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VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
2
Variável aleatória
Ω é o espaço amostral de um experimento aleatório. Uma variávelaleatória, X, é uma função que atribui um número real a cada resultadoem Ω.
Exemplo. Retira-se, ao acaso, um item produzido de um lote de seis unidades.Variáveis:
X: Número de defeitos no item selecionado.
Y: Tempo de vida do item (em h).
3
O espaço amostral associado a este experimento aleatório é
.,,, 621 aaa L=Ω
Os possíveis valores da variável X são 0,1,2,..., e os possíveis valoresda variável Y são os números reais não negativos.
Classificação:
•Variáveis aleatórias discretas. O conjunto de possíveis valores é finitoou infinito enumerável.
•Variáveis aleatórias contínuas. O conjunto de possíveis valores éinfinito não enumerável (um intervalo, por exemplo).
No exemplo acima, X é discreta e Y é contínua.
4
Variáveis aleatórias discretas (VAD)
Exemplo. Um lote de um certo produto é formado por 35 itens, sendo21 itens do tipo H e 14 do tipo M. Uma amostra de 3 itens será formadasorteando-se, sem reposição, três itens do lote. Qual a probabilidadede encontrarmos na amostra pelo menos dois itens do tipo M?
X é uma VAD com possíveis valores no conjunto RX. Uma função f(x) é uma função de probabilidade se
∑∈
=
∈==≤≤
Xi Rxi
iii
i
xf
xxfxX
xf
.1)( (iii)
e R ),()(P (ii)
,1)(0 (i)
X
Definimos X como o número de itens do tipo M na amostra.
5
Espaço amostral Probabilidade X HHH 203,0
33
19
34
20
35
21 =×× 0
HHM 150,033
14
34
20
35
21 =×× 1
HMH 150,033
20
34
14
35
21 =×× 1
MHH 150,033
20
34
21
35
14 =×× 1
HMM 097,033
13
34
14
35
21 =×× 2
MHM 097,033
20
34
21
35
14 =×× 2
MMH 097,033
21
34
13
35
14 =×× 2
MMM 056,033
12
34
13
35
14 =×× 3
x 0 1 2 3 P(X=x) 0,203 0,450 0,291 0,056
0,347.0,0560,2913P2P2)P(X Assim, =+==+==≥ )(X)(X
6
Exemplo. A demanda diária de um item é uma variável aleatória discretacom a função de probabilidade
.4 ,3 ,2 ,1;!
2)(P === d
d
CdD
d
(a) Determinar a constante C.
(b) Calcular P(D ≥ 2).
Solução. (a) Para que P(D = d) seja uma função de probabilidade,devemos ter (i) C > 0 e(ii) P(D = 1) + P(D = 2) + P(D = 3) + P(D = 4) = 1. Ou seja,
.6
11
!4
2
!3
2
!2
2
1
21)(P
432
=⇒=
+++⇒==∑
∈
CCdDDRd
.3
2
6
4
6
21)1(P1)2(P1)2(P)(
.4,3,2,1;!6
2)(P Logo,
==−==−=<−=≥
===
DDDb
dd
dDd
7
Função de distribuição acumulada de uma VAD
Função de distribuição acumulada (FDA) X é uma VAD com valores em RX = x1,x2,... e função de probabilidade f(x) = P(X =x). Para qualquer x, a FDA de X, denotada por F(x), é definida como
.que em ,)(P)()(P)( Xixx
ixx
i RxxXxfxXxFii
∈===≤= ∑∑≤≤
Exemplo. Uma variável aleatória X tem função de probabilidade
,
c.c.,0
3,2se,15/7
,1se,15/1
)(P)(
==
=== x
x
xXxf
Determinar F(x).
8
∑
∑
∑
∑
∑
∑
≤
≤
≤
≤
≤
≤
==+=+====≤=≥
=++=
=+=+====≤==
==+====≤=<≤
=+==+====≤==
=====≤=<≤
======≤==
=≤=<
xxi
xi
xxi
xi
xxi
xi
i
i
i
i
i
i
XXXxXxXxFx
XXXxXXFx
XXxXxXxFx
XXxXXFxSe
XxXxXxFx
fXxXXFx
xXxFx
.1)3(P)2(P)1(P)(P)(P)(,3Se
.115
7
15
7
15
1
)3(P)2(P)1(P)(P)3(P)3(,3Se
.15
8)2(P)1(P)(P)(P)(,32Se
.15
8
15
7
15
1)2(P)1(P)(P)2(P)2(,2
.15
1)1(P)(P)(P)(,21Se
.15
1)1()1(P)(P)1(P)1(,1Se
.0)(P)(,1Se
3
2
1
9
.R de elementos são eque sendo
)()(então ),[ se geral, Em
).2()(então),3,2[se
);1()(então),2,1[ Se
x1
1
+
+ =∈=∈=∈
ll
lll
xx
xFxFxxx
FxFx
FxFx
Observação.
Logo, a FDA é dada por
≥<≤<≤
<
=
.3se,1
,32se,15/8
,21se,15/1
,1se,0
)(
x
x
x
x
xF
10
X é uma VAD 1. Para todo x, 0≤ F(x) ≤ 1. 2. F(x) é uma função monótona não decrescente.
3. 1)(lim0)(lim ==+∞→−∞→
xFexFxx
4. Se RX = x1, x2,......, em que x1<x2<..., então f(xi) = P(X = xi) = F(xi) - F(xi-1). 5. Se a e b são tais que a<b, então
).(P)()()(P)(
e )(P)()()(P)(
),()()(P)(
),(P1)(P)(
),()(P)(
bXaFbFbXav
aXaFbFbXaiv
aFbFbXaiii
aXaXii
aFaXi
=−−=<<=+−=≤≤
−=≤<<−=≥
=≤
Propriedades da função de distribuição acumulada
11
Exemplo. A variável aleatória X tem função de distribuição acumulada
≥<≤<≤<≤
<
=
.3
,32
se
se
,1
,8/5,21se,2/1
,10se,8/1
,0se,0
)(
x
xx
x
x
xF
Determinar
==
===
====<=≥
=−=−=≤<
≥≤<
c.c.,0
,3 ,1se,8/3
,2 ,0se,8/1
)(P)(
é X de adeprobabilid de função a quemostrar se-pode
FDA, da 4 epropriedad Pela.3,2,1,0 que se-FDA tem Da (c)
1/2.1/2-1F(1)-12)P(X-12)P(X :FDA da 5(i) ePropriedad)(
.2/12/11)1()3()31(P (a)
:FDA da 5(iii) epropriedad a Usando
).()( e )2(P)( ),31(P)(
x
x
xXxf
R
b
FFX
xfcXbXa
X
12
Exem
plos
3.0
3.5
4.0
4.5
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
x
F(x)
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
x
F(x)
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
x
F(x)
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
x
F(x)
13
Variáveis aleatórias contínuas (VAC)
Função densidade de probabilidade
Uma função f(x) é chamada função densidade de probabilidade de umaVAC X se
∫
∫
=≤≤=≤≤=
=
≥∞
∞−b
a
dxxfbXaAbxaxA
dxxf
xxf
.)()(P)(Pentão ,; Se.3
.1)(.2
. todopara ,0)(.1
Exemplo. O tempo de produção de um componente (em minutos) é uma variávelaleatória X com função densidade
≤≤−
=contrário.caso,0
,42se,4
5)( x
xxf
Verificar se f(x) é uma função densidade de probabilidade e calcular a probabilidadeque o tempo de produção de um artigo escolhido ao acaso seja menor do que 3minutos.
14
Primeiro notamos que f(x) ≥ 0, para todo x.Falta verificar a condição (2), ou seja a áreasob o gráfico de f(x) deve ser igual a 1.
.1)2
5(4
1
4
50
4
50)(
4
2
22 4
2 4
4
2
=−=−=+−+==∞−
∞∞
∞−∫ ∫ ∫ ∫∫
x
xxdx
xdxdx
xdxdxxf
A probabilidade de que o tempo de produção de um artigo escolhido ao acasoseja menor do que 3 minutos é a probabilidade do evento A = x; x < 3, ou seja,
.8
5)
25(
4
1)5(
4
10)()3(P)(P
3
2
23 2 3
2
=−=−+==<= ∫ ∫ ∫∞− ∞−
xxdxxdxdxxfXA
15
Observação. Se X é uma VAC, então
. todo para),(P)(P (iii)
, com e todospara ),(P
)(P)(P)(P (ii)
,todo para,0)(P (i)
aaXaX
bababXa
bXabXabXa
xxX
<=≤<≤<=
≤≤=<≤=<<==
Função de distribuição acumulada. X é uma VAC com função densidadef(x). A função de distribuição acumulada (FDA) de X é
. todopara ,)()()( ∫∞−
=≤=x
xdttfxXPxF
Exemplo. Uma variável aleatória X tem função densidade
≤≤−
=contrário.caso,0
,42se,4
5)( x
xxf Determinar F(x).
Obs. Se X é um tempo de vida, utilizamos a função de confiabilidade(reliability function): R(x) = P (X > x) = 1 – F(x).
16
( )
.1)()(
,4 Se
.8
)5(9
8
5
4
50
4,x2Se
.0logo, ;0)( ,2 Se
0
x
4
1
4
2
0
2x
-
2
2
22
2
x
-
=++==
≥
−−=−−=−+==
<≤==<
∫∫∫∫
∫ ∫∫
∞−∞
∞−∞
3214342143421
f(t)dtdttfdttff(t)dtF(x)
x
xtdt
tdtf(t)dtF(x)
F(x)xfx
xx
≥
<≤−−<
=
.4se,1
,42se8
)5(9,2se,0
)(2
x
xx
x
xF
Logo, a FDA de X é
0 1 2 3 4 5 6
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
xF
(x)
17
Observação.
A FDA de X permite o cálculo de probabilidades de eventos da forma
E = x; a ≤ x ≤b, com a ≤ b. Isto é,
P(E) = F(b) – F(a).
Exemplo. Considere a FDA abaixo. Obtenha P(X ≤3) e P(3 ≤X < 5).
,
.4se,1
42se,8
)5(9,2se,0
)(2
≥
≤≤−−<
=
x
xx
x
xF
.8
3
8
51)3()5()53(P
e 8
5
8
)35(9)3()3(P
2
=−=−=<≤
=−−==≤
FFX
FX
Solução.
18
Propriedades
1. 0 ≤ F(x) ≤ 1, para todo x.
2. F(x) é uma função monótona não decrescente.
3. F(x) é uma função contínua para todo x.
.1)(lim)(lime0)(lim)(lim .4 ∫∫∞−
∞→∞→∞−
−∞→−∞→====
x
xx
x
xxdttfxFdttfxF
).(xFdx
df(x) =
5. Do teorema fundamental do cálculo obtemos
Exemplo. Suponha que o tempo de vida de um processador é uma variável aleatóriaX com
<≥−=
−
.0 se,0
,0 se,1)(2
x
xkexF
x
Determinar (a) o valor de k, (b) P(X ≥ 2), P(2 ≤ X ≤ 4) e P(X ≤ -1) e (c) f(x).
19
Solução. (a) Propriedade 3 de F(x): F(0) = 0.
≥−==⇒=−−
−
c.c.,0
,0se,1 Logo, .10120 xeF(x)kke
x
.0)1()1(P
.233,0)1()1()2()4()42(P
.368,0)1(1)2(P1)2(P)(2112
11
=−=−≤=−=−−−=−=<≤
==−−=<−=≥−−−−
−−
FX
eeeeFFX
eeXXb
0 2 4 6 8
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
x
f(x)
0 2 4 6 8
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
xF
(x)
e R
(x)
F(x)
R(x)
≥==
−
c.c.,0
,0 se,2
1)()(
: de 5 ePropriedad )(
2 xexFdx
dxf
F(x)cx
20
Valor esperado e variância
Valor esperado de uma variável aleatória. X é uma variável aleatória com função de probabilidade ou função densidade de probabilidade f(x). O valor esperado (ou esperança matemática ou média da variável aleatória), denotado por E(X) = µX é definido como
,)()(
:contínua aleatória variáveluma é X .2
e )()(
:discreta aleatória variáveluma é X 1.
∫
∑
∞
∞−
∈
=
=
dxxxfXE
xxfXEXRx
supondo que o somatório e a integral existem.
21
Valor esperado de uma função de variável aleatória
Y = h(X), sendo h uma função de X.
O valor esperado de h(X) é dado por
.)()()(
:contínua aleatória variáveluma é X .2
e )()()(
:discreta aleatória variáveluma é X 1.
∫
∑
∞
∞−
∈
=
=
dxxfxhYE
xfxhYEXRx
22
Variância de uma variável aleatória. X é uma variável aleatória com função de probabilidade ou função densidade de probabilidade f(x) e com média E(X) = µX. A variância de X, denotada por 2)(
XXVar σ= é definida como o valor
esperado de (X - µX)2.
.)()()(
:contínua aleatória variáveluma é X .2
e )()()(
:discreta aleatória variáveluma é X 1.
2
2
∫
∑
∞
∞−
∈
−=
−=
dxxfxXVar
xfxXVarXRx
µ
µ
Desvio padrão. É a raiz quadrada da variância:
.)()( XVarXDP X == σ
23
Solução. Gráfico de f(x).
Exemplo. Suponha que a demanda diária de uma peça é uma variávelaleatória discreta com função de probabilidade
====
.c.c,0
,4 ,3 ,2 ,1,!6
2)()( x
xxXPxf
x
Determinar (a) a demanda esperada e (b) o desvio padrão da demanda.
x
P(X
= x
)
1 2 3 4
0.15
0.20
0.25
0.30
24
.99,081
80)(
,81
80
!46
2)
9
194(
!36
2)
9
193(
!26
2)
9
192(
6
2)
9
191(
)()()( )(
42
32
222
2
≅==
=×
×−+×
×−+×
×−+×−=
=−= ∑∈
X
Rx
XDP
xfxXVarbX
σ
µ
Solução. (a) Pela definição de valor esperado, temos
.1,29
19
!46
24
!36
23
!26
22
6
21)()(
432
≅=×
×+×
×+×
×+×== ∑∈ XRx
xxfXE
x
P(X
= x
)
1 2 3 4
0.15
0.20
0.25
0.30
Gráfico de f(x) com µ – σ, µe µ + σ.
25
Moda, mediana e média (VAC)
x
f(x)
Mod
a
Med
iana
Mé
dia
x
f(x)
Mé
dia
Med
iana
Mod
a
Assimetria à direita:
Moda < Mediana < Média
Assimetria à esquerda:
Moda > Mediana > Média
Simetria: Mediana = Média (se existir).
26
Variáveis aleatórias independentes
X e Y são duas variáveis aleatórias. Dizemos que X e Y sãoindependentes se, e somente se,
. e todospara ),(P)(P))()((P yxyYxXyYxX =×===∩=
Em particular, se X e Y são duas variáveis aleatórias discretas, X e Ysão independentes se, e somente se,
, e todospara ),()(
))(P)(P))()((P
yxyFxF
yYxXyYxX
YX ×=≤×≤=≤∩≤
sendo que FX e FY são as FDA’s de X e Y.
27
).()()()(X
então tes,independen variáveis são ,,Se.9
).()(Y)X(
então tes,independen aleatórias variáveissão e Se.8
).()(.7
.0)(.6
2121
1
22
2
nn
n
XVarXVarXVarXXVar
nXX
YVarbXVarabaVar
YX
XVaraaXVar
aVar
+++=++
+=±
==
LL
L
Propriedades do valor esperado e da variância
X e Y são duas variáveis aleatórias e a e b dois números reais.
( ).)()(.5
).()(.4
.)()(.3
).()(.2
.)(.1
22 µX
XEXVar
YbEXaEbYaXE
bXaEbaXE
XaEaXE
aaE
−=
±=±±=±
==
28
Exemplo. O total de vendas diárias de um empresa que comercializaequipamentos eletrônicos (em dezenas de milhares de R$) é uma variávelaleatória com função densidade
≤<−
≤≤−
=
c.c.,0
,64se,6
6
,42se,3
2
)( xx
xx
xf X
(a) Para um certo dia, determine a probabilidade de que as vendas daempresa sejam maiores do que R$ 22.000,00, mas não ultrapassemR$ 45.000,00.
(b) A média e o desvio padrão das vendas diárias.(c) Se o lucro diário é dado pela função Y = 0,2X - 0,5, calcule a média e
o desvio padrão do lucro diário.
29
Solução. Denotamos as vendas diárias (em dezenas de milhares de R$)por X.
Gráfico de f(x):
.806,02
66
12
23
1
6
6
3
2)()5,42,2(P)(P
5,4
4
24
2,2
2
5,4
2,2
5,4
4
4
2,2
=
−+
−=
−+−==≤<= ∫ ∫∫
xxx
x
dxx
dxx
dxxfXA
(a) Definimos A = 2,2 < X ≤ 4,5 e calculamos
0 2 4 6 8
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
V e n d a s (1 0 4 R $ )
Den
sida
de
30
.89,149
134
6
6
3
2)()( e
78,39
34
6
6
3
2)()(
6
4
24
2
222
6
4
4
2
≅=
−+
−==
≅=
−+
−==
∫∫∫
∫∫∫∞
∞−
∞
∞−
dxx
xdxx
xdxxfxXE
dxx
xdxx
xdxxxfXE
(b) Iniciamos calculando
Logo,
.786,081/50)( e
81/50
9
34
9
134)()(
2222
≅==
=
−=−==
XVar
XEXVar
X
XX
σ
µσ
(c) Definimos Y = 0,2X – 0,5. Das propriedades do valor esperado e da variânciaobtemos E(Y) = E(0,2X – 0,5) = 0,2 E(X) – 0,5 = 0,2 × 34/9 –0,5 ≅ 0,256,
.157,0)(
)81/50(2,0)(2,0)5,02,0()( 22
≅=⇒
×==−=
YVar
XVarXVarYVar
Yσ
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