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Lektion 6: utm- und smn-Theorem
Wahlpflichtfach Bachelor Informatik 4. Semester
Ausgewählte Kapitel Diskreter Mathematikmit Anwendungen
Lektion 6: utm- und smn-Theorem
Kurt-Ulrich Witt
Sommersemester 2011
Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik • Lektion 6 1/28
Lektion 6: utm- und smn-Theorem
Inhaltsverzeichnis
Anforderungen an BerechenbarkeitskonzepteGödelisierung von µRNummerierung von Putm-Theoremsmn-Theorem
Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik • Lektion 6 2/28
Lektion 6: utm- und smn-Theorem
Anforderungen an BerechenbarkeitskonzepteGödelisierung von µRNummerierung von Putm-Theoremsmn-Theorem
Sowohl aus Theoretischer als auch aus praktischer Sicht
(1) Existenz einer berechenbaren universellen Funktion
(2) Möglichkeit der Parametrisierung(effektive Programmierung)
Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik • Lektion 6 3/28
Lektion 6: utm- und smn-Theorem
Anforderungen an BerechenbarkeitskonzepteGödelisierung von µRNummerierung von Putm-Theoremsmn-Theorem
Sowohl aus Theoretischer als auch aus praktischer Sicht
(1) Existenz einer berechenbaren universellen Funktion
(2) Möglichkeit der Parametrisierung(effektive Programmierung)
Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik • Lektion 6 3/28
Lektion 6: utm- und smn-Theorem
Anforderungen an BerechenbarkeitskonzepteGödelisierung von µRNummerierung von Putm-Theoremsmn-Theorem
Sowohl aus Theoretischer als auch aus praktischer Sicht
(1) Existenz einer berechenbaren universellen Funktion
(2) Möglichkeit der Parametrisierung(effektive Programmierung)
Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik • Lektion 6 3/28
Lektion 6: utm- und smn-Theorem
Anforderungen an BerechenbarkeitskonzepteGödelisierung von µRNummerierung von Putm-Theoremsmn-Theorem
Codierung σ der Nullfunktionen und Projektionen
(Code-) Alphabet:
Σ = { |,#,O, π, ν, C,PRK, µ, [, ] , ; , , }
Codierung:σ : µR → Σ+
mit
σ(Ok ) = O|k , k ≥ 0
σ(πki ) = π|k #|i , 1 ≤ i ≤ k , k ≥ 1
Beispiele:
σ(O3) = O|||σ(π5
2) = π|||||#||
Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik • Lektion 6 4/28
Lektion 6: utm- und smn-Theorem
Anforderungen an BerechenbarkeitskonzepteGödelisierung von µRNummerierung von Putm-Theoremsmn-Theorem
Codierung σ der µ-rekursiven Funktionen
sowieσ(x) = x für x ∈ { ν, C,PRK, µ, [, ] , ; , , }
undσ(x1x2 . . . xn) = σ(x1)σ(x2) . . . σ(xn)
für
xi = Ok , k ≥ 0
xi = πki , 1 ≤ i ≤ k , k ≥ 1
xi ∈ { ν, C,PRK, µ, [, ] , ; , , }
Beispiel add :PRK
[π1
1 , C[ν;π3
3]]
Codierung:
σ(PRK[π1
1 , C[ν;π3
3]]
) = PRK [π|#|, C [ν;π|||#|||]]
Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik • Lektion 6 5/28
Lektion 6: utm- und smn-Theorem
Anforderungen an BerechenbarkeitskonzepteGödelisierung von µRNummerierung von Putm-Theoremsmn-Theorem
Nummerierung von µR
ρ : Σ→ {1,2, . . . ,12 }definiert durch
ρ(|) = 1 ρ(π) = 4 ρ(PRK) = 7 ρ( ]) = 10ρ(#) = 2 ρ(ν) = 5 ρ(µ) = 8 ρ(; ) = 11ρ(O) = 3 ρ(C) = 6 ρ([ ) = 9 ρ(,) = 12
Es sei pi ∈ P die i-te Primzahl, dann sei die Abbildung
g : Σ+ → Ndefiniert durch
g(x1 . . . xn) = pρ(x1)1 · . . . · pρ(xn)
n
Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik • Lektion 6 6/28
Lektion 6: utm- und smn-Theorem
Anforderungen an BerechenbarkeitskonzepteGödelisierung von µRNummerierung von Putm-Theoremsmn-Theorem
Beispiele
id = π11
Es giltσ(id) = π|#|
undg(π|#|) = 24 · 31 · 52 · 71 = 8 400
d.h. der (µ-rekursiven Implementierung der) Funktion id wirddie Nummer 8 400 zugeordnet.
Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik • Lektion 6 7/28
Lektion 6: utm- und smn-Theorem
Anforderungen an BerechenbarkeitskonzepteGödelisierung von µRNummerierung von Putm-Theoremsmn-Theorem
Beispiele
1 = C[ν;O0
]Es gilt
σ(1) = C [ν;O]
und
g (C [ν;O]) = 26 · 39 · 55 · 711 · 113 · 1310
= 1 428 273 264 576 872 238 279 737 182 200 000
d.h. der (µ-rekursiven Implementierung der) Funktion 1 wird dieNummer
1 428 273 264 576 872 238 279 737 182 200 000
zugeordnet.Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik • Lektion 6 8/28
Lektion 6: utm- und smn-Theorem
Anforderungen an BerechenbarkeitskonzepteGödelisierung von µRNummerierung von Putm-Theoremsmn-Theorem
Nummerierung von µR
Durch die Funktionτ : µR → N
definiert durchτ = g ◦ ρ
werden den µ-rekursiven Funktionen (sehr große) Nummernzugeordnet.
Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik • Lektion 6 9/28
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Anforderungen an BerechenbarkeitskonzepteGödelisierung von µRNummerierung von Putm-Theoremsmn-Theorem
Umkehrung von τ
Die Funktion τ ist injektiv und damit umkehrbar.
Berechne zu einer Zahl n ∈ N, die die Nummer einerµ-rekursiven Funktion f ist, f = τ−1(n):
(1) Zerlege n in seine Primfaktoren
(2) Ordne diese der Größe nach
(3) Fasse gleiche Faktoren zu Potenzen zusammen
(4) Decodiere die Potenzen gemäß Codetabelle
Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik • Lektion 6 10/28
Lektion 6: utm- und smn-Theorem
Anforderungen an BerechenbarkeitskonzepteGödelisierung von µRNummerierung von Putm-Theoremsmn-Theorem
Umkehrung von τ
Die Funktion τ ist injektiv und damit umkehrbar.
Berechne zu einer Zahl n ∈ N, die die Nummer einerµ-rekursiven Funktion f ist, f = τ−1(n):
(1) Zerlege n in seine Primfaktoren
(2) Ordne diese der Größe nach
(3) Fasse gleiche Faktoren zu Potenzen zusammen
(4) Decodiere die Potenzen gemäß Codetabelle
Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik • Lektion 6 10/28
Lektion 6: utm- und smn-Theorem
Anforderungen an BerechenbarkeitskonzepteGödelisierung von µRNummerierung von Putm-Theoremsmn-Theorem
Umkehrung von τ
Die Funktion τ ist injektiv und damit umkehrbar.
Berechne zu einer Zahl n ∈ N, die die Nummer einerµ-rekursiven Funktion f ist, f = τ−1(n):
(1) Zerlege n in seine Primfaktoren
(2) Ordne diese der Größe nach
(3) Fasse gleiche Faktoren zu Potenzen zusammen
(4) Decodiere die Potenzen gemäß Codetabelle
Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik • Lektion 6 10/28
Lektion 6: utm- und smn-Theorem
Anforderungen an BerechenbarkeitskonzepteGödelisierung von µRNummerierung von Putm-Theoremsmn-Theorem
Umkehrung von τ
Die Funktion τ ist injektiv und damit umkehrbar.
Berechne zu einer Zahl n ∈ N, die die Nummer einerµ-rekursiven Funktion f ist, f = τ−1(n):
(1) Zerlege n in seine Primfaktoren
(2) Ordne diese der Größe nach
(3) Fasse gleiche Faktoren zu Potenzen zusammen
(4) Decodiere die Potenzen gemäß Codetabelle
Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik • Lektion 6 10/28
Lektion 6: utm- und smn-Theorem
Anforderungen an BerechenbarkeitskonzepteGödelisierung von µRNummerierung von Putm-Theoremsmn-Theorem
Beispiel
Beispiel:
172 821 065 013 801 540 831 848 199 046 200 000
Kanonische Faktorisierung:
26 · 39 · 55 · 711 · 115 · 1310
woraus sich mithilfe der Codetabelle die µ-rekursive Funktion
C [ν; ν]
ergibt.
Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik • Lektion 6 11/28
Lektion 6: utm- und smn-Theorem
Anforderungen an BerechenbarkeitskonzepteGödelisierung von µRNummerierung von Putm-Theoremsmn-Theorem
Totalisierung von τ−1
Die Funktion τ ist nicht surjektiv, d.h. ihre Umkehrung τ−1 istnicht total, d.h. es gibt Zahlen n ∈ N, die nicht Nummer einerµ-rekursiven Funktion sind.
Beispiele: alle Primzahlen größer als 5
30 hat die Faktorisierung 21 · 31 · 51, woraus sich gemäßCodetabelle die Zeichenkette ||| ergibt, die keine µ-rekursiveFunktion darstellt.
Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik • Lektion 6 12/28
Lektion 6: utm- und smn-Theorem
Anforderungen an BerechenbarkeitskonzepteGödelisierung von µRNummerierung von Putm-Theoremsmn-Theorem
Totalisierung von τ−1
Surjektive Ergänzung von τ−1:
Wähle irgendeine Funktion aus µR, z.B.
ω : N0 → N0
definiert durchω(n) =⊥
Es gilt Def (ω) = ∅ω ist µ-rekursiv, denn für
f = C[add ; C
[ν;π2
2
], π2
1
]gilt
ω = µ [f ]
(Übliche Notation: f (x , y) = ν(y) + x .)
Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik • Lektion 6 13/28
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Anforderungen an BerechenbarkeitskonzepteGödelisierung von µRNummerierung von Putm-Theoremsmn-Theorem
Totalisierung von τ−1
Total definierte Umkehrung der Funktion τ−1:
h : N→ µR
mit
h(i) =
{f , falls i ∈W (τ) und τ(f ) = iµ[C[add ; C
[ν;π2
2], π2
1]], sonst
Die Funktion τ stellt eine sogenannte Gödelisierung von µRdar.
Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik • Lektion 6 14/28
Lektion 6: utm- und smn-Theorem
Anforderungen an BerechenbarkeitskonzepteGödelisierung von µRNummerierung von Putm-Theoremsmn-Theorem
Gödelisierung
Mit Gödelisierung (Gödelnummerierung) bezeichnet man eine effektiveCodierung von Wörtern durch natürliche Zahlen. Im Allgemeinen ist für einAlphabet A eine Gödelnummerierung gegeben durch eine Abbildung(Gödelabbildung)
g : A∗ → N0
mit folgenden Eigenschaften:
(i) g ist injektiv, d.h. für x1, x2 ∈ A∗ mit x1 6= x2 ist g(x1) 6= g(x2).
(ii) g ist berechenbar.
(iii) Die Funktion χg : N0 → { 0, 1 } definiert durch
χg(n) =
(1, falls ein x ∈ A∗ existiert mit g(x) = n0, sonst
ist berechenbar.
(iv) g−1 ist berechenbar.
Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik • Lektion 6 15/28
Lektion 6: utm- und smn-Theorem
Anforderungen an BerechenbarkeitskonzepteGödelisierung von µRNummerierung von Putm-Theoremsmn-Theorem
Nummerierung von P
Nummerierungϕ : N0 → P
der partiell berechenbaren Funktionen:
ϕ(i) = f genau dann, wenn h(i) die Funktion f berechnet
Es ist also ϕ(i) = f genau dann, wenn f von der µ-rekursivenFunktion berechnet wird, die durch die Nummer i codiert ist.
Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik • Lektion 6 16/28
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Anforderungen an BerechenbarkeitskonzepteGödelisierung von µRNummerierung von Putm-Theoremsmn-Theorem
Nummerierung von P
µR
σ
Σ+
g
N0
τh
ϕP
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Lektion 6: utm- und smn-Theorem
Anforderungen an BerechenbarkeitskonzepteGödelisierung von µRNummerierung von Putm-Theoremsmn-Theorem
Nummerierung von P
µR
σ
Σ+
g
N0
τh
ϕP
Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik • Lektion 6 17/28
Lektion 6: utm- und smn-Theorem
Anforderungen an BerechenbarkeitskonzepteGödelisierung von µRNummerierung von Putm-Theoremsmn-Theorem
Nummerierung von P
µR
σ
Σ+
g
N0
τ
h
ϕP
Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik • Lektion 6 17/28
Lektion 6: utm- und smn-Theorem
Anforderungen an BerechenbarkeitskonzepteGödelisierung von µRNummerierung von Putm-Theoremsmn-Theorem
Nummerierung von P
µR
σ
Σ+
g
N0
τh
ϕP
Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik • Lektion 6 17/28
Lektion 6: utm- und smn-Theorem
Anforderungen an BerechenbarkeitskonzepteGödelisierung von µRNummerierung von Putm-Theoremsmn-Theorem
Nummerierung von P
µR
σ
Σ+
g
N0
τh
ϕP
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Anforderungen an BerechenbarkeitskonzepteGödelisierung von µRNummerierung von Putm-Theoremsmn-Theorem
Nummerierung von P
µR
σ
Σ+
g
N0
τh
ϕP
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Lektion 6: utm- und smn-Theorem
Anforderungen an BerechenbarkeitskonzepteGödelisierung von µRNummerierung von Putm-Theoremsmn-Theorem
Nummerierung von P
µR
σ
Σ+
g
N0
τh
ϕP
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Anforderungen an BerechenbarkeitskonzepteGödelisierung von µRNummerierung von Putm-Theoremsmn-Theorem
Nummerierung von P
id wird von h(8400) berechnet:
τ(π11) = 8400 h(8400) = π1
1 ϕ(8400) = id
µR
h
N08400 ∈ 3 id
π11 ∈
ϕP
τ
Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik • Lektion 6 18/28
Lektion 6: utm- und smn-Theorem
Anforderungen an BerechenbarkeitskonzepteGödelisierung von µRNummerierung von Putm-Theoremsmn-Theorem
Nummerierung von P
1 wird von h(1 428 273 264 576 872 238 279 737 182 200 000)berechnet:
τ(C [ν;O]) = 1 428 . . . h(1 428 . . .) = τ(C [ν; ν]) ϕ(1 428 . . .) = 1
µR
h
N01 428 . . . ∈ 3 1
C [ν;O] ∈
ϕP
τ
Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik • Lektion 6 19/28
Lektion 6: utm- und smn-Theorem
Anforderungen an BerechenbarkeitskonzepteGödelisierung von µRNummerierung von Putm-Theoremsmn-Theorem
Nummerierung von P
h(30) = µ[C[add ; C
[ν;π2
2
], π2
1
]]ϕ(30) = ω
µR
h
N030 ∈ 3 ω
µ[C[add ; C
[ν;π2
2], π2
1]]∈
ϕP
τ
Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik • Lektion 6 20/28
Lektion 6: utm- und smn-Theorem
Anforderungen an BerechenbarkeitskonzepteGödelisierung von µRNummerierung von Putm-Theoremsmn-Theorem
Nummerierung von P
Schreibweise:
ϕi = f
anstelle vonϕ(i) = f
um „doppelte Argumente“ zu vermeiden:
ϕi(x1, . . . , xk ) = f (x1, . . . , xk )
anstelle vonϕ(i)(x1, . . . , xk ) = f (x1, . . . , xk )
Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik • Lektion 6 21/28
Lektion 6: utm- und smn-Theorem
Anforderungen an BerechenbarkeitskonzepteGödelisierung von µRNummerierung von Putm-Theoremsmn-Theorem
Abstrakte Programmiersprache
(N0,P, ϕ):
N0 enthält alle Programme dieser Programmiersprache.
P enthält alle Fuktionen, die von Programmen dieserProgrammiersprache berechnet werden können.
ϕ ordnet jedem Programm (Syntax) seine Bedeutung(Semantik) zu.
Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik • Lektion 6 22/28
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Anforderungen an BerechenbarkeitskonzepteGödelisierung von µRNummerierung von Putm-Theoremsmn-Theorem
Abstrakte Programmiersprache
(N0,P, ϕ):
N0 enthält alle Programme dieser Programmiersprache.
P enthält alle Fuktionen, die von Programmen dieserProgrammiersprache berechnet werden können.
ϕ ordnet jedem Programm (Syntax) seine Bedeutung(Semantik) zu.
Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik • Lektion 6 22/28
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Anforderungen an BerechenbarkeitskonzepteGödelisierung von µRNummerierung von Putm-Theoremsmn-Theorem
Abstrakte Programmiersprache
(N0,P, ϕ):
N0 enthält alle Programme dieser Programmiersprache.
P enthält alle Fuktionen, die von Programmen dieserProgrammiersprache berechnet werden können.
ϕ ordnet jedem Programm (Syntax) seine Bedeutung(Semantik) zu.
Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik • Lektion 6 22/28
Lektion 6: utm- und smn-Theorem
Anforderungen an BerechenbarkeitskonzepteGödelisierung von µRNummerierung von Putm-Theoremsmn-Theorem
Abstrakte Programmiersprache
(N0,P, ϕ):
N0 enthält alle Programme dieser Programmiersprache.
P enthält alle Fuktionen, die von Programmen dieserProgrammiersprache berechnet werden können.
ϕ ordnet jedem Programm (Syntax) seine Bedeutung(Semantik) zu.
Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik • Lektion 6 22/28
Lektion 6: utm- und smn-Theorem
Anforderungen an BerechenbarkeitskonzepteGödelisierung von µRNummerierung von Putm-Theoremsmn-Theorem
Existenz einer universellen Funktion
Es sei (N0,P, ϕ) eine Nummerierung. Dann gibt es eineberechenbare Funktion uϕ ∈ P mit
uϕ(i , x) = ϕi(x)
uϕ heißt universelle Funktion von (N0,P, ϕ).
Da uϕ ∈ P ist,
existiert Funktion Uϕ ∈ µR, die alle µ-rekursivenFunktionen f ∈ µR berechnet: Uϕ(f , x) = f (x);existiert k ∈ N0 mit uϕ = ϕk , d.h. mit
ϕk (i , x) = uϕ(i , x) = ϕi(x)
Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik • Lektion 6 23/28
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Anforderungen an BerechenbarkeitskonzepteGödelisierung von µRNummerierung von Putm-Theoremsmn-Theorem
Existenz einer universellen Funktion
Es sei (N0,P, ϕ) eine Nummerierung. Dann gibt es eineberechenbare Funktion uϕ ∈ P mit
uϕ(i , x) = ϕi(x)
uϕ heißt universelle Funktion von (N0,P, ϕ).
Da uϕ ∈ P ist,
existiert Funktion Uϕ ∈ µR, die alle µ-rekursivenFunktionen f ∈ µR berechnet: Uϕ(f , x) = f (x);
existiert k ∈ N0 mit uϕ = ϕk , d.h. mit
ϕk (i , x) = uϕ(i , x) = ϕi(x)
Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik • Lektion 6 23/28
Lektion 6: utm- und smn-Theorem
Anforderungen an BerechenbarkeitskonzepteGödelisierung von µRNummerierung von Putm-Theoremsmn-Theorem
Existenz einer universellen Funktion
Es sei (N0,P, ϕ) eine Nummerierung. Dann gibt es eineberechenbare Funktion uϕ ∈ P mit
uϕ(i , x) = ϕi(x)
uϕ heißt universelle Funktion von (N0,P, ϕ).
Da uϕ ∈ P ist,
existiert Funktion Uϕ ∈ µR, die alle µ-rekursivenFunktionen f ∈ µR berechnet: Uϕ(f , x) = f (x);existiert k ∈ N0 mit uϕ = ϕk , d.h. mit
ϕk (i , x) = uϕ(i , x) = ϕi(x)
Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik • Lektion 6 23/28
Lektion 6: utm- und smn-Theorem
Anforderungen an BerechenbarkeitskonzepteGödelisierung von µRNummerierung von Putm-Theoremsmn-Theorem
Existenz einer universellen Funktion
Es sei (N0,P, ϕ) eine Nummerierung. Dann gibt es eineberechenbare Funktion uϕ ∈ P mit
uϕ(i , x) = ϕi(x)
uϕ heißt universelle Funktion von (N0,P, ϕ).
Da uϕ ∈ P ist,
existiert Funktion Uϕ ∈ µR, die alle µ-rekursivenFunktionen f ∈ µR berechnet: Uϕ(f , x) = f (x);existiert k ∈ N0 mit uϕ = ϕk , d.h. mit
ϕk (i , x) = uϕ(i , x) = ϕi(x)
Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik • Lektion 6 23/28
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Anforderungen an BerechenbarkeitskonzepteGödelisierung von µRNummerierung von Putm-Theoremsmn-Theorem
Beispiel für Parametrisierung (effektives Programmieren)
„Eingaben als Daten oder als Programme interpretieren“:
Beispiel: mult : N0 × N0 → N0 mit mult(x , y) = x · y .
Dann z.B. x = 5 und y = 3, also mult(3,5) möglich,
aber auch x = (a + b)2 und y = (c − d).
Damit ergibt sich die neue Funktion m : N40 → N0 definiert durch
m(a,b, c,d) = mult((a + b)2, (c − d)) = (a + b)2(c − d)
bzw.
m(a,b, c,d) = mult(sqr(add(a,b)),minus(c,d))
Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik • Lektion 6 24/28
Lektion 6: utm- und smn-Theorem
Anforderungen an BerechenbarkeitskonzepteGödelisierung von µRNummerierung von Putm-Theoremsmn-Theorem
Beispiel für Parametrisierung (effektives Programmieren)
Durch Funktionen als aktuelle Parameter wird also aus
mult = PRK[O1, C
[add ;π3
1, π33
]]die neue Funktion
m = C[mult ; C
[sqr ; C
[add ;π4
1, π42
]], C[minus;π4
3, π44
]]generiert.
Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik • Lektion 6 25/28
Lektion 6: utm- und smn-Theorem
Anforderungen an BerechenbarkeitskonzepteGödelisierung von µRNummerierung von Putm-Theoremsmn-Theorem
Allgemeines Prinzip der Parametrisierung
Es sei (N0,P, ϕ) eine Nummerierung. Dann gibt es für allei ∈ N0 sowie für alle (x1, . . . , xm) ∈ Nm
0 und (y1, . . . , yn) ∈ Nn0
eine total berechenbare Funktion s : Nm+10 → N0, so dass
ϕi(x1, . . . , xm, y1, . . . , yn) = ϕs(i,x1,...,xm)(y1, . . . , yn)
gilt.
Die Parameter x1, . . . , xm können als Programme interpretiertwerden. Die Funktion s generiert aus dem Progamm i und denProgrammen x1, . . . , xm das Programm s(i , x1, . . . , xm).
Wichtig: Dieser Generator existiert allgemein, d.h. für alle iund alle (x1, . . . , xm): s ∈ R (sogar s ∈ PR).
Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik • Lektion 6 26/28
Lektion 6: utm- und smn-Theorem
Anforderungen an BerechenbarkeitskonzepteGödelisierung von µRNummerierung von Putm-Theoremsmn-Theorem
Beispiel für Parametrisierung (effektives Programmieren)
Angewendet auf obiges Beispiel:i ist die Codierung der µ-rekursiven Funktion für mult
x1 die Codierung der µ-rekursiven Funktion fürC[sqr ; C
[add ;π4
1, π42]]
x2 die Codierung der µ-rekursiven Funktion fürC[minus;π4
3, π44]
y1 = a, y2 = b, y3 = c und y4 = dDie Funktion s würde dann aus den Codierungen von mult ,C[sqr ; C
[add ;π4
1, π42]]
und C[minus;π4
3, π44]
die Codierung vonm generieren.
Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik • Lektion 6 27/28
Lektion 6: utm- und smn-Theorem
Anforderungen an BerechenbarkeitskonzepteGödelisierung von µRNummerierung von Putm-Theoremsmn-Theorem
Beispiel für Parametrisierung (effektives Programmieren)
Angewendet auf obiges Beispiel:i ist die Codierung der µ-rekursiven Funktion für multx1 die Codierung der µ-rekursiven Funktion fürC[sqr ; C
[add ;π4
1, π42]]
x2 die Codierung der µ-rekursiven Funktion fürC[minus;π4
3, π44]
y1 = a, y2 = b, y3 = c und y4 = dDie Funktion s würde dann aus den Codierungen von mult ,C[sqr ; C
[add ;π4
1, π42]]
und C[minus;π4
3, π44]
die Codierung vonm generieren.
Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik • Lektion 6 27/28
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Anforderungen an BerechenbarkeitskonzepteGödelisierung von µRNummerierung von Putm-Theoremsmn-Theorem
Beispiel für Parametrisierung (effektives Programmieren)
Angewendet auf obiges Beispiel:i ist die Codierung der µ-rekursiven Funktion für multx1 die Codierung der µ-rekursiven Funktion fürC[sqr ; C
[add ;π4
1, π42]]
x2 die Codierung der µ-rekursiven Funktion fürC[minus;π4
3, π44]
y1 = a, y2 = b, y3 = c und y4 = dDie Funktion s würde dann aus den Codierungen von mult ,C[sqr ; C
[add ;π4
1, π42]]
und C[minus;π4
3, π44]
die Codierung vonm generieren.
Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik • Lektion 6 27/28
Lektion 6: utm- und smn-Theorem
Anforderungen an BerechenbarkeitskonzepteGödelisierung von µRNummerierung von Putm-Theoremsmn-Theorem
Beispiel für Parametrisierung (effektives Programmieren)
Angewendet auf obiges Beispiel:i ist die Codierung der µ-rekursiven Funktion für multx1 die Codierung der µ-rekursiven Funktion fürC[sqr ; C
[add ;π4
1, π42]]
x2 die Codierung der µ-rekursiven Funktion fürC[minus;π4
3, π44]
y1 = a, y2 = b, y3 = c und y4 = d
Die Funktion s würde dann aus den Codierungen von mult ,C[sqr ; C
[add ;π4
1, π42]]
und C[minus;π4
3, π44]
die Codierung vonm generieren.
Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik • Lektion 6 27/28
Lektion 6: utm- und smn-Theorem
Anforderungen an BerechenbarkeitskonzepteGödelisierung von µRNummerierung von Putm-Theoremsmn-Theorem
Beispiel für Parametrisierung (effektives Programmieren)
Angewendet auf obiges Beispiel:i ist die Codierung der µ-rekursiven Funktion für multx1 die Codierung der µ-rekursiven Funktion fürC[sqr ; C
[add ;π4
1, π42]]
x2 die Codierung der µ-rekursiven Funktion fürC[minus;π4
3, π44]
y1 = a, y2 = b, y3 = c und y4 = dDie Funktion s würde dann aus den Codierungen von mult ,C[sqr ; C
[add ;π4
1, π42]]
und C[minus;π4
3, π44]
die Codierung vonm generieren.
Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik • Lektion 6 27/28
Lektion 6: utm- und smn-Theorem
Anforderungen an BerechenbarkeitskonzepteGödelisierung von µRNummerierung von Putm-Theoremsmn-Theorem
Beispiel für Parametrisierung (effektives Programmieren)
Angewendet auf obiges Beispiel:i ist die Codierung der µ-rekursiven Funktion für multx1 die Codierung der µ-rekursiven Funktion fürC[sqr ; C
[add ;π4
1, π42]]
x2 die Codierung der µ-rekursiven Funktion fürC[minus;π4
3, π44]
y1 = a, y2 = b, y3 = c und y4 = dDie Funktion s würde dann aus den Codierungen von mult ,C[sqr ; C
[add ;π4
1, π42]]
und C[minus;π4
3, π44]
die Codierung vonm generieren.
Kurt-Ulrich Witt Diskrete Mathematik • Lektion 6 27/28
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