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Variabili di stato
x1 x2 … xn(t) (t) (t)Problema: dato lo stato del sistema in un dato istante, t0 , quale sarà il suo stato futuro e da quali stati precedenti proviene?
Leggi locali di evoluzione
Tempo continuo tR : equazioni differenziali
nitxtxtxfdt
tdxni
i ,...,1)(),...,(),()(
21
Tempo discreto tN: equazioni alle differenze (mappe iterate, induttive)
nitxtxtxftx nii ,...1)(),...,(),()1( 21
Sistema Dinamico
)(),...,(;)( 001 txtxtGtx ni Operatore di evoluzione
Newton: The fundamental Anagram of Calculus
Data un’equazione che contiene unnumero qualunque di “quantità fluenti” [derivate] trovare le “flussioni”
[primitive], e viceversa.
“Data aequatione quotcunque fluentes quantitae involvente fluxiones invenire et vice versa”
Dalla seconda lettera di Newton a Leibniz (1667): “The foundations of these operations is evident enough, in fact; but because I cannot proceed with the explanation of it now, I have preferred to conceal it thus: 6accdae13eff7i3l9n4o4qrr4s8t12ux.
Un piccolo esercizio di crittografia:
Linguaggio geometrico
4 variabili di stato...
n variabili di stato...
0 1 x(t)
0 1 x1(t)01
x2(t)
x1
x2
x3
Legge esponenziale
rxxmnmxnxdt
dx )(
con x(t0) = xo cond. iniziale
Soluzione
Legge di crescita di una popolazione. Siano n>0 e m>0 i tassi specifici di natalità e mortalità.
Legge di evoluzione:
)(0
0)( ttrextx
tasso di crescita netto per unità di popolazionex
xr
00 )(con xtxrx
dt
dx
rdtx
dx
t
t
tx
x
rdtx
dx
00
)(
tttxx trx
00
)()ln(
)(ln)(ln 00 ttrxtx
)()(
ln 00
ttrx
tx )(
0
0)( ttre
x
tx
rxdt
dx
Equazione differenziale primo ordine lineare
t
50 r = 0.5
1
10t
50r = 0.5
40
0 10
x(0)=1
-1
x(0)= -1
x(0)=40
x(0)= -40
- 40
x(t) = x(0)ert
r < 0
.0
r > 0
.0
dt
dx= rx
Immigrazione costante brxdt
dx
r
bxx
dt
dx *per 0
Siano r < 0 e b > 0.
Allora x*>0 e rx+b > 0 per x < x*
Quindi esiste un unico equilibrio positivo e stabile
b
-b/r
Unico equilibrio
Esercizio: studiare cosa succede cambiando segno a r e/o b
00 )(con xtxbrxdt
dx Cambio di variabile: X = x+b/r
r
bxtXrX
dt
dX 00 )(con
)(0
0)( ttrer
bxtX
Soluzione:
Per gli appassionati dei metodi analitici
Nella variabile originaria:r
be
r
bxtx ttr
)(
00)(
Crescita logistica di una popolazione
xmndt
dx)(
Nuova ipotesi: mortalità = m + sx
xsxrdt
dx)( da
Si passa a:
Secondo membro dell’equazione di evoluzione (una parabola)
(rsx)x 0 per 0 x r/s
x
dx/dt
r/s0dtxsxr
dx
)(
Se proprio si vuole integrare…
…
r/s
t
x
x(0)
x(0) 1)(
0
0
rt
rt
esxr
erxtx
Soluzione:
Troppi no…ma in branco si sta meglio e ci si difende dai predatori
x
dx/dt
k*0
)()( xxgxfdt
dx
q*
Bistabilità, bacini di attrazione
Sfruttamento della pesca
x
dx/dt
k*0
qExxxgxfdt
dx )()(
q*
qEx
k*
0qE
Irreversibilità !q*
Controllo della pesca e profitti:
Profitto = p(qEx)
Pesca sostenibile (lungo periodo)B
A
Consumatori snob
Tipico esempio di bistabilità: due equilibri stabili con uno instabile intermedio che fa da spartiacque (separatore dei bacini di attrazione)
E’ cruciale il prezzo di partenza
Dinamica del prezzo di un prodotto: dipende da domanda e offerta
)()]()([ pfpSpDkp
Algoritmo dello studio qualitativo (o topologico) di un sistema
dinamico a tempo continuo unidimensionale
1) Si cercano i punti si equilibrio cercando gli zeri di f(x), cioè
risolvendo l’equazione f(x)=0
2) In ogni punto di equilibrio x* si calcola la derivata f’(x*).
Se f’(x*)<0 allora il punto di equilibrio è stabile (tangente a pendenza negativa, vedi approx. lineare)
Se f’(x*)>0 allora il punto di equilibrio è instabile (tangente a pendenza positiva, vedi ancora approx. lineare)
Se f’(x*)=0 l’approx. lineare non ci dà informazioni
)(xfx
Esempio: la parabola della crescita logistica )()( sxrxxfx
f(x) = 0 per q*=0 e x*= r/sf’(x) = r2sxf’(0) = rf’(r/s) = r
x
dx/dt
r/s0In generale, dal polinomio di Taylor:
Approx lineare in un intorno del punto fisso
Anche per la velocità di convergenza (ma solo in un intorno)
Tr = 1/
Se in un punto di equilibrio x* di un sistema dinamico x = f(x) si ha f’(x*) = 0 nulla si può concludere sulla sua stabilità. Si tratta di una situazione di instabilità strutturale e una piccola (anche minima) variazione di un parametro può cambiare la classificazione qualitativa del diagramma di fase.
In tutti questi casi, ad esempio. Abbiamo x* = 0 e f’(0) = 0.
.
Un sistema dinamico è strutturalmente stabile se una piccola modifica nella struttura della equazione di evouzione (es, la modifica del valore di un parametro) non comporta un cambiamento qualitativo dello scenario dinamico
Proprietà generali
L’insieme aperto di tutti i punti xM tali che gt(x)A per t è detto bacino di attrazione di A
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