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Na prática é, muitas vezes, mais interessante associarmos um
número a um evento aleatório e calcularmos a probabilidade
da ocorrência desse número do que a probabilidade do
evento.
Definição: Sejam E um experimento e Ω o espaço amostral
associado ao experimento. Uma função X, que associe a cada
elemento ω Ω um número real X(ω) é denominada variável
aleatória.
2
Exemplo 1: Considere o experimento E: lançamento de duas
moedas e X: número de caras obtidas nas duas moedas. X
assume os valores 0, 1 e 2. Então:
Ω ={(c,c), (c,r), (r,c),(r,r)} espaço amostral do experimento.
Podemos também associar às probabilidades de X assumir um
dos valores, as probabilidades dos eventos correspondentes.
Assim:
P(X=0)=P(A1)=1/4; P(X=1)=P(A2)=2/4; P(X=2)=P(A3)=1/4
4
X Evento correspondente
0 A1={(r,r)}
1 A2={(c,r);(r,c)}
2 A3={(c,c)}
5
Exemplo 2: Se um experimento consiste no lançamento de um
dado, a função: X: “o dobro do valor obtido menos um”, define
uma variável aleatória discreta, que pode assumir seis valores
possíveis: 1, 3, 5, 7, 9 e 11 com probabilidade igual a 1/6.
Exemplo 3: Se um experimento consiste em observar o número
de carros vendidos durante um dia em uma garagem, conforme
tabela abaixo:
Se X for definido como sendo “o número de carros vendidos em
um dia”, X poderá assumir os valores 0; 1; 2; 3; 4 e 5 com
probabilidade 0;18; 0;39; 0;24; 0;14; 0;01 e 0;04,
respectivamente.
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Notamos que, a variável aleatória X pode assumir valores em um
conjunto finito ou em um conjunto infinito enumerável. Nesses casos
denominamos variável aleatória discreta. Indicaremos por
Caso a variável aleatória X assuma valores num intervalo de números
reais, ela é denominada uma variável aleatória contínua.
Estas variáveis podem ser classificadas em unidimensionais
discretas (contínuas), quando a variável de estudo é única;
bidimensionais discretas (contínuas), quando se tem a análise
conjunta de duas variáveis e multidimensionais quando se trabalha
com k variáveis.
7
1 2: , ,..., ,...nX x x x
Definição: Chama-se função de probabilidade da variável
aleatória discreta
a função que a cada valor de associa a sua probabilidade de
ocorrência, isto é,
Ao conjunto
denominamos de Distribuição de Probabilidades da variável
aleatória discreta X. Podemos representar este conjunto em
tabelas ou gráficos.
8
1 2: , ,..., ,....nX x x x
ix
( ) ( ) , 1,2,3,...i i ip x P X x p i
{( , ( ); 1,2,3,....)}i ix p x i
As característica de uma função de probabilidade são:
Exemplo 4: Jogar um dado e considerar : X o dobro do valor
obtido menos 1. Neste caso, X poderá assumir os valores 1,
3, 5, 7, 9 e 11 com probabilidade de 1/6 para cada evento.
Distribuição de probabilidades do dobro do valor obtido
menos um em um lançamento de um dado.
9
1
( ) ( ) 0
( ) 1
i i
n
i
i
P X x p x
p x
1 3 5 7 9 11
1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
iX x
( )iP X x
Muitas vezes tem-se o interesse em estimar parâmetros
característicos de uma distribuição de probabilidade de uma
variável aleatória qualquer. Um desses parâmetros é a
Esperança Matemática, que representa uma média aritmética
ponderada ou um valor esperado de uma variável aleatória. Na
prática, a esperança pode ser entendida como um “centro de
distribuição de probabilidade”, isto é, a média de uma
distribuição de probabilidade.
A Esperança Matemática é definida da seguinte forma:
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Esperança Matemática ou Valor Médio de uma Variável Aleatória Discreta
Definição: Dada a variável aleatória discreta X, assumindo os
valores x1, x2, …, xk , chamamos esperança matemática ou valor
médio de X ao valor:
Notações:
Do Exemplo 4 temos
11
1
( ) ( ) ( )n
i i
i
E X x p x x p x
1 1 1 1 1 1( ) ( ) 1 3 5 7 9 11 6
6 6 6 6 6 6E X x p x
( ), ( ), ,XE X X
Chamamos de variância de X ao valor
Ou
Notações:
e de desvio padrão de X é a raiz quadrada positiva da
variância:
Notações:
12
22 2 2( ) ( ) [ ( )] ( ) ( )Var X E X E X x p x x p x
2
2
1 1
( ) ( ) ( )n n
i i i i
i i
Var X x p x x p x
2 2 2( ), ( ), ,XVar X X
)()( XVarXDP
( ), ( ), ,XDP X X
Do exemplo 4 temos
13
2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1( ) ( ) 1 3 5 7 9 11 47,67
6 6 6 6 6 6E X x p x
2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ( )) 47,67 6 11,67
( ) ( ) ( ) 3,42
Var X X E X E X
DP X X Var X
OBSERVAÇÕES:
Procedimentos semelhantes podem ser utilizados para variáveis
aleatórias continuas, substituindo o pela integral.
Vale ressaltar que no caso da variável continua a probabilidade
de ocorrer exatamente um valor é igual a ZERO. Portanto,
calcula-se probabilidade apenas para intervalos.
a b
P(a<X<b)
b
a
dxxfbXaP )()(
b
a
dxxfxXE )()(
b
a
dxxfxXE
onde
XEXEXVar
)()(
)]([)()(
22
22
)()( XVarXDP
É a mais importante das distribuições teóricas de probabilidade
para variáveis discretas.
Considere n tentativas independentes de um mesmo experimento
aleatório. Cada tentativa admitindo apenas dois resultados:
fracasso com probabilidade q e sucesso com probabilidade p ,
p+q=1 ou q=1-p.
A probabilidade de sucesso (p) em cada ensaio é constante.
Como as probabilidades p de sucesso se mantêm constantes em
cada ensaio, a distribuição binomial é indicada para os casos em
que a amostragem é feita com reposição.
16
Seja X: número de sucessos em n tentativas.
A função de probabilidade da variável X é :
onde k é o número de sucessos em n tentativas e
é o coeficiente binomial de n sobre k .
A variável X tem Distribuição Binomial, com parâmetros n e p.
Notação:
17
, ( ) . .k n k
n kP X k C p q
n,k
n n!C = =
k!(n - k)!k
~ ( ; )X B n p
Exemplo: Uma moeda é lançada 20 vezes. Qual a
probabilidade de saírem 8 caras?
Solução:
• Número de tentativas n=20
• Número de sucessos desejado k=8
• Probabilidade de sucesso em 1 tentativa p=1/2
• Probabilidade de insucesso em 1 tentativa q=1/2
• Seja X: número de sucessos (caras) então X:0,1,2,3,...,20
• Usando estes parâmetros na fórmula da Distribuição Binomial
temos
18
8 20 8
20,8 ( 8) . .P X C p q
19
8 20 8 8 12
20,8
1 1 1( ) e ~ 20,
2 2 2
1 1 20! 1 1( 8)
2 2 8!(20 8)! 2 2
( 8) 0,12013
p P c q X B
P X C
P X
Portanto a probabilidade de sair 8 caras é 0,12013.
Os parâmetros da Distribuição Binomial são:
Esperança ou média:
Variância:
20
( ) .E X n p
( ) . .Var X n p q
Exercício 1: Achar a média e a variância da variável aleatória
Exercício 2: Sabe-se que certo procedimento de inseminação
artificial tem probabilidade de 60% de dar certo. Três mulheres são
submetidas a este tipo de inseminação.
a) Verifique se este experimento se enquadra como binomial
b) Calcule a probabilidade de: i) em exatamente 3 mulheres a
inseminação funcionar; ii) no máximo em 1 mulher ocorrer o
sucesso.
c) Determinar o número esperado e o desvio padrão de mulheres em
que a inseminação funcionou.
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~ (20;0,3)X B
Consideremos a probabilidade de ocorrência de sucesso em
um determinado “intervalo” (domínio contínuo).
Seja X o número de sucessos no intervalo (v.a discreta),
então:
onde é a média.
A variável assim definida tem Distribuição de Poisson.
Notação:
22
.( )
!
keP X k
k
~ ( )X Po
A Distribuição de Poisson é muito usada na distribuição de
números de:
◦ carros que passam por um cruzamento por minuto,
durante uma certa hora do dia;
◦ número de nascimentos de crianças por dia
◦ mortes por ataque de coração por ano, numa cidade
◦ problemas de fila de espera em geral
◦ número de focos de dengue por km2
◦ erros tipográficos por página, em um material.
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Exercício 3: Num pronto socorro são atendidas 300 pessoas
por hora. Qual a probabilidade de que:
a) em um minuto não haja nenhum atendimento;
b) em 2 minutos haja 2 atendimentos
(quadro)
Exercício 4: A experiência mostra que de cada 400 lâmpadas, 2
se queimam ao serem ligadas. Qual a probabilidade de que
numa instalação de 900 lâmpadas, exatamente 8 se queimam?
(quadro)
24
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