGM
GMmg
aur
pää
2
10
2
370
32
10104
)()/(
4
(check!
18
MITEN ULKOPUOLINEN HAVAITSIJA NÄKEE PUTOAMISEN?
help! help!
etäisyys R>>rs
r
rcrcF
dt
dr s1)(2
fotonille
avaruus täällä Minkowski, kelloaika = t
19
drrr
r
r
r
drcdt
s
s
s
1
1lasketaan:
etäisyydeltä r1 lähetetty viesti tulee perille ajassa t1:
s
ss
R
r s
s
rr
rRrrRdr
rr
rct
1
11 ln1
1
etäisyydeltä r2 ja etäisyydeltä r1 lähetettyjen viestien aikaero äärettömyydessä on
s
ss
rr
rrrrrttctc
2
11212 ln)( kun srr 2
tapahtumahorisontin läpi putoaminen näyttää ulkopuolelta
katsoen vievän äärettömän kauan!
20
kun srr 20)( r
Lisäksi:
lähetetyn valon aallonpituus punasiirtyy äärettömiin tapahtumahorisontissa
kaikki tapahtumahorisontin sisään pudonnut tavara on ”jäätynyt”
tapahtumahorisontin pinnalle (äärettömiin punasiirtyneenä)
elokuva putoamisesta
kestää äärettömän kauan
... mutta putoajan kellon mukaan mustaan aukkoon päädytään
äärellisessä ajassa
21
tapahtumahorisontin lähellä avaruus on käyristynyt niin, että fotoneilla
on stabiili rata = photon sphere
photon sphere R=3rs/2
tapahtumahorisontti r = rs
”black holes have no hair”
havaittavat ominaisuudet vain
- massa M
- impulssimomentti L
- sähkövaraus Q
Schwarzschild
Kerr
Reissner-Nordström
Gunnar Nordström
12. 3 1881 – 24. 12 1923
22
REAALIMAAILMA: mustat aukot syntyvät tähtien romahtaessa
mustilla aukoilla pyörimisliikettä
Kerrin musta aukko http://en.wikipedia.org/wiki/Kerr_metric
astro.physics.sc.edu
ergosphere = alue, jonka sisällä ei
voi olla paikoillaan (mutta ei välttämättä
joudu singulariteettiin)
kaksi horisonttia
kaksi fotosfääriä (ulompi ”counterrotating”,
sisempi ”corotating”)
singulariteetti on rengas!
pyöriminen vetää avaruutta mukaansa = ”frame dragging”
23
tähden romahtaminen
gravitaatio vetää säteilypaine työntää
hydrostaattinen tasapaino
alue jossa ydinreaktiot tapahtuvat: auringolle r ~ 105 km, Raur ~106 km
ydinreaktiot loppuvat säteilypaine ei enää kompensoi gravitaatiota
tähti romahtaa
Aurinko valkoinen kääpiö
tähti, jonka massa M > n. 10 Maur neutronitähti
tähti, jonka massa M > n. 50 Maur musta aukko
24
MUSTIEN AUKKOJEN HAVAITSEMINEN
epäsuorasti: kaasun pudotessa mustaan aukkoon se kasaantuu kertymäkiekoksi.
jonka sähkömagneettiset kentät toimivat eräänlaisena hiukkaskiihdyttimenä;
kaasu kuumenee voidaan nähdä
galaksien keskustoissa uskotaan
olevan miljoonien auringon massojen
suuruisia mustia aukkoja
25
kvanttifysiikka musta aukko höyrystyy
Hawkingin säteily
musta aukko säteilee, lämpötila GM
hcTT H
4
3
virtuaalisia hiukkaspareja
mustaan aukkoon kumppaninsa menettänyt
nähdään äärettömyydessä säteilynä
2
2
2 244
c
GMrA sBH
säteilyteho = vakio säteilevän pinnan ala T4
tapahtumahorisontin pinta-ala
säteilyteho
232
242
10563.3
42
WkgK
KMTAvakioMcdt
d
dt
dEP
M
H
M
BHBH
Recommended