Valutazione dello stato tensionale dovuto a un taglio e...

Scienza delle costruzioniESERCITAZIONI

Valutazione dello stato tensionale dovuto a un taglio e un momento flettente

Un sezione a doppio T èsoggetta ad un taglio T = 90 kNe ad un momento flettente MX = 400 kNm. Valutare l’andamento dello stato tensionale.

h1 = 3 cm

h2 =

24

cm

h1 = 3 cm

b1 = 25 cm

b2 = 2 cm X

Y Z

TMx

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Innanzitutto si determinano le caratteristiche inerziali della sezione:

Momenti principali di

inerzia rispetto X:

4633

105.29712

24023012

300250 mmIGX

×=×

−×

=

Il momento di inerzia rispetto l’asse X baricentrico ècalcolato valutando l’inerzia prima del rettangolo che circoscrive la sezione e poi sottraendo il contributo fornito dagli elementi aggiuntivi rispetto la sezione a doppio T.

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A questo punto è agevole determinare lo stato tensionale in termini di σZ indotto dal momento flettente applicando la formula di Navier:

Tensione normale σZ

massimaσ MPa

mmNmmh

IM

X

XZ 202

230

105.29710400

2 46

6

=⋅⋅

⋅==

YIM

X

XZ =σ

–

+

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Per il calcolo delle tensioni tangenziali τZY si applica la formula di Jourawski:

bIST

X

AXY

ZY ⋅⋅

=)'(

τ

A partire dal bordo superiore, la larghezza b da introdurre nella formula per il calcolo delle τZY sarà costante e pari a b1 = 25 cm sino all’attacco con l’anima. Pertanto i valori estremi in corrispondenza dell’ala risultano:

0152

=⇔== ZYcmhY τ

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Per il calcolo delle tensioni tangenziali τZY si applica la formula di Jourawski:

bIST

X

AXY

ZY ⋅⋅

=)'(

τ

A partire dal bordo superiore, la larghezza b da introdurre nella formula per il calcolo delle τZY sarà costante e pari a b1 = 25 cm sino all’attacco con l’anima. Pertanto i valori estremi in corrispondenza dell’ala risultano:

( ) MPacmY ZY 23.1250105.297

135302509000012 6 =⋅⋅

⋅⋅⋅=⇔= τ

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Nell’anima lo spessore b da introdurre nella formula si riduce drasticamente (b2 = 2 cm). Di conseguenza, all’attacco dell’ala si avrà:

( ) MPacmY ZY 32.1520105.297

135302509000012 6 =⋅⋅

⋅⋅⋅=⇔= τ

La tensione tangenziale massima (τZY)MAX si avrà nel baricentro dove risulta massimo il valore del momento statico:

( ) ( ) MPaMAXZY 5.1720105.297

602012013530250900006 =

⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅

=τ

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X

YbIST

X

AXY

ZY ⋅⋅

=)'(

τ

( ) MPaMAXZY 5.17=τ

MPaZY 32.15=τ

MPaZY 23.1=τ

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Analogamente per il calcolo delle tensioni tangenziali τZX si applica la formula di Jourawski:

bIST

X

AXY

ZX ⋅⋅

=)'(

τ

Contrariamente a quanto visto in precedenza, si può studiare solamente l’andamento delle τZX nelle ali della sezione a doppia T. Nell’ala superiore il flusso delle tensioni è uscente rispetto a un’area generica mentre nell’ala inferiore presenterà flusso opposto. La larghezza b da introdurre nella formula per il calcolo delle τZY sarà costante e pari a h1 = 3 cm.

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( ) ( )30105.297

13530115900006 ⋅⋅

⋅⋅⋅=MAXZXτ

X

Y

MPa69.4=

bIST

X

AXY

ZX ⋅⋅

=)'(

τ

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TyPer riassumere, l’andamento delle tensioni tangenziali può essere semplificato facendo riferimento alla figura in cui è facilmente visibile l’analogia idrodinamica ricordando che nelle ali l’andamento delle tensioni è lineare mentre nell’anima è parabolico.

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ZXτ

ZYτ

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Dopo aver effettuato lo studio dello stato tensionale della sezione a doppio T soggetta a taglio e momento flettente, si individuano i punti più sollecitati ed, essendo la sezione di materiale metallico, si verificano con il criterio di resistenza di Von Mises.Nel caso del solido di Saint Venant:

< pσγeqσ = 2

zσ + 3 2zτ√

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X

Y Z

TMx

1

2

3

Il punto 1, su cui non agiscono tensioni σZ, è soggetto alla massima tensione tangenziale τZY.

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X

Y Z

TMx

1

2

3

Il punto 2, su cui agiscono ancora rilevanti tensioni τZY, è soggetto ad un valore prossimo al massimo della tensione σZ.

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X

Y Z

TMx

1

2

3

Il punto 3 è soggetto alla massima tensione normale σZ e alla massima tensione tangenziale sull’ala τZX.